Hai tam giác bằng nhau: công thức và bài tập lớp 7

Bạn hãy lấy một tờ giấy, vẽ một hình tam giác lên đó rồi cắt ra. Bây giờ bạn vẽ thêm một hình tam giác nữa — đúng y hệt hình vừa cắt, từ độ dài từng cạnh cho tới độ lớn từng góc — rồi cắt ra và đặt chồng lên hình đầu tiên. Hai hình sẽ khớp với nhau hoàn toàn, không thừa ra một milimét nào, không lệch đi một độ nào. Hai hình tam giác như vậy được gọi là hai tam giác bằng nhau, và bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ chúng bằng nhau theo nghĩa nào, làm sao để viết kí hiệu cho đúng, và cách dùng tính chất của chúng để tính cạnh, tính góc nhanh hơn cả khi dùng thước đo.

Trong chương trình Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", hai tam giác bằng nhau nằm trong Chương IV: Tam giác bằng nhau, ở Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất (cạnh – cạnh – cạnh). Đây là bài mở đầu của cả chương, và nó quan trọng hơn bạn tưởng: mọi bài chứng minh tam giác bằng nhau sau này — từ cạnh – góc – cạnh cho tới các trường hợp của tam giác vuông — đều quay về định nghĩa ở bài này. Học chắc bài này, bạn sẽ có trong tay một chiếc chìa khóa mở được gần như mọi bài toán hình học của học kì 1 lớp 7.

1. Hai tam giác bằng nhau là gì? Đặt chồng khít lên nhau

Bạn hãy tưởng tượng hai hình tam giác được cắt bằng giấy cứng. Nếu bạn đặt hình này lên trên hình kia mà chúng khớp nhau hoàn toàn — ba đỉnh trùng với ba đỉnh, ba cạnh trùng với ba cạnh — thì hai hình tam giác đó bằng nhau. Định nghĩa trong sách giáo khoa cũng nói đúng như vậy: hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Chỉ khi cả sáu yếu tố — ba cạnh và ba góc — đều bằng nhau từng đôi một thì hai tam giác mới được gọi là bằng nhau.

Bạn hãy để ý cụm từ "tương ứng". Hai tam giác bằng nhau không có nghĩa là cạnh nào cũng bằng cạnh nào một cách lộn xộn. Mỗi cạnh của tam giác này chỉ bằng đúng một cạnh của tam giác kia — cạnh tương ứng với nó. Tương tự, mỗi góc của tam giác này chỉ bằng đúng một góc của tam giác kia — góc tương ứng với nó. Cạnh tương ứng là hai cạnh nằm ở vị trí giống nhau trong hai tam giác, ví dụ cạnh đối diện với góc lớn nhất của tam giác này tương ứng với cạnh đối diện với góc lớn nhất của tam giác kia.

Một cách nhớ rất trực quan: bạn hãy đặt hai tam giác chồng khít lên nhau rồi đánh dấu các đỉnh trùng nhau. Đỉnh nào trùng với đỉnh nào thì hai đỉnh đó tương ứng với nhau. Cạnh nối hai đỉnh này tương ứng với cạnh nối hai đỉnh kia. Góc ở đỉnh này tương ứng với góc ở đỉnh kia. Toàn bộ bài học về hai tam giác bằng nhau thực chất chỉ xoay quanh việc xác định đúng các cặp tương ứng này.

2. Công thức của hai tam giác bằng nhau: sáu cặp bằng nhau

Giả sử tam giác ABC bằng tam giác DEF, viết là △ABC = △DEF. Khi đó bạn có ngay sáu cặp bằng nhau, chia thành hai nhóm. Nhóm cạnh: AB = DE, BC = EF, CA = FD. Nhóm góc: góc A = góc D, góc B = góc E, góc C = góc F. Bạn hãy nhìn kĩ thứ tự các chữ cái: đỉnh A đứng đầu trong tam giác ABC thì tương ứng với đỉnh D đứng đầu trong tam giác DEF; đỉnh B ở giữa tương ứng với đỉnh E ở giữa; đỉnh C ở cuối tương ứng với đỉnh F ở cuối. Thứ tự viết các đỉnh trong kí hiệu chính là bản đồ chỉ ra cặp tương ứng nào với cặp nào.

Đây cũng là lí do vì sao thứ tự đỉnh trong kí hiệu hai tam giác bằng nhau lại quan trọng đến vậy. Viết △ABC = △DEF khác hoàn toàn với viết △ABC = △DFE. Ở cách viết thứ hai, đỉnh A tương ứng với đỉnh D, đỉnh B tương ứng với đỉnh F, đỉnh C tương ứng với đỉnh E — tức là AB = DF, BC = FE, CA = ED. Cùng một cặp tam giác, chỉ đổi thứ tự ba chữ cái mà toàn bộ các cặp tương ứng đã khác hẳn. Trong bài kiểm tra, rất nhiều bạn mất điểm chỉ vì viết sai thứ tự đỉnh, dù đã chứng minh đúng hai tam giác bằng nhau.

Bạn hãy ghi nhớ một mẹo nhỏ: khi viết kí hiệu hai tam giác bằng nhau, bạn hãy viết tên tam giác thứ nhất trước, rồi viết tên tam giác thứ hai sao cho các đỉnh tương ứng đứng cùng một vị trí. Đỉnh thứ nhất của tam giác này tương ứng với đỉnh thứ nhất của tam giác kia, đỉnh thứ hai tương ứng với đỉnh thứ hai, đỉnh thứ ba tương ứng với đỉnh thứ ba. Mẹo này nghe thì đơn giản, nhưng nó cứu bạn khỏi phần lớn các lỗi sai trong chương này.

3. Từ hai tam giác bằng nhau, bạn suy ra được những gì?

Khi đã biết hai tam giác bằng nhau, bạn có thể suy ra ngay số đo của bất kì cạnh hay góc nào còn thiếu, miễn là bạn biết số đo của cạnh hay góc tương ứng với nó. Ví dụ: biết △ABC = △DEF và AB = 5 cm thì bạn biết ngay DE = 5 cm mà không cần đo. Biết góc A bằng 60° thì bạn biết ngay góc D bằng 60°. Đây là cách dùng phổ biến nhất của tính chất hai tam giác bằng nhau trong bài tập: đề bài cho hai tam giác bằng nhau, hỏi một cạnh hoặc một góc, bạn chỉ cần tìm ra cạnh hoặc góc tương ứng với nó.

Bạn còn suy ra được cả chu vi. Hai tam giác bằng nhau có ba cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một, nên tổng ba cạnh của chúng bằng nhau — tức là hai tam giác có chu vi bằng nhau. Ngược lại thì không đúng: hai tam giác có chu vi bằng nhau chưa chắc đã bằng nhau, vì cùng một tổng 15 cm có thể chia thành 4 cm, 5 cm, 6 cm hoặc 3 cm, 6 cm, 6 cm — hai bộ ba cạnh khác nhau cho ra hai tam giác khác nhau. Bạn hãy nhớ kĩ chiều của suy luận: bằng nhau thì chu vi bằng nhau, nhưng chu vi bằng nhau thì chưa đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau.

Điều tương tự cũng đúng với diện tích. Hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau, vì bạn có thể đặt chồng khít chúng lên nhau. Nhưng hai tam giác có diện tích bằng nhau thì chưa chắc đã bằng nhau: một tam giác có đáy 6 cm, chiều cao 4 cm có diện tích 12 cm², một tam giác khác có đáy 8 cm, chiều cao 3 cm cũng có diện tích 12 cm², nhưng hai tam giác đó khác nhau hoàn toàn. Diện tích bằng nhau chỉ là hệ quả của hai tam giác bằng nhau, không phải là điều kiện để kết luận chúng bằng nhau.

Một ứng dụng nữa mà bạn sẽ gặp rất nhiều trong các bài sau: khi hai tam giác bằng nhau, bạn có thể dùng các góc tương ứng bằng nhau để chứng minh hai đường thẳng song song hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau. Chẳng hạn, nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song — và hai góc so le trong đó có thể chính là hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Bạn hãy xem lại bài tính chất hai đường thẳng song song để thấy góc so le trong được dùng như thế nào, và bài tính chất hai góc đối đỉnh để ôn lại một tính chất góc khác cũng hay xuất hiện trong các bài chứng minh tam giác bằng nhau.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Cho △ABC = △DEF và AB = 5 cm. Tính DE.
Đây là ví dụ gốc của bài. Vì △ABC = △DEF nên các cạnh tương ứng bằng nhau.
Cạnh AB tương ứng với cạnh DE, vì đỉnh A tương ứng với đỉnh D và đỉnh B tương ứng với đỉnh E.
Vậy DE = AB = 5 cm. Bạn thấy không, chỉ cần xác định đúng cặp tương ứng là ra đáp số ngay, không cần một phép tính nào khác.

Ví dụ 2 (tìm góc): Cho △ABC = △DEF. Biết góc A = 60°, góc B = 80°. Tính góc D, góc E và góc F.
Vì △ABC = △DEF nên các góc tương ứng bằng nhau.
Góc D tương ứng với góc A nên góc D = 60°. Góc E tương ứng với góc B nên góc E = 80°.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°, nên góc F = 180° − góc D − góc E = 180° − 60° − 80° = 40°.
Vậy góc D = 60°, góc E = 80°, góc F = 40°. Bạn hãy kiểm tra lại: góc C tương ứng với góc F nên góc C cũng bằng 40°, và 60° + 80° + 40° = 180° — đúng là tổng ba góc của tam giác ABC.

Ví dụ 3 (tìm chu vi): Cho △MNP = △QRS. Biết MN = 4 cm, NP = 6 cm, PM = 5 cm. Tính chu vi của mỗi tam giác.
Vì △MNP = △QRS nên các cạnh tương ứng bằng nhau.
QR tương ứng với MN nên QR = 4 cm. RS tương ứng với NP nên RS = 6 cm. SQ tương ứng với PM nên SQ = 5 cm.
Chu vi tam giác MNP = MN + NP + PM = 4 + 6 + 5 = 15 cm.
Chu vi tam giác QRS = QR + RS + SQ = 4 + 6 + 5 = 15 cm.
Vậy chu vi của mỗi tam giác đều bằng 15 cm. Bạn thấy hai tam giác bằng nhau thì chu vi bằng nhau — đúng như tính chất đã nói ở mục 3.

Ví dụ 4 (nhận biết tam giác vuông): Hai tam giác bằng nhau, một tam giác có ba cạnh là 3 cm, 4 cm và 5 cm. Hỏi tam giác còn lại có phải là tam giác vuông không?
Vì hai tam giác bằng nhau nên tam giác còn lại cũng có ba cạnh là 3 cm, 4 cm và 5 cm.
Bạn hãy kiểm tra: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, và 5² = 25. Vậy 3² + 4² = 5².
Theo định lí Pythagore đảo, tam giác có ba cạnh thỏa mãn a² + b² = c² là tam giác vuông, với góc vuông đối diện cạnh dài nhất.
Vậy tam giác còn lại là tam giác vuông, góc vuông đối diện với cạnh 5 cm. Bạn hãy nhớ bộ ba số 3, 4, 5 — đây là bộ ba Pythagore quen thuộc nhất, đề bài rất hay dùng nó. Khi cần kiểm tra lại các phép tính bình phương, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Viết sai thứ tự đỉnh tương ứng trong kí hiệu.
Nhiều bạn chứng minh đúng hai tam giác bằng nhau nhưng lại viết △ABC = △DFE trong khi các đỉnh tương ứng thực sự là A với D, B với E, C với F. Cách viết sai này kéo theo toàn bộ các cặp cạnh và góc tương ứng đều sai. Cách tránh: trước khi viết kí hiệu, bạn hãy liệt kê các cặp đỉnh tương ứng ra giấy nháp — A với D, B với E, C với F — rồi viết tên tam giác thứ hai theo đúng thứ tự đó.

Lỗi 2: Nhầm cạnh tương ứng.
Nhiều bạn thấy △ABC = △DEF thì cho rằng AB bằng EF, hoặc BC bằng FD, chỉ vì các chữ cái trông "giống nhau". Cách tránh: cạnh tương ứng là cạnh nối hai đỉnh tương ứng. AB nối đỉnh A với đỉnh B, nên cạnh tương ứng với nó phải nối đỉnh D với đỉnh E, tức là DE. Bạn hãy viết hai tam giác cạnh nhau, gạch nối các đỉnh tương ứng, rồi mới đọc ra các cặp cạnh.

Lỗi 3: Nghĩ rằng ba góc bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau.
Hai tam giác có ba góc tương ứng bằng nhau chưa chắc đã bằng nhau — chúng chỉ đồng dạng với nhau. Một tam giác có các góc 60°, 70°, 50° và một tam giác khác cũng có các góc 60°, 70°, 50° nhưng to gấp đôi thì ba góc vẫn bằng nhau, nhưng hai tam giác không bằng nhau vì các cạnh khác nhau. Cách tránh: muốn kết luận hai tam giác bằng nhau, bạn cần ít nhất một cặp cạnh tương ứng bằng nhau nữa — đó chính là lí do các trường hợp c–c–c, c–g–c, g–c–g đều có cạnh trong điều kiện.

Lỗi 4: Nghĩ rằng diện tích bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau.
Hai tam giác có diện tích bằng nhau có thể có hình dạng hoàn toàn khác nhau, như ví dụ ở mục 3: một tam giác đáy 6 cm cao 4 cm và một tam giác đáy 8 cm cao 3 cm đều có diện tích 12 cm². Cách tránh: diện tích chỉ là một con số, nó không nói lên hình dạng của tam giác. Muốn kết luận hai tam giác bằng nhau, bạn phải kiểm tra cạnh và góc, không phải diện tích.

Lỗi 5: Suy ngược chu vi bằng nhau thành hai tam giác bằng nhau.
Nhiều bạn thấy hai tam giác có chu vi bằng nhau là kết luận ngay chúng bằng nhau. Nhưng cùng một chu vi 15 cm có thể chia thành nhiều bộ ba cạnh khác nhau: 4 cm, 5 cm, 6 cm hoặc 3 cm, 6 cm, 6 cm. Cách tránh: nhớ kĩ chiều của suy luận — hai tam giác bằng nhau thì chu vi bằng nhau, nhưng chu vi bằng nhau thì chưa đủ. Muốn kết luận bằng nhau, bạn phải chứng minh được các cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một.

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ viết các cặp tương ứng ra giấy nháp trước khi chọn đáp án — đó là một nửa của bài làm.

Câu 1: Cho △ABC = △DEF, AB = 5 cm. Độ dài đoạn thẳng DE bằng bao nhiêu?
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 10 cm
D. Không xác định được

Câu 2: Cho △MNP = △QRS, góc M = 40°, góc N = 70°. Số đo góc S bằng bao nhiêu?
A. 40°
B. 70°
C. 110°
D. 30°

Câu 3: Cho △ABC = △DEF, BC = 8 cm, góc B = 50°. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. EF = 8 cm và góc E = 50°
B. EF = 8 cm và góc E = 40°
C. EF = 5 cm và góc E = 50°
D. EF = 50 cm và góc E = 8°

Câu 4: Cho △ABC = △XYZ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. AB = XY và góc A = góc X
B. AB = YZ và góc A = góc Y
C. góc A = góc Y và AC = XZ
D. AC = XY và góc B = góc Z

Câu 5: Cho △ABC = △DEF. Biết chu vi tam giác ABC bằng 20 cm, AB = 6 cm, BC = 7 cm. Chu vi tam giác DEF bằng bao nhiêu?
A. 20 cm
B. 13 cm
C. 26 cm
D. 7 cm

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (5 cm) đúng: Vì △ABC = △DEF nên cạnh AB tương ứng với cạnh DE, do đó DE = AB = 5 cm. Đáp án B (6 cm) sai vì không có số liệu nào cho ra 6 cm. Đáp án C (10 cm) sai vì 10 cm gấp đôi AB, không có cơ sở nào. Đáp án D sai vì DE xác định được ngay từ tính chất hai tam giác bằng nhau.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B (70°) đúng: Góc P của tam giác MNP bằng 180° − 40° − 70° = 70°. Góc S tương ứng với góc P (đỉnh S đứng thứ ba trong △QRS, đỉnh P đứng thứ ba trong △MNP) nên góc S = 70°. Đáp án A (40°) sai vì 40° là số đo góc M, tương ứng với góc Q chứ không phải góc S. Đáp án C (110°) sai vì 110° = 180° − 70°, không phải là góc tương ứng nào. Đáp án D (30°) sai vì không có phép tính nào cho ra 30° từ 40° và 70°.

Giải thích Câu 3 — Đáp án A đúng: BC tương ứng với EF nên EF = BC = 8 cm; góc B tương ứng với góc E nên góc E = 50°. Đáp án B sai vì góc E phải bằng 50°, không phải 40° (40° là góc kề bù với 140°, không liên quan). Đáp án C sai vì EF phải bằng 8 cm, không phải 5 cm. Đáp án D sai vì đơn vị của độ dài và của góc bị đảo lộn cho nhau.

Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Đỉnh A tương ứng với đỉnh X, đỉnh B tương ứng với đỉnh Y nên AB = XY và góc A = góc X. Đáp án B sai vì AB tương ứng với XY chứ không phải YZ. Đáp án C sai vì góc A tương ứng với góc X chứ không phải góc Y (góc A = góc Y chỉ đúng khi tam giác cân tại A, đề bài không cho). Đáp án D sai vì AC tương ứng với XZ chứ không phải XY.

Giải thích Câu 5 — Đáp án A (20 cm) đúng: Hai tam giác bằng nhau thì chu vi bằng nhau, nên chu vi tam giác DEF bằng chu vi tam giác ABC bằng 20 cm. Đáp án B (13 cm) sai vì 13 cm = 6 + 7, chỉ là tổng hai cạnh AB và BC, chưa cộng cạnh CA. Đáp án C (26 cm) sai vì 26 cm gấp đôi 13 cm, không có cơ sở nào. Đáp án D (7 cm) sai vì 7 cm chỉ là độ dài cạnh BC, không phải chu vi.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Hai tam giác bằng nhau khác gì hai tam giác đồng dạng?
Đáp: Hai tam giác bằng nhau thì vừa có các góc tương ứng bằng nhau, vừa có các cạnh tương ứng bằng nhau — chúng giống hệt nhau cả về hình dạng lẫn kích thước. Hai tam giác đồng dạng chỉ có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau — chúng giống nhau về hình dạng nhưng có thể khác nhau về kích thước, như một bức ảnh và bản phóng to của nó. Mọi cặp tam giác bằng nhau đều đồng dạng, nhưng không phải cặp tam giác đồng dạng nào cũng bằng nhau.

Hỏi: Có cần kiểm tra cả sáu yếu tố mới kết luận hai tam giác bằng nhau không?
Đáp: Không. Chỉ cần kiểm tra ba yếu tố theo một trong các trường hợp bằng nhau là đủ: ba cạnh (c–c–c), hai cạnh và góc xen giữa (c–g–c), hoặc hai góc và cạnh xen giữa (g–c–g). Ba yếu tố đó đã đủ để suy ra ba yếu tố còn lại cũng bằng nhau. Bạn sẽ học kĩ ba trường hợp này trong các bài tiếp theo của chương IV.

Hỏi: Thứ tự đỉnh trong kí hiệu hai tam giác bằng nhau có quan trọng không?
Đáp: Rất quan trọng. Thứ tự đỉnh cho biết đỉnh nào tương ứng với đỉnh nào, từ đó suy ra cạnh nào tương ứng với cạnh nào và góc nào tương ứng với góc nào. Viết sai thứ tự đỉnh là viết sai toàn bộ các cặp tương ứng, dù hai tam giác vẫn bằng nhau. Bạn hãy luôn viết tên tam giác thứ hai sao cho các đỉnh tương ứng đứng cùng vị trí với tam giác thứ nhất.

Hỏi: Hai tam giác bằng nhau thì diện tích có bằng nhau không?
Đáp: Có, vì bạn có thể đặt chồng khít hai tam giác lên nhau nên phần mặt phẳng chúng chiếm là như nhau. Nhưng chiều ngược lại không đúng: hai tam giác có diện tích bằng nhau chưa chắc đã bằng nhau, vì diện tích chỉ là một con số, không nói lên hình dạng của tam giác.

Hỏi: Làm sao để chứng minh hai tam giác bằng nhau nhanh nhất?
Đáp: Bạn hãy nhìn vào giả thiết của đề bài xem đề cho những yếu tố nào bằng nhau. Đề cho ba cặp cạnh thì dùng c–c–c. Đề cho hai cặp cạnh và góc xen giữa thì dùng c–g–c. Đề cho hai cặp góc và cạnh xen giữa thì dùng g–c–g. Nếu đề cho hai tam giác vuông thì còn có các trường hợp riêng của tam giác vuông. Bí quyết là đếm xem đề cho mấy cạnh, mấy góc, rồi chọn trường hợp khớp với những gì đề cho.

8. Kết luận

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau — ba cạnh và ba góc, sáu cặp bằng nhau, tất cả đều bắt đầu từ việc xác định đúng các cặp tương ứng. Khi viết △ABC = △DEF, bạn có ngay AB = DE, BC = EF, CA = FD và góc A = góc D, góc B = góc E, góc C = góc F. Từ sáu cặp bằng nhau này, bạn tính được cạnh chưa biết, góc chưa biết, chu vi, và cả hình dạng của tam giác. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để bước sang bài tiếp theo về trường hợp bằng nhau thứ nhất — vì ở đó, bạn sẽ thấy chỉ cần ba cạnh bằng nhau là đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau, không cần kiểm tra cả sáu yếu tố. Nếu muốn ôn lại cách hai góc bằng nhau được dùng trong chứng minh, bạn hãy xem lại bài tính chất hai góc đối đỉnh — ở đó, hai góc đối đỉnh bằng nhau cũng là một cặp góc bằng nhau hay xuất hiện trong các bài chứng minh tam giác bằng nhau. Và khi học sang bài trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác (cạnh – cạnh – cạnh), bạn sẽ thấy ba cặp cạnh bằng nhau đã đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau.