Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, hình vuông lớp 9

Bạn hãy lấy một khung ảnh hình chữ nhật trên tường nhà mình và nhìn thật kĩ bốn góc của nó. Nếu bạn vẽ một đường tròn đi qua cả bốn góc ấy, bạn sẽ thấy một điều rất đẹp: tâm của đường tròn nằm đúng ở điểm hai đường chéo của khung ảnh cắt nhau, và bán kính của nó bằng đúng một nửa độ dài đường chéo. Không cần đo đạc cầu kì, không cần compa xoay nhiều lần — chỉ cần biết độ dài đường chéo là bạn biết ngay bán kính. Bài này sẽ cho bạn công thức ngắn gọn đó, cùng cách tính đường chéo bằng định lí Pythagore mà bạn đã thuộc nằm lòng từ lớp 8.

Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và hình vuông là một trong những hình đẹp nhất của chương đường tròn lớp 9, vì nó nối ba mảng kiến thức lại với nhau: tính chất góc vuông, định lí Pythagore và tính chất đường tròn. Chỉ cần nắm chắc một công thức duy nhất — bán kính bằng một nửa đường chéo — bạn sẽ giải được mọi bài toán dạng này, từ tính bán kính khi biết cạnh cho tới bài toán ngược là tìm cạnh khi biết bán kính. Bạn hãy đọc chậm từng ví dụ, làm thử 5 bài tập ở cuối bài, và đối chiếu với bảng đáp án có giải thích cặn kẽ.

1. Đường tròn ngoại tiếp là gì? Vì sao tâm nằm ở giao điểm hai đường chéo?

Đường tròn ngoại tiếp một đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó. Muốn vẽ được đường tròn ngoại tiếp, bạn cần tìm một điểm cách đều tất cả các đỉnh — điểm đó chính là tâm của đường tròn, và khoảng cách từ tâm tới mỗi đỉnh chính là bán kính. Với hình chữ nhật và hình vuông, điểm cách đều bốn đỉnh luôn tồn tại và rất dễ tìm: đó là giao điểm của hai đường chéo.

Vì sao giao điểm hai đường chéo lại cách đều bốn đỉnh? Bạn hãy nhớ hai tính chất đã học. Thứ nhất, hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi giao điểm là O, bốn đỉnh là A, B, C, D thì OA = OB = OC = OD và mỗi đoạn bằng một nửa đường chéo. Thứ hai, hình vuông là trường hợp riêng của hình chữ nhật nên cũng có đầy đủ tính chất này. Vì vậy mọi hình chữ nhật và mọi hình vuông đều có đường tròn ngoại tiếp, tâm là giao điểm hai đường chéo.

Từ đó ta có công thức duy nhất của bài này: bán kính R của đường tròn ngoại tiếp bằng một nửa độ dài đường chéo. Viết gọn lại: R bằng một nửa đường chéo. Với hình chữ nhật có hai cạnh a và b, đường chéo tính bằng định lí Pythagore: đường chéo bằng căn bậc hai của a bình phương cộng b bình phương. Với hình vuông cạnh a, đường chéo bằng a nhân căn 2, nên bán kính bằng a nhân căn 2 rồi chia 2. Bạn hãy nhớ kĩ: bán kính bằng MỘT NỬA đường chéo, không phải bằng cả đường chéo — đây là chỗ nhiều bạn mất điểm nhất.

Để tính nhanh, bạn hãy thuộc lòng vài bộ ba Pythagore quen thuộc: 3 – 4 – 5, 5 – 12 – 13, 6 – 8 – 10, 9 – 12 – 15. Khi gặp hình chữ nhật có hai cạnh là 6 và 8, bạn biết ngay đường chéo bằng 10 mà không cần bấm máy tính, và bán kính bằng 5. Khi gặp hình vuông cạnh 4, bạn biết ngay đường chéo bằng 4 căn 2, bán kính bằng 2 căn 2. Những con số đẹp này xuất hiện rất nhiều trong đề kiểm tra, vì người ra đề thích chọn số liệu cho ra kết quả gọn.

Một lưu ý nhỏ nhưng quan trọng: công thức này chỉ đúng với hình chữ nhật và hình vuông, vì chỉ hai hình này mới có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm. Hình bình hành thường không có đường tròn ngoại tiếp, vì hai đường chéo của nó không bằng nhau nên không có điểm nào cách đều bốn đỉnh. Hình thang cũng vậy, trừ hình thang cân là trường hợp đặc biệt có đường tròn ngoại tiếp. Khi làm bài, bạn hãy kiểm tra xem tứ giác đã cho có phải hình chữ nhật hay hình vuông không trước khi áp dụng công thức.

2. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (hình vuông): Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh 4.
Trước hết bạn tính đường chéo của hình vuông. Đường chéo bằng cạnh nhân căn 2, tức là 4 nhân căn 2, bằng 4√2. Sau đó bạn áp dụng công thức: bán kính bằng một nửa đường chéo, tức là 4√2 chia 2 bằng 2√2. Tính gần đúng: căn 2 xấp xỉ 1,41 nên 2√2 xấp xỉ 2,83. Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh 4 bằng 2√2, khoảng 2,83. Bạn hãy chú ý: đáp án đẹp nhất là để dạng 2√2, chỉ làm tròn khi đề bài yêu cầu lấy gần đúng.

Ví dụ 2 (hình chữ nhật): Hình chữ nhật có hai cạnh 6 và 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Bạn tính đường chéo bằng định lí Pythagore: đường chéo bằng căn bậc hai của 6 bình phương cộng 8 bình phương, tức là căn bậc hai của 36 cộng 64 bằng căn bậc hai của 100 bằng 10. Bán kính bằng một nửa đường chéo, tức là 10 chia 2 bằng 5. Vậy bán kính bằng 5. Đây là ví dụ kinh điển của bộ ba 6 – 8 – 10, và bạn nên nhận ra ngay đáp án 5 mà không cần tính dài dòng. Nếu muốn kiểm tra lại phép tính đường chéo, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 3 (hình chữ nhật): Hình chữ nhật có hai cạnh 5 và 12. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Đường chéo bằng căn bậc hai của 5 bình phương cộng 12 bình phương, tức là căn bậc hai của 25 cộng 144 bằng căn bậc hai của 169 bằng 13. Bán kính bằng 13 chia 2 bằng 6,5. Vậy bán kính bằng 6,5. Bộ ba 5 – 12 – 13 là một trong những bộ ba Pythagore hay gặp nhất trong đề thi, bạn hãy ghi nhớ nó cùng với bộ ba 3 – 4 – 5 và 6 – 8 – 10 để tính nhanh trong phòng thi.

Ví dụ 4 (bài toán ngược): Hình vuông có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5√2. Tính cạnh của hình vuông.
Đây là bài toán ngược: bạn biết bán kính, cần tìm cạnh. Trước hết bạn suy ra đường chéo: đường chéo bằng hai lần bán kính, tức là 2 nhân 5√2 bằng 10√2. Với hình vuông cạnh a, đường chéo bằng a nhân căn 2, nên a bằng đường chéo chia căn 2, tức là 10√2 chia √2 bằng 10. Vậy cạnh hình vuông bằng 10. Bạn hãy kiểm tra lại: hình vuông cạnh 10 có đường chéo 10√2, bán kính bằng một nửa đường chéo là 5√2 — đúng với đề bài. Cách làm ngược này rất hay xuất hiện trong các bài toán tổng hợp, nên bạn hãy luyện cho thành thạo. Nếu muốn ôn lại cách tính đường chéo bằng định lí Pythagore, bạn hãy xem lại bài hệ thức lượng trong tam giác vuông.

3. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Lấy cả đường chéo làm bán kính.
Nhiều bạn tính đúng đường chéo bằng 10 rồi viết ngay bán kính bằng 10, quên mất phải chia 2. Đây là lỗi mất điểm oan nhất của bài này, vì mọi bước tính trước đó đều đúng. Cách tránh: mỗi lần tính xong đường chéo, bạn hãy tự hỏi "đề hỏi bán kính hay hỏi đường chéo?" rồi mới viết đáp án. Bạn cũng có thể viết công thức R bằng một nửa đường chéo ra giấy nháp ngay từ đầu để nhắc mình.

Lỗi 2: Tính đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2.
Nhiều bạn nhớ mang máng đường chéo gấp đôi cạnh nên viết đường chéo hình vuông cạnh 4 bằng 8. Sai hoàn toàn: đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân căn 2, tức là 4√2 khoảng 5,66 — nhỏ hơn 8 rất nhiều. Cách tránh: bạn hãy nhớ đường chéo là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng cạnh hình vuông, nên phải dùng định lí Pythagore: căn bậc hai của a bình phương cộng a bình phương bằng a căn 2.

Lỗi 3: Tính đường chéo hình chữ nhật bằng tổng hai cạnh.
Nhiều bạn viết đường chéo hình chữ nhật 6 và 8 bằng 6 cộng 8 bằng 14. Sai: đường chéo là cạnh huyền, phải tính bằng căn bậc hai của tổng hai bình phương, tức là căn bậc hai của 100 bằng 10. Cách tránh: bạn hãy vẽ tam giác vuông tạo bởi hai cạnh và đường chéo ra giấy nháp, ghi rõ đâu là cạnh huyền, rồi mới áp dụng định lí Pythagore.

Lỗi 4: Áp dụng công thức cho hình bình hành thường.
Nhiều bạn thấy tứ giác nào cũng vẽ đường tròn ngoại tiếp rồi lấy nửa đường chéo làm bán kính. Nhưng hình bình hành thường không có điểm nào cách đều bốn đỉnh, nên không có đường tròn ngoại tiếp. Cách tránh: trước khi áp dụng công thức, bạn hãy kiểm tra tứ giác có phải hình chữ nhật hay hình vuông không. Chỉ hai hình này mới chắc chắn có đường tròn ngoại tiếp với tâm là giao điểm hai đường chéo.

Lỗi 5: Làm tròn quá sớm khi tính gần đúng.
Nhiều bạn lấy căn 2 bằng 1,4 ngay từ đầu rồi tính 2 nhân 1,4 bằng 2,8, trong khi đáp án chính xác là 2√2 khoảng 2,83. Sai số tuy nhỏ nhưng đủ để mất điểm ở bài trắc nghiệm có đáp án gần nhau. Cách tránh: bạn hãy giữ nguyên dạng căn thức trong suốt quá trình tính, chỉ làm tròn ở bước cuối cùng, và lấy căn 2 xấp xỉ 1,41 thay vì 1,4.

4. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính đường chéo trước, rồi mới lấy một nửa làm bán kính — và giữ nguyên dạng căn thức cho tới bước cuối cùng.

Câu 1: Hình vuông cạnh 6 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu?
A. 6
B. 3√2
C. 3
D. 12

Câu 2: Hình chữ nhật có hai cạnh 3 và 4. Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 3,5
C. 2,5
D. 7

Câu 3: Hình vuông có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5√2. Cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?
A. 10
B. 5
C. 5√2
D. 20

Câu 4: Hình chữ nhật có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 13 và một cạnh bằng 10. Cạnh còn lại bằng bao nhiêu?
A. 12
B. 16
C. 22
D. 24

Câu 5: Khẳng định nào sau đây SAI?
A. Tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo
B. Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng a
C. Mọi hình chữ nhật đều có đường tròn ngoại tiếp
D. Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng một nửa độ dài đường chéo

Giải thích Câu 1 — Đáp án B (3√2) đúng: Đường chéo hình vuông cạnh 6 bằng 6√2, bán kính bằng một nửa đường chéo là 3√2. Đáp án A (6) sai vì 6 là độ dài cạnh, không phải bán kính. Đáp án C (3) sai vì bạn đã lấy một nửa cạnh thay vì một nửa đường chéo. Đáp án D (12) sai vì 12 gấp đôi đường chéo, không liên quan gì tới bán kính.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (2,5) đúng: Đường chéo bằng căn bậc hai của 3 bình phương cộng 4 bình phương bằng căn bậc hai của 25 bằng 5, bán kính bằng 5 chia 2 bằng 2,5. Đáp án A (5) sai vì 5 là đường chéo, bạn quên chia 2. Đáp án B (3,5) sai vì 3,5 là trung bình cộng của 3 và 4, không phải bán kính. Đáp án D (7) sai vì 7 là tổng hai cạnh, không liên quan gì tới đường chéo.

Giải thích Câu 3 — Đáp án A (10) đúng: Đường chéo bằng hai lần bán kính là 10√2, cạnh hình vuông bằng đường chéo chia căn 2 là 10. Đáp án B (5) sai vì 5 là một nửa của 10, bạn đã chia thêm một lần nữa. Đáp án C (5√2) sai vì đó là bán kính, không phải cạnh. Đáp án D (20) sai vì 20 gấp đôi cạnh đúng.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D (24) đúng: Đường chéo bằng hai lần bán kính là 26, cạnh còn lại bằng căn bậc hai của 26 bình phương trừ 10 bình phương, tức là căn bậc hai của 676 trừ 100 bằng căn bậc hai của 576 bằng 24. Đáp án A (12) sai vì 12 là một nửa của 24. Đáp án B (16) sai vì 16 bình phương cộng 10 bình phương bằng 356, không phải 676. Đáp án C (22) sai vì 22 bình phương cộng 10 bình phương bằng 584, không phải 676.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B sai: Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a bằng a√2 chia 2, tức là a chia căn 2, chứ không phải bằng a. Đáp án A đúng vì hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm nên giao điểm cách đều bốn đỉnh. Đáp án C đúng vì mọi hình chữ nhật đều có hai đường chéo bằng nhau. Đáp án D đúng vì đó chính là công thức của bài này.

5. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Vì sao mọi hình chữ nhật đều có đường tròn ngoại tiếp, còn hình bình hành thường thì không?
Đáp: Vì đường tròn ngoại tiếp cần một điểm cách đều bốn đỉnh. Ở hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm nên giao điểm của chúng cách đều bốn đỉnh — đó chính là tâm. Ở hình bình hành thường, hai đường chéo không bằng nhau, nên giao điểm của chúng gần hai đỉnh này hơn hai đỉnh kia, không có điểm nào cách đều cả bốn đỉnh. Muốn một tứ giác có đường tròn ngoại tiếp, nó phải thỏa mãn điều kiện tổng hai góc đối bằng 180 độ — hình chữ nhật thỏa mãn vì mỗi góc bằng 90 độ, còn hình bình hành thường thì không.

Hỏi: Tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông có phải là giao điểm hai đường chéo không?
Đáp: Đúng. Hình vuông là trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật nên có đầy đủ tính chất của hình chữ nhật: hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm. Giao điểm hai đường chéo cách đều bốn đỉnh và chính là tâm đường tròn ngoại tiếp. Thêm nữa, vì hai đường chéo của hình vuông còn là đường phân giác của các góc nên tâm cũng là giao điểm của các đường phân giác — nhưng trong bài toán tính bán kính, bạn chỉ cần nhớ tâm là giao điểm hai đường chéo là đủ.

Hỏi: Biết bán kính thì tìm cạnh hình chữ nhật như thế nào khi chỉ biết một cạnh?
Đáp: Bạn làm ngược lại ba bước. Bước một, tính đường chéo bằng hai lần bán kính. Bước hai, áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông tạo bởi hai cạnh và đường chéo: cạnh chưa biết bằng căn bậc hai của bình phương đường chéo trừ bình phương cạnh đã biết. Bước ba, kiểm tra lại bằng cách tính đường chéo từ hai cạnh vừa tìm được — nếu khớp với đường chéo ở bước một thì đáp án đúng. Ví dụ bán kính bằng 13 và một cạnh bằng 10 thì đường chéo bằng 26, cạnh còn lại bằng căn bậc hai của 676 trừ 100 bằng 24.

Hỏi: Có thể tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật bằng cách khác không?
Đáp: Có, nhưng cách dùng đường chéo là nhanh nhất. Một cách khác là dùng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn: vì mỗi góc của hình chữ nhật bằng 90 độ nên mỗi cạnh đối diện với góc vuông ấy phải là đường kính của đường tròn ngoại tiếp — mà cạnh đối diện góc vuông chính là đường chéo. Vậy đường chéo là đường kính, bán kính bằng một nửa đường kính, tức là một nửa đường chéo. Hai cách nói khác nhau nhưng cùng về một công thức. Nếu muốn ôn lại quan hệ giữa góc nội tiếp và đường kính, bạn hãy xem lại bài số đo góc nội tiếp của đường tròn và các bài về đường tròn trong cùng chương.

Hỏi: Công thức này dùng để làm gì trong đời sống và trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Trong đời sống, khi bạn cần khoét một lỗ tròn vừa khít một tấm bảng hình chữ nhật, hay làm một khung tròn ôm vừa một bức tranh hình vuông, bạn cần biết bán kính đường tròn ngoại tiếp — đó chính là một nửa đường chéo. Trong chương trình lớp 9, công thức này là bước đệm để học đường tròn ngoại tiếp tam giác và các bài toán tổng hợp về đường tròn. Lên lớp 10, bạn sẽ gặp lại nó trong hình học tọa độ khi viết phương trình đường tròn ngoại tiếp. Nắm chắc công thức một nửa đường chéo hôm nay, bạn sẽ thấy mọi bài sau đều nhẹ nhàng hơn.

6. Kết luận

Bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật và hình vuông chỉ gói gọn trong một công thức: R bằng một nửa độ dài đường chéo. Đường chéo tính bằng định lí Pythagore — với hình chữ nhật hai cạnh a và b thì đường chéo bằng căn bậc hai của a bình phương cộng b bình phương, với hình vuông cạnh a thì đường chéo bằng a nhân căn 2. Tâm của đường tròn là giao điểm hai đường chéo, vì điểm đó cách đều bốn đỉnh. Bạn hãy thuộc lòng vài bộ ba Pythagore quen thuộc như 3 – 4 – 5, 5 – 12 – 13 và 6 – 8 – 10 để tính nhanh, giữ nguyên dạng căn thức cho tới bước cuối cùng, và luôn tự hỏi "đề hỏi bán kính hay đường chéo?" trước khi viết đáp án. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán về đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật và hình vuông trong chương trình lớp 9.