Khi làm bài tập rút gọn biểu thức chứa căn lớp 9, hãy ghi điều kiện xác định trước rồi mới chọn phép biến đổi. Một kết quả nhìn rất gọn vẫn có thể sai nếu bạn bỏ dấu giá trị tuyệt đối hoặc nhận lại giá trị đã bị loại từ đầu. Bài này hướng dẫn năm dạng thường gặp, kèm ví dụ tự biên soạn và sáu câu luyện tập có lời giải để bạn kiểm tra từng bước.
Bạn nên làm theo thứ tự: đọc điều kiện, nhận dạng biểu thức, chọn phép biến đổi, rồi đối chiếu kết quả. Nếu đang ôn kiểm tra, hãy tự làm phần bài tập trước khi mở lời giải; câu làm sai sẽ cho biết chính xác phần kiến thức cần học lại.
Trước khi làm: ba quy tắc cần nhớ
Với căn bậc hai trong phạm vi số thực, biểu thức dưới dấu căn phải không âm. Nếu căn xuất hiện ở mẫu, mẫu còn phải khác không. Khi chia cho một biểu thức, cần kiểm tra biểu thức chia vừa xác định vừa khác không. Đây là ba việc riêng, không nên gộp thành một nhận xét mơ hồ rằng “căn có nghĩa”.
Chẳng hạn, √x xác định khi x ≥ 0; phân thức 1/√x đòi hỏi x > 0; còn 1/(√x − 2) cần x ≥ 0 và x ≠ 4. Khi có nhiều phân thức trong cùng bài, điều kiện chung phải thỏa mãn đồng thời tất cả các yêu cầu đó.
- Với A ≥ 0 và B ≥ 0: √(AB) = √A · √B.
- Với A ≥ 0 và B > 0: √(A/B) = √A/√B.
- Với mọi số thực A: √(A²) = |A|, không phải luôn bằng A.
Không có quy tắc tách căn của một tổng thành tổng các căn. Ví dụ, √(9 + 16) = 5, trong khi √9 + √16 = 7. Nếu một bước biến đổi khiến hai giá trị này bằng nhau, bạn đã dùng nhầm quy tắc ngay trước khi tính toán.
Dạng 1: đưa thừa số ra ngoài căn và gom các căn đồng dạng
Hãy tìm thừa số là số chính phương trong mỗi số dưới căn. Sau khi đưa thừa số ra ngoài, chỉ cộng hoặc trừ những hạng tử có cùng phần căn. Cách này giống gom các đơn thức đồng dạng: hệ số thay đổi, còn phần căn chung được giữ nguyên.
Ví dụ 1. Rút gọn A = 2√75 − √48 + 3√12.
Ta phân tích 75 = 25 · 3, 48 = 16 · 3 và 12 = 4 · 3. Do đó √75 = 5√3, √48 = 4√3 và √12 = 2√3. Thay vào biểu thức, A = 10√3 − 4√3 + 6√3 = 12√3.
Điểm quyết định không phải tính gần đúng từng căn, mà là đưa cả ba về cùng √3. Nếu nhập số thập phân ngay từ đầu, bạn có thể thu được một giá trị gần đúng nhưng khó nhận ra dạng chính xác cần trình bày. Trong bài tự luận, hãy giữ căn thức đến dòng kết quả cuối cùng.
Ngược lại, √2 và √3 không phải hai căn đồng dạng, nên không thể cộng thành √5. Khi không còn thừa số chính phương để đưa ra ngoài và các phần căn khác nhau, việc giữ nguyên tổng có thể đã là kết quả rút gọn phù hợp.
Dạng 2: xử lý căn của một bình phương bằng giá trị tuyệt đối
Đây là dạng dễ mất điểm vì thao tác “bỏ căn, bỏ bình phương” trông có vẻ hợp lý. Tuy nhiên, căn bậc hai số học luôn không âm. Muốn bỏ dấu giá trị tuyệt đối, bạn phải biết biểu thức bên trong mang dấu gì.
Ví dụ 2. Rút gọn B = √((x − 2)²) + x với điều kiện x < 2.
Vì x − 2 < 0 nên |x − 2| = −(x − 2) = 2 − x. Do đó B = 2 − x + x = 2. Điều kiện x < 2 đã giúp chọn đúng nhánh của giá trị tuyệt đối, chứ không phải thông tin phụ có thể bỏ qua.
Thử x = −1, biểu thức ban đầu bằng √9 − 1 = 3 − 1 = 2. Nếu viết sai √((x − 2)²) = x − 2, bạn sẽ nhận B = −4, trái với kết quả tính trực tiếp. Một phép thử đơn giản có thể phát hiện lỗi, nhưng không thay thế lập luận về dấu.
Nếu đề không cho x < 2, cần chia hai trường hợp: khi x ≥ 2 thì B = 2x − 2; khi x < 2 thì B = 2. Tại x = 2, dùng nhánh đầu được B = 2; tính trực tiếp cũng cho √0 + 2 = 2.
Dạng 3: trục căn thức ở mẫu bằng biểu thức liên hợp
Khi mẫu là hiệu hoặc tổng của hai căn, hãy nghĩ đến hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Hai biểu thức √a − √b và √a + √b là một cặp liên hợp; tích của chúng bằng a − b, với các căn đều xác định.
Ví dụ 3. Rút gọn C = 6/(√7 + 1).
Nhân cả tử và mẫu với √7 − 1, ta được C = 6(√7 − 1)/[(√7 + 1)(√7 − 1)] = 6(√7 − 1)/(7 − 1) = √7 − 1. Biểu thức nhân thêm khác không, nên phép biến đổi phân thức hợp lệ.
Không nên chỉ nhân tử số rồi quên mẫu số, hoặc đổi dấu một hạng tử mà không dùng phép nhân. Hãy viết rõ tích hai liên hợp ở ít nhất một dòng. Cách trình bày này làm nổi bật lý do mẫu trở thành một số hữu tỉ và giúp bạn tự kiểm tra dấu.
Với mẫu chứa biến, cần cẩn thận hơn: biểu thức liên hợp có thể bằng không ở một giá trị nào đó. Trước khi nhân rồi chia hoặc rút gọn, kiểm tra điều kiện của từng bước thay vì áp dụng máy móc cách làm của ví dụ chỉ chứa số.
Nếu cần ôn thêm cách chọn biểu thức nhân, xem công thức trục căn thức ở mẫu trước khi làm dạng phân thức có biến.
Dạng 4: rút gọn phân thức chứa căn và giữ nguyên điều kiện
Ví dụ 4. Cho P = [1/(√x − 2) + 1/(√x + 2)] : [√x/(√x + 2)]. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P.
Trước hết x ≥ 0 để √x xác định. Mẫu √x − 2 khác không cho x ≠ 4; mẫu √x + 2 luôn dương khi x ≥ 0. Vì phân thức cuối đóng vai trò số chia, cần √x/(√x + 2) ≠ 0, tức x ≠ 0. Vậy điều kiện chung là x > 0 và x ≠ 4.
Đặt t = √x thì t > 0 và t ≠ 2. Biểu thức trở thành P = [1/(t − 2) + 1/(t + 2)] : [t/(t + 2)]. Việc đặt biến phụ chỉ làm ký hiệu ngắn hơn; không làm thay đổi yêu cầu về điều kiện.
Quy đồng tổng trong ngoặc: 1/(t − 2) + 1/(t + 2) = [(t + 2) + (t − 2)]/[(t − 2)(t + 2)] = 2t/[(t − 2)(t + 2)]. Sau đó đổi phép chia thành nhân nghịch đảo, được P = 2t/[(t − 2)(t + 2)] · (t + 2)/t = 2/(t − 2).
Kết luận: P = 2/(√x − 2), với x > 0 và x ≠ 4. Dù công thức cuối có thể tính được tại x = 0, biểu thức ban đầu không xác định ở đó vì chia cho không. Rút gọn không cho phép mở rộng tập giá trị của biến trong bài toán gốc.
Dạng 5: giải phương trình hoặc xét dấu sau khi rút gọn
Ví dụ 5. Với P ở ví dụ 4, tìm x để P = 1, rồi xác định khi nào P dương.
Từ 2/(√x − 2) = 1, nhân hai vế với mẫu khác không được 2 = √x − 2. Suy ra √x = 4 và x = 16. Giá trị này thỏa mãn x > 0, x ≠ 4, nên được nhận. Thay vào công thức rút gọn cho P = 2/(4 − 2) = 1.
Để xét P > 0, nhận thấy tử số 2 dương nên phân thức dương khi mẫu dương: √x − 2 > 0, tương đương x > 4. Trên khoảng 0 < x < 4, mẫu âm nên P âm. Tại x = 4, P không xác định; không được ghi P bằng không.
Khi giải bất phương trình, không nhân chéo ngay với mẫu chứa biến nếu chưa biết dấu. Nếu mẫu âm, chiều bất đẳng thức phải đổi. Trong ví dụ này, xét dấu trực tiếp ngắn hơn và tránh được lỗi đó.
Sáu bài tự luyện: làm trước khi xem đáp án
- Rút gọn A = √72 − 2√8 + √18.
- Tính B = √((x + 1)²) tại x = −4. Giải thích vì sao không thể thay căn thức bằng x + 1.
- Trục căn thức ở mẫu: C = 4/(√7 − √3).
- Tìm điều kiện và rút gọn Q = (x − 25)/(√x − 5).
- Cho R = [1/(√x − 1) − 1/(√x + 1)] : [1/(√x + 1)]. Tìm điều kiện, rút gọn R và giải R = 2.
- Với biểu thức Q ở câu 4, tìm x để Q = 10. Chú ý kiểm tra lại điều kiện ban đầu.
Lời giải chi tiết và cách tự kiểm tra
Câu 1: đưa về cùng phần căn
Ta có √72 = 6√2, √8 = 2√2 và √18 = 3√2. Vì vậy A = 6√2 − 4√2 + 3√2 = 5√2. Lỗi cần tránh là quên hệ số 2 đứng trước √8; hãy nhân hệ số ngoài căn sau khi rút gọn căn.
Câu 2: căn số học phải không âm
Tại x = −4, x + 1 = −3, nên B = √9 = 3. Công thức đúng là √((x + 1)²) = |x + 1|. Vì x + 1 âm tại giá trị đang xét, ta có |x + 1| = −(x + 1), không phải x + 1.
Câu 3: dùng liên hợp để tạo hiệu hai bình phương
Nhân cả tử và mẫu với √7 + √3: C = 4(√7 + √3)/(7 − 3) = √7 + √3. Mẫu ban đầu khác không vì 7 khác 3. Kết quả là tổng hai căn không đồng dạng, nên không tiếp tục cộng chúng thành một căn mới.
Câu 4: khử nhân tử nhưng không khôi phục điểm bị loại
Điều kiện là x ≥ 0 và x ≠ 25. Do x − 25 = (√x − 5)(√x + 5), ta rút gọn được Q = √x + 5 trên điều kiện ấy. Dòng kết luận vẫn phải giữ x ≠ 25, dù biểu thức √x + 5 đứng riêng xác định tại 25.
Câu 5: kiểm tra cả số chia
Điều kiện của R là x ≥ 0, x ≠ 1. Phân thức 1/(√x + 1) luôn xác định và khác không khi x ≥ 0. Đặt t = √x; hiệu trong ngoặc bằng 2/[(t − 1)(t + 1)]. Nhân với t + 1 cho R = 2/(t − 1). Từ R = 2 suy ra t − 1 = 1, nên t = 2 và x = 4, thỏa mãn điều kiện.
Câu 6: nghiệm của công thức rút gọn chưa chắc là nghiệm bài gốc
Phương trình √x + 5 = 10 cho √x = 5, tức x = 25. Tuy nhiên, câu 4 đã loại x = 25 vì mẫu bằng không. Do đó không có giá trị x thỏa mãn Q = 10. Đây là lý do cần ghi điều kiện trước và kiểm tra lại sau, ngay cả khi phép giải rất ngắn.
Kiểm tra bằng máy tính và học tiếp đúng phần còn yếu
Bạn có thể dùng máy tính Casio online của ClassOn để đối chiếu giá trị trước và sau rút gọn tại một vài điểm hợp lệ. Với ví dụ 4, chọn x = 1 cho P = −2 và x = 9 cho P = 2. Đừng dùng x = 0 hoặc x = 4 vì chúng nằm ngoài điều kiện.
Việc khớp giá trị ở vài điểm chỉ hỗ trợ phát hiện lỗi, không chứng minh hai biểu thức bằng nhau với mọi x. Lời giải đầy đủ vẫn cần các phép biến đổi hợp lệ. Nếu bước biến đổi dẫn đến phương trình bậc hai, bạn có thể học tiếp phương trình bậc hai và công thức nghiệm; luôn đối chiếu nghiệm với điều kiện căn thức ban đầu.
Trước khi nộp bài, hãy kiểm tra ba câu hỏi: mình đã loại mẫu bằng không chưa, đã xử lý đúng giá trị tuyệt đối chưa, và nghiệm cuối có thuộc điều kiện không? Làm chắc ba việc này có ích hơn việc rút ngắn lời giải bằng những bước bỏ qua thiếu căn cứ.