Sinh nhật của bạn, mẹ mua một chiếc bánh tròn và cắt nó thành hai nửa bằng nhau — một nửa cho bạn, một nửa cho em bạn. Nhát cắt đi qua đúng tâm chiếc bánh, chia nó thành hai nửa giống hệt nhau, không bên nào to hơn bên nào. Trong hình học, cũng có một "nhát cắt" như vậy: một tia nằm giữa hai cạnh của một góc, chia góc đó thành hai góc bằng nhau. Tia đó được gọi là tia phân giác của góc. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ tia phân giác là gì, công thức chia đôi góc dùng như thế nào, cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc và bằng gấp giấy, và vì sao tia phân giác lại xuất hiện trong rất nhiều bài toán hình học sau này.
Trong chương trình Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", tia phân giác nằm trong Chương III: Góc và đường thẳng song song, ở Bài 8: Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc — ngay sau phần góc đối đỉnh. Đây là bài học khép lại Bài 8, và cũng là cầu nối sang Bài 9 về hai đường thẳng song song: khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, các tia phân giác của các góc tạo thành cũng có những tính chất rất đẹp. Học xong bài này, mỗi lần nhìn thấy một góc bị chia đôi thành hai góc bằng nhau, bạn sẽ biết ngay tia chia đó là tia phân giác — và bạn tính được ngay số đo của từng góc nhỏ.
1. Tia nằm giữa hai cạnh của một góc là gì?
Trước khi hiểu tia phân giác, bạn phải hiểu "tia nằm giữa" là gì. Bạn hãy vẽ một góc xOy trên giấy, rồi vẽ một tia Oz xuất phát từ đỉnh O và đi vào phía trong của góc xOy — tức là tia Oz nằm trong phần mặt phẳng giới hạn bởi hai cạnh Ox và Oy. Tia Oz đó được gọi là tia nằm giữa hai cạnh Ox và Oy của góc xOy.
Bạn hãy tưởng tượng góc xOy như một căn phòng có hai bức tường là Ox và Oy, còn tia Oz là một người đứng giữa phòng. Người đó phải đứng trong phòng — không được đứng ngoài hai bức tường, cũng không được đứng trùng với một bức tường. Nếu tia Oz trùng với cạnh Ox hoặc cạnh Oy thì nó không còn "nằm giữa" nữa, mà nó chính là một cạnh của góc. Nếu tia Oz nằm ngoài góc xOy thì nó cũng không phải là tia nằm giữa. Chỉ khi tia Oz đi vào phía trong của góc thì nó mới được gọi là tia nằm giữa hai cạnh của góc đó.
Một tia nằm giữa hai cạnh của một góc sẽ chia góc đó thành hai góc nhỏ hơn: góc xOz và góc zOy. Hai góc nhỏ này kề nhau, có chung cạnh Oz, và cộng lại vừa đúng bằng góc lớn xOy. Bạn hãy nhớ công thức cộng góc này: nếu tia Oz nằm giữa hai cạnh Ox và Oy của góc xOy thì góc xOz + góc zOy = góc xOy. Công thức này giống hệt công thức cộng độ dài đoạn thẳng AM + MB = AB mà bạn đã học ở lớp 6 — chỉ khác là ở đây chúng ta cộng các góc thay vì cộng các đoạn thẳng. Nếu bạn muốn ôn lại công thức cộng độ dài, hãy xem bài độ dài đoạn thẳng khi biết một điểm nằm giữa hai điểm.
2. Tia phân giác là gì? Tia nằm giữa và chia góc thành hai góc bằng nhau
Định nghĩa chính xác trong sách giáo khoa như sau: tia nằm giữa hai cạnh của một góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau được gọi là tia phân giác của góc đó. Bạn hãy phân tích định nghĩa này thành hai điều kiện. Điều kiện thứ nhất: tia Oz phải nằm giữa hai cạnh Ox và Oy của góc xOy. Điều kiện thứ hai: hai góc mà tia Oz tạo với hai cạnh ấy phải bằng nhau, tức là góc xOz bằng góc zOy.
Bạn hãy lấy lại ví dụ chiếc bánh sinh nhật. Nhát cắt chia chiếc bánh thành hai nửa bằng nhau chính là tia phân giác của góc 360° ở tâm chiếc bánh — mỗi nửa bánh là một góc 180°. Còn trong một góc nhỏ hơn, ví dụ góc xOy bằng 80°, tia phân giác Oz sẽ chia nó thành hai góc xOz và zOy, mỗi góc bằng 40°. Hai góc này bằng nhau, giống như hai nửa chiếc bánh bằng nhau vậy.
Một điểm quan trọng mà nhiều bạn hay bỏ qua: tia phân giác phải thỏa mãn cả hai điều kiện cùng lúc. Một tia nằm giữa hai cạnh của góc nhưng chia góc thành hai góc không bằng nhau thì không phải là tia phân giác — nó chỉ là một tia nằm giữa bình thường. Ngược lại, một tia tạo với hai cạnh của góc hai góc bằng nhau nhưng không nằm giữa hai cạnh đó thì cũng không phải là tia phân giác. Bạn hãy nhớ kĩ: "nằm giữa" và "chia thành hai góc bằng nhau" — thiếu một trong hai điều kiện thì không phải là tia phân giác.
Đường thẳng chứa tia phân giác của một góc được gọi là đường phân giác của góc đó. Bạn hãy phân biệt: tia phân giác chỉ đi một hướng từ đỉnh O ra ngoài, còn đường phân giác kéo dài cả hai hướng, đi qua đỉnh O và chia góc đối đỉnh với góc xOy thành hai góc bằng nhau nữa. Trong bài tập lớp 7, bạn chủ yếu làm việc với tia phân giác, nhưng biết thêm khái niệm đường phân giác sẽ giúp bạn không bị bỡ ngỡ khi gặp nó trong các bài toán nâng cao.
3. Công thức chia đôi góc: góc xOz = góc zOy = một nửa góc xOy
Công thức của bài này chỉ có một dòng, nhưng nó là công thức mà bạn sẽ dùng rất nhiều: nếu tia Oz là tia phân giác của góc xOy thì góc xOz = góc zOy = 1/2 góc xOy. Nói bằng lời: tia phân giác chia một góc thành hai góc bằng nhau, mỗi góc bằng một nửa góc ban đầu.
Bạn hãy thử với vài số đo cụ thể. Góc xOy bằng 80° thì tia phân giác chia nó thành hai góc, mỗi góc bằng 80° ÷ 2 = 40°. Góc xOy bằng 120° thì mỗi góc nhỏ bằng 120° ÷ 2 = 60°. Góc xOy bằng 90° (góc vuông) thì mỗi góc nhỏ bằng 90° ÷ 2 = 45°. Góc xOy bằng 180° (góc bẹt) thì mỗi góc nhỏ bằng 180° ÷ 2 = 90° — tia phân giác của một góc bẹt tạo ra hai góc vuông, và tia phân giác đó vuông góc với đường thẳng chứa hai cạnh của góc bẹt.
Công thức này còn có thể dùng ngược lại: nếu biết một trong hai góc nhỏ, bạn tính được góc lớn bằng cách nhân đôi. Ví dụ: tia Oz là tia phân giác của góc xOy, góc xOz bằng 35° thì góc xOy bằng 35° × 2 = 70°. Dạng bài này sẽ xuất hiện trong ví dụ 3 ở mục sau, và bạn sẽ gặp lại nó rất nhiều trong các bài kiểm tra — vì đề bài thường cho góc nhỏ rồi hỏi góc lớn, hoặc cho góc lớn rồi hỏi góc nhỏ, chứ ít khi cho cả hai.
Một trường hợp đặc biệt rất hay gặp: hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau. Bạn hãy thử chứng minh điều này. Hai góc kề bù có tổng bằng 180°, mỗi góc có một tia phân giác chia nó thành hai góc bằng nhau. Góc tạo bởi hai tia phân giác bằng một nửa góc thứ nhất cộng một nửa góc thứ hai, tức là một nửa của 180°, bằng 90°. Vậy hai tia phân giác vuông góc với nhau. Kết quả này rất đẹp và thường xuất hiện trong các bài toán chứng minh — bạn hãy ghi nhớ nó.
4. Cách vẽ tia phân giác: thước đo góc, gấp giấy và compa
Có ba cách vẽ tia phân giác mà bạn cần biết, và mỗi cách đều có ưu điểm riêng. Cách thứ nhất dùng thước đo góc: bạn đo góc xOy, ví dụ được 80°, rồi chia đôi thành 40°. Đặt thước đo góc sao cho vạch 0° trùng với tia Ox, đánh dấu điểm ở vạch 40°, rồi vẽ tia từ đỉnh O qua điểm vừa đánh dấu — đó chính là tia phân giác. Cách này đơn giản nhất và chính xác nhất khi bạn có thước đo góc trong tay.
Cách thứ hai dùng gấp giấy: bạn vẽ góc xOy lên một tờ giấy, rồi gấp tờ giấy sao cho hai cạnh Ox và Oy trùng khít lên nhau. Nếp gấp tạo thành chính là tia phân giác của góc xOy. Cách này không cần dụng cụ gì ngoài một tờ giấy, và nó cho bạn thấy trực quan vì sao tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau — vì khi gấp giấy, hai nửa góc chồng khít lên nhau, chứng tỏ chúng bằng nhau. Bạn hãy thử gấp một tờ giấy hình quạt và xem nếp gấp chia nó thành hai phần giống hệt nhau như thế nào.
Cách thứ ba dùng compa và thước thẳng: bạn đặt compa tại đỉnh O, vẽ một cung tròn cắt hai cạnh Ox và Oy tại hai điểm A và B. Giữ nguyên bán kính compa, đặt compa tại A vẽ một cung, đặt compa tại B vẽ một cung khác, hai cung cắt nhau tại điểm C. Vẽ tia OC — đó chính là tia phân giác của góc xOy. Cách này không cần đo số đo của góc, và nó chính xác tuyệt đối về mặt hình học. Bạn sẽ học kĩ cách vẽ này khi học về đường trung trực và các bài toán dựng hình ở lớp 8.
Một mẹo nhỏ: khi vẽ tia phân giác bằng thước đo góc, bạn hãy đo góc xOy hai lần để chắc chắn số đo đúng, vì chỉ cần đo sai 2° thì tia phân giác của bạn đã lệch 1° so với vị trí đúng. Và sau khi vẽ xong, bạn hãy đo lại hai góc nhỏ để kiểm tra chúng có bằng nhau không — nếu hai góc nhỏ bằng nhau thì tia bạn vẽ đúng là tia phân giác, nếu không bằng nhau thì bạn đã đánh dấu sai vị trí.
5. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Tia Oz là tia phân giác của góc xOy bằng 80°. Tính góc xOz và góc zOy.
Đây là ví dụ gốc của bài. Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên góc xOz = góc zOy = 1/2 góc xOy.
Ta có góc xOz = góc zOy = 80° ÷ 2 = 40°.
Vậy mỗi góc nhỏ bằng 40°. Bạn hãy kiểm tra lại: 40° + 40° = 80° — đúng bằng góc xOy ban đầu.
Ví dụ 2 (góc tù): Tia Ot là tia phân giác của góc mOn bằng 120°. Tính góc mOt.
Vì Ot là tia phân giác của góc mOn nên góc mOt = 1/2 góc mOn.
Ta có góc mOt = 120° ÷ 2 = 60°.
Vậy góc mOt bằng 60°. Bài này nhắc bạn một điều: tia phân giác chia cả góc tù thành hai góc bằng nhau, mỗi góc bằng một nửa góc tù — và một nửa của góc tù vẫn có thể là góc nhọn, như 60° trong bài này.
Ví dụ 3 (tìm góc lớn từ góc nhỏ): Tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Biết góc xOz bằng 35°. Tính góc xOy.
Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên góc xOy = 2 × góc xOz.
Ta có góc xOy = 2 × 35° = 70°.
Vậy góc xOy bằng 70°. Bài này dùng công thức theo chiều ngược lại: biết góc nhỏ thì nhân đôi ra góc lớn. Bạn hãy nhớ cả hai chiều của công thức — biết góc lớn thì chia đôi, biết góc nhỏ thì nhân đôi.
Ví dụ 4 (góc bẹt): Tia Oz là tia phân giác của góc bẹt xOy. Tính góc xOz.
Góc bẹt xOy có số đo bằng 180°.
Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên góc xOz = 1/2 × 180° = 90°.
Vậy góc xOz bằng 90° — tia phân giác của một góc bẹt tạo ra hai góc vuông. Khi cần kiểm tra lại các phép chia góc, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
6. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm tia nằm giữa với tia phân giác.
Nhiều bạn thấy một tia nằm giữa hai cạnh của một góc là kết luận ngay nó là tia phân giác. Nhưng tia phân giác còn phải chia góc thành hai góc bằng nhau nữa. Ví dụ: góc xOy bằng 80°, tia Oz nằm giữa hai cạnh nhưng chia góc thành hai góc 30° và 50° — tia Oz này không phải là tia phân giác, vì 30° khác 50°. Cách tránh: kiểm tra cả hai điều kiện — nằm giữa và hai góc nhỏ bằng nhau.
Lỗi 2: Quên chia đôi khi tính góc nhỏ.
Đề bài cho góc xOy bằng 80° và hỏi góc xOz, nhiều bạn trả lời ngay 80° mà quên chia đôi. Cách tránh: mỗi lần thấy chữ "tia phân giác" trong đề bài, bạn hãy viết ngay công thức góc xOz = 1/2 góc xOy ra giấy nháp rồi mới thay số vào. Viết công thức ra trước khi tính là cách chắc chắn nhất để không quên chia đôi.
Lỗi 3: Nhầm một nửa góc với góc kề bù.
Đề bài cho góc xOy bằng 80°, hỏi góc kề bù với góc xOz (trong đó Oz là tia phân giác), nhiều bạn tính 180° − 80° = 100° mà quên rằng góc xOz chỉ bằng 40°, nên góc kề bù với góc xOz bằng 180° − 40° = 140°. Cách tránh: xác định rõ đề bài hỏi góc nào — góc xOy hay góc xOz — rồi mới tính. Vẽ hình ra và ghi số đo lên từng góc nhỏ sẽ giúp bạn không nhầm.
Lỗi 4: Tưởng mọi tia chia góc thành hai phần đều là tia phân giác.
Một tia chia một góc thành hai phần không bằng nhau thì không phải là tia phân giác. Ví dụ: góc 90° bị chia thành hai góc 30° và 60° — tia chia đó không phải là tia phân giác, vì 30° khác 60°. Cách tránh: tia phân giác phải chia góc thành hai phần bằng nhau — nếu hai phần không bằng nhau thì tia đó không phải là tia phân giác, dù nó có nằm giữa hai cạnh của góc.
Lỗi 5: Nhầm tia phân giác với đường phân giác.
Tia phân giác chỉ đi một hướng từ đỉnh O ra ngoài, còn đường phân giác là đường thẳng đi qua đỉnh O và kéo dài cả hai hướng. Nhiều bạn vẽ đường thẳng xuyên qua đỉnh O rồi gọi nó là tia phân giác — sai, vì đường thẳng đó gồm hai tia đối nhau, một tia là tia phân giác của góc xOy, tia còn lại là tia phân giác của góc đối đỉnh với góc xOy. Cách tránh: khi đề bài nói "tia phân giác", bạn chỉ vẽ một tia từ đỉnh O đi ra một hướng.
7. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ vẽ hình ra giấy nháp trước khi tính — vẽ hình là một nửa của bài làm.
Câu 1: Tia Oz là tia phân giác của góc xOy bằng 80°. Góc xOz bằng bao nhiêu?
A. 20°
B. 40°
C. 80°
D. 160°
Câu 2: Tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Biết góc xOz bằng 25°. Góc xOy bằng bao nhiêu?
A. 25°
B. 50°
C. 75°
D. 100°
Câu 3: Tia phân giác của một góc vuông tạo ra hai góc, mỗi góc bằng bao nhiêu?
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 4: Tia Oz nằm giữa hai cạnh của góc xOy, góc xOz bằng 30°, góc zOy bằng 30°. Tia Oz là gì của góc xOy?
A. Tia phân giác
B. Không phải tia phân giác
C. Tia đối của tia Ox
D. Không kết luận được
Câu 5: Góc xOy bằng 150°, tia Ot là tia phân giác của góc xOy. Góc yOt bằng bao nhiêu?
A. 50°
B. 75°
C. 100°
D. 150°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | B | B | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (40°) đúng: Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên góc xOz = 1/2 góc xOy = 80° ÷ 2 = 40°. Đáp án A (20°) sai vì lấy 80° ÷ 4 = 20° — chia góc thành bốn phần chứ không phải hai phần. Đáp án C (80°) sai vì quên chia đôi — 80° là số đo của góc xOy ban đầu, không phải của góc xOz. Đáp án D (160°) sai vì lấy 80° × 2 = 160° — nhân đôi khi phải chia đôi.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (50°) đúng: Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên góc xOy = 2 × góc xOz = 2 × 25° = 50°. Đáp án A (25°) sai vì 25° là số đo của góc xOz, không phải của góc xOy. Đáp án C (75°) sai vì lấy 25° × 3 = 75°, không có cơ sở nào. Đáp án D (100°) sai vì lấy 25° × 4 = 100° — nhân bốn khi chỉ cần nhân đôi.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (45°) đúng: Góc vuông bằng 90°, tia phân giác chia nó thành hai góc bằng nhau, mỗi góc bằng 90° ÷ 2 = 45°. Đáp án A (30°) sai vì lấy 90° ÷ 3 = 30° — chia góc vuông thành ba phần chứ không phải hai phần. Đáp án C (60°) sai vì 60° × 2 = 120°, khác 90°. Đáp án D (90°) sai vì quên chia đôi — 90° là số đo của góc vuông ban đầu.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Tia Oz nằm giữa hai cạnh của góc xOy và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau (góc xOz = góc zOy = 30°) nên Oz là tia phân giác của góc xOy — thỏa mãn cả hai điều kiện trong định nghĩa. Đáp án B sai vì cả hai điều kiện đều thỏa mãn. Đáp án C sai vì tia đối của tia Ox phải nằm trên đường thẳng chứa Ox và ngược hướng với Ox, còn Oz nằm giữa hai cạnh của góc xOy. Đáp án D sai vì đã đủ điều kiện để kết luận: nằm giữa và hai góc nhỏ bằng nhau.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (75°) đúng: Vì Ot là tia phân giác của góc xOy nên góc yOt = 1/2 góc xOy = 150° ÷ 2 = 75°. Đáp án A (50°) sai vì lấy 150° ÷ 3 = 50° — chia góc thành ba phần. Đáp án C (100°) sai vì 100° × 2 = 200°, khác 150°. Đáp án D (150°) sai vì quên chia đôi — 150° là số đo của góc xOy ban đầu.
8. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Tia nằm giữa hai cạnh của một góc có phải là tia phân giác không?
Đáp: Chưa chắc. Tia nằm giữa chỉ thỏa mãn điều kiện thứ nhất của tia phân giác. Muốn là tia phân giác, tia đó còn phải chia góc thành hai góc bằng nhau nữa. Một tia nằm giữa nhưng chia góc thành hai góc 30° và 50° thì không phải là tia phân giác.
Hỏi: Một góc có mấy tia phân giác?
Đáp: Một tia phân giác duy nhất. Vì tia phân giác phải nằm giữa hai cạnh của góc và chia góc thành hai góc bằng nhau — chỉ có một vị trí duy nhất thỏa mãn cả hai điều kiện này. Bạn hãy nhớ: mỗi góc chỉ có một tia phân giác, giống như mỗi góc chỉ có một góc đối đỉnh vậy.
Hỏi: Tia phân giác của góc bẹt là gì?
Đáp: Tia phân giác của một góc bẹt (180°) tạo ra hai góc vuông (90°), và tia đó vuông góc với đường thẳng chứa hai cạnh của góc bẹt. Đây là trường hợp đặc biệt rất hay gặp trong bài tập về hai đường thẳng vuông góc.
Hỏi: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì như thế nào với nhau?
Đáp: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau, vì góc tạo bởi hai tia phân giác bằng một nửa tổng của hai góc kề bù, tức là một nửa của 180°, bằng 90°. Kết quả này thường xuất hiện trong các bài toán chứng minh.
Hỏi: Làm sao để kiểm tra một tia có phải là tia phân giác không?
Đáp: Kiểm tra hai điều kiện: tia đó có nằm giữa hai cạnh của góc không, và hai góc mà nó tạo với hai cạnh có bằng nhau không. Bạn có thể đo hai góc nhỏ bằng thước đo góc — nếu chúng bằng nhau thì tia đó là tia phân giác. Hoặc bạn gấp giấy sao cho hai cạnh của góc trùng nhau — nếp gấp chính là tia phân giác.
9. Kết luận
Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc đó và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau — và công thức của nó chỉ có một dòng: nếu tia Oz là tia phân giác của góc xOy thì góc xOz = góc zOy = 1/2 góc xOy. Từ một công thức này, bạn có hai cách dùng: biết góc lớn thì chia đôi ra góc nhỏ, biết góc nhỏ thì nhân đôi ra góc lớn. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán về tia phân giác trong chương trình lớp 7 — và bạn cũng đã có trong tay một công cụ để học bài tiếp theo về hai đường thẳng song song, vì khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, các tia phân giác của các góc tạo thành cũng có những tính chất rất đẹp. Nếu muốn ôn lại cách cộng các góc khi một tia nằm giữa hai cạnh của một góc, bạn hãy xem lại bài độ dài đoạn thẳng khi biết một điểm nằm giữa hai điểm — ở đó, điểm nằm giữa chia một đoạn thẳng thành hai phần cộng lại vừa đúng thành đoạn lớn, giống như tia nằm giữa chia một góc thành hai góc cộng lại vừa đúng thành góc lớn vậy. Và khi học sang bài tính chất hai đường thẳng song song, bạn sẽ thấy tia phân giác xuất hiện trong các bài toán về góc đồng vị và góc so le trong.