Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác (góc–cạnh–góc): công thức và bài tập lớp 7

Bạn có một tam giác bằng bìa cứng, bạn của bạn muốn cắt một tam giác y hệt — không được đặt chồng lên để đo, chỉ được nghe bạn đọc ba con số. Bạn sẽ đọc những con số nào? Nếu bạn đọc ba cạnh, bạn của bạn vẽ được đúng tam giác đó — đó là trường hợp cạnh – cạnh – cạnh mà bạn đã học. Nếu bạn đọc hai cạnh và góc xen giữa, bạn của bạn cũng vẽ được — đó là trường hợp cạnh – góc – cạnh. Nhưng nếu bạn chỉ đọc một cạnh và hai góc kề với cạnh đó thì sao? Liệu ba mẩu thông tin ít ỏi ấy có đủ để vẽ lại đúng một tam giác, không sai một milimét? Câu trả lời là có — và đó chính là nội dung của bài học hôm nay: trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác, gọi tắt là góc – cạnh – góc.

Trong chương trình Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", trường hợp bằng nhau thứ ba nằm trong Bài 14: Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác, thuộc Chương IV: Tam giác bằng nhau. Đây là trường hợp cuối cùng trong ba "lối tắt" để kết luận hai tam giác bằng nhau mà không cần kiểm tra cả sáu yếu tố (ba cạnh và ba góc). Nắm chắc trường hợp này, bạn sẽ giải được rất nhiều bài toán chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau — những dạng bài xuất hiện trong mọi bài kiểm tra hình học lớp 7. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ góc kề cạnh là gì, phát biểu đúng trường hợp góc – cạnh – góc, biết vì sao chỉ cần ba yếu tố là đủ, rồi luyện tập với ví dụ, lỗi sai thường gặp và bài tập có đáp án giải thích cặn kẽ.

1. Góc kề cạnh là gì? Hiểu đúng hai chữ "kề" trước đã

Trước khi học trường hợp góc – cạnh – góc, bạn phải hiểu thật chắc một khái niệm nhỏ nhưng rất quan trọng: góc kề cạnh. Trong một tam giác, mỗi cạnh đều có hai góc kề với nó — đó là hai góc có một cạnh là cạnh đó. Ví dụ, trong tam giác ABC, cạnh AB có hai góc kề là góc A và góc B: góc A có một cạnh là AB (cạnh còn lại là AC), góc B cũng có một cạnh là AB (cạnh còn lại là BC). Còn góc C thì không kề cạnh AB, vì không có cạnh nào của góc C trùng với AB — góc C được gọi là góc đối diện với cạnh AB.

Bạn hãy tập gọi tên thật nhanh: cạnh BC có hai góc kề là góc B và góc C; cạnh CA có hai góc kề là góc C và góc A. Mỗi cạnh có đúng hai góc kề, và mỗi góc kề với đúng hai cạnh. Nghe thì đơn giản, nhưng đây chính là chỗ nhiều bạn nhầm lẫn nhất khi làm bài: các bạn nhớ mang máng "một cạnh và hai góc bằng nhau" mà quên mất hai góc đó phải kề với cạnh đó. Nếu hai góc bằng nhau mà có một góc đối diện với cạnh bằng nhau thì đó không còn là trường hợp góc – cạnh – góc nguyên bản nữa — dù vẫn kết luận được hai tam giác bằng nhau nhờ một hệ quả mà bạn sẽ gặp ở mục 3, nhưng cách viết lời giải sẽ khác. Vì vậy, khi đọc đề bài, việc đầu tiên bạn làm là xác định xem hai góc đã cho có kề với cạnh đã cho hay không.

Có một mẹo nhỏ để kiểm tra nhanh: bạn hãy lấy tay che hai đầu mút của cạnh đó lại. Hai góc nằm ngay tại hai đầu mút ấy chính là hai góc kề của cạnh đó. Góc còn lại, nằm ở đỉnh đối diện, là góc đối diện. Bạn thử với tam giác ABC: che hai điểm A và B lại, bạn thấy ngay góc A và góc B — đó là hai góc kề cạnh AB. Che hai điểm B và C lại, bạn thấy góc B và góc C — đó là hai góc kề cạnh BC. Mẹo này tuy đơn giản nhưng cứu bạn khỏi rất nhiều lỗi sai trong phòng thi, nơi chỉ một phút lơ đãng cũng đủ làm mất điểm cả bài.

2. Công thức góc – cạnh – góc (g–c–g): phát biểu và cách viết kí hiệu

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác được phát biểu như sau: nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Nói ngắn gọn hơn: một cạnh và hai góc kề bằng nhau từng đôi một là đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau — không cần biết gì thêm về các cạnh và góc còn lại.

