Công thức tính trung vị và tứ phân vị

Cuối tuần vừa rồi, lớp 10A tổ chức một cuộc thi chạy 100 mét, và bảng kết quả làm cả lớp tranh cãi suốt buổi. Bạn An chạy hết 13 giây, bạn Bình chạy hết 14 giây, bạn Chi chạy hết 15 giây, bạn Dũng chạy hết 16 giây, còn bạn Hà chạy hết 40 giây vì giữa đường bạn ấy bị vấp ngã. Cô giáo hỏi cả lớp: thời gian chạy trung bình của năm bạn là bao nhiêu, và con số nào mới nói đúng nhất về tốc độ của cả lớp. Một bạn cộng năm số lại rồi chia cho 5, được 19,6 giây, rồi nói lớp chạy trung bình 19,6 giây. Cả lớp phản đối ngay: bốn bạn đầu đều chạy dưới 16 giây, chỉ có một bạn chạy 40 giây vì bị ngã, vậy mà con số trung bình lại là 19,6 giây, chậm hơn cả bạn chậm nhất trong bốn bạn đầu. Rõ ràng số trung bình đã bị một giá trị quá lớn kéo lệch đi, và nó không còn đại diện cho cả lớp nữa. Lúc đó, cô giáo viết lên bảng một con số khác, số 15, và nói: đây là trung vị, giá trị đứng ở giữa khi ta xếp năm thời gian theo thứ tự tăng dần, và nó mới là con số nói đúng nhất về lớp trong trường hợp này.

Câu chuyện nhỏ đó chính là lí do vì sao chương trình Toán 10, sách Kết nối tri thức với cuộc sống, đưa trung vị và tứ phân vị vào bài học về các số đặc trưng của mẫu số liệu. Số trung bình rất quen thuộc, nhưng nó dễ bị kéo lệch bởi những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ, còn trung vị thì đứng vững ở giữa, không bị ảnh hưởng bởi một vài giá trị bất thường. Tứ phân vị đi xa hơn một bước: nó không chỉ tìm giá trị ở giữa, mà còn chia cả mẫu số liệu thành bốn phần bằng nhau, để bạn nhìn thấy một phần tư số liệu thấp nhất nằm ở đâu, một nửa số liệu nằm ở đâu, và ba phần tư số liệu nằm ở đâu. Bài này sẽ dẫn bạn đi từng bước, từ cách sắp xếp mẫu số liệu, tới cách tìm trung vị khi mẫu có số lượng lẻ hay chẵn, tới cách tìm tứ phân vị thứ nhất và thứ ba theo đúng cách làm của sách giáo khoa, rồi luyện qua bốn mẫu số liệu tính tay và năm bài tập tự luyện. Bạn không cần nhớ nhiều công thức, chỉ cần nhớ một trình tự làm việc, và làm đúng trình tự đó mỗi lần.

Trung vị và tứ phân vị kể chuyện gì về một mẫu số liệu

Bạn hãy tưởng tượng một mẫu số liệu là một hàng người xếp theo chiều cao từ thấp tới cao. Người đứng ở giữa hàng chính là trung vị: một nửa số người trong hàng thấp hơn người đó, một nửa số người cao hơn người đó. Trung vị không quan tâm người cao nhất cao tới bao nhiêu, cũng không quan tâm người thấp nhất thấp tới bao nhiêu, nó chỉ quan tâm ai đang đứng ở giữa. Chính vì vậy, trung vị là con số đại diện rất tốt khi mẫu số liệu có những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với phần còn lại, mà người ta thường gọi là giá trị bất thường. Trong câu chuyện chạy 100 mét ở đầu bài, thời gian 40 giây của bạn Hà là một giá trị bất thường, nó kéo số trung bình lên tới 19,6 giây, nhưng nó không thể kéo trung vị đi đâu được, vì trung vị vẫn là 15 giây, giá trị đứng ở giữa năm thời gian đã sắp xếp. Khi bạn đọc một báo cáo nói rằng thu nhập trung vị của một khu vực là 8 triệu đồng một tháng, bạn hiểu rằng một nửa số người trong khu vực đó kiếm ít hơn 8 triệu, một nửa kiếm nhiều hơn 8 triệu, dù có vài người kiếm tới hàng trăm triệu đi nữa.

