Có một nghịch lý nổi tiếng từ thời Hy Lạp cổ đại: để đi hết một quãng đường, bạn phải đi một nửa quãng đường trước, rồi một nửa của phần còn lại, rồi một nửa của phần còn lại nữa — cứ thế mãi. Nếu cứ chia nhỏ vô hạn như vậy, liệu bạn có bao giờ tới đích không? Câu trả lời đáng ngạc nhiên là có — và tổng của vô số số hạng nhỏ dần đó lại là một con số hữu hạn, gọn gàng. Đó chính là ý tưởng của tổng cấp số nhân lùi vô hạn: cộng vô hạn số hạng, nhưng kết quả vẫn là một số cụ thể.
Bài này sẽ giúp bạn tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn một cách có hệ thống: từ điều kiện |q| < 1, công thức S = u₁/(1 − q), cách nhận ra một tổng vô hạn có phải là cấp số nhân lùi vô hạn hay không, cách biến đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Đây là một trong những công thức đẹp nhất của chương dãy số — ngắn gọn mà ứng dụng thì rất rộng.
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: cộng vô hạn số hạng mà kết quả vẫn hữu hạn
Cho cấp số nhân (uₙ) với số hạng đầu u₁ và công bội q thỏa mãn |q| < 1. Khi đó, tổng của tất cả các số hạng của cấp số nhân này — tức là u₁ + u₁q + u₁q² + ... cộng mãi vô hạn — là một số hữu hạn và được tính bằng công thức S = u₁/(1 − q). Công thức này có được nhờ một lập luận rất đẹp: gọi Sₙ là tổng n số hạng đầu, ta có Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q); vì |q| < 1 nên qⁿ tiến về 0 khi n tiến ra vô cùng, do đó Sₙ tiến về u₁/(1 − q). Nói một cách trực quan, các số hạng càng về sau càng nhỏ đến mức "không đáng kể", nên tổng vô hạn hội tụ về một giá trị xác định.
Điều kiện |q| < 1 là điều kiện bắt buộc, không thể bỏ qua. Nếu |q| ≥ 1 thì các số hạng không nhỏ dần về 0, tổng vô hạn sẽ phân kì — hoặc tiến ra vô cùng, hoặc dao động không ổn định. Ví dụ với q = 2, tổng 1 + 2 + 4 + 8 + ... lớn dần vô hạn, không thể gán cho nó một giá trị hữu hạn nào. Với q = −1, tổng 1 − 1 + 1 − 1 + ... cứ nhảy qua nhảy lại giữa 1 và 0, cũng không có tổng xác định. Bạn hãy nhớ: chỉ khi |q| < 1 thì công thức S = u₁/(1 − q) mới được dùng.
Một ứng dụng rất hay của công thức này là biến đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số. Ví dụ số 0,333... có thể viết thành 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ..., đây là một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 3/10 và q = 1/10, nên tổng bằng (3/10)/(1 − 1/10) = (3/10)/(9/10) = 1/3. Vậy 0,333... = 1/3 — một kết quả mà bạn đã biết từ cấp hai, nay được chứng minh chặt chẽ bằng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Tương tự, mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều là số hữu tỉ, và công thức này cho bạn cách tìm ra phân số của nó.
Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn còn xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế: tính quãng đường của một quả bóng nảy lên rồi rơi xuống nhiều lần với mỗi lần nảy chỉ còn một phần quãng đường trước, tính tổng diện tích của vô số hình vuông nhỏ dần, hay tính giá trị hiện tại của một dòng tiền đều đặn kéo dài vô hạn trong tài chính. Điểm chung của các bài toán này là mỗi bước sau chỉ còn một tỉ lệ cố định q (với |q| < 1) của bước trước — nhận ra được cấu trúc đó là bạn đã giải được một nửa bài toán. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Bốn bài toán mẫu tính từng bước
Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Tính tổng 1 + 1/2 + 1/4 + ...
Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 1/2. Vì |q| = 1/2 < 1 nên tổng vô hạn tồn tại và được tính bằng công thức S = u₁/(1 − q) = 1/(1 − 1/2) = 1/(1/2) = 2. Bạn hãy hình dung: cộng 1 + 1/2 = 1,5; cộng thêm 1/4 được 1,75; cộng thêm 1/8 được 1,875; càng cộng thêm, tổng càng tiến gần về 2 nhưng không bao giờ vượt quá 2. Đây chính là nghịch lý "đi một nửa quãng đường mãi" được giải quyết: tổng vô hạn các bước nhỏ dần lại bằng đúng 2.
Ví dụ 2 (công bội là phân số): Tính tổng 3 + 1 + 1/3 + 1/9 + ...
Bạn nhận ra đây là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = 1/3, vì mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với 1/3. Vì |q| = 1/3 < 1 nên tổng tồn tại: S = u₁/(1 − q) = 3/(1 − 1/3) = 3/(2/3) = 9/2 = 4,5. Bạn kiểm tra bằng cách cộng vài số hạng đầu: 3 + 1 = 4; cộng thêm 1/3 được khoảng 4,333; cộng thêm 1/9 được khoảng 4,444; tổng đang tiến dần về 4,5 — khớp với kết quả công thức. Bạn hãy để ý: số hạng đầu là 3 chứ không phải 1, nên bạn phải thay đúng u₁ = 3 vào công thức, đừng nhầm với 1.
Ví dụ 3 (công bội âm): Tính tổng 2 − 1 + 1/2 − 1/4 + ...
Đây là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = −1/2, vì mỗi số hạng sau bằng số hạng trước nhân với −1/2 (dấu đổi liên tục). Vì |q| = 1/2 < 1 nên tổng tồn tại: S = u₁/(1 − q) = 2/(1 − (−1/2)) = 2/(3/2) = 4/3. Bạn hãy để ý dấu: mẫu số là 1 − q = 1 − (−1/2) = 3/2, nhiều bạn quên dấu trừ của q âm mà viết nhầm thành 1 − 1/2 = 1/2, ra kết quả sai là 4. Cộng vài số hạng đầu để kiểm tra: 2 − 1 = 1; cộng 1/2 được 1,5; trừ 1/4 được 1,25; tổng đang dao động quanh 4/3 ≈ 1,333 — khớp với kết quả.
Ví dụ 4 (số thập phân tuần hoàn): Viết số 0,333... dưới dạng phân số.
Bạn viết 0,333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ..., đây là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 3/10 và công bội q = 1/10. Áp dụng công thức: S = (3/10)/(1 − 1/10) = (3/10)/(9/10) = 3/9 = 1/3. Vậy 0,333... = 1/3. Bạn hãy để ý: cách viết này chứng minh vì sao mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều là số hữu tỉ. Nếu muốn ôn lại quy tắc nhân trong đếm, bạn hãy xem bài quy tắc nhân — công bội q trong cấp số nhân cũng là một dạng "nhân liên tiếp" quen thuộc.
Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Áp dụng công thức khi |q| ≥ 1.
Nhiều bạn thấy tổng 1 + 2 + 4 + 8 + ... là cấp số nhân thì áp dụng ngay S = 1/(1 − 2) = −1 — một kết quả vô nghĩa vì tổng của các số dương không thể âm. Cách tránh: bạn hãy luôn kiểm tra |q| < 1 trước khi dùng công thức; nếu |q| ≥ 1 thì tổng vô hạn không tồn tại (phân kì).
Lỗi 2: Nhầm số hạng đầu u₁.
Nhiều bạn tính tổng 3 + 1 + 1/3 + ... mà lấy u₁ = 1 vì nghĩ "số hạng đầu của dãy 1, 1/3, ... là 1". Cách tránh: bạn hãy xác định u₁ là số hạng đầu tiên của tổng đang xét — ở đây tổng bắt đầu bằng 3 nên u₁ = 3, công bội q = 1/3.
Lỗi 3: Quên dấu của công bội âm trong mẫu số.
Nhiều bạn tính tổng 2 − 1 + 1/2 − ... với q = −1/2 mà viết mẫu số là 1 − 1/2 thay vì 1 − (−1/2). Cách tránh: bạn hãy viết rõ 1 − q rồi mới thay số: 1 − (−1/2) = 1 + 1/2 = 3/2.
Lỗi 4: Nhầm công thức tổng vô hạn với tổng n số hạng đầu.
Nhiều bạn dùng Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q) cho bài toán tổng vô hạn mà không cho n tiến ra vô cùng. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức tổng vô hạn S = u₁/(1 − q) chính là giới hạn của Sₙ khi n → +∞ — hai công thức khác nhau, dùng cho hai bài toán khác nhau.
Lỗi 5: Không nhận ra tổng vô hạn ẩn trong bài toán.
Nhiều bạn gặp số 0,1212... hay bài toán quả bóng nảy mà không nghĩ tới cấp số nhân lùi vô hạn. Cách tránh: bạn hãy tập thói quen hỏi "mỗi bước sau có bằng bước trước nhân với một tỉ lệ cố định không?" — nếu có và tỉ lệ đó có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 thì đó chính là tổng cấp số nhân lùi vô hạn.
Năm bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra |q| < 1 trước khi áp dụng công thức.
Câu 1: Tổng 1 + 1/3 + 1/9 + ... bằng
A. 3/2
B. 2
C. 1
D. 3
Câu 2: Cấp số nhân lùi vô hạn có u₁ = 4, q = −1/4 có tổng bằng
A. 16/5
B. 4
C. 3
D. 16/3
Câu 3: Tổng 5 − 5/2 + 5/4 − ... bằng
A. 5
B. 10/3
C. 5/2
D. 10
Câu 4: Cấp số nhân nào sau đây có tổng lùi vô hạn?
A. q = 2
B. q = −1
C. q = 1/2
D. q = −2
Câu 5: Số 0,121212... viết dưới dạng phân số bằng
A. 12/33
B. 4/33
C. 12/100
D. 1/8
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | A | B | C | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Đây là cấp số nhân với u₁ = 1, q = 1/3, |q| < 1 nên S = 1/(1 − 1/3) = 1/(2/3) = 3/2. Đáp án B sai vì 2 là tổng của cấp số nhân có q = 1/2, không phải 1/3. Đáp án C sai vì tổng đã vượt quá 1 ngay sau hai số hạng đầu. Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 3.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A đúng: Áp dụng công thức S = u₁/(1 − q) = 4/(1 − (−1/4)) = 4/(5/4) = 16/5. Đáp án B sai vì đó là số hạng đầu, không phải tổng. Đáp án C sai vì không có cơ sở nào cho ra 3. Đáp án D sai vì đó là kết quả khi tính nhầm mẫu số thành 3/4.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Đây là cấp số nhân với u₁ = 5, q = −1/2 nên S = 5/(1 + 1/2) = 5/(3/2) = 10/3. Đáp án A sai vì đó là số hạng đầu. Đáp án C sai vì không có cơ sở nào cho ra 5/2. Đáp án D sai vì đó là kết quả khi quên chia cho (1 − q).
Giải thích Câu 4 — Đáp án C đúng: Chỉ khi |q| < 1 thì tổng lùi vô hạn mới tồn tại; trong bốn đáp án chỉ có q = 1/2 thỏa mãn. Đáp án A sai vì q = 2 thì tổng phân kì ra +∞. Đáp án B sai vì q = −1 thì tổng dao động, không hội tụ. Đáp án D sai vì q = −2 thì tổng phân kì.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Ta có 0,121212... = 12/100 + 12/10000 + ..., cấp số nhân với u₁ = 12/100, q = 1/100 nên S = (12/100)/(99/100) = 12/99 = 4/33. Đáp án A sai vì 12/33 = 4/11, không rút gọn đúng từ 12/99. Đáp án C sai vì đó chỉ là số hạng đầu tiên. Đáp án D sai vì 1/8 = 0,125, khác 0,1212...
Quả bóng nảy: bài toán thực tế dùng tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Một ứng dụng rất sinh động của công thức này là bài toán quả bóng nảy. Giả sử bạn thả một quả bóng từ độ cao 4 mét xuống sàn, mỗi lần chạm sàn bóng nảy lên với độ cao chỉ bằng một nửa lần trước. Hỏi tổng quãng đường quả bóng đã đi cho tới khi dừng hẳn là bao nhiêu? Lần rơi đầu tiên bóng đi 4 mét. Sau đó bóng nảy lên 2 mét rồi rơi xuống 2 mét, nảy lên 1 mét rồi rơi xuống 1 mét, nảy lên 1/2 mét rồi rơi xuống 1/2 mét — cứ thế mãi. Tổng quãng đường là 4 + 2 × (2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ...). Phần trong ngoặc là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 1/2, nên tổng bằng 2/(1 − 1/2) = 4. Vậy tổng quãng đường là 4 + 2 × 4 = 12 mét. Bạn thấy đấy: dù bóng nảy vô hạn lần, tổng quãng đường vẫn chỉ là 12 mét — một con số hữu hạn rất gọn.
Bài toán quả bóng nảy còn cho bạn một bài học về cách nhận diện tổng cấp số nhân lùi vô hạn trong đề thi: đề bài thường không nói thẳng "đây là cấp số nhân", mà mô tả một quá trình lặp lại — mỗi lần chỉ còn một tỉ lệ cố định của lần trước. Bạn hãy gạch chân tỉ lệ đó: nếu nó là một số q cố định với |q| < 1 thì bạn đã có ngay công bội. Tiếp theo, bạn xác định số hạng đầu u₁ là đại lượng ở lần lặp đầu tiên trong tổng đang xét — ở bài bóng nảy, phần lặp lại bắt đầu từ lần nảy lên 2 mét, nên u₁ = 2 chứ không phải 4. Sai lầm phổ biến nhất ở dạng bài này là lấy nhầm u₁ hoặc quên nhân đôi quãng đường lên xuống của mỗi lần nảy. Bạn hãy vẽ sơ đồ các lần nảy ra giấy trước khi đặt bút tính, và kiểm tra lại bằng cách cộng thử vài số hạng đầu: 4 + 2 × 2 = 8; cộng thêm 2 × 1 = 10; cộng thêm 2 × 1/2 = 11; cộng thêm 2 × 1/4 = 11,5 — tổng đang tiến dần về 12, khớp với kết quả công thức. Cách kiểm tra bằng cộng thử vài số hạng đầu này dùng được cho mọi bài tổng cấp số nhân lùi vô hạn, và nó giúp bạn phát hiện sai sót ngay trước khi nộp bài.
Câu hỏi thường gặp về tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Hỏi: Cộng vô hạn số hạng thì tổng có thể là một số hữu hạn thật sao?
Đáp: Có, khi các số hạng nhỏ dần đủ nhanh. Với |q| < 1, các số hạng tiến về 0 rất nhanh nên phần "đuôi" của tổng ngày càng không đáng kể, tổng hội tụ về u₁/(1 − q). Ví dụ 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2 dù cộng vô hạn số hạng.
Hỏi: Vì sao phải có điều kiện |q| < 1?
Đáp: Vì công thức được suy ra từ giới hạn của qⁿ khi n → +∞. Chỉ khi |q| < 1 thì qⁿ mới tiến về 0; nếu |q| ≥ 1 thì qⁿ không tiến về 0, tổng Sₙ không có giới hạn hữu hạn nên tổng vô hạn không tồn tại.
Hỏi: Công bội âm thì tính tổng thế nào?
Đáp: Tính hoàn toàn như bình thường, chỉ cần chú ý dấu trong mẫu số 1 − q. Ví dụ q = −1/2 thì 1 − q = 1 + 1/2 = 3/2. Tổng vẫn là một số dương nếu u₁ dương, dù các số hạng đổi dấu liên tục.
Hỏi: Số thập phân vô hạn tuần hoàn nào cũng viết được thành phân số phải không?
Đáp: Đúng. Mọi số thập phân vô hạn tuần hoàn đều là số hữu tỉ và đều viết được thành phân số nhờ công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn. Ngược lại, số thập phân vô hạn không tuần hoàn như số π thì không viết được thành phân số — đó là số vô tỉ.
Hỏi: Học tổng cấp số nhân lùi vô hạn để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Đây là ví dụ đầu tiên và đẹp nhất về giới hạn của một tổng vô hạn — nó mở đường cho bạn học giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và sau này là tích phân. Bạn sẽ gặp lại ý tưởng "cộng vô hạn phần nhỏ dần" trong rất nhiều bài toán. Nếu muốn ôn lại quy tắc nhân, bạn hãy xem bài quy tắc nhân.
Kết luận
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn chỉ gói gọn trong một công thức: với |q| < 1 thì S = u₁/(1 − q). Bạn hãy nhớ ba điều: luôn kiểm tra |q| < 1 trước khi dùng công thức; xác định đúng số hạng đầu u₁ và công bội q (kể cả dấu); và nhớ rằng cộng vô hạn số hạng nhỏ dần có thể cho ra một tổng hữu hạn. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính tổng của bất kì cấp số nhân lùi vô hạn nào, kể cả việc biến đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số.
Trước khi khép lại, bạn hãy tự ôn nhanh bằng ba câu hỏi: thứ nhất, điều kiện nào bắt buộc phải có thì tổng vô hạn mới tồn tại? Thứ hai, công thức S = u₁/(1 − q) được suy ra từ đâu? Thứ ba, một số thập phân vô hạn tuần hoàn như 0,1212... có thể viết thành phân số bằng cách nào? Nếu bạn trả lời được cả ba câu một cách trôi chảy — điều kiện |q| < 1, giới hạn của tổng n số hạng đầu khi n tiến ra vô cùng, và viết số thập phân thành tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn rồi áp dụng công thức — thì bạn đã nắm chắc bài này. Bài tiếp theo về giới hạn của dãy số sẽ dùng lại chính ý tưởng "tiến dần về một giá trị" mà bạn vừa học ở đây, nên bạn càng nắm vững tổng cấp số nhân lùi vô hạn thì càng học nhanh các bài sau.