Bạn hãy nhìn lên mái nhà của mình. Dưới lớp ngói là những khung gỗ hình tam giác, và mỗi khung đó được ghép từ đúng ba thanh gỗ. Điều kì diệu là: một khi ba thanh gỗ đã được đóng chặt với nhau thành hình tam giác, khung đó không bao giờ xê dịch, không bao giờ méo đi, dù bạn có đẩy hay kéo thế nào. Một khung hình chữ nhật thì khác — bạn chỉ cần đẩy nhẹ một góc là nó méo thành hình bình hành ngay. Chính tính chất "ba cạnh quyết định tất cả" này là linh hồn của trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác, trường hợp cạnh – cạnh – cạnh, và bài viết này sẽ giúp bạn hiểu vì sao chỉ cần biết ba cạnh là đủ để khẳng định hai tam giác bằng nhau.
Trong chương trình Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", trường hợp bằng nhau thứ nhất nằm trong Chương IV: Tam giác bằng nhau, ở Bài 13: Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác — ngay sau phần định nghĩa hai tam giác bằng nhau. Đây là trường hợp bằng nhau dễ dùng nhất trong cả chương, vì nó chỉ hỏi về cạnh — thứ mà bạn đo được bằng thước thẳng, không cần đo góc. Học xong bài này, mỗi lần đề bài cho ba cặp cạnh bằng nhau, bạn sẽ biết ngay phải làm gì mà không cần suy nghĩ thêm.
1. Ba thanh gỗ và một khung hình không bao giờ xê dịch
Bạn hãy thử một thí nghiệm nhỏ bằng tư duy. Lấy ba thanh gỗ có độ dài 3 cm, 4 cm và 5 cm, đóng chúng lại thành một hình tam giác. Bây giờ bạn lấy ba thanh gỗ khác, cũng dài 3 cm, 4 cm và 5 cm, đóng thành một hình tam giác thứ hai. Hai hình tam giác này có giống hệt nhau không? Câu trả lời là có — không chỉ giống nhau mà còn bằng nhau hoàn toàn, từng góc một. Bạn không thể ghép ba thanh gỗ 3 cm, 4 cm, 5 cm thành hai hình tam giác khác nhau, vì độ dài ba cạnh đã quyết định hết mọi thứ: các góc ở mỗi đỉnh chỉ có một giá trị duy nhất.
Đây chính là điểm khác biệt lớn nhất giữa tam giác và các hình khác. Một tứ giác có bốn cạnh 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm có thể méo thành vô số hình dạng khác nhau, vì các góc của nó còn thay đổi được. Nhưng một tam giác thì không: ba cạnh đã khóa chặt ba góc lại. Người thợ mộc biết điều này từ hàng trăm năm nay, nên họ luôn chèn thêm một thanh chéo vào khung cửa hình chữ nhật để tạo thành hai hình tam giác — nhờ đó khung cửa không còn méo được nữa. Trong xây dựng, người ta gọi đây là tính ổn định của tam giác, và trong toán học, nó có tên là trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh.
Bạn hãy nhớ hình ảnh ba thanh gỗ này mỗi khi làm bài tập. Đề bài cho ba cặp cạnh bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau — đơn giản như việc hai khung tam giác ghép từ cùng ba thanh gỗ thì giống hệt nhau. Không cần đo thêm góc nào, không cần chứng minh gì thêm.
2. Công thức c–c–c: ba cặp cạnh bằng nhau là đủ
Nội dung của trường hợp bằng nhau thứ nhất được phát biểu gọn trong một câu: nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Viết dưới dạng kí hiệu: nếu AB = A'B', BC = B'C', CA = C'A' thì △ABC = △A'B'C' (c–c–c). Bạn hãy nhìn kĩ cách viết: mỗi cạnh của tam giác thứ nhất bằng đúng cạnh tương ứng của tam giác thứ hai — cạnh AB với cạnh A'B', cạnh BC với cạnh B'C', cạnh CA với cạnh C'A'. Thứ tự các đỉnh trong kí hiệu cho biết cạnh nào tương ứng với cạnh nào, giống như ở bài hai tam giác bằng nhau.
Bạn hãy để ý một điều: công thức này không hề nhắc tới góc. Bạn không cần biết góc A bằng bao nhiêu độ, cũng không cần biết góc B' bằng bao nhiêu độ. Chỉ cần ba cặp cạnh bằng nhau là đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau, và sau khi kết luận xong, bạn mới suy ra các góc tương ứng cũng bằng nhau. Đây là ưu điểm lớn nhất của trường hợp c–c–c so với định nghĩa hai tam giác bằng nhau: định nghĩa đòi hỏi cả sáu yếu tố, còn c–c–c chỉ đòi hỏi ba yếu tố — ba cạnh — là đủ.
Một câu hỏi bạn có thể thắc mắc: vì sao ba cạnh lại đủ, trong khi ba góc thì không đủ? Câu trả lời nằm ở chỗ: ba cạnh quyết định kích thước của tam giác, còn ba góc chỉ quyết định hình dạng. Hai tam giác có ba góc bằng nhau có thể to nhỏ khác nhau — như một bức ảnh và bản phóng to của nó. Nhưng hai tam giác có ba cạnh bằng nhau thì không thể to nhỏ khác nhau được, vì độ dài ba cạnh đã cố định kích thước. Bạn hãy xem lại bài hai tam giác bằng nhau để ôn lại sáu cặp bằng nhau, và bài tính chất hai góc đối đỉnh để thấy góc bằng nhau được dùng ra sao trong các bài chứng minh.
3. Cách dùng c–c–c trong bài chứng minh: liệt kê đủ ba cặp cạnh
Khi làm bài chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c–c–c, bạn hãy trình bày theo một trình tự cố định. Bước thứ nhất: xét hai tam giác cần chứng minh. Bước thứ hai: liệt kê ba cặp cạnh bằng nhau, mỗi cặp kèm theo lí do — theo giả thiết, hay vì là cạnh chung, hay vì suy ra từ giả thiết. Bước thứ ba: kết luận hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c–c–c. Trình tự này nghe thì đơn giản, nhưng nó giúp bạn không bỏ sót cặp cạnh nào và giúp thầy cô chấm bài dễ theo dõi.
Bạn hãy đặc biệt chú ý tới cạnh chung. Trong rất nhiều bài tập, hai tam giác có chung một cạnh — ví dụ hai tam giác ABD và CBD có chung cạnh BD. Cạnh chung thì hiển nhiên bằng chính nó, nên BD = BD là một cặp cạnh bằng nhau mà bạn được dùng miễn phí, không cần giả thiết nào thêm. Nhiều bạn bỏ quên cặp cạnh này và loay hoay không đủ ba cặp để kết luận, trong khi đáp án nằm ngay trước mắt. Mỗi khi thấy hai tam giác có chung một cạnh, bạn hãy ghi ngay cặp cạnh đó vào danh sách.
Một nguồn cung cấp cặp cạnh bằng nhau nữa mà đề bài hay giấu kín: trung điểm và tia phân giác. Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB — đó là một cặp cạnh bằng nhau. Nếu Oz là tia phân giác của góc xOy thì nó chia góc thành hai góc bằng nhau, nhưng nó không cho bạn cặp cạnh nào cả — bạn đừng nhầm. Bạn hãy xem lại bài tính chất tia phân giác của một góc để phân biệt rõ tia phân giác cho bạn cái gì: nó cho góc bằng nhau, không cho cạnh bằng nhau. Muốn có cặp cạnh bằng nhau từ một điểm, bạn hãy tìm trung điểm, hoặc tìm hai đoạn thẳng được cho bằng nhau trong giả thiết.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Hai tam giác cùng có ba cạnh là 3 cm, 4 cm và 5 cm. Hỏi hai tam giác có bằng nhau không?
Đây là ví dụ gốc của bài. Ba cạnh của tam giác thứ nhất lần lượt bằng ba cạnh của tam giác thứ hai: 3 cm = 3 cm, 4 cm = 4 cm, 5 cm = 5 cm.
Theo trường hợp bằng nhau thứ nhất (c–c–c), hai tam giác có ba cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Vậy hai tam giác bằng nhau. Bạn hãy nhớ: chỉ cần ba cặp cạnh bằng nhau là đủ, không cần đo thêm góc nào.
Ví dụ 2 (tìm góc): Cho △ABC và △A'B'C' có AB = A'B' = 6 cm, BC = B'C' = 8 cm, CA = C'A' = 10 cm. Biết góc A' = 90°. Tính góc A.