Tứ phân vị kể một câu chuyện đầy đủ hơn, vì nó chia hàng người đó thành bốn đoạn bằng nhau. Bạn hãy tưởng tượng bạn đánh dấu ba vị trí trên hàng người đã xếp theo chiều cao: vị trí thứ nhất chia hàng thành một phần tư thấp nhất và ba phần tư còn lại, vị trí thứ hai chính là người đứng giữa, vị trí thứ ba chia hàng thành ba phần tư thấp nhất và một phần tư cao nhất. Ba vị trí đó lần lượt là tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ hai và tứ phân vị thứ ba, kí hiệu là Q1, Q2 và Q3. Tứ phân vị thứ hai Q2 chính là trung vị Me, nên bạn chỉ cần tìm thêm Q1 và Q3 là đủ. Khoảng từ Q1 tới Q3 chứa một nửa số liệu ở giữa mẫu, và người ta gọi khoảng này là khoảng tứ phân vị, một con số cho biết số liệu ở giữa mẫu trải rộng tới đâu. Nếu Q1 và Q3 gần nhau, số liệu ở giữa mẫu tập trung chặt; nếu Q1 và Q3 xa nhau, số liệu ở giữa mẫu phân tán rộng. Khi bạn nhìn vào bảng điểm của một lớp và thấy Q1 là 6, Me là 7,5 và Q3 là 9, bạn hiểu ngay rằng một phần tư số học sinh đạt dưới 6 điểm, một nửa số học sinh đạt dưới 7,5 điểm, và ba phần tư số học sinh đạt dưới 9 điểm, một bức tranh đầy đủ hơn nhiều so với chỉ một con số trung bình.

Bạn cần nhớ một điều kiện tiên quyết trước khi tìm trung vị hay tứ phân vị: mẫu số liệu phải được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, từ nhỏ tới lớn. Nếu bạn quên bước sắp xếp này, mọi con số bạn tìm được sau đó đều sai, dù các bước tính sau đó của bạn có đúng tới đâu. Đây là lỗi phổ biến nhất mà học sinh mắc phải, và nó xuất phát từ sự vội vàng: bạn nhìn thấy dãy số 7, 3, 11, 2, 5 rồi lấy ngay số ở giữa dãy là 11 làm trung vị, trong khi dãy số đó chưa được sắp xếp. Sau khi sắp xếp thành 2, 3, 5, 7, 11, số ở giữa mới là 5, và đó mới là trung vị đúng. Vì vậy, bạn hãy coi việc sắp xếp là bước số 0, bước không thể bỏ qua, và hãy viết dãy số đã sắp xếp ra giấy nháp trước khi làm bất kì phép tính nào. Một khi dãy số đã ngay ngắn theo thứ tự tăng dần, việc tìm trung vị và tứ phân vị chỉ còn là việc đếm vị trí, và bạn sẽ thấy nó dễ hơn nhiều so với những gì bạn tưởng tượng.

Cách tính Me, Q1, Q3 từng bước theo sách giáo khoa

Trình tự làm việc của sách giáo khoa gồm ba bước, bạn hãy học thuộc ba bước này. Bước thứ nhất, sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần, từ giá trị nhỏ nhất tới giá trị lớn nhất, và đánh số thứ tự cho từng số liệu, bắt đầu từ 1. Bước thứ hai, tìm trung vị Me, tức là tứ phân vị thứ hai Q2. Nếu mẫu có số lượng số liệu là lẻ, trung vị là giá trị đứng ở giữa, tức là số liệu thứ (n cộng 1) chia 2 trong dãy đã sắp xếp. Nếu mẫu có số lượng số liệu là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị đứng ở giữa, tức là trung bình cộng của số liệu thứ n chia 2 và số liệu thứ n chia 2 cộng 1. Bước thứ ba, tìm Q1 và Q3: Q1 là trung vị của nửa dưới của mẫu, tức là phần số liệu đứng trước trung vị, còn Q3 là trung vị của nửa trên của mẫu, tức là phần số liệu đứng sau trung vị. Khi mẫu có số lượng lẻ, bạn bỏ trung vị ra khỏi mẫu rồi chia phần còn lại thành hai nửa bằng nhau, nửa dưới và nửa trên; khi mẫu có số lượng chẵn, trung vị không phải là một số liệu cụ thể nào, nên bạn chia mẫu thành hai nửa bằng nhau ngay tại điểm giữa.

Bạn hãy tập làm quen với bước thứ ba bằng một hình dung cụ thể. Giả sử mẫu của bạn có 7 số liệu đã sắp xếp, trung vị là số liệu thứ 4. Nửa dưới gồm ba số liệu đầu tiên, từ số thứ 1 tới số thứ 3, và trung vị của ba số liệu này, tức là số liệu thứ 2, chính là Q1. Nửa trên gồm ba số liệu cuối cùng, từ số thứ 5 tới số thứ 7, và trung vị của ba số liệu này, tức là số liệu thứ 6, chính là Q3. Bạn thấy Q1 và Q3 đều là những số liệu có thật trong mẫu, vì mỗi nửa đều có số lượng lẻ. Giả sử mẫu của bạn có 8 số liệu đã sắp xếp, trung vị là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và số liệu thứ 5. Nửa dưới gồm bốn số liệu đầu tiên, từ số thứ 1 tới số thứ 4, và trung vị của bốn số liệu này là trung bình cộng của số liệu thứ 2 và số liệu thứ 3, chính là Q1. Nửa trên gồm bốn số liệu cuối cùng, từ số thứ 5 tới số thứ 8, và trung vị của bốn số liệu này là trung bình cộng của số liệu thứ 6 và số liệu thứ 7, chính là Q3. Trong trường hợp này, Q1 và Q3 có thể là những con số không có thật trong mẫu, vì chúng là trung bình cộng của hai số liệu, và điều đó hoàn toàn bình thường.

Một điểm nữa mà bạn cần ghi nhớ là ba tứ phân vị Q1, Q2 và Q3 luôn thỏa mãn Q1 nhỏ hơn hoặc bằng Q2, và Q2 nhỏ hơn hoặc bằng Q3, vì dãy số đã được sắp xếp tăng dần. Nếu bạn tính ra Q1 lớn hơn Me, hoặc Me lớn hơn Q3, thì chắc chắn bạn đã tính sai ở đâu đó, và bạn nên kiểm tra lại ngay từ bước sắp xếp. Bạn cũng nên nhớ rằng Q1, Me và Q3 chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng một phần tư số liệu của mẫu. Với mẫu có 5 số liệu, mỗi phần chứa khoảng một số liệu; với mẫu có 9 số liệu, mỗi phần chứa khoảng hai số liệu; với mẫu có 13 số liệu, mỗi phần chứa khoảng ba số liệu. Cách chia này giúp bạn kiểm tra nhanh kết quả của mình: bạn hãy đếm xem có bao nhiêu số liệu nằm dưới Q1, bao nhiêu số liệu nằm giữa Q1 và Me, bao nhiêu số liệu nằm giữa Me và Q3, và bao nhiêu số liệu nằm trên Q3, nếu bốn con số đếm được gần bằng nhau thì kết quả của bạn rất có thể là đúng. Khi cần kiểm tra nhanh một phép cộng hay phép chia hai số trong lúc làm bài, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhưng việc xác định nửa dưới và nửa trên thì bạn phải tự làm, vì máy tính không biết bạn đang chia mẫu ở đâu.

