Bạn hãy nhìn một cánh cửa đang mở. Cánh cửa gắn với khung cửa bằng hai chiếc bản lề, và góc mở của cửa — góc giữa cánh cửa và khung cửa — quyết định cánh cửa đang mở rộng hay mở hẹp. Bây giờ bạn hãy tưởng tượng có hai cánh cửa giống hệt nhau: cùng một chiều dài cánh, cùng một chiều rộng khung, và cùng một góc mở. Hai cánh cửa đó sẽ khớp nhau hoàn toàn khi đặt chồng lên nhau. Nhưng nếu góc mở khác nhau, dù cánh cửa và khung cửa có cùng kích thước, hai cánh cửa sẽ không bao giờ trùng khít. Hình ảnh cánh cửa này chính là linh hồn của trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác — trường hợp cạnh – góc – cạnh — và bài viết này sẽ giúp bạn hiểu vì sao góc trong công thức này nhất định phải là góc xen giữa hai cạnh.
Trong chương trình Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", trường hợp bằng nhau thứ hai nằm trong Chương IV: Tam giác bằng nhau, ở Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác — ngay sau trường hợp cạnh – cạnh – cạnh. Đây là trường hợp được dùng nhiều nhất trong các bài chứng minh, vì đề bài rất hay cho hai cặp cạnh bằng nhau kèm theo một góc — góc đó thường được giấu trong hai góc đối đỉnh hoặc trong một tia phân giác. Học xong bài này, bạn sẽ biết cách nhận ra góc xen giữa chỉ trong một cái nhìn.
1. Hai cánh cửa và một chiếc bản lề: góc phải nằm giữa hai cạnh
Bạn hãy quay lại với hình ảnh cánh cửa. Cánh cửa có hai cạnh quan trọng: một cạnh là bản thân cánh cửa, cạnh còn lại là khung cửa. Góc mở của cửa là góc tạo bởi hai cạnh này — nó nằm giữa hai cạnh đó. Nếu bạn thay đổi góc mở, cánh cửa sẽ ở một vị trí khác, dù độ dài hai cạnh không đổi. Ngược lại, nếu bạn giữ nguyên góc mở và giữ nguyên độ dài hai cạnh, vị trí của cánh cửa được cố định hoàn toàn, không thể xê dịch đi đâu được.
Một tam giác cũng vậy. Bạn hãy lấy hai cạnh của tam giác, ví dụ AB = 4 cm và BC = 6 cm, rồi đặt góc xen giữa chúng — góc B — bằng 60°. Ba yếu tố này khóa chặt tam giác lại: cạnh thứ ba AC chỉ có một độ dài duy nhất, hai góc còn lại cũng chỉ có một số đo duy nhất. Bạn không thể vẽ được hai tam giác khác nhau từ cùng một bộ ba yếu tố "cạnh 4 cm, góc 60°, cạnh 6 cm" khi góc 60° nằm giữa hai cạnh đó. Nhưng nếu góc 60° không nằm giữa hai cạnh — ví dụ nó đối diện với một trong hai cạnh — thì bạn lại vẽ được hai tam giác khác nhau, và kết luận bằng nhau không còn đúng nữa.
Đây là điểm mấu chốt mà bạn phải khắc cốt ghi tâm: trong trường hợp cạnh – góc – cạnh, góc bằng nhau phải là góc xen giữa hai cạnh bằng nhau. Góc xen giữa hai cạnh AB và BC chính là góc B — góc có đỉnh là điểm chung của hai cạnh đó. Bạn hãy nhớ hình ảnh cánh cửa: góc mở của cửa luôn nằm giữa cánh cửa và khung cửa, không bao giờ nằm ở chỗ khác.
2. Công thức c–g–c: hai cạnh và góc xen giữa
Nội dung của trường hợp bằng nhau thứ hai được phát biểu gọn trong một câu: nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Viết dưới dạng kí hiệu: nếu AB = A'B', góc B = góc B', BC = B'C' thì △ABC = △A'B'C' (c–g–c). Bạn hãy nhìn kĩ thứ tự các yếu tố: cạnh AB, rồi góc B, rồi cạnh BC. Góc B nằm giữa hai cạnh AB và BC trong cách liệt kê — đó chính là góc xen giữa. Ở tam giác thứ hai cũng vậy: góc B' nằm giữa hai cạnh A'B' và B'C'.
Bạn hãy để ý một điều: công thức c–g–c chỉ cần ba yếu tố, giống như công thức c–c–c, nhưng ba yếu tố này là hai cạnh và một góc thay vì ba cạnh. Sau khi kết luận hai tam giác bằng nhau, bạn suy ra ngay các yếu tố còn lại cũng bằng nhau: cạnh thứ ba CA = C'A', góc A = góc A', góc C = góc C'. Đây là cách dùng phổ biến nhất của trường hợp c–g–c trong bài tập: đề bài cho hai cạnh và một góc, bạn kết luận hai tam giác bằng nhau, rồi suy ra cạnh hoặc góc mà đề bài hỏi.
Bạn hãy so sánh c–g–c với c–c–c để thấy mỗi trường hợp có một thế mạnh riêng. Trường hợp c–c–c chỉ cần đo cạnh, không cần đo góc — rất tiện khi bạn có thước thẳng. Trường hợp c–g–c cần đo cả cạnh lẫn góc — nhưng nó dùng được trong nhiều tình huống hơn, vì đề bài rất hay cho góc xen giữa một cách gián tiếp: hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, tia phân giác thì chia một góc thành hai góc bằng nhau. Bạn hãy xem lại bài tính chất hai góc đối đỉnh và bài tính chất tia phân giác của một góc — hai bài này chính là nguồn cung cấp góc xen giữa quen thuộc nhất trong các bài chứng minh c–g–c.
3. Góc xen giữa — hai chữ quyết định tất cả
Bạn hãy học cách nhận ra góc xen giữa trong một cái nhìn. Cho hai cạnh AB và AC của một tam giác, góc xen giữa chúng là góc A — góc có đỉnh là điểm chung A của hai cạnh đó. Cho hai cạnh BA và BC, góc xen giữa là góc B. Quy tắc rất đơn giản: góc xen giữa hai cạnh là góc có đỉnh trùng với đầu chung của hai cạnh đó. Bạn chỉ cần tìm điểm chung của hai cạnh, góc ở điểm đó chính là góc xen giữa.
Ngược lại, góc không xen giữa là góc đối diện với một trong hai cạnh. Ví dụ: với hai cạnh AB và BC, góc A đối diện với cạnh BC nên góc A không phải là góc xen giữa của hai cạnh AB và BC. Nếu đề bài cho AB = A'B', BC = B'C' và góc A = góc A' thì bạn không được kết luận hai tam giác bằng nhau theo c–g–c, vì góc A không xen giữa hai cạnh AB và BC. Đây là cái bẫy phổ biến nhất của cả chương IV, và nó có tên riêng trong hình học: trường hợp "cạnh – cạnh – góc" không xen giữa thì chưa đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau.
Bạn hãy ghi nhớ một mẹo nhỏ: khi liệt kê ba yếu tố cho trường hợp c–g–c, bạn hãy viết chúng theo đúng thứ tự cạnh – góc – cạnh, sao cho góc nằm giữa hai cạnh trong cách viết. Nếu bạn viết AB = A'B', góc B = góc B', BC = B'C' thì người đọc nhìn vào là thấy ngay góc B nằm giữa hai cạnh AB và BC. Còn nếu bạn viết AB = A'B', góc A = góc A', BC = B'C' thì góc A không nằm giữa hai cạnh, và kết luận c–g–c sẽ sai. Thứ tự viết chính là cách bạn tự kiểm tra mình.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Cho AB = A'B' = 4 cm, góc B = góc B' = 60°, BC = B'C' = 6 cm. Hỏi hai tam giác ABC và A'B'C' có bằng nhau không?
Đây là ví dụ gốc của bài. Góc B là góc xen giữa hai cạnh AB và BC, góc B' là góc xen giữa hai cạnh A'B' và B'C'.
Ta có AB = A'B' = 4 cm, góc B = góc B' = 60°, BC = B'C' = 6 cm.
Theo trường hợp bằng nhau thứ hai (c–g–c), hai tam giác có hai cạnh và góc xen giữa tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Vậy △ABC = △A'B'C' (c–g–c). Bạn hãy nhớ: góc 60° nằm giữa hai cạnh 4 cm và 6 cm, nên kết luận này đúng.
Ví dụ 2 (dùng góc đối đỉnh): Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại O sao cho OA = OC, OB = OD. Chứng minh △AOB = △COD.
Xét hai tam giác AOB và COD, ta có:
OA = OC (theo giả thiết).
Góc AOB = góc COD vì hai góc đối đỉnh.
OB = OD (theo giả thiết).
Góc AOB là góc xen giữa hai cạnh OA và OB, góc COD là góc xen giữa hai cạnh OC và OD.
Vậy △AOB = △COD theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c–g–c). Từ đó suy ra AB = CD và góc OAB = góc OCD. Bạn hãy để ý: cặp góc bằng nhau ở đây không phải do giả thiết cho trực tiếp, mà do hai góc đối đỉnh thì bằng nhau — đây là cách đề bài hay giấu góc xen giữa nhất.
Ví dụ 3 (dùng tia phân giác): Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm A trên tia Ox, điểm B trên tia Oy sao cho OA = OB. Chứng minh △OAC = △OBC với C là một điểm bất kì trên tia Oz.
Xét hai tam giác OAC và OBC, ta có:
OA = OB (theo giả thiết).
Góc AOC = góc BOC vì Oz là tia phân giác của góc xOy.
OC là cạnh chung nên OC = OC.
Góc AOC là góc xen giữa hai cạnh OA và OC, góc BOC là góc xen giữa hai cạnh OB và OC.
Vậy △OAC = △OBC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c–g–c). Từ đó suy ra AC = BC — mọi điểm trên tia phân giác đều cách đều hai cạnh của góc. Bạn hãy xem lại bài hai tam giác bằng nhau để ôn lại cách suy ra các cạnh tương ứng sau khi đã chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Ví dụ 4 (tìm cạnh và góc): Cho △ABC = △DEF theo trường hợp c–g–c. Biết AC = 7 cm, góc C = 45°. Tính DF và góc F.
Vì hai tam giác bằng nhau nên các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.
Cạnh DF tương ứng với cạnh AC nên DF = AC = 7 cm.
Góc F tương ứng với góc C nên góc F = góc C = 45°.
Vậy DF = 7 cm và góc F = 45°. Bạn thấy không, sau khi kết luận hai tam giác bằng nhau theo c–g–c, mọi cạnh và góc còn lại đều suy ra được ngay mà không cần thêm phép tính nào. Khi cần kiểm tra lại các phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Dùng góc không xen giữa hai cạnh.
Nhiều bạn thấy hai cạnh bằng nhau và một góc bằng nhau là kết luận ngay c–g–c, không kiểm tra xem góc đó có xen giữa hai cạnh hay không. Ví dụ: AB = A'B', BC = B'C', góc A = góc A' — góc A đối diện với cạnh BC nên không phải là góc xen giữa, kết luận c–g–c là sai. Cách tránh: trước khi kết luận, bạn hãy hỏi mình một câu — góc này có đỉnh là điểm chung của hai cạnh kia không? Nếu không thì đừng dùng c–g–c.
Lỗi 2: Góc xen giữa của tam giác này nhưng không xen giữa của tam giác kia.
Nhiều bạn kiểm tra đúng góc xen giữa ở tam giác thứ nhất nhưng lại quên kiểm tra ở tam giác thứ hai. Ví dụ: góc B xen giữa AB và BC, nhưng góc B' lại không xen giữa A'B' và B'C' vì các cạnh tương ứng đã bị viết sai thứ tự. Cách tránh: kiểm tra góc xen giữa ở cả hai tam giác, và viết kí hiệu hai tam giác theo đúng thứ tự các đỉnh tương ứng.
Lỗi 3: Quên mất góc đối đỉnh cũng là một cặp góc bằng nhau.
Trong nhiều bài tập, hai tam giác có chung một đỉnh và hai góc đối đỉnh ở đó bằng nhau, nhưng bạn lại không nhận ra vì đề bài không cho trực tiếp. Cách tránh: mỗi khi thấy hai đường thẳng cắt nhau, bạn hãy nghĩ ngay tới hai cặp góc đối đỉnh bằng nhau. Góc đối đỉnh là nguồn cung cấp góc xen giữa rẻ nhất trong cả chương này.
Lỗi 4: Nhầm c–g–c với g–c–g.
Nhiều bạn liệt kê hai cạnh và một góc rồi kết luận g–c–g, hoặc liệt kê hai góc và một cạnh rồi kết luận c–g–c. Cách tránh: đếm xem mình có mấy cạnh, mấy góc. Hai cạnh một góc là c–g–c, hai góc một cạnh là g–c–g. Bạn hãy đọc tên trường hợp thành tiếng trước khi viết: "cạnh – góc – cạnh" thì phải có hai cạnh kẹp một góc ở giữa.
Lỗi 5: Nghĩ rằng hai cạnh bằng nhau và một góc bằng nhau bất kì là đủ.
Nhiều bạn cho rằng chỉ cần hai cạnh và một góc bằng nhau — góc nào cũng được — là đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau. Nhưng trường hợp cạnh – cạnh – góc không xen giữa chưa đủ: với cùng hai cạnh và một góc không xen giữa, bạn vẽ được hai tam giác khác nhau. Cách tránh: nhớ kĩ hai chữ "xen giữa" trong tên của trường hợp c–g–c. Không có hai chữ đó thì kết luận không còn đúng nữa.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra góc có xen giữa hai cạnh không trước khi chọn đáp án — đó là một nửa của bài làm.
Câu 1: Cho AB = A'B' = 4 cm, góc B = góc B' = 60°, BC = B'C' = 6 cm. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau theo trường hợp c–g–c
B. Chưa đủ dữ kiện để kết luận
C. Hai tam giác chỉ đồng dạng với nhau
D. Không thể kết luận gì
Câu 2: Cho △ABC và △DEF có AB = DE = 5 cm, góc B = góc E = 70°, BC = EF = 7 cm. Biết góc D = 50°. Số đo góc A bằng bao nhiêu?
A. 70°
B. 50°
C. 60°
D. 110°
Câu 3: Cho △MNP = △QRS theo trường hợp c–g–c. Biết MN = 4 cm, góc N = 60°, NP = 6 cm. Độ dài đoạn thẳng QR bằng bao nhiêu?
A. 6 cm
B. 60°
C. 4 cm
D. 10 cm
Câu 4: Trong trường hợp cạnh – góc – cạnh, góc bằng nhau phải là góc nào?
A. Góc bất kì của tam giác
B. Góc xen giữa hai cạnh bằng nhau
C. Góc đối diện với cạnh lớn nhất
D. Góc vuông
Câu 5: Hai tam giác có AB = A'B' = 3 cm, AC = A'C' = 4 cm, góc A = góc A' = 50°. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hai tam giác không bằng nhau vì góc A không xen giữa hai cạnh
B. Chưa đủ dữ kiện để kết luận
C. Hai tam giác chỉ đồng dạng với nhau
D. Hai tam giác bằng nhau vì góc A xen giữa hai cạnh AB, AC và bằng góc A'
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | B | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: Góc B xen giữa hai cạnh AB và BC, góc B' xen giữa hai cạnh A'B' và B'C', ba yếu tố đều bằng nhau nên hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c–g–c. Đáp án B sai vì ba yếu tố đã đủ dữ kiện, không cần thêm gì nữa. Đáp án C sai vì hai tam giác này không chỉ đồng dạng mà còn bằng nhau. Đáp án D sai vì kết luận được ngay từ trường hợp c–g–c.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (50°) đúng: Ba yếu tố AB = DE, góc B = góc E xen giữa, BC = EF nên △ABC = △DEF theo trường hợp c–g–c. Góc A tương ứng với góc D nên góc A = góc D = 50°. Đáp án A (70°) sai vì 70° là số đo góc B, tương ứng với góc E chứ không phải góc D. Đáp án C (60°) sai vì không có phép tính nào cho ra 60° từ các số liệu đã cho. Đáp án D (110°) sai vì 110° = 180° − 70°, không phải là góc tương ứng nào.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (4 cm) đúng: QR tương ứng với MN nên QR = MN = 4 cm. Đáp án A (6 cm) sai vì 6 cm là độ dài của NP, tương ứng với RS chứ không phải QR. Đáp án B (60°) sai vì 60° là số đo góc, không phải độ dài đoạn thẳng. Đáp án D (10 cm) sai vì 10 cm = 4 + 6 là tổng hai cạnh, không phải độ dài một cạnh.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B đúng: Trong trường hợp c–g–c, góc bằng nhau nhất định phải là góc xen giữa hai cạnh bằng nhau — đó chính là hai chữ "xen giữa" trong tên gọi. Đáp án A sai vì góc bất kì thì chưa đủ, góc phải xen giữa mới dùng được. Đáp án C sai vì góc đối diện cạnh lớn nhất không phải là góc xen giữa. Đáp án D sai vì góc vuông chỉ là một trường hợp đặc biệt của góc xen giữa, không phải là yêu cầu của c–g–c.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: Góc A là góc xen giữa hai cạnh AB và AC, góc A' là góc xen giữa hai cạnh A'B' và A'C', hai cạnh và góc xen giữa đều bằng nhau nên hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c–g–c. Đáp án A sai vì góc A đúng là góc xen giữa hai cạnh AB và AC. Đáp án B sai vì dữ kiện đã đủ để kết luận. Đáp án C sai vì hai tam giác này bằng nhau chứ không chỉ đồng dạng.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Góc xen giữa là gì? Làm sao nhận ra nó?
Đáp: Góc xen giữa hai cạnh là góc có đỉnh trùng với điểm chung của hai cạnh đó. Ví dụ: góc xen giữa hai cạnh AB và AC là góc A, vì A là điểm chung của hai cạnh AB và AC. Bạn chỉ cần tìm điểm chung của hai cạnh, góc ở điểm đó chính là góc xen giữa.
Hỏi: Vì sao góc không xen giữa thì không dùng được cho trường hợp c–g–c?
Đáp: Vì với cùng hai cạnh và một góc không xen giữa, bạn vẽ được hai tam giác khác nhau. Bạn hãy thử vẽ: cạnh AB = 4 cm, cạnh BC = 6 cm, góc A = 30° — góc A đối diện với cạnh BC. Bạn sẽ thấy có hai vị trí khác nhau cho đỉnh C, cho ra hai tam giác khác nhau. Khi góc xen giữa, vị trí của mọi đỉnh được cố định hoàn toàn, chỉ có một tam giác duy nhất.
Hỏi: Trường hợp c–g–c có dùng được cho tam giác vuông không?
Đáp: Có. Tam giác vuông cũng là tam giác, nên c–g–c dùng được bình thường. Thậm chí với tam giác vuông, trường hợp c–g–c còn gọn hơn: hai cạnh góc vuông bằng nhau thì hai tam giác vuông bằng nhau, vì góc xen giữa hai cạnh góc vuông là góc vuông 90° ở cả hai tam giác.
Hỏi: Góc đối đỉnh có dùng làm góc xen giữa được không?
Đáp: Được, và đây là cách dùng phổ biến nhất. Khi hai đoạn thẳng cắt nhau, hai góc đối đỉnh ở giao điểm bằng nhau. Nếu hai góc đối đỉnh đó lại là góc xen giữa của hai cặp cạnh bằng nhau thì bạn có ngay đủ ba yếu tố cho trường hợp c–g–c. Bạn hãy xem lại bài tính chất hai góc đối đỉnh để ôn lại vì sao hai góc đối đỉnh bằng nhau.
Hỏi: Trường hợp c–g–c khác trường hợp g–c–g ở điểm nào?
Đáp: Trường hợp c–g–c cần hai cạnh và một góc xen giữa, còn trường hợp g–c–g cần hai góc và một cạnh xen giữa hai góc đó. Bạn hãy đếm xem đề bài cho mấy cạnh, mấy góc: hai cạnh một góc thì dùng c–g–c, hai góc một cạnh thì dùng g–c–g. Cả hai trường hợp đều có một yếu tố nằm giữa hai yếu tố kia — đó là điểm chung của chúng.
8. Kết luận
Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác nói rằng: nếu AB = A'B', góc B = góc B', BC = B'C' thì △ABC = △A'B'C' (c–g–c). Hai cạnh và một góc xen giữa là đủ — nhưng hai chữ "xen giữa" mới là điều quan trọng nhất: góc bằng nhau phải có đỉnh là điểm chung của hai cạnh bằng nhau, giống như góc mở của cánh cửa luôn nằm giữa cánh cửa và khung cửa. Từ kết luận hai tam giác bằng nhau, bạn suy ra ngay cạnh thứ ba và hai góc còn lại cũng bằng nhau. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để bước sang trường hợp bằng nhau thứ ba — ở đó, bạn sẽ thấy hai góc và một cạnh xen giữa cũng đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau. Nếu muốn ôn lại trường hợp chỉ cần ba cạnh, bạn hãy xem lại bài trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác (cạnh – cạnh – cạnh). Và khi học sang bài trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác (góc – cạnh – góc), bạn sẽ thấy vai trò của cạnh xen giữa cũng quan trọng y hệt như vai trò của góc xen giữa trong bài này.