Tính số phức bằng máy tính Casio giúp bạn cộng, nhân và tìm mô-đun của các số phức mà không cần nhân từng cặp phần thực và phần ảo bằng tay. Bài viết này hướng dẫn từng bước trên máy tính Casio online fx-580VN X của ClassOn, với hai ví dụ minh họa: một ví dụ nhân hai số phức và một ví dụ cộng hai số phức.
Số phức là số có dạng a + bi, trong đó a là phần thực, b là phần ảo và i là đơn vị ảo thỏa mãn i² = −1. Số phức xuất hiện trong nhiều bài toán: giải phương trình bậc hai có nghiệm phức, biểu diễn dao động và sóng, và mô tả các đại lượng xoay trong mặt phẳng phức. Khi bạn đã quen với cách viết a + bi, các phép cộng và nhân số phức chỉ là việc áp dụng quy tắc phân phối và nhớ rằng i² = −1.
Số phức là gì
Một số phức z = a + bi gồm hai thành phần: phần thực a và phần ảo b. Hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo. Mô-đun của số phức, ký hiệu là |z|, bằng căn bậc hai của a² + b², và nó cho biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng phức. Góc arg của số phức cho biết hướng của điểm đó so với trục thực.
Phép cộng hai số phức rất đơn giản: cộng phần thực với phần thực và cộng phần ảo với phần ảo. Ví dụ, (1 + 2i) + (3 − i) = (1 + 3) + (2 − 1)i = 4 + i. Phép nhân phức tạp hơn một chút vì phải nhân từng cặp rồi gom lại, và phải nhớ đổi dấu ở chỗ có i². Ví dụ, (2 + 3i) × (1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i, vì −3i² = +3.
Điều quan trọng nhất khi làm việc với số phức là không để lẫn phần thực và phần ảo, và không quên rằng i² = −1. Nhiều lỗi sai khi nhân số phức đến từ việc quên đổi dấu ở bước i², hoặc cộng phần thực với phần ảo như thể chúng là cùng một loại số. Hãy viết rõ từng bước ra giấy trước khi bấm máy, nhất là khi phép nhân có nhiều hạng tử.
Chuẩn bị: ghi rõ hai số phức ra giấy
Trước khi bấm máy, hãy viết hai số phức ra giấy theo đúng dạng a + bi. Với ví dụ nhân trong bài này, hai số phức là 2 + 3i và 1 − i. Với ví dụ cộng, hai số phức là 1 + 2i và 3 − i. Việc ghi ra giấy giúp bạn xác định rõ phần thực và phần ảo của từng số, đặc biệt khi một phần ảo là số âm như −i, tức là phần ảo bằng −1 chứ không phải bằng 1.
Bạn cũng nên xác định trước mình muốn tính gì: cộng hay nhân, và muốn đọc thêm mô-đun hay góc của kết quả. Bảng số phức trên ClassOn hiển thị cả kết quả dạng a + bi, mô-đun |z| và góc arg, nên việc xác định trước giúp bạn đọc đúng dòng kết quả thay vì đọc nhầm mô-đun thành đáp án.
Một điểm cần chú ý nữa là cách máy hiển thị số phức: máy hiển thị 5 + 1i thay vì 5 + i, và 4 + 1i thay vì 4 + i. Đây chỉ là cách viết đầy đủ của hệ số 1 trước i, và hai cách viết này là một. Khi trình bày đáp án, bạn có thể viết gọn thành 5 + i và 4 + i như cách viết thông thường trong sách giáo khoa.
Các bước tính số phức trên ClassOn
Trên ClassOn, bạn chỉ cần mở trình duyệt và làm theo từng bước dưới đây, mỗi bước là một thao tác riêng.
Mở trang giả lập fx-580VN X trên trình duyệt.
Chọn chế độ CPLX trong bảng CHẾ ĐỘ.
Nhập số phức thứ nhất vào ô đầu tiên của bảng số phức.
Chọn phép tính trong hộp chọn phép tính: cộng, trừ, nhân hoặc chia.
Nhập số phức thứ hai vào ô thứ hai của bảng số phức.
Nhấn nút Tính.
Đọc kết quả trong ô kết quả của bảng số phức, gồm dạng a + bi, mô-đun |z| và góc arg.
Đối chiếu kết quả với đáp án tính tay của bạn.
Một điểm cần chú ý: trên trang máy tính của ClassOn, phím SHIFT+ENG là phím chuyển chế độ góc DEG, RAD, GRAD, không phải phím nhập i. Vì vậy, khi bạn cần nhập số phức, hãy nhập trực tiếp vào các ô của bảng CPLX thay vì bấm SHIFT+ENG để tìm i trên bàn phím. Việc bấm SHIFT+ENG sẽ chỉ đổi chế độ góc và không thêm i vào màn hình, nên nếu bạn bấm nhầm thì kết quả góc arg có thể thay đổi mà bạn không để ý.
Ví dụ 1: Nhân (2 + 3i) với (1 − i)
Tính tay: áp dụng quy tắc phân phối, (2 + 3i) × (1 − i) = 2×1 + 2×(−i) + 3i×1 + 3i×(−i) = 2 − 2i + 3i − 3i². Vì i² = −1 nên −3i² = +3, và kết quả bằng 2 + i + 3 = 5 + i. Vậy tích bằng 5 + i.
Nhập số phức thứ nhất 2+3i vào ô đầu tiên.
Chọn phép tính nhân trong hộp chọn phép tính.
Nhập số phức thứ hai 1-i vào ô thứ hai.
Nhấn nút Tính.
Kết quả hiển thị là 5+1i, tức là 5 + i, với mô-đun |z| ≈ 5,10 và góc arg ≈ 11,31°.
Kết quả này trùng với kết quả tính tay ở trên. Mô-đun 5,10 cũng có thể kiểm tra bằng tay: căn bậc hai của 5² + 1² bằng căn bậc hai của 26, khoảng 5,099, làm tròn thành 5,10. Việc kiểm tra mô-đun là một cách đối chiếu nhanh rất hữu ích, vì nếu phần thực hoặc phần ảo bị nhập sai thì mô-đun cũng sẽ sai theo.
Ví dụ 2: Cộng (1 + 2i) với (3 − i)
Tính tay: cộng phần thực với phần thực và phần ảo với phần ảo, (1 + 2i) + (3 − i) = (1 + 3) + (2 − 1)i = 4 + i. Vậy tổng bằng 4 + i.
Nhập số phức thứ nhất 1+2i vào ô đầu tiên.
Chọn phép tính cộng trong hộp chọn phép tính.
Nhập số phức thứ hai 3-i vào ô thứ hai.
Nhấn nút Tính.
Kết quả hiển thị là 4+1i, tức là 4 + i, với mô-đun |z| ≈ 4,12 và góc arg ≈ 14,04°.
Kết quả này trùng với kết quả tính tay ở trên. Mô-đun cũng kiểm tra được bằng tay: căn bậc hai của 4² + 1² bằng căn bậc hai của 17, khoảng 4,123, làm tròn thành 4,12. Khi cộng số phức, lỗi phổ biến nhất là cộng phần ảo của số thứ nhất với phần thực của số thứ hai, nên việc kiểm tra mô-đun giúp bạn phát hiện ngay lỗi đó.
Cách kiểm tra lại kết quả số phức
Cách kiểm tra chắc chắn nhất là tính tay lại phép tính, ít nhất là một phần của nó. Với phép cộng, bạn cộng riêng phần thực và phần ảo. Với phép nhân, bạn nhân từng cặp rồi gom lại và nhớ đổi dấu ở chỗ i². Với ví dụ nhân trong bài này, bước kiểm tra quan trọng nhất là −3i² = +3, vì nếu bạn quên đổi dấu thì kết quả sẽ thành 2 + i − 3 = −1 + i, sai hoàn toàn so với đáp án đúng 5 + i.
Sau khi phép tính tay đã đúng, bạn kiểm tra tiếp mô-đun: lấy căn bậc hai của tổng bình phương phần thực và phần ảo rồi đối chiếu với |z| mà máy hiển thị. Nếu mô-đun tay khác mô-đun máy thì một trong hai phần của số phức đã nhập sai, và bạn cần đọc lại từng ô đã nhập.
Một mẹo nữa là kiểm tra góc arg một cách định tính: nếu phần thực và phần ảo đều dương thì góc phải nằm trong khoảng từ 0° tới 90°. Với kết quả 5 + i, góc khoảng 11,31° là hợp lý vì phần ảo nhỏ hơn nhiều so với phần thực. Nếu máy cho góc âm trong khi cả hai phần đều dương thì chắc chắn có lỗi nhập liệu hoặc chế độ góc đã bị đổi.
Những lỗi thường gặp khi tính số phức bằng máy tính
Lỗi thường gặp nhất là quên rằng i² = −1 khi nhân tay để đối chiếu, khiến kết quả kiểm tra sai và bạn tưởng máy sai trong khi thực ra phép tính tay mới sai. Hãy viết rõ bước i² = −1 ra giấy mỗi khi nhân số phức.
Lỗi thứ hai là nhập phần ảo âm thành phần ảo dương, ví dụ nhập 1 + i thay vì 1 − i. Lỗi này làm sai cả kết quả và mô-đun, nên sau khi nhập xong, hãy nhìn lại dấu của từng phần ảo một lần trước khi nhấn Tính.
Lỗi thứ ba là bấm SHIFT+ENG để tìm i trên bàn phím. Như đã lưu ý, trên trang máy tính của ClassOn, phím này chuyển chế độ góc chứ không nhập i, nên bạn sẽ chỉ đổi góc DEG sang RAD hoặc GRAD mà không thêm được i nào. Hãy nhập số phức trực tiếp vào các ô của bảng CPLX.
Lỗi thứ tư là đọc nhầm mô-đun thành đáp án. Đáp án của phép tính số phức là dạng a + bi, còn mô-đun |z| chỉ là một con số thực đi kèm để kiểm tra. Khi đề bài hỏi kết quả phép tính thì bạn trình bày dạng a + bi, không trình bày mô-đun thay cho đáp án.
Mẹo ôn tập với số phức
Hãy luyện tập theo cặp: một bài tính tay hoàn toàn, một bài tính tay rồi dùng máy để đối chiếu. Sau một thời gian, bạn sẽ nhận ra mình nhạy hơn với các số phức đặc biệt, ví dụ số phức liên hợp của a + bi là a − bi, và tích của một số phức với liên hợp của nó luôn là một số thực bằng a² + b².
Bạn cũng có thể tự tạo đề bằng cách chọn trước hai số phức đơn giản rồi tính tổng và tích của chúng. Nhập hai số phức vào máy, nếu máy trả về đúng kết quả bạn tính tay thì bạn đã hiểu đúng quy tắc và nhập đúng phần thực, phần ảo.
Ngoài số phức, máy tính khoa học online trên ClassOn còn hỗ trợ nhiều chế độ khác như phương trình bậc 2, hệ phương trình, ma trận và thống kê, sẽ được hướng dẫn trong các bài tiếp theo của loạt bài này. Thói quen chung vẫn không đổi: ghi rõ phần thực và phần ảo, nhập đúng dấu, đọc kết quả dạng a + bi, rồi kiểm tra lại bằng cách tính tay và đối chiếu mô-đun.
FAQ
Tính số phức bằng máy tính Casio có cần học công thức không?
Có. Máy tính chỉ cho kết quả cuối cùng, còn bài làm tự luận yêu cầu bạn trình bày cách tính. Quy tắc cộng phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo, và quy tắc nhân với i² = −1 là hai kiến thức trình bày chuẩn, và việc hiểu chúng giúp bạn phát hiện lỗi nhập máy nhanh hơn.
Máy hiển thị 5+1i thì đáp án viết thế nào?
Bạn viết gọn thành 5 + i. Cách viết 5+1i của máy chỉ là cách viết đầy đủ hệ số 1 trước i, và hai cách viết này là một. Trong sách giáo khoa, người ta thường bỏ hệ số 1 và viết 5 + i.
Tại sao bấm SHIFT+ENG không ra i?
Vì trên trang máy tính của ClassOn, phím SHIFT+ENG chuyển chế độ góc DEG, RAD, GRAD chứ không nhập i. Để nhập số phức, bạn nhập trực tiếp vào các ô của bảng CPLX sau khi chọn chế độ CPLX.
Mô-đun của số phức dùng để làm gì?
Mô-đun cho biết khoảng cách từ gốc tọa độ tới điểm biểu diễn số phức, và nó là công cụ kiểm tra nhanh kết quả: nếu phần thực hoặc phần ảo bị nhập sai thì mô-đun cũng sai theo. Mô-đun không thay thế đáp án dạng a + bi khi đề bài hỏi kết quả phép tính.
Số phức liên hợp là gì?
Số phức liên hợp của a + bi là a − bi, tức là giữ nguyên phần thực và đổi dấu phần ảo. Tích của một số phức với liên hợp của nó bằng a² + b², luôn là một số thực không âm.