Bốn mẫu số liệu, bốn lần tính tay

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho mẫu số liệu 2, 3, 5, 7, 11. Tính trung vị Me và các tứ phân vị Q1, Q3.
Mẫu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 2, 3, 5, 7, 11. Mẫu có 5 số liệu, là số lẻ, nên trung vị là giá trị ở giữa, tức là số liệu thứ 3, và Me bằng 5. Bỏ trung vị ra, nửa dưới của mẫu là 2, 3, nửa trên của mẫu là 7, 11. Q1 là trung vị của nửa dưới (2, 3) và bằng 3, Q3 là trung vị của nửa trên (7, 11) và bằng 7. Vậy với mẫu 2, 3, 5, 7, 11, ta có Me bằng 5, Q1 bằng 3 và Q3 bằng 7. Bạn hãy đối chiếu kết quả này với trục số minh họa ở đầu bài: vòng tròn màu đỏ ở giữa ghi số 5 và nhãn Me bằng 5, hai vòng tròn màu xanh lá ở hai bên ghi số 3 với nhãn Q1 bằng 3 và số 7 với nhãn Q3 bằng 7. Ba con số này chia mẫu thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng một số liệu, và bạn có thể thấy ngay rằng một phần tư số liệu thấp nhất nằm dưới 3, một nửa số liệu nằm dưới 5, và ba phần tư số liệu nằm dưới 7.

Ví dụ 2: Cho mẫu số liệu 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Tính trung vị Me và các tứ phân vị Q1, Q3.
Mẫu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Mẫu có 7 số liệu, là số lẻ, nên trung vị là giá trị ở giữa, tức là số liệu thứ 4, và Me bằng 10. Bỏ trung vị ra, nửa dưới của mẫu là 4, 6, 8, nửa trên của mẫu là 12, 14, 16. Q1 là trung vị của nửa dưới, tức là giá trị ở giữa của 4, 6, 8, và bằng 6. Q3 là trung vị của nửa trên, tức là giá trị ở giữa của 12, 14, 16, và bằng 14. Vậy với mẫu này, ta có Me bằng 10, Q1 bằng 6 và Q3 bằng 14. Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách đếm: có một số liệu là 4 nằm dưới Q1, có một số liệu là 8 nằm giữa Q1 và Me, có một số liệu là 12 nằm giữa Me và Q3, và có một số liệu là 16 nằm trên Q3, bốn phần khá đều nhau. Khoảng tứ phân vị của mẫu này là Q3 trừ Q1, tức là 14 trừ 6 bằng 8, cho biết một nửa số liệu ở giữa mẫu trải rộng trong khoảng 8 đơn vị.

Ví dụ 3: Cho mẫu số liệu 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Tính trung vị Me và các tứ phân vị Q1, Q3.
Mẫu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17. Mẫu có 8 số liệu, là số chẵn, nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa, tức là trung bình cộng của số liệu thứ 4 là 9 và số liệu thứ 5 là 11, và Me bằng (9 cộng 11) chia 2 bằng 10. Nửa dưới của mẫu gồm bốn số liệu đầu tiên là 3, 5, 7, 9, và Q1 là trung vị của nửa dưới, tức là trung bình cộng của 5 và 7, bằng (5 cộng 7) chia 2 bằng 6. Nửa trên của mẫu gồm bốn số liệu cuối cùng là 11, 13, 15, 17, và Q3 là trung vị của nửa trên, tức là trung bình cộng của 13 và 15, bằng (13 cộng 15) chia 2 bằng 14. Vậy với mẫu này, ta có Me bằng 10, Q1 bằng 6 và Q3 bằng 14. Bạn hãy chú ý rằng cả ba con số 10, 6 và 14 đều không có mặt trong mẫu ban đầu, vì chúng đều là trung bình cộng của hai số liệu, và điều đó hoàn toàn bình thường khi mẫu có số lượng chẵn. Đây là điểm khác biệt lớn nhất giữa mẫu có số lượng lẻ và mẫu có số lượng chẵn, và bạn phải luôn kiểm tra xem mẫu của mình có bao nhiêu số liệu trước khi quyết định cách tính trung vị.

Ví dụ 4: Một cửa hàng ghi lại số áo bán được trong 11 ngày liên tiếp, theo thứ tự tăng dần là 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110. Tính trung vị Me và các tứ phân vị Q1, Q3 của mẫu này, rồi cho biết khoảng tứ phân vị.
Mẫu đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần và có 11 số liệu, là số lẻ, nên trung vị là giá trị ở giữa, tức là số liệu thứ 6, và Me bằng 60. Bỏ trung vị ra, nửa dưới của mẫu là 10, 20, 30, 40, 50, nửa trên của mẫu là 70, 80, 90, 100, 110. Q1 là trung vị của nửa dưới, tức là giá trị ở giữa của 10, 20, 30, 40, 50, và bằng 30. Q3 là trung vị của nửa trên, tức là giá trị ở giữa của 70, 80, 90, 100, 110, và bằng 90. Vậy với mẫu này, ta có Me bằng 60, Q1 bằng 30 và Q3 bằng 90. Khoảng tứ phân vị là Q3 trừ Q1, tức là 90 trừ 30 bằng 60, cho biết một nửa số ngày ở giữa có số áo bán được trải rộng trong khoảng 60 chiếc. Bạn hãy hình dung ý nghĩa thực tế của ba con số này: một phần tư số ngày cửa hàng bán dưới 30 chiếc áo, một nửa số ngày bán dưới 60 chiếc, và ba phần tư số ngày bán dưới 90 chiếc. Chủ cửa hàng nhìn vào ba con số này sẽ biết ngay ngày bán ế nhất, ngày bán bình thường và ngày bán chạy nhất nằm ở đâu, mà không cần nhìn vào cả bảng số liệu dài dằng dặc.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Quên sắp xếp mẫu số liệu trước khi tìm trung vị.
Nhiều bạn thấy dãy số 7, 3, 11, 2, 5 rồi lấy ngay số ở giữa dãy là 11 làm trung vị, trong khi dãy số đó chưa được sắp xếp. Cách tránh: bạn hãy coi việc sắp xếp là bước bắt buộc đầu tiên, viết dãy số đã sắp xếp ra giấy nháp, đánh số thứ tự cho từng số liệu, rồi mới bắt đầu tìm trung vị. Với dãy số trên, sau khi sắp xếp thành 2, 3, 5, 7, 11, số ở giữa mới là 5, và đó mới là trung vị đúng. Bạn hãy tập thói quen này với mọi bài tập, dù dãy số trông có vẻ đã gần như sắp xếp rồi, vì chỉ một cặp số đứng sai vị trí cũng đủ làm trung vị sai hẳn.

Lỗi 2: Nhầm trung vị với số trung bình.
Nhiều bạn tính trung vị của mẫu 2, 3, 5, 7, 11 bằng cách cộng năm số lại rồi chia cho 5, được 5,6, rồi kết luận trung vị bằng 5,6. Cách tránh: bạn hãy nhớ rằng trung vị là giá trị ở giữa dãy đã sắp xếp, không phải là trung bình cộng của các số liệu. Với mẫu 2, 3, 5, 7, 11, trung vị là 5, còn số trung bình là 5,6, hai con số này khác nhau, và trong nhiều mẫu khác chúng còn khác nhau nhiều hơn nữa, đặc biệt khi mẫu có giá trị bất thường. Khi đề bài hỏi trung vị, bạn tìm vị trí ở giữa; khi đề bài hỏi số trung bình, bạn mới cộng rồi chia.

Lỗi 3: Lấy nhầm nửa dưới và nửa trên khi tìm Q1 và Q3.
Nhiều bạn tính Q1 bằng trung vị của nửa trên và Q3 bằng trung vị của nửa dưới, làm hai con số đổi chỗ cho nhau, hoặc lấy cả trung vị vào trong nửa dưới và nửa trên, làm số lượng mỗi nửa sai đi. Cách tránh: bạn hãy vẽ một đường gạch dọc ngay tại vị trí trung vị, viết chữ dưới ở phía bên trái của đường gạch và chữ trên ở phía bên phải, rồi mới tìm trung vị của từng phía. Khi mẫu có số lượng lẻ, bạn bỏ trung vị ra khỏi cả hai nửa; khi mẫu có số lượng chẵn, bạn chia mẫu thành hai nửa bằng nhau ngay tại điểm giữa. Bạn hãy kiểm tra lại bằng bất đẳng thức Q1 nhỏ hơn hoặc bằng Me nhỏ hơn hoặc bằng Q3, nếu bất đẳng thức này bị vi phạm thì chắc chắn bạn đã lấy nhầm nửa.

Lỗi 4: Quên chia đôi khi mẫu có số lượng chẵn.
Nhiều bạn gặp mẫu có 8 số liệu rồi lấy số liệu thứ 4 làm trung vị, hoặc lấy số liệu thứ 5 làm trung vị, thay vì lấy trung bình cộng của hai số liệu ở giữa. Cách tránh: bạn hãy đếm số lượng số liệu trước tiên, nếu số lượng là chẵn thì bạn phải nhớ ngay rằng trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa, và Q1, Q3 cũng có thể là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa của mỗi nửa. Bạn hãy viết rõ phép tính (9 cộng 11) chia 2 bằng 10 ra giấy nháp, đừng nhẩm trong đầu, vì phép chia đôi này rất dễ bị quên khi bạn đang vội.

Lỗi 5: Nhầm Q1 với giá trị nhỏ nhất và Q3 với giá trị lớn nhất.
Nhiều bạn thấy Q1 là tứ phân vị thứ nhất thì cho rằng nó là giá trị nhỏ nhất của mẫu, và Q3 là tứ phân vị thứ ba thì cho rằng nó là giá trị lớn nhất của mẫu. Cách tránh: bạn hãy nhớ rằng Q1 là giá trị mà một phần tư số liệu nằm dưới nó, còn ba phần tư số liệu nằm trên nó, chứ không phải là giá trị nhỏ nhất. Với mẫu 2, 3, 5, 7, 11, giá trị nhỏ nhất là 2, còn Q1 là 3; giá trị lớn nhất là 11, còn Q3 là 7. Bạn hãy luôn phân biệt bốn con số: giá trị nhỏ nhất, Q1, Q3 và giá trị lớn nhất, vì chúng là bốn mốc khác nhau trên cùng một dãy số đã sắp xếp.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Trước mỗi câu, bạn hãy viết dãy số đã sắp xếp ra giấy nháp, đếm số lượng số liệu, xác định trung vị, rồi mới chia nửa dưới và nửa trên để tìm tứ phân vị.

Câu 1: Cho mẫu số liệu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu bằng bao nhiêu?
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9

Câu 2: Cho mẫu số liệu 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28. Trung vị Me của mẫu bằng bao nhiêu?
A. 12
B. 16
C. 14
D. 20

Câu 3: Cho mẫu số liệu 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Tứ phân vị thứ ba Q3 của mẫu bằng bao nhiêu?
A. 70
B. 80
C. 75
D. 60

Câu 4: Cho mẫu số liệu 2, 4, 6, 8, 10, 12. Trung vị Me của mẫu bằng bao nhiêu?
A. 6
B. 8
C. 9
D. 7

Câu 5: Cho mẫu số liệu 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21. Tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu bằng bao nhiêu?
A. 9
B. 6
C. 12
D. 3

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (3) đúng: Mẫu đã sắp xếp và có 7 số liệu, trung vị là số liệu thứ 4, tức là 7. Bỏ trung vị ra, nửa dưới của mẫu là 1, 3, 5, và Q1 là trung vị của nửa dưới, tức là giá trị ở giữa của 1, 3, 5, bằng 3. Đáp án B (5) sai vì 5 là số liệu lớn nhất của nửa dưới, không phải trung vị của nửa dưới. Đáp án C (7) sai vì 7 là trung vị Me của cả mẫu, không phải Q1. Đáp án D (9) sai vì 9 nằm ở nửa trên của mẫu, không liên quan gì tới Q1.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B (16) đúng: Mẫu đã sắp xếp và có 7 số liệu, trung vị là giá trị ở giữa, tức là số liệu thứ 4, bằng 16. Đáp án A (12) sai vì 12 là số liệu thứ 3, đứng ngay trước trung vị, không phải giá trị ở giữa. Đáp án C (14) sai vì 14 là trung bình cộng của 12 và 16, nhưng mẫu này có số lượng lẻ nên trung vị là một số liệu có thật trong mẫu, không phải trung bình cộng của hai số liệu. Đáp án D (20) sai vì 20 là số liệu thứ 5, đứng ngay sau trung vị, không phải giá trị ở giữa.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C (75) đúng: Mẫu đã sắp xếp và có 9 số liệu, trung vị là số liệu thứ 5, tức là 50. Bỏ trung vị ra, nửa trên của mẫu là 60, 70, 80, 90, và Q3 là trung vị của nửa trên, tức là trung bình cộng của 70 và 80, bằng (70 cộng 80) chia 2 bằng 75. Đáp án A (70) sai vì 70 là số liệu thứ 2 của nửa trên, không phải trung vị của nửa trên, vì nửa trên có 4 số liệu nên trung vị của nó là trung bình cộng của hai số liệu ở giữa. Đáp án B (80) sai vì 80 là số liệu thứ 3 của nửa trên, cũng không phải trung vị của nửa trên. Đáp án D (60) sai vì 60 là số liệu nhỏ nhất của nửa trên, không phải trung vị của nửa trên.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D (7) đúng: Mẫu đã sắp xếp và có 6 số liệu, là số chẵn, nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa, tức là trung bình cộng của số liệu thứ 3 là 6 và số liệu thứ 4 là 8, bằng (6 cộng 8) chia 2 bằng 7. Đáp án A (6) sai vì bạn đã lấy số liệu thứ 3 làm trung vị, quên rằng mẫu có số lượng chẵn nên phải chia đôi. Đáp án B (8) sai vì bạn đã lấy số liệu thứ 4 làm trung vị, cũng quên phải chia đôi. Đáp án C (9) sai vì 9 không có trong mẫu và cũng không phải trung bình cộng của hai số liệu ở giữa, bạn đã tính nhầm phép cộng hoặc phép chia.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B (6) đúng: Mẫu đã sắp xếp và có 7 số liệu, trung vị là số liệu thứ 4, tức là 12. Bỏ trung vị ra, nửa dưới của mẫu là 3, 6, 9, và Q1 là trung vị của nửa dưới, tức là giá trị ở giữa của 3, 6, 9, bằng 6. Đáp án A (9) sai vì 9 là số liệu lớn nhất của nửa dưới, không phải trung vị của nửa dưới. Đáp án C (12) sai vì 12 là trung vị Me của cả mẫu, không phải Q1. Đáp án D (3) sai vì 3 là giá trị nhỏ nhất của mẫu, không phải Q1, vì Q1 là giá trị mà một phần tư số liệu nằm dưới nó, chứ không phải giá trị nhỏ nhất.

Giải đáp nhanh về trung vị và tứ phân vị

Hỏi: Trung vị khác số trung bình ở điểm nào?
Đáp: Số trung bình cộng tất cả các số liệu lại rồi chia cho số lượng số liệu, nên nó bị kéo lệch bởi những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ. Trung vị chỉ lấy giá trị ở giữa dãy đã sắp xếp, nên nó không bị ảnh hưởng bởi một vài giá trị bất thường. Khi mẫu có giá trị bất thường, trung vị đại diện cho mẫu tốt hơn số trung bình; khi mẫu không có giá trị bất thường, hai con số này thường gần nhau.

Hỏi: Vì sao phải sắp xếp mẫu số liệu trước khi tìm trung vị?
Đáp: Vì trung vị được định nghĩa là giá trị ở giữa khi mẫu đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Nếu bạn không sắp xếp, số ở giữa dãy ban đầu chỉ là số ở giữa theo thứ tự ghi chép, không phải số ở giữa theo độ lớn, và nó có thể là bất kì số liệu nào. Bạn hãy luôn viết dãy số đã sắp xếp ra giấy nháp trước khi làm bất kì bước nào khác.

Hỏi: Q2 có phải là trung vị không?
Đáp: Đúng, tứ phân vị thứ hai Q2 chính là trung vị Me, vì cả hai đều là giá trị chia mẫu đã sắp xếp thành hai nửa bằng nhau. Khi bạn đã tìm được Me, bạn đã tìm được Q2, và bạn chỉ cần tìm thêm Q1 và Q3 nữa là đủ bộ ba tứ phân vị. Bạn hãy nhớ thứ tự Q1 nhỏ hơn hoặc bằng Q2 nhỏ hơn hoặc bằng Q3 để kiểm tra lại kết quả của mình.

Hỏi: Khoảng tứ phân vị cho biết điều gì?
Đáp: Khoảng tứ phân vị bằng Q3 trừ Q1, và nó cho biết một nửa số liệu ở giữa mẫu trải rộng tới đâu. Khoảng tứ phân vị càng nhỏ thì số liệu ở giữa mẫu càng tập trung, khoảng tứ phân vị càng lớn thì số liệu ở giữa mẫu càng phân tán. Người ta hay dùng khoảng tứ phân vị cùng với trung vị để mô tả một mẫu số liệu mà không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường, giống như người ta dùng độ lệch chuẩn cùng với số trung bình.

Hỏi: Học trung vị và tứ phân vị để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Trung vị và tứ phân vị là những số đặc trưng đầu tiên mà bạn học để mô tả một mẫu số liệu, và chúng là nền tảng cho biểu đồ hộp mà bạn sẽ học sau này, nơi Q1, Me và Q3 là ba đường kẻ chính của chiếc hộp. Khi bạn học về số quy tròn và số gần đúng, bạn sẽ thấy mình thường phải quy tròn trung vị và tứ phân vị tới một chữ số thập phân cho gọn sau khi tính xong. Nắm chắc cách tìm Me, Q1 và Q3 từ bây giờ sẽ giúp bạn đọc hiểu mọi bảng thống kê, từ bảng điểm của lớp tới báo cáo thu nhập của một khu vực.

Kết luận

Trung vị và tứ phân vị gói gọn trong một trình tự làm việc mà bạn đã luyện qua bốn mẫu số liệu và năm bài tập: sắp xếp mẫu theo thứ tự tăng dần, tìm giá trị ở giữa làm trung vị Me, rồi tìm trung vị của nửa dưới làm Q1 và trung vị của nửa trên làm Q3. Bạn hãy nhớ rằng với mẫu 2, 3, 5, 7, 11, trung vị là 5, tứ phân vị thứ nhất là 3 và tứ phân vị thứ ba là 7, vì 5 đứng ở giữa mẫu, 3 là trung vị của nửa dưới và 7 là trung vị của nửa trên. Bạn cũng hãy nhớ đếm số lượng số liệu trước khi tính, vì mẫu có số lượng lẻ thì trung vị là một số liệu có thật, còn mẫu có số lượng chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai số liệu ở giữa. Làm đúng trình tự đó mỗi lần, bạn sẽ không bao giờ nhầm trung vị với số trung bình, không bao giờ lấy nhầm nửa dưới với nửa trên, và sẽ đọc được câu chuyện mà bất kì mẫu số liệu nào đang kể, từ thời gian chạy của một lớp học tới số áo bán được của một cửa hàng.