Người ta muốn biết chiều cao của một ngọn tháp cổ mà không được trèo lên, cũng không đo được bóng của nó vì tháp đứng giữa quảng trường. Các kĩ sư làm thế này: họ đứng ở hai điểm cách nhau một khoảng đã biết trên mặt đất, ngắm lên đỉnh tháp và đo hai góc ngắm, rồi dùng tam giác vuông để tính ra chiều cao. Nhưng trước khi tính được chiều cao, họ phải thuộc lòng năm hệ thức nối cạnh huyền, hai cạnh góc vuông, đường cao và hai hình chiếu với nhau. Năm hệ thức ấy — gọi chung là hệ thức lượng trong tam giác vuông — chính là nội dung của bài hôm nay.
Bài này sẽ cho bạn năm chiếc chìa khóa mở mọi tam giác vuông có đường cao. Bạn sẽ học cách gọi tên sáu đoạn thẳng trong hình vẽ, thuộc năm hệ thức và hiểu vì sao chúng đúng nhờ ba cặp tam giác đồng dạng, rồi luyện bốn ví dụ tính từng bước — trong đó có ví dụ gốc với hai hình chiếu 4 và 9 — năm lỗi sai thường gặp, năm bài tập trắc nghiệm có giải thích cặn kẽ và năm câu hỏi thường gặp. Bạn cần nắm vững định lí Pythagore và hai bài về cạnh và góc trước đó, vì hệ thức lượng chính là bước phát triển tiếp theo của chúng: liên hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông và liên hệ giữa hai cạnh góc vuông.
1. Gọi tên sáu đoạn thẳng trong hình vẽ
Bạn hãy vẽ tam giác ABC vuông tại A, rồi từ đỉnh A kẻ đường cao AH xuống cạnh huyền BC, với H là chân đường cao. Lúc này trong hình có sáu đoạn thẳng mà bạn phải gọi tên thật chính xác trước khi dùng bất kì hệ thức nào. Cạnh huyền BC = a là cạnh dài nhất. Hai cạnh góc vuông: AC = b và AB = c. Đường cao AH = h là đoạn vuông góc từ A xuống BC. Chân đường cao H chia cạnh huyền thành hai đoạn: BH = c' là hình chiếu của cạnh AB lên cạnh huyền, CH = b' là hình chiếu của cạnh AC lên cạnh huyền. Bạn hãy nhớ quy luật đặt dấu phẩy: hình chiếu của cạnh nào thì mang dấu phẩy của cạnh đó — cạnh b chiếu thành b', cạnh c chiếu thành c'.
Có một chi tiết rất dễ nhầm mà bạn phải khắc cốt ghi tâm: hình chiếu BH nằm kề với cạnh AB, còn hình chiếu CH nằm kề với cạnh AC. Tức là BH = c' kề với c, CH = b' kề với b. Nhiều bạn cứ tưởng hình chiếu nào gần đỉnh B thì là của cạnh b, nhưng thực ra ngược lại: đoạn BH kề đỉnh B lại là hình chiếu của cạnh AB = c. Bạn hãy vẽ hình và tô màu: tô cạnh AB và đoạn BH cùng một màu, tô cạnh AC và đoạn CH cùng một màu khác. Nhìn hình tô màu vài lần, bạn sẽ không bao giờ ghép nhầm cạnh với hình chiếu nữa. Và bạn hãy nhớ thêm một hệ thức hiển nhiên nhưng rất hay dùng: a = b' + c', tức là cạnh huyền bằng tổng hai hình chiếu, vì H nằm giữa B và C.
| Kí hiệu | Đoạn thẳng | Tên gọi |
|---|---|---|
| a | BC | Cạnh huyền |
| b | AC | Cạnh góc vuông đối diện góc B |
| c | AB | Cạnh góc vuông đối diện góc C |
| h | AH | Đường cao ứng với cạnh huyền |
| b' | CH | Hình chiếu của cạnh b lên cạnh huyền |
| c' | BH | Hình chiếu của cạnh c lên cạnh huyền |
2. Năm hệ thức cần thuộc lòng
Năm hệ thức lượng trong tam giác vuông là năm đẳng thức nối sáu đoạn thẳng trên với nhau. Hệ thức thứ nhất: bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân hình chiếu của chính cạnh đó — b² = a·b' và c² = a·c'. Hệ thức thứ hai: bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu — h² = b'·c'. Hệ thức thứ ba: cạnh huyền nhân đường cao bằng tích hai cạnh góc vuông — a·h = b·c. Hệ thức thứ tư: nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông — 1/h² = 1/b² + 1/c². Hệ thức thứ năm, như đã nói ở trên: a = b' + c'. Cộng thêm định lí Pythagore a² = b² + c², bạn có đủ sáu đẳng thức để tính mọi đoạn khi biết hai đoạn bất kì.
| Hệ thức | Công thức | Dùng khi đề cho |
|---|---|---|
| Cạnh góc vuông – hình chiếu | b² = a·b', c² = a·c' | Cạnh huyền và một hình chiếu |
| Đường cao – hình chiếu | h² = b'·c' | Hai hình chiếu |
| Cạnh huyền – đường cao | a·h = b·c | Hai cạnh góc vuông |
| Nghịch đảo bình phương | 1/h² = 1/b² + 1/c² | Hai cạnh góc vuông, chỉ cần h |
| Cạnh huyền – hình chiếu | a = b' + c' | Hai hình chiếu |
Bạn hãy học năm hệ thức theo ý nghĩa hình học, đừng học vẹt từng chữ cái. Hệ thức thứ nhất nói: cạnh góc vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hình chiếu của nó. Hệ thức thứ hai nói: đường cao là trung bình nhân của hai hình chiếu. Hệ thức thứ ba nói: hai cách tính diện tích tam giác phải bằng nhau — lấy cạnh huyền làm đáy thì diện tích bằng a·h/2, lấy hai cạnh góc vuông làm đáy và cao thì diện tích bằng b·c/2, nên a·h = b·c. Hệ thức thứ tư suy ra từ hệ thức thứ ba kết hợp với định lí Pythagore. Khi bạn hiểu ý nghĩa của từng hệ thức, bạn sẽ tự chọn đúng hệ thức theo dữ kiện đề bài cho, giống như thợ khóa nhìn ổ khóa là biết chọn chìa nào.
3. Vì sao năm hệ thức đúng? Ba cặp tam giác đồng dạng
Tất cả năm hệ thức đều suy ra từ một sự thật đẹp đẽ: khi bạn kẻ đường cao AH, tam giác ABC bị chia thành ba tam giác vuông đồng dạng với nhau — tam giác ABC, tam giác HBA và tam giác HAC. Vì sao đồng dạng? Tam giác HBA và tam giác ABC cùng có một góc vuông và chung góc B, nên đồng dạng theo trường hợp góc – góc. Tam giác HAC và tam giác ABC cùng có một góc vuông và chung góc C, nên cũng đồng dạng. Từ ba cặp đồng dạng, bạn viết tỉ lệ thức giữa các cạnh tương ứng rồi nhân chéo là ra các hệ thức.
Bạn hãy xem một ví dụ chứng minh: từ cặp tam giác ABC đồng dạng với HAC, bạn có tỉ lệ AC/BC = HC/AC, tức là b/a = b'/b, nhân chéo thì được b² = a·b'. Từ cặp HBA đồng dạng với HAC, bạn có tỉ lệ AH/HB = HC/AH, tức là h/c' = b'/h, nhân chéo thì được h² = b'·c'. Các hệ thức còn lại chứng minh tương tự. Bạn không cần thuộc lòng từng bước chứng minh để làm bài tập, nhưng hiểu được nguồn gốc này giúp bạn nhớ lâu hơn rất nhiều: mỗi hệ thức chỉ là một tỉ lệ thức của hai tam giác đồng dạng viết dưới dạng khác. Và bạn cũng hiểu điều kiện áp dụng: H phải là chân đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông, tam giác phải vuông — nếu H không phải chân đường cao hoặc tam giác không vuông, các hệ thức không còn đúng nữa. Khi cần tính nhanh căn bậc hai hay các phép tính với số lớn trong bài hệ thức lượng, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (ví dụ gốc): Hình chiếu b' = 4, c' = 9, tính đường cao h và các cạnh còn lại.
Bước đầu tiên, bạn tính cạnh huyền: a = b' + c' = 4 + 9 = 13. Bước thứ hai, bạn tính đường cao bằng hệ thức h² = b'·c' = 4·9 = 36, nên h = 6. Bước thứ ba, bạn tính cạnh b bằng hệ thức b² = a·b' = 13·4 = 52, nên b = √52 = 2√13 ≈ 7,21. Bước thứ tư, bạn tính cạnh c bằng hệ thức c² = a·c' = 13·9 = 117, nên c = √117 = 3√13 ≈ 10,82. Bạn kiểm tra lại bằng định lí Pythagore: b² + c² = 52 + 117 = 169 = 13² = a², khớp hoàn toàn. Một bài toán, bốn bước, năm hệ thức phối hợp nhịp nhàng — bạn hãy tập làm theo đúng thứ tự này: tính a trước, rồi h, rồi b, c, cuối cùng kiểm tra bằng Pythagore.
Ví dụ 2: Cạnh huyền a = 10, hình chiếu b' = 3,6, tính cạnh b và đường cao h.
Bạn tính cạnh b trước: b² = a·b' = 10·3,6 = 36, nên b = 6. Bạn tính hình chiếu còn lại: c' = a − b' = 10 − 3,6 = 6,4. Rồi bạn tính đường cao: h² = b'·c' = 3,6·6,4 = 23,04, nên h = 4,8. Bạn kiểm tra bằng hệ thức a·h = b·c: cạnh c tính được từ c² = a·c' = 10·6,4 = 64 nên c = 8; vế trái a·h = 10·4,8 = 48, vế phải b·c = 6·8 = 48, khớp nhau. Bạn hãy để ý bộ ba số 6 – 8 – 10 là bộ ba Pythagore quen thuộc, và đường cao 4,8 cũng là một số đẹp — đề bài thường được ra với những số đẹp như vậy để bạn tính tay thuận lợi.
Ví dụ 3: Hai cạnh góc vuông b = 6, c = 8, tính đường cao h.
Bạn có hai cách. Cách thứ nhất: tính cạnh huyền bằng Pythagore, a² = b² + c² = 36 + 64 = 100 nên a = 10, rồi dùng hệ thức a·h = b·c, tức là 10·h = 6·8 = 48, nên h = 4,8. Cách thứ hai: dùng thẳng hệ thức nghịch đảo 1/h² = 1/b² + 1/c² = 1/36 + 1/64 = (16 + 9)/576 = 25/576, nên h² = 576/25 và h = 24/5 = 4,8. Hai cách cho cùng một kết quả. Bạn hãy nhớ: hệ thức nghịch đảo sinh ra chính là để tính nhanh đường cao khi biết hai cạnh góc vuông mà không cần tính cạnh huyền trước — nhưng cách thứ nhất dễ hiểu hơn, bạn hãy dùng cách nào mình thấy chắc chắn hơn.
Ví dụ 4: Đường cao h = 12, hình chiếu b' = 9, tính cạnh huyền a và cạnh b.
Bạn dùng hệ thức h² = b'·c' để tìm hình chiếu còn lại: 144 = 9·c', nên c' = 16. Rồi bạn tính cạnh huyền: a = b' + c' = 9 + 16 = 25. Cuối cùng bạn tính cạnh b: b² = a·b' = 25·9 = 225, nên b = 15. Bạn kiểm tra: cạnh c tính được từ c² = a·c' = 25·16 = 400 nên c = 20; bộ ba 15 – 20 – 25 là bộ ba Pythagore (gấp 5 lần bộ 3 – 4 – 5), và a·h = 25·12 = 300 bằng b·c = 15·20 = 300, khớp hoàn toàn. Bạn hãy tập thói quen kiểm tra chéo bằng một hệ thức khác sau mỗi bài tính — nó giúp bạn tự tin ghi đáp án mà không phải lo lắng.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Ghép cạnh góc vuông với hình chiếu của cạnh kia.
Đây là lỗi phổ biến nhất của bài này: bạn viết b² = a·c' thay vì b² = a·b'. Sai một chữ cái mà kết quả lệch hoàn toàn. Cách tránh: bạn hãy tô màu như đã dặn ở mục 1 — cạnh AB và đoạn BH cùng một màu, cạnh AC và đoạn CH cùng một màu khác. Mỗi lần viết hệ thức, bạn nhìn vào hình tô màu để kiểm tra: cạnh b đi với hình chiếu nào cùng màu với nó? Đó chính là b'. Bạn làm vậy vài lần thì phản xạ sẽ hình thành.
Lỗi 2: Viết h² = b' + c' thay vì h² = b'·c'.
Nhiều bạn nhớ mang máng đường cao liên quan tới hai hình chiếu nhưng viết thành tổng thay vì tích. Cách tránh: bạn hãy nhớ h là trung bình nhân của hai hình chiếu, mà trung bình nhân thì dùng phép nhân, không dùng phép cộng. Bạn kiểm tra nhanh bằng ví dụ gốc: b' = 4, c' = 9, nếu cộng thì h² = 13, h ≈ 3,61; nếu nhân thì h² = 36, h = 6. Bạn hãy nhẩm một ví dụ số đẹp như vậy để kiểm tra công thức mỗi khi nghi ngờ.
Lỗi 3: Quên lấy căn bậc hai ở bước cuối.
Nhiều bạn tính được b² = 52 rồi ghi đáp án b = 52, quên mất phải lấy căn bậc hai để được b = 2√13. Cách tránh: sau khi tính ra bình phương của một đoạn, bạn hãy tự hỏi: "đề hỏi đoạn thẳng hay bình phương của nó?" Đề hỏi đoạn thẳng thì bạn phải lấy căn. Bạn hãy viết thêm một dòng riêng cho bước lấy căn, đừng gộp chung với bước tính bình phương, thì sẽ không bao giờ quên nữa.
Lỗi 4: Áp dụng hệ thức khi H không phải là chân đường cao.
Nhiều bạn thấy trong hình có một điểm H trên cạnh huyền là áp dụng ngay hệ thức, mà không kiểm tra H có phải là chân đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông hay không. Cách tránh: trước khi dùng hệ thức, bạn hãy kiểm tra hai điều kiện: tam giác phải vuông tại A, và AH phải vuông góc với BC. Nếu một trong hai điều kiện thiếu, bạn phải dùng công cụ khác — ví dụ định lí Pythagore hoặc tỉ số lượng giác. Bạn hãy đọc kĩ giả thiết của đề bài trước khi chọn công thức.
Lỗi 5: Tính đường cao lớn hơn nửa cạnh huyền mà không kiểm tra.
Nhiều bạn tính ra h = 8 trong khi a = 10 mà vẫn ghi đáp án. Nhưng đường cao ứng với cạnh huyền không bao giờ vượt quá nửa cạnh huyền, vì đỉnh A nằm trên đường tròn đường kính BC nên khoảng cách từ A tới BC lớn nhất bằng bán kính, tức là a/2. Cách tránh: sau khi tính h, bạn hãy so sánh với a/2 — nếu h lớn hơn a/2 thì chắc chắn bạn đã tính sai, hãy tính lại ngay. Phép kiểm tra này chỉ mất hai giây nhưng cứu được cả bài làm.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ ghép đúng cạnh với hình chiếu của nó trước khi viết hệ thức — ghép đúng là một nửa của bài làm.
Câu 1: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, hình chiếu BH = 9, CH = 4. Độ dài đường cao AH bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 6
C. 13
D. 36
Câu 2: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, cạnh huyền BC = 10, hình chiếu CH = 3,6. Độ dài cạnh AC bằng bao nhiêu?
A. 3,6
B. 10
C. 6
D. 60
Câu 3: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, hai cạnh góc vuông AB = 8, AC = 6. Độ dài đường cao AH bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 4,8
C. 6
D. 10
Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, hai cạnh góc vuông AB = 4, AC = 3. Độ dài đường cao AH bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 12
C. 2,4
D. 7
Câu 5: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, cạnh huyền BC = 25, hình chiếu BH = 16. Độ dài cạnh AB bằng bao nhiêu?
A. 20
B. 16
C. 25
D. 4
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | B | C | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (6) đúng: Đường cao AH² = BH·CH = 9·4 = 36, nên AH = 6. Đáp án A (5) sai vì 5 = (9 + 4)/2 − 1,5, không có cơ sở nào — bạn đã nhầm tích thành tổng rồi tính sai. Đáp án C (13) sai vì 13 = 9 + 4 là độ dài cạnh huyền BC, không phải đường cao. Đáp án D (36) sai vì 36 là AH², bạn đã quên lấy căn bậc hai ở bước cuối.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (6) đúng: Cạnh AC² = BC·CH = 10·3,6 = 36, nên AC = 6. Đáp án A (3,6) sai vì 3,6 là hình chiếu CH, không phải cạnh AC. Đáp án B (10) sai vì 10 là cạnh huyền BC. Đáp án D (60) sai vì 60 = 10·6, bạn đã nhân cạnh huyền với đáp án đúng — không có cơ sở nào.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (4,8) đúng: Cạnh huyền BC² = 8² + 6² = 100 nên BC = 10; hệ thức BC·AH = AB·AC, tức là 10·AH = 8·6 = 48, nên AH = 4,8. Đáp án A (5) sai vì 5 = (8 + 6)/2 − 2, không có cơ sở nào — bạn đã đoán mò. Đáp án C (6) sai vì 6 là cạnh AC đã cho, không phải đường cao. Đáp án D (10) sai vì 10 là cạnh huyền BC.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C (2,4) đúng: Dùng hệ thức nghịch đảo: 1/AH² = 1/AB² + 1/AC² = 1/16 + 1/9 = 25/144, nên AH² = 144/25 và AH = 12/5 = 2,4. Đáp án A (5) sai vì 5 là cạnh huyền BC = √(16 + 9) — bạn đã tính cạnh huyền thay vì đường cao. Đáp án B (12) sai vì 12 = 4·3 là tích hai cạnh góc vuông, không phải đường cao. Đáp án D (7) sai vì 7 = 4 + 3 là tổng hai cạnh góc vuông, không có cơ sở nào.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (20) đúng: Cạnh AB² = BC·BH = 25·16 = 400, nên AB = 20. Đáp án B (16) sai vì 16 là hình chiếu BH, không phải cạnh AB. Đáp án C (25) sai vì 25 là cạnh huyền BC. Đáp án D (4) sai vì 4 = √16, bạn đã lấy căn của hình chiếu thay vì lấy căn của tích BC·BH.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Biết hai đoạn bất kì trong sáu đoạn thì tính được tất cả các đoạn còn lại không?
Đáp: Hầu như là được, vì bạn có sáu đẳng thức nối sáu đoạn với nhau. Ví dụ biết hai hình chiếu thì tính được cạnh huyền bằng tổng, đường cao bằng căn của tích, rồi tính hai cạnh góc vuông bằng hệ thức cạnh – hình chiếu. Nhưng có một ngoại lệ: nếu hai đoạn bạn biết là một cạnh góc vuông và hình chiếu của chính nó thì bạn vẫn tính được cạnh huyền, nhưng nếu bạn chỉ biết hai cạnh góc vuông thì bạn tính đường cao bằng hệ thức a·h = b·c sau khi tính cạnh huyền bằng Pythagore. Bạn hãy tập liệt kê các hệ thức có thể dùng từ hai dữ kiện đã cho, rồi chọn hệ thức dẫn tới đáp án nhanh nhất.
Hỏi: Hệ thức lượng và tỉ số lượng giác khác nhau ở điểm nào?
Đáp: Hệ thức lượng nối các đoạn thẳng với nhau — cạnh, đường cao, hình chiếu — không có góc nào trong đó. Tỉ số lượng giác nối cạnh với góc nhọn. Khi đề cho góc, bạn dùng tỉ số lượng giác; khi đề cho đường cao hoặc hình chiếu, bạn dùng hệ thức lượng. Hai công cụ này bổ sung cho nhau và thường xuất hiện cùng nhau trong một bài toán: bạn dùng hệ thức lượng để tính cạnh, rồi dùng tỉ số lượng giác để tính góc, hoặc ngược lại. Nếu muốn ôn lại, bạn hãy xem lại bài tỉ số lượng giác của góc nhọn và bài hai tam giác bằng nhau để nắm vững nền tảng đồng dạng.
Hỏi: Vì sao đường cao không bao giờ vượt quá nửa cạnh huyền?
Đáp: Vì đỉnh A của tam giác vuông nằm trên đường tròn có đường kính là cạnh huyền BC. Đường cao AH là khoảng cách từ A tới đường kính BC, mà khoảng cách lớn nhất từ một điểm trên đường tròn tới đường kính chính là bán kính, tức là a/2. Đường cao chỉ bằng a/2 khi tam giác vuông cân tại A. Bạn hãy dùng tính chất này để kiểm tra kết quả: nếu tính ra h lớn hơn a/2 thì chắc chắn bạn đã sai ở đâu đó.
Hỏi: Có cần thuộc cả hệ thức nghịch đảo 1/h² = 1/b² + 1/c² không?
Đáp: Có, vì nó giúp bạn tính nhanh đường cao khi chỉ biết hai cạnh góc vuông mà không cần tính cạnh huyền trước. Nhưng nếu bạn quên, bạn vẫn làm được bằng cách tính cạnh huyền bằng Pythagore rồi dùng hệ thức a·h = b·c. Hệ thức nghịch đảo chỉ là con đường tắt, không phải con đường duy nhất. Bạn hãy thuộc nó để làm bài trắc nghiệm nhanh hơn, nhưng đừng lo lắng nếu lỡ quên — đường dài vẫn tới đích.
Hỏi: Hệ thức lượng dùng để làm gì trong đời sống?
Đáp: Để tính những đoạn thẳng không đo trực tiếp được khi biết một vài đoạn khác. Ví dụ các kĩ sư đo chiều cao tháp bằng cách đo hai hình chiếu trên mặt đất rồi dùng h² = b'·c' để tính chiều cao. Trong xây dựng, người ta dùng hệ thức lượng để kiểm tra góc vuông của tường và sàn: nếu ba cạnh không thỏa mãn Pythagore và các hệ thức thì góc chưa vuông. Bạn sẽ gặp lại các hệ thức này trong bài về đường tròn, vì đường kính và dây cung cũng tuân theo những quy luật tương tự.
8. Kết luận
Năm hệ thức lượng trong tam giác vuông — b² = a·b', c² = a·c', h² = b'·c', a·h = b·c, 1/h² = 1/b² + 1/c², cùng với a = b' + c' và định lí Pythagore — là bộ công cụ hoàn chỉnh để tính mọi đoạn thẳng trong tam giác vuông có đường cao. Bạn hãy nhớ ba thói quen vàng: gọi tên sáu đoạn thật chính xác, ghép đúng cạnh với hình chiếu của nó, và kiểm tra chéo bằng một hệ thức khác sau khi tính xong. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm trọn năm chiếc chìa khóa này. Bài tiếp theo sẽ đưa bạn sang một thế giới khác — thế giới của hàm số, nơi bạn không còn tính cạnh và góc nữa, mà xét xem một hàm số đi lên hay đi xuống khi biến số tăng dần.