Với tam giác ABC và tam giác A'B'C', công thức được viết dưới dạng kí hiệu như sau: nếu góc A = góc A', AB = A'B', góc B = góc B' thì tam giác ABC = tam giác A'B'C' (g–c–g). Bạn hãy để ý thứ tự viết: góc A, cạnh AB, góc B — hai góc A và B chính là hai góc kề cạnh AB, còn cạnh AB nằm giữa hai góc đó. Cách viết này không phải ngẫu nhiên: nó nhắc bạn rằng cạnh bằng nhau phải nằm giữa hai góc bằng nhau, giống như chữ "cạnh" nằm giữa hai chữ "góc" trong tên gọi góc – cạnh – góc vậy.

Khi hai tam giác đã bằng nhau theo trường hợp g–c–g, bạn được phép suy ra tất cả các yếu tố còn lại cũng bằng nhau từng đôi một: AC = A'C', BC = B'C' và góc C = góc C'. Đây là phần thưởng của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau: chỉ cần chứng minh ba yếu tố, bạn nhận lại cả sáu yếu tố. Trong các bài toán chứng minh, người ta thường dùng đúng phần thưởng này — chứng minh hai tam giác bằng nhau theo g–c–g để suy ra hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau mà đề bài yêu cầu.

Bạn cũng nên nhớ vị trí của trường hợp này trong hệ thống ba trường hợp bằng nhau của tam giác thường: trường hợp thứ nhất là cạnh – cạnh – cạnh (c–c–c), cần ba cạnh; trường hợp thứ hai là cạnh – góc – cạnh (c–g–c), cần hai cạnh và góc xen giữa; trường hợp thứ ba là góc – cạnh – góc (g–c–g), cần một cạnh và hai góc kề. Cả ba trường hợp đều cần đúng ba yếu tố, và cả ba đều nhất thiết phải có ít nhất một cặp cạnh bằng nhau — vì chỉ có góc bằng nhau thôi thì hai tam giác mới chỉ đồng dạng, chưa đủ để bằng nhau. Bạn sẽ gặp lại ý này trong phần lỗi sai và câu hỏi thường gặp ở cuối bài.

3. Vì sao chỉ cần một cạnh và hai góc kề là đủ? Vẽ thử là thấy ngay

Bạn hãy thử vẽ một tam giác khi chỉ biết cạnh AB = 5 cm, góc A = 50° và góc B = 70°. Bạn vẽ đoạn thẳng AB dài 5 cm. Tại điểm A, bạn dùng thước đo góc vẽ tia Ax sao cho góc BAx = 50°. Tại điểm B, bạn vẽ tia By sao cho góc ABy = 70°, hướng vào phía trong. Hai tia Ax và By cắt nhau tại một điểm duy nhất — điểm đó chính là đỉnh C. Tam giác ABC vừa vẽ xong, và bất kì ai làm đúng ba bước này cũng vẽ ra đúng một tam giác như vậy, không thể vẽ ra tam giác thứ hai khác đi được. Đó là lí do vì sao một cạnh và hai góc kề là đủ: hai tia xuất phát từ hai đầu mút của cạnh chỉ gặp nhau tại đúng một điểm.

Bạn hãy thử đổi số liệu để cảm nhận rõ hơn: giữ nguyên AB = 5 cm nhưng đổi góc A thành 60°, góc B thành 80°. Hai tia bây giờ gặp nhau ở một điểm khác, tam giác mới có hình dạng khác hẳn — nhưng vẫn chỉ có một tam giác duy nhất ứng với ba số liệu đó. Ngược lại, nếu bạn chỉ biết hai góc mà không biết cạnh nào, bạn vẽ được vô số tam giác có cùng hai góc đó — to có, nhỏ có, tất cả đều giống nhau về hình dạng nhưng khác nhau về kích thước. Thiếu cạnh, tam giác chưa được "khóa" kích thước. Cạnh bằng nhau chính là cái khóa đó.

Có một hệ quả rất hay của trường hợp g–c–g mà sách giáo khoa cũng nhắc tới: nếu một cạnh, một góc kề và góc đối diện của tam giác này bằng một cạnh, một góc kề và góc đối diện của tam giác kia thì hai tam giác đó vẫn bằng nhau. Vì sao? Vì tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 180°, nên biết một góc kề và góc đối diện thì tính được ngay góc kề còn lại: góc kề còn lại bằng 180° trừ đi hai góc đã biết. Hai tam giác có cùng hai góc đã biết thì góc kề còn lại cũng bằng nhau, và ta quay về đúng trường hợp g–c–g. Bạn nhớ hệ quả này để làm bài cho nhanh: gặp đề bài cho một góc kề và một góc đối diện, đừng vội kết luận "không đủ điều kiện" — hãy tính góc thứ ba rồi áp dụng g–c–g như thường.

