Bạn bấm máy tính 1 chia cho căn 3, máy hiện 0,577350269... — một dãy số thập phân dài vô tận, khó nhớ và khó dùng để tính tiếp. Nhưng nếu bạn viết lại 1/√3 thành √3/3 thì mọi chuyện khác hẳn: √3/3 ≈ 0,577, gọn gàng, dễ cộng trừ với các số khác, và quan trọng nhất là không còn dấu căn nào nằm dưới mẫu nữa. Phép biến đổi "đuổi" căn thức ra khỏi mẫu số đó có tên là trục căn thức ở mẫu — một kĩ năng mà bạn sẽ dùng trong gần như mọi bài rút gọn biểu thức chứa căn của lớp 9.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", trục căn thức ở mẫu nằm trong Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ở Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba. Đây là bài học nối tiếp phép đưa thừa số ra ngoài và đưa thừa số vào trong dấu căn: sau khi bạn đã biết "dọn dẹp" căn thức ở tử số, bây giờ bạn học cách "dọn dẹp" căn thức ở mẫu số. Học xong bài này, bạn sẽ trục được căn thức khỏi mọi dạng mẫu số — từ mẫu chỉ có một căn đơn giản đến mẫu là một tổng có chứa hai căn — và hiểu vì sao người ta gọi biểu thức nhân thêm vào là "biểu thức liên hợp".
1. Trục căn thức ở mẫu là gì? Ba công thức bạn phải thuộc lòng
Trục căn thức ở mẫu là phép biến đổi làm mất căn thức ở mẫu của một biểu thức. Nói cách khác, bạn biến đổi một phân thức có mẫu chứa căn thành một phân thức (hoặc một biểu thức) tương đương mà mẫu không còn chứa căn nữa. Giá trị của biểu thức không đổi — chỉ có hình thức là gọn gàng hơn. Có ba công thức trục căn thức mà bạn phải thuộc lòng, ứng với ba dạng mẫu số thường gặp.
Công thức thứ nhất dùng khi mẫu chỉ có một căn thức đơn giản: với a > 0, ta có 1/√a = √a/a. Cách làm là nhân cả tử và mẫu với chính căn thức đó: 1/√3 = (1 × √3)/(√3 × √3) = √3/3. Mẫu mới là (√3)² = 3 — một số nguyên gọn gàng, không còn dấu căn. Bạn hãy nhớ: nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 thì giá trị phân thức không đổi, nên phép biến đổi này hoàn toàn hợp lệ.
Công thức thứ hai dùng khi mẫu là một tổng hoặc một hiệu có chứa căn: với A ≥ 0 và A ≠ B², ta có 1/(√A + B) = (√A − B)/(A − B²) và 1/(√A − B) = (√A + B)/(A − B²). Cách làm là nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu — tức là biểu thức giống hệt mẫu nhưng đổi dấu ở giữa: liên hợp của √A + B là √A − B, và ngược lại. Khi nhân hai biểu thức liên hợp với nhau, bạn được hằng đẳng thức (√A + B)(√A − B) = A − B² — căn thức biến mất. Ví dụ gốc của bài: 1/(2 + √3) = (2 − √3)/((2 + √3)(2 − √3)) = (2 − √3)/(4 − 3) = 2 − √3. Mẫu trở thành 1 nên phân thức biến thành một biểu thức gọn gàng.
Công thức thứ ba dùng khi mẫu là tổng hoặc hiệu của hai căn thức: với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B, ta có 1/(√A + √B) = (√A − √B)/(A − B) và 1/(√A − √B) = (√A + √B)/(A − B). Cách làm giống hệt công thức thứ hai: nhân với liên hợp rồi dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Ví dụ 1/(√5 + √3) = (√5 − √3)/(5 − 3) = (√5 − √3)/2. Bạn hãy chú ý điều kiện A ≠ B ở đây: nếu A = B thì mẫu mới bằng 0, phép biến đổi vô nghĩa — điều đó cũng đúng thôi, vì khi A = B thì mẫu ban đầu là 2√A, bạn chỉ cần dùng công thức thứ nhất là đủ. Nếu muốn ôn lại hằng đẳng thức hiệu hai bình phương (a + b)(a − b) = a² − b², bạn hãy xem lại bài tính chất của phép nhân các số thực.
2. Vì sao phải nhân với biểu thức liên hợp? Hiểu để không bao giờ quên
Nhiều bạn học thuộc ba công thức trên một cách máy móc rồi hay nhầm lẫn khi làm bài. Bạn hãy hiểu bản chất thì sẽ không bao giờ quên: trục căn thức thực chất là tìm cách biến mẫu số thành một số không chứa căn, mà công cụ duy nhất để làm điều đó là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. Mẫu số có dạng √A + B thì bạn cần nhân với √A − B để tạo ra (√A)² − B² = A − B². Mẫu số có dạng √A + √B thì bạn cần nhân với √A − √B để tạo ra A − B. Mọi công thức trục căn thức đều chỉ là ứng dụng của một ý tưởng duy nhất: nhân mẫu với "người bạn đời" đổi dấu của nó.
Bạn cũng cần hiểu vì sao phải nhân CẢ tử và mẫu, chứ không chỉ nhân mẫu. Một phân thức có giá trị không đổi khi bạn nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 — đó là tính chất cơ bản của phân thức mà bạn đã học từ lớp 8. Nếu bạn chỉ nhân mẫu với liên hợp mà quên nhân tử, bạn đã thay đổi giá trị của biểu thức — bài làm sai hoàn toàn dù các bước còn lại đều đúng. Đây là lỗi "chết người" mà nhiều bạn mắc phải khi làm nhanh. Cách tránh rất đơn giản: mỗi lần trục căn thức, bạn hãy viết rõ cả tử và mẫu sau khi nhân, rồi mới rút gọn.
Một câu hỏi hay gặp nữa là: sau khi trục xong, mẫu mới có thể vẫn còn căn không? Câu trả lời là không — nếu bạn chọn đúng liên hợp thì mẫu mới luôn là một số hoặc một biểu thức không chứa căn. Ví dụ 1/(√7 + 2) nhân với liên hợp (√7 − 2) cho mẫu 7 − 4 = 3. Ví dụ 2/(√11 − √5) nhân với liên hợp (√11 + √5) cho mẫu 11 − 5 = 6. Bạn hãy kiểm tra lại sau mỗi lần trục: mẫu còn dấu căn nào không? Nếu còn thì bạn đã chọn sai liên hợp — hãy làm lại từ đầu. Nếu cần tính nhanh các giá trị căn bậc hai trong những bài này, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
3. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Trục căn thức ở mẫu của 1/√3.
Đây là ví dụ gốc của bài. Mẫu chỉ có một căn thức nên nhân cả tử và mẫu với √3.
1/√3 = (1 × √3)/(√3 × √3) = √3/3.
Vậy 1/√3 = √3/3. Kiểm tra: √3/3 ≈ 1,732/3 ≈ 0,577, còn 1/√3 ≈ 1/1,732 ≈ 0,577 — khớp nhau.
Ví dụ 2 (mẫu là tổng): Trục căn thức ở mẫu của 1/(2 + √3).
Đây là ví dụ gốc thứ hai của bài. Mẫu là tổng nên nhân cả tử và mẫu với liên hợp (2 − √3).
1/(2 + √3) = (2 − √3)/((2 + √3)(2 − √3)) = (2 − √3)/(4 − 3) = (2 − √3)/1 = 2 − √3.
Vậy 1/(2 + √3) = 2 − √3. Bạn thấy không, mẫu biến mất hoàn toàn — kết quả chỉ còn một hiệu gọn gàng.
Ví dụ 3 (tử khác 1): Trục căn thức ở mẫu của 3/(√5 − 2).
Mẫu là hiệu nên nhân cả tử và mẫu với liên hợp (√5 + 2).
3/(√5 − 2) = 3(√5 + 2)/((√5 − 2)(√5 + 2)) = 3(√5 + 2)/(5 − 4) = 3(√5 + 2)/1 = 3√5 + 6.
Vậy 3/(√5 − 2) = 3√5 + 6. Bạn hãy chú ý: tử số 3 cũng được nhân với liên hợp, rồi nhân phân phối vào trong ngoặc.
Ví dụ 4 (mẫu là tổng hai căn): Trục căn thức ở mẫu của 2/(√7 + √3).
Mẫu là tổng hai căn nên nhân cả tử và mẫu với liên hợp (√7 − √3).
2/(√7 + √3) = 2(√7 − √3)/((√7 + √3)(√7 − √3)) = 2(√7 − √3)/(7 − 3) = 2(√7 − √3)/4 = (√7 − √3)/2.
Vậy 2/(√7 + √3) = (√7 − √3)/2. Bạn hãy nhớ rút gọn phân số 2/4 thành 1/2 ở bước cuối — nhiều bạn quên bước này nên đáp án chưa gọn hẳn.
4. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Chỉ nhân mẫu mà quên nhân tử.
Nhiều bạn viết 1/(2 + √3) = 1/((2 + √3)(2 − √3)) = 1 — sai hoàn toàn, vì tử số không được nhân với liên hợp nên giá trị biểu thức đã thay đổi. Cách tránh: mỗi lần trục, bạn hãy viết tử số mới ngay lập tức: 1 × (2 − √3) = 2 − √3, rồi mới tính mẫu số.
Lỗi 2: Nhân với liên hợp sai dấu.
Nhiều bạn trục 1/(√5 − 2) bằng cách nhân với (√5 − 2) — tức là nhân với chính mẫu chứ không phải liên hợp. Kết quả mẫu trở thành (√5 − 2)² = 9 − 4√5, vẫn còn căn. Cách tránh: bạn hãy nhớ liên hợp là "đổi dấu ở giữa": mẫu có dấu trừ thì liên hợp có dấu cộng, mẫu có dấu cộng thì liên hợp có dấu trừ.
Lỗi 3: Tính sai hằng đẳng thức ở mẫu.
Nhiều bạn tính (√5 + √3)(√5 − √3) = 5 − 3 = 2 thì đúng, nhưng nhiều bạn khác lại tính thành √5 − √3 hoặc 5 + 3 = 8. Cách tránh: bạn hãy viết rõ (√A)² = A rồi mới trừ: (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2. Viết rõ từng bước, đừng tính nhẩm gộp.
Lỗi 4: Quên điều kiện mẫu khác 0.
Nhiều bạn trục 1/(√x − 1) mà không ghi điều kiện x ≠ 1. Khi x = 1 thì mẫu ban đầu bằng 0, biểu thức vô nghĩa — phép trục căn thức cũng vô nghĩa theo. Cách tránh: trước khi trục, bạn hãy ghi điều kiện xác định: mẫu số phải khác 0, và các biểu thức dưới dấu căn phải không âm. Nếu muốn ôn lại điều kiện xác định của căn thức, bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm.
Lỗi 5: Trục xong không rút gọn.
Nhiều bạn dừng lại ở 2(√7 − √3)/4 mà không rút gọn thành (√7 − √3)/2. Đáp án chưa gọn hẳn sẽ bị trừ điểm trong bài kiểm tra. Cách tránh: sau khi trục xong, bạn hãy luôn kiểm tra xem tử và mẫu có ước chung nào không, và rút gọn đến khi không rút được nữa.
5. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ viết rõ liên hợp bạn dùng ở mỗi câu — viết rõ liên hợp là một nửa của bài làm.
Câu 1: Trục căn thức ở mẫu của 1/√5 ta được kết quả nào sau đây?
A. 5√5
B. √5/5
C. √5
D. 1/5
Câu 2: Trục căn thức ở mẫu của 1/(√3 + 1) ta được kết quả nào sau đây?
A. (√3 + 1)/2
B. √3 − 1
C. (√3 − 1)/4
D. (√3 − 1)/2
Câu 3: Trục căn thức ở mẫu của 2/(√6 − √2) ta được kết quả nào sau đây?
A. (√6 + √2)/2
B. √6 + √2
C. (√6 − √2)/2
D. (√6 + √2)/4
Câu 4: Trục căn thức ở mẫu của 5/(2 − √3) ta được kết quả nào sau đây?
A. 10 − 5√3
B. 5(2 + √3)/7
C. 10 + 5√3
D. 2 + √3
Câu 5: Trục căn thức ở mẫu của 1/(√x + 1) với x ≥ 0 và x ≠ 1 ta được kết quả nào sau đây?
A. (√x + 1)/(x − 1)
B. (√x − 1)/(x − 1)
C. √x − 1
D. 1/(x − 1)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | D | A | C | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (√5/5) đúng: Nhân cả tử và mẫu với √5: 1/√5 = √5/(√5 × √5) = √5/5. Đáp án A (5√5) sai vì nhân ngược: 1/√5 không thể lớn hơn 1 trong khi 5√5 ≈ 11,18. Đáp án C (√5) sai vì quên chia cho 5 ở mẫu. Đáp án D (1/5) sai vì bỏ mất dấu căn ở tử.
Giải thích Câu 2 — Đáp án D ((√3 − 1)/2) đúng: Nhân cả tử và mẫu với liên hợp (√3 − 1): 1/(√3 + 1) = (√3 − 1)/((√3 + 1)(√3 − 1)) = (√3 − 1)/(3 − 1) = (√3 − 1)/2. Đáp án A ((√3 + 1)/2) sai vì nhân với chính mẫu chứ không phải liên hợp. Đáp án B (√3 − 1) sai vì quên chia cho 2 ở mẫu. Đáp án C ((√3 − 1)/4) sai vì tính mẫu thành 4 thay vì 2.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A ((√6 + √2)/2) đúng: Nhân cả tử và mẫu với liên hợp (√6 + √2): 2/(√6 − √2) = 2(√6 + √2)/((√6 − √2)(√6 + √2)) = 2(√6 + √2)/(6 − 2) = 2(√6 + √2)/4 = (√6 + √2)/2. Đáp án B (√6 + √2) sai vì quên rút gọn 2/4 thành 1/2. Đáp án C ((√6 − √2)/2) sai vì dùng sai liên hợp — mẫu có dấu trừ thì liên hợp phải có dấu cộng. Đáp án D ((√6 + √2)/4) sai vì quên rút gọn phân số 2/4.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C (10 + 5√3) đúng: Nhân cả tử và mẫu với liên hợp (2 + √3): 5/(2 − √3) = 5(2 + √3)/((2 − √3)(2 + √3)) = 5(2 + √3)/(4 − 3) = 5(2 + √3) = 10 + 5√3. Đáp án A (10 − 5√3) sai vì dùng sai liên hợp — mẫu có dấu trừ thì liên hợp phải là (2 + √3). Đáp án B sai vì tính mẫu thành 7 thay vì 1. Đáp án D sai vì bỏ mất hệ số 5.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B ((√x − 1)/(x − 1)) đúng: Nhân cả tử và mẫu với liên hợp (√x − 1): 1/(√x + 1) = (√x − 1)/((√x + 1)(√x − 1)) = (√x − 1)/(x − 1). Đáp án A sai vì nhân với chính mẫu chứ không phải liên hợp. Đáp án C (√x − 1) sai vì quên chia cho (x − 1) ở mẫu. Đáp án D (1/(x − 1)) sai vì bỏ mất tử số sau khi nhân.
6. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Khi nào thì cần trục căn thức ở mẫu?
Đáp: Khi mẫu số của một phân thức chứa căn thức và bạn muốn biểu thức gọn gàng hơn để tính toán tiếp — ví dụ cộng trừ nhiều phân thức, hoặc trình bày đáp án cuối cùng. Trong bài kiểm tra, đáp án có căn ở mẫu thường bị coi là chưa rút gọn hoàn toàn.
Hỏi: Biểu thức liên hợp là gì?
Đáp: Liên hợp của a + b là a − b, và ngược lại. Hai biểu thức liên hợp nhân với nhau cho hiệu hai bình phương a² − b² — nhờ đó căn thức biến mất. Bạn chỉ cần nhớ một quy tắc: đổi dấu ở giữa, giữ nguyên hai đầu.
Hỏi: Mẫu số là một số nguyên thì có cần trục không?
Đáp: Không. Trục căn thức chỉ áp dụng khi mẫu chứa căn thức. Nếu mẫu đã là số nguyên thì biểu thức đã gọn rồi, bạn không cần làm gì thêm.
Hỏi: Có thể trục căn thức ở mẫu của căn bậc ba không?
Đáp: Có, nhưng cách làm phức tạp hơn vì phải dùng hằng đẳng thức lập phương: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Trong chương trình lớp 9, bạn chỉ cần thành thạo trục căn thức bậc hai — trục căn bậc ba sẽ gặp lại ở lớp 11.
Hỏi: Sau khi trục xong, kết quả có đổi giá trị không?
Đáp: Không. Vì bạn nhân cả tử và mẫu với cùng một biểu thức khác 0 nên giá trị của phân thức không đổi. Bạn có thể kiểm tra bằng máy tính: 1/(2 + √3) ≈ 0,268 và 2 − √3 ≈ 0,268 — bằng nhau.
7. Kết luận
Trục căn thức ở mẫu chỉ gói gọn trong một ý tưởng duy nhất: nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu để dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương mà "đuổi" căn thức ra khỏi mẫu số. Ba công thức bạn phải nhớ là 1/√a = √a/a, 1/(√A ± B) = (√A ∓ B)/(A − B²) và 1/(√A ± √B) = (√A ∓ √B)/(A − B). Ba điều bạn phải nhớ là nhân cả tử và mẫu (không được quên tử), chọn đúng liên hợp (đổi dấu ở giữa), và rút gọn đến cùng sau khi trục xong. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để trục căn thức khỏi mọi dạng mẫu số trong chương trình lớp 9 — và bạn cũng đã có trong tay một công cụ để rút gọn mọi biểu thức chứa căn, vì sau khi trục xong thì cộng trừ các phân thức trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Nếu muốn ôn lại phép đưa thừa số vào trong dấu căn — một phép biến đổi cũng dùng để làm gọn biểu thức chứa căn — bạn hãy xem lại bài lũy thừa với số mũ tự nhiên, vì phép bình phương thừa số ở đó cũng là nền tảng của nhiều phép biến đổi căn thức.