Nhà bạn An có một mảnh đất hình vuông, diện tích đúng 49 m². Bố An muốn rào xung quanh mảnh đất, nhưng trước hết cần biết mỗi cạnh dài bao nhiêu mét. Bạn có tính được không? Diện tích hình vuông bằng cạnh nhân cạnh, nên cần tìm một số mà bình phương lên bằng 49. Số 7 bình phương bằng 49 — vậy cạnh mảnh đất dài 7 m. Phép tính "tìm số mà bình phương lên bằng một số cho trước" có một cái tên riêng trong toán học: căn bậc hai. Và vì −7 bình phương cũng bằng 49, người ta còn đặt thêm một quy ước để chỉ lấy đáp số không âm: căn bậc hai số học.
Trong sách giáo khoa Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", Bài 6 của Chương II — Số vô tỉ, căn bậc hai số học — dạy đúng khái niệm này. Căn bậc hai số học là chiếc cầu nối giữa số hữu tỉ và số thực: từ một số quen thuộc như 49, bạn tìm được 7; nhưng từ số 2, bạn lại tìm được √2 — một số thập phân vô hạn không tuần hoàn, tức là một số vô tỉ. Hiểu rõ căn bậc hai số học không chỉ giúp bạn giải bài tập lớp 7, mà còn mở cửa sang cả thế giới số thực: độ dài đường chéo, định lí Pythagore, và rất nhiều bài toán hình học sau này. Bài này ngắn gọn nhưng "đắt giá": chỉ cần nhầm một dấu là mất điểm ngay, vì vậy hãy đọc thật kĩ phần phân biệt căn bậc hai và căn bậc hai số học ở dưới.
1. Căn bậc hai số học là gì? Định nghĩa đúng từng chữ
Căn bậc hai số học của một số a không âm là số x không âm sao cho x² = a. Viết gọn bằng kí hiệu: √a = x ⇔ x ≥ 0 và x² = a (với a ≥ 0). Có ba điều kiện ẩn trong một dòng định nghĩa này, và bạn phải nắm cả ba. Thứ nhất, số a phải không âm — tức là a ≥ 0 — vì không có số nào bình phương lên ra số âm. Thứ hai, kết quả x phải không âm — tức là x ≥ 0 — vì căn bậc hai số học chỉ lấy đáp số không âm. Thứ ba, x bình phương lên phải bằng đúng a. Ví dụ trong brief: √49 = 7 vì 7 ≥ 0 và 7² = 49. Cả ba điều kiện đều thỏa mãn, nên đáp số là 7 — dứt khoát, không có đáp số thứ hai.
Vì sao phải thêm hai chữ "số học"? Vì một số dương có tới HAI căn bậc hai: ví dụ 49 có hai căn bậc hai là 7 và −7, vì cả 7² và (−7)² đều bằng 49. Nhưng khi viết kí hiệu √49, toán học quy ước chỉ lấy số không âm, tức là 7. Nói cách khác: "căn bậc hai" là một khái niệm có hai đáp số, còn "căn bậc hai số học" là đáp số không âm duy nhất trong hai đáp số đó. Kí hiệu √ chỉ bao giờ mang nghĩa căn bậc hai số học — √9 = 3, không bao giờ bằng −3. Đây là điểm mà đề kiểm tra "gài" nhiều nhất: câu hỏi "√9 bằng bao nhiêu?" mà bạn trả lời "±3" là sai ngay, vì √9 chỉ bằng 3. Còn nếu đề hỏi "số nào bình phương bằng 9?" thì đáp số mới là ±3 — hai câu hỏi nghe giống nhau nhưng đáp số khác nhau hoàn toàn.
2. Bảng số chính phương quen thuộc: học thuộc lòng để tính nhẩm
Muốn tìm căn bậc hai số học nhanh, bạn cần thuộc bảng bình phương của các số tự nhiên từ 1 đến 15. Đây là "bảng cửu chương thứ hai" của lớp 7: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9, 4² = 16, 5² = 25, 6² = 36, 7² = 49, 8² = 64, 9² = 81, 10² = 100, 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225. Đọc ngược bảng này lại, bạn có ngay: √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7, √64 = 8, √81 = 9, √100 = 10, √121 = 11, √144 = 12, √169 = 13, √196 = 14, √225 = 15. Thuộc bảng này, bạn tính được hầu hết các bài tập trong sách giáo khoa mà không cần máy tính.
Với những số không nằm trong bảng — ví dụ √2, √3, √5, √7 — đáp số là số vô tỉ, tức là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Bạn không viết được chính xác √2 dưới dạng số thập phân, chỉ có thể viết gần đúng: √2 ≈ 1,414; √3 ≈ 1,732; √5 ≈ 2,236. Trong bài kiểm tra, nếu đề hỏi √2 thì bạn cứ để nguyên kí hiệu √2, đừng cố viết thành số thập phân. Chỉ khi đề yêu cầu "tính gần đúng" thì mới dùng máy tính cầm tay để lấy giá trị xấp xỉ. Một trường hợp đặc biệt cần nhớ: √0 = 0, vì 0 ≥ 0 và 0² = 0. Số 0 là số duy nhất mà căn bậc hai số học của nó bằng chính nó.
3. Số nào không có căn bậc hai số học? Và căn bậc hai của một bình phương
Mọi số âm đều không có căn bậc hai số học. Vì sao? Vì bình phương của bất kì số nào cũng không âm: số dương bình phương ra dương, số âm bình phương cũng ra dương, số 0 bình phương ra 0. Quy tắc dấu này giống hệt quy tắc dấu khi nhân hai số nguyên: âm nhân âm ra dương. Không có số nào bình phương lên ra −25, nên √(−25) là một phép tính vô nghĩa — bạn không được viết nó trong bài làm. Nếu đề bài cho √(−9) thì đáp án đúng là "không tồn tại" hoặc "không có căn bậc hai số học", chứ không phải −3. Nhiều bạn thấy √(−9) liền viết −3 — sai, vì (−3)² = 9 chứ không phải −9. Dấu trừ nằm TRONG dấu căn khác hẳn dấu trừ nằm NGOÀI dấu căn: −√9 = −3 là đúng, còn √(−9) là vô nghĩa.
Một công thức hay gặp nữa: căn bậc hai số học của một bình phương thì bằng giá trị tuyệt đối của số đó, tức là √(a²) = |a|. Ví dụ √((-3)²) = √9 = 3 = |−3|; còn √(3²) = √9 = 3 = |3|. Công thức này giải thích vì sao √((-5)²) bằng 5 chứ không phải −5: căn bậc hai số học không bao giờ âm. Bạn cũng cần biết hai tính chất thường dùng khi tính toán: √(a · b) = √a · √b và √(a/b) = √a/√b (với a, b không âm, b khác 0). Ví dụ √36 = √(4 · 9) = √4 · √9 = 2 · 3 = 6; √(25/16) = √25/√16 = 5/4. Hai tính chất này giúp bạn tách một căn "xấu" thành tích của các căn "đẹp" — rất hữu ích khi rút gọn biểu thức có căn.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai số học của 49.
Lời giải: Cần tìm số x ≥ 0 sao cho x² = 49. Vì 7 ≥ 0 và 7² = 49 nên √49 = 7. Lưu ý: −7 cũng thỏa mãn (−7)² = 49, nhưng −7 nhỏ hơn 0 nên không phải là căn bậc hai số học. Đáp số duy nhất là 7.
Ví dụ 2. Tìm x không âm biết x² = 81.
Lời giải: x là căn bậc hai số học của 81, tức là x = √81. Vì 9 ≥ 0 và 9² = 81 nên x = 9. Nếu đề bài không thêm điều kiện "x không âm" thì phương trình x² = 81 có hai nghiệm x = 9 và x = −9 — nhưng ở đây đề đã giới hạn x không âm nên chỉ còn một nghiệm.
Ví dụ 3. Tính √144 + √25.
Lời giải: √144 = 12 vì 12² = 144; √25 = 5 vì 5² = 25. Vậy √144 + √25 = 12 + 5 = 17. Bạn nào viết √(144 + 25) = √169 = 13 là sai — căn của một tổng không bằng tổng các căn. Muốn cộng hai căn, phải tính giá trị từng căn rồi mới cộng.
Ví dụ 4. Một mảnh đất hình vuông có diện tích 121 m². Hỏi mỗi cạnh của mảnh đất dài bao nhiêu mét?
Lời giải: Gọi độ dài cạnh là x (m), x lớn hơn 0. Diện tích hình vuông là x² = 121, nên x = √121 = 11 vì 11² = 121. Vậy mỗi cạnh dài 11 m. Kiểm tra: 11 × 11 = 121 — đúng. Dạng bài "cho diện tích, tìm cạnh" này chính là ứng dụng thực tế đầu tiên của căn bậc hai số học mà bạn gặp trong chương trình.
5. Lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất: viết √9 = ±3. Sai — căn bậc hai số học chỉ lấy đáp số không âm, nên √9 = 3. Dấu ± chỉ xuất hiện khi giải phương trình x² = 9, còn kí hiệu √9 thì luôn bằng 3.
Lỗi thứ hai: tưởng số âm có căn bậc hai số học. Viết √(−25) = −5 là sai hoàn toàn; số −25 không có căn bậc hai số học vì không có số nào bình phương lên bằng −25. Đáp án đúng là "không tồn tại".
Lỗi thứ ba: cộng hai căn bằng cách cộng trong căn. Viết √9 + √16 = √(9 + 16) = √25 = 5 là sai; đáp án đúng là √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Căn của một tổng không bằng tổng các căn — muốn cộng thì tính từng căn rồi mới cộng.
Lỗi thứ tư: tưởng √(a²) = a với mọi a. Viết √((-3)²) = −3 là sai; đáp án đúng là √((-3)²) = √9 = 3. Công thức đúng là √(a²) = |a| — khi a âm thì kết quả là số đối của a, tức là số dương.
Lỗi thứ năm: nhầm căn bậc hai số học với nghiệm của phương trình x² = a. Đề hỏi "√49 bằng bao nhiêu?" mà trả lời "7 và −7" là sai; đề hỏi "tìm x biết x² = 49" mà trả lời chỉ "x = 7" thì thiếu nghiệm x = −7. Đọc kĩ đề hỏi gì trước khi viết đáp số.
6. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính √64.
A. 8
B. −8
C. ±8
D. 32
Câu 2. Số nào sau đây KHÔNG có căn bậc hai số học?
A. 0
B. −9
C. 25
D. 1
Câu 3. Tính √100 − √36.
A. 6
B. 4
C. 8
D. 64
Câu 4. Tìm x không âm biết x² = 49.
A. −7
B. 14
C. 7
D. 24,5
Câu 5. Một mảnh đất hình vuông có diện tích 169 m². Mỗi cạnh của mảnh đất dài bao nhiêu mét?
A. 14 m
B. 12 m
C. 84,5 m
D. 13 m
7. Bảng đáp án và lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | B | C | D |
Câu 1 — Đáp án A. √64 = 8 vì 8 ≥ 0 và 8² = 64. Đáp án B sai vì căn bậc hai số học không bao giờ âm. Đáp án C sai vì kí hiệu √64 chỉ lấy đáp số không âm — dấu ± chỉ dùng khi giải phương trình x² = 64. Đáp án D sai vì lấy 64 : 2 = 32 — nhầm căn bậc hai với chia đôi.
Câu 2 — Đáp án B. Số −9 là số âm nên không có căn bậc hai số học, vì không có số nào bình phương lên bằng −9. Đáp án A sai vì 0 có căn bậc hai số học: √0 = 0. Đáp án C sai vì √25 = 5. Đáp án D sai vì √1 = 1.
Câu 3 — Đáp án B. √100 = 10 vì 10² = 100; √36 = 6 vì 6² = 36. Vậy √100 − √36 = 10 − 6 = 4. Đáp án A sai vì lấy 10 − 6 = 4 rồi viết nhầm thành 6. Đáp án C sai vì lấy 10 − 6 rồi cộng thêm 4 một cách vô căn cứ. Đáp án D sai vì lấy 100 − 36 = 64 — đó là hiệu của hai số trong căn, không phải hiệu của hai căn.
Câu 4 — Đáp án C. x là số không âm thỏa mãn x² = 49, tức là x = √49 = 7. Đáp án A sai vì đề đã giới hạn x không âm nên −7 bị loại. Đáp án B sai vì lấy 49 : 7 = 7 rồi viết nhầm thành 14. Đáp án D sai vì lấy 49 : 2 = 24,5 — nhầm căn bậc hai với chia đôi.
Câu 5 — Đáp án D. Gọi cạnh mảnh đất là x (m), x lớn hơn 0. Diện tích x² = 169 nên x = √169 = 13 vì 13² = 169. Vậy mỗi cạnh dài 13 m. Đáp án A sai vì 14² = 196, không phải 169. Đáp án B sai vì 12² = 144, không phải 169. Đáp án C sai vì lấy 169 : 2 = 84,5 — nhầm căn bậc hai với chia đôi.
8. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: √9 = 3 hay ±3?
Đáp: √9 = 3. Kí hiệu căn bậc hai √ chỉ mang nghĩa căn bậc hai số học, tức là đáp số không âm duy nhất. Dấu ± chỉ xuất hiện khi bạn giải phương trình x² = 9, lúc đó x = 3 hoặc x = −3.
Hỏi: Số âm có căn bậc hai không?
Đáp: Không có căn bậc hai số học, vì bình phương của bất kì số nào cũng không âm. Trong chương trình phổ thông, bạn coi √(−9) là phép tính không tồn tại. Lưu ý phân biệt với −√9 = −3 — dấu trừ ở ngoài dấu căn thì tính được bình thường.
Hỏi: √2 bằng bao nhiêu? Vì sao không viết được chính xác?
Đáp: √2 là một số vô tỉ, tức là số thập phân vô hạn không tuần hoàn, nên không viết được chính xác dưới dạng số thập phân. Bạn cứ để nguyên kí hiệu √2 trong bài làm, hoặc lấy gần đúng √2 ≈ 1,414 khi đề yêu cầu tính gần đúng bằng máy tính cầm tay.
Hỏi: √(a + b) có bằng √a + √b không?
Đáp: Không. Ví dụ √9 + √16 = 3 + 4 = 7, còn √(9 + 16) = √25 = 5. Hai kết quả khác nhau. Muốn cộng hai căn, bạn phải tính giá trị từng căn rồi mới cộng — không được gộp vào trong một dấu căn.
Hỏi: Học căn bậc hai số học để làm gì?
Đáp: Để tìm cạnh hình vuông khi biết diện tích, tìm độ dài đường chéo khi biết hai cạnh góc vuông (định lí Pythagore), và để làm quen với số vô tỉ — nửa còn lại của tập số thực. Sau này, mọi bài toán về khoảng cách và độ dài đều cần đến căn bậc hai.
9. Kết luận
Căn bậc hai số học của một số a không âm là số x không âm sao cho x² = a — ba điều kiện a ≥ 0, x ≥ 0 và x² = a phải nhớ cùng một lúc. Thuộc bảng bình phương từ 1² đến 15², bạn sẽ tính nhẩm được hầu hết các căn trong sách giáo khoa; gặp số không chính phương thì cứ để nguyên kí hiệu √, đó là số vô tỉ. Và nhớ kĩ hai cái bẫy lớn nhất: √a không bao giờ âm, số âm không có căn bậc hai số học. Hãy làm lại 5 bài tập ở trên, đặc biệt là câu 2 và câu 4 vì chúng kiểm tra đúng hai chỗ dễ nhầm nhất của bài này. Khi cần tính gần đúng một căn "xấu" như √2 hay √7, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn. Ở bài tiếp theo, chúng ta sẽ mở rộng mọi tính chất của phép cộng và phép trừ sang tập số thực — nơi mà số hữu tỉ và số vô tỉ cùng chung sống trong một tập hợp duy nhất.