Vì ba cạnh của tam giác ABC bằng ba cạnh của tam giác A'B'C' nên △ABC = △A'B'C' theo trường hợp c–c–c.
Hai tam giác bằng nhau thì các góc tương ứng bằng nhau, góc A tương ứng với góc A' nên góc A = góc A' = 90°.
Vậy góc A = 90°. Bạn hãy kiểm tra lại: 6² + 8² = 36 + 64 = 100, và 10² = 100, nên tam giác này vuông tại A — đúng như kết quả vừa tính.
Ví dụ 3 (chứng minh): Cho hai tam giác ABD và CBD có AB = CB = 5 cm, AD = CD = 6 cm, BD là cạnh chung. Chứng minh △ABD = △CBD.
Xét hai tam giác ABD và CBD, ta có:
AB = CB = 5 cm (theo giả thiết).
AD = CD = 6 cm (theo giả thiết).
BD là cạnh chung nên BD = BD.
Vậy △ABD = △CBD theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (c–c–c). Bạn hãy để ý: cặp cạnh thứ ba là cạnh chung BD, bạn không cần giả thiết nào thêm mà vẫn có đủ ba cặp cạnh để kết luận.
Ví dụ 4 (ứng dụng thực tế): Một người thợ làm khung tam giác bằng ba thanh gỗ dài 30 cm, 40 cm và 50 cm. Hỏi khung tam giác này có góc vuông không?
Ba thanh gỗ tạo thành một tam giác có ba cạnh 30 cm, 40 cm, 50 cm.
Bạn hãy kiểm tra: 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500, và 50² = 2500. Vậy 30² + 40² = 50².
Theo định lí Pythagore đảo, tam giác có ba cạnh thỏa mãn a² + b² = c² là tam giác vuông, góc vuông đối diện với cạnh dài nhất.
Vậy khung tam giác này có một góc vuông, đối diện với thanh gỗ dài 50 cm. Người thợ chỉ cần ba thanh gỗ đúng độ dài là có ngay một góc vuông chuẩn, không cần thước đo góc. Khi cần kiểm tra lại các phép tính bình phương, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Chỉ có hai cặp cạnh bằng nhau đã kết luận c–c–c.
Nhiều bạn thấy hai cặp cạnh bằng nhau là vội kết luận hai tam giác bằng nhau theo c–c–c, quên mất trường hợp này đòi hỏi đủ ba cặp cạnh. Hai cặp cạnh bằng nhau thì chưa đủ — tam giác thứ ba vẫn có thể khác nhau vì cạnh thứ ba chưa được cố định. Cách tránh: đếm đủ ba cặp cạnh trước khi kết luận. Nếu chỉ có hai cặp, bạn hãy tìm thêm một cặp nữa — có thể là cạnh chung — hoặc chuyển sang trường hợp c–g–c nếu đề cho thêm một góc xen giữa.
Lỗi 2: So sánh cạnh không tương ứng với nhau.
Nhiều bạn lấy AB so với B'C', hoặc CA so với A'B', rồi kết luận chúng bằng nhau vì số đo trùng nhau. Nhưng c–c–c đòi hỏi các cạnh tương ứng bằng nhau, không phải cạnh nào bằng cạnh nào cũng được. Cách tránh: viết hai tam giác cạnh nhau, gạch nối các đỉnh tương ứng, rồi mới đọc ra các cặp cạnh. AB chỉ được so với A'B', BC chỉ được so với B'C', CA chỉ được so với C'A'.
Lỗi 3: Nhầm c–c–c với c–g–c.
Nhiều bạn liệt kê hai cặp cạnh và một cặp góc rồi kết luận c–c–c, hoặc liệt kê ba cặp cạnh rồi kết luận c–g–c. Cách tránh: nhớ tên của từng trường hợp — c–c–c là ba cạnh, c–g–c là hai cạnh và một góc xen giữa, g–c–g là hai góc và một cạnh xen giữa. Trước khi viết kết luận, bạn hãy đếm lại: mình có mấy cạnh, mấy góc?
Lỗi 4: Quên mất cạnh chung cũng là một cặp cạnh bằng nhau.
Trong nhiều bài tập, hai tam giác có chung một cạnh nhưng bạn lại không tính nó vào ba cặp cạnh, nên tưởng rằng chỉ có hai cặp và không kết luận được. Cách tránh: mỗi khi thấy hai tam giác có chung một cạnh, bạn hãy ghi ngay "cạnh chung" vào danh sách các cặp cạnh bằng nhau. Cạnh chung là cặp cạnh dễ có nhất trong cả chương này.
Lỗi 5: Viết sai kí hiệu tương ứng sau khi đã kết luận đúng.
Nhiều bạn chứng minh đúng △ABC = △A'B'C' theo c–c–c nhưng lại viết △ABC = △A'C'B', khiến các cặp góc tương ứng suy ra sau đó đều sai. Cách tránh: sau khi kết luận hai tam giác bằng nhau, bạn hãy viết tên tam giác thứ hai theo đúng thứ tự các đỉnh tương ứng — đỉnh nào tương ứng với A thì viết đầu tiên, đỉnh nào tương ứng với B thì viết thứ hai, đỉnh nào tương ứng với C thì viết cuối cùng.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ đếm đủ ba cặp cạnh trước khi kết luận — đó là một nửa của bài làm.
Câu 1: Hai tam giác cùng có ba cạnh là 3 cm, 4 cm và 5 cm. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c–c–c
B. Chưa đủ dữ kiện để kết luận
C. Hai tam giác chỉ đồng dạng với nhau
D. Không thể kết luận gì
Câu 2: Cho △ABC và △DEF có AB = DE = 6 cm, BC = EF = 8 cm, CA = FD = 10 cm. Biết góc D = 90°. Số đo góc A bằng bao nhiêu?
A. 60°
B. 90°
C. 30°
D. 45°
Câu 3: Cho △ABC = △A'B'C' theo trường hợp c–c–c. Biết AB = 3 cm, BC = 4 cm, CA = 5 cm. Độ dài đoạn thẳng A'B' bằng bao nhiêu?
A. 4 cm
B. 5 cm
C. 3 cm
D. 12 cm
Câu 4: Muốn chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c–c–c, cần có mấy cặp cạnh tương ứng bằng nhau?
A. 3 cặp
B. 2 cặp
C. 1 cặp
D. 6 cặp
Câu 5: Hai tam giác có AB = A'B' = 5 cm, BC = B'C' = 7 cm, CA = 8 cm, C'A' = 9 cm. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hai tam giác bằng nhau vì đã có hai cặp cạnh bằng nhau
B. Chưa đủ dữ kiện để kết luận
C. Hai tam giác chỉ đồng dạng với nhau
D. Hai tam giác không bằng nhau vì CA = 8 cm khác C'A' = 9 cm
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | A | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia nên hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c–c–c. Đáp án B sai vì ba cặp cạnh bằng nhau là đủ dữ kiện, không cần thêm gì nữa. Đáp án C sai vì hai tam giác này không chỉ đồng dạng mà còn bằng nhau — đồng dạng là khái niệm rộng hơn, bằng nhau là trường hợp đặc biệt của đồng dạng. Đáp án D sai vì kết luận được ngay từ trường hợp c–c–c.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (90°) đúng: Ba cặp cạnh bằng nhau nên △ABC = △DEF theo trường hợp c–c–c. Góc A tương ứng với góc D nên góc A = góc D = 90°. Đáp án A (60°) sai vì không có phép tính nào cho ra 60° từ các số liệu đã cho. Đáp án C (30°) sai vì 30° là góc phụ với 60°, không liên quan tới bài này. Đáp án D (45°) sai vì 45° là một nửa của 90°, không có cơ sở nào.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (3 cm) đúng: A'B' tương ứng với AB nên A'B' = AB = 3 cm. Đáp án A (4 cm) sai vì 4 cm là độ dài của BC, tương ứng với B'C' chứ không phải A'B'. Đáp án B (5 cm) sai vì 5 cm là độ dài của CA, tương ứng với C'A'. Đáp án D (12 cm) sai vì 12 cm = 3 + 4 + 5 là chu vi của tam giác, không phải độ dài một cạnh.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (3 cặp) đúng: Trường hợp c–c–c đòi hỏi đúng ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Đáp án B (2 cặp) sai vì hai cặp cạnh chưa đủ — cần thêm một cặp cạnh nữa hoặc một góc xen giữa để dùng c–g–c. Đáp án C (1 cặp) sai vì một cặp cạnh thì quá ít, không kết luận được gì. Đáp án D (6 cặp) sai vì mỗi tam giác chỉ có ba cạnh, không thể có sáu cặp cạnh được.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: Cặp cạnh thứ ba không bằng nhau: CA = 8 cm khác C'A' = 9 cm, nên không đủ ba cặp cạnh bằng nhau, hai tam giác không bằng nhau theo c–c–c. Đáp án A sai vì hai cặp cạnh bằng nhau thì chưa đủ để kết luận c–c–c. Đáp án B sai vì dữ kiện đã đủ để kết luận — kết luận là hai tam giác không bằng nhau. Đáp án C sai vì chưa có đủ dữ kiện về góc để kết luận hai tam giác đồng dạng.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Vì sao chỉ cần ba cạnh là đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau?
Đáp: Vì độ dài ba cạnh quyết định hoàn toàn hình dạng và kích thước của tam giác. Với ba thanh gỗ có độ dài cố định, bạn chỉ ghép được đúng một hình tam giác — các góc ở mỗi đỉnh chỉ có một giá trị duy nhất. Đó là tính ổn định của tam giác, và nó khác hẳn tứ giác: bốn cạnh cố định vẫn ghép được vô số hình tứ giác khác nhau.
Hỏi: Trường hợp c–c–c có dùng được cho tam giác vuông không?
Đáp: Có. Tam giác vuông cũng là tam giác, nên trường hợp c–c–c dùng được bình thường. Tuy nhiên với tam giác vuông, người ta còn có các trường hợp riêng gọn hơn — chỉ cần cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng nhau là đủ — bạn sẽ học ở bài các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.
Hỏi: Ba cạnh có cần thỏa mãn điều kiện gì trước khi dùng c–c–c không?
Đáp: Có. Ba đoạn thẳng chỉ tạo thành một tam giác khi chúng thỏa mãn bất đẳng thức tam giác: mỗi cạnh phải nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại. Ví dụ ba đoạn 2 cm, 3 cm và 10 cm không tạo thành tam giác nào cả, vì 2 + 3 nhỏ hơn 10. Nhưng trong bài tập, đề bài thường cho sẵn hai tam giác nên bạn không cần kiểm tra điều này.
Hỏi: Cạnh chung có tính là một cặp cạnh bằng nhau không?
Đáp: Có, và đây là cặp cạnh dễ có nhất. Một đoạn thẳng thì hiển nhiên bằng chính nó, nên khi hai tam giác có chung một cạnh, bạn được ngay một cặp cạnh bằng nhau mà không cần giả thiết nào thêm. Bạn chỉ cần ghi rõ "cạnh chung" khi liệt kê các cặp cạnh trong bài chứng minh.
Hỏi: Trường hợp c–c–c khác trường hợp c–g–c ở điểm nào?
Đáp: Trường hợp c–c–c cần ba cặp cạnh bằng nhau, không cần góc nào. Trường hợp c–g–c cần hai cặp cạnh và một cặp góc xen giữa hai cạnh đó bằng nhau. Bạn hãy chọn trường hợp nào khớp với những gì đề bài cho: đề cho ba cạnh thì dùng c–c–c, đề cho hai cạnh và một góc xen giữa thì dùng c–g–c.
8. Kết luận
Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác nói rằng: nếu AB = A'B', BC = B'C', CA = C'A' thì △ABC = △A'B'C' (c–c–c). Ba cặp cạnh bằng nhau là đủ — không cần đo góc, không cần chứng minh thêm — vì độ dài ba cạnh đã quyết định hoàn toàn hình dạng và kích thước của tam giác, giống như ba thanh gỗ chỉ ghép được đúng một khung tam giác. Từ kết luận hai tam giác bằng nhau, bạn suy ra ngay các góc tương ứng cũng bằng nhau, và bạn có thể tính được góc chưa biết chỉ từ các cạnh đã biết. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để bước sang trường hợp bằng nhau thứ hai — ở đó, bạn sẽ thấy hai cạnh và một góc xen giữa cũng đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau. Nếu muốn ôn lại sáu cặp bằng nhau của hai tam giác, bạn hãy xem lại bài hai tam giác bằng nhau. Và khi học sang bài trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác (cạnh – góc – cạnh), bạn sẽ thấy góc xen giữa đóng vai trò quan trọng như thế nào — chỉ cần góc đó không nằm giữa hai cạnh thì kết luận sẽ không còn đúng nữa.