Trường hợp g–c–g còn có một ứng dụng quan trọng trong chương trình lớp 7: nó là cầu nối để chứng minh trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông, và trường hợp cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông. Bạn sẽ gặp lại các trường hợp này trong bài các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông — ở đó, góc vuông có sẵn giúp bạn chỉ cần thêm hai điều kiện là đủ kết luận. Và khi cần tính toán nhanh các góc còn lại trong tam giác, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ kiểm tra phép tính 180° trừ đi các góc đã biết.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Cho góc A = góc A' = 50°, AB = A'B' = 5, góc B = góc B' = 70°. Chứng minh hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau và tính góc C.
Đây là ví dụ gốc của bài. Xét hai tam giác ABC và A'B'C', ta có góc A = góc A' = 50°, AB = A'B' = 5, góc B = góc B' = 70°.
Hai góc A và B là hai góc kề cạnh AB, hai góc A' và B' là hai góc kề cạnh A'B'.
Vậy tam giác ABC = tam giác A'B'C' (g–c–g).
Vì hai tam giác bằng nhau nên góc C = góc C'. Mà góc C = 180° − góc A − góc B = 180° − 50° − 70° = 60°.
Vậy góc C = góc C' = 60°, đồng thời AC = A'C' và BC = B'C'.

Ví dụ 2 (tìm góc còn lại): Cho hai tam giác ABC và DEF có góc B = góc E = 60°, BC = EF = 7 cm, góc C = góc F = 45°. Chứng minh hai tam giác bằng nhau và tính góc A.
Xét hai tam giác ABC và DEF, ta có góc B = góc E = 60°, BC = EF = 7 cm, góc C = góc F = 45°.
Hai góc B và C là hai góc kề cạnh BC, hai góc E và F là hai góc kề cạnh EF.
Vậy tam giác ABC = tam giác DEF (g–c–g).
Vì hai tam giác bằng nhau nên góc A = góc D. Mà góc A = 180° − góc B − góc C = 180° − 60° − 45° = 75°.
Vậy góc A = góc D = 75°, đồng thời AB = DE và AC = DF.

Ví dụ 3 (chứng minh đoạn thẳng bằng nhau): Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy điểm M trên tia Oz, kẻ MA vuông góc với Ox tại A, MB vuông góc với Oy tại B. Chứng minh MA = MB.
Xét hai tam giác OMA và OMB, ta có góc AOM = góc BOM vì Oz là tia phân giác của góc xOy.
OM là cạnh chung của hai tam giác.
Góc OAM = góc OBM = 90° vì MA vuông góc với Ox và MB vuông góc với Oy.
Do đó góc AMO = 180° − 90° − góc AOM và góc BMO = 180° − 90° − góc BOM, mà góc AOM = góc BOM nên góc AMO = góc BMO.
Hai góc AOM và AMO là hai góc kề cạnh OM, hai góc BOM và BMO là hai góc kề cạnh OM.
Vậy tam giác OMA = tam giác OMB (g–c–g).
Vì hai tam giác bằng nhau nên MA = MB (hai cạnh tương ứng). Đây là tính chất quen thuộc: mọi điểm nằm trên tia phân giác của một góc đều cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ 4 (dùng góc đã biết để tính góc chưa biết): Cho hai tam giác ABC và MNP có AB = MN = 6 cm, góc A = góc M = 40°, góc B = góc N. Biết góc C = 100°. Tính góc P và góc B.
Xét hai tam giác ABC và MNP, ta có góc A = góc M = 40°, AB = MN = 6 cm, góc B = góc N.
Hai góc A và B là hai góc kề cạnh AB, hai góc M và N là hai góc kề cạnh MN.
Vậy tam giác ABC = tam giác MNP (g–c–g).
Vì hai tam giác bằng nhau nên góc P = góc C = 100°.
Góc B = 180° − góc A − góc C = 180° − 40° − 100° = 40°.
Vậy góc P = 100° và góc B = góc N = 40°. Bạn hãy kiểm tra lại: tổng ba góc của tam giác MNP là 40° + 40° + 100° = 180° — đúng.

5. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Nhầm góc kề với góc đối diện.
Nhiều bạn thấy đề bài cho một cạnh bằng nhau và hai góc bằng nhau là kết luận ngay hai tam giác bằng nhau theo g–c–g, mà không kiểm tra hai góc đó có kề cạnh ấy hay không. Ví dụ: hai tam giác có AB = DE, góc A = góc D và góc C = góc F — góc C đối diện cạnh AB, góc F đối diện cạnh DE, nên đây không phải là g–c–g nguyên bản. Cách tránh: vẽ hình ra giấy nháp, đánh dấu cạnh bằng nhau, rồi kiểm tra xem hai góc bằng nhau có nằm ở hai đầu mút của cạnh đó không. Nếu có một góc đối diện, hãy dùng hệ quả ở mục 3: tính góc kề còn lại bằng 180° trừ đi hai góc đã biết rồi mới kết luận g–c–g.

Lỗi 2: Ghép sai thứ tự tương ứng của các đỉnh.
Khi viết tam giác ABC = tam giác DEF (g–c–g), thứ tự các đỉnh phải tương ứng với nhau: đỉnh A ứng với đỉnh D, đỉnh B ứng với đỉnh E, đỉnh C ứng với đỉnh F. Nhiều bạn viết thứ tự tùy tiện, ví dụ chứng minh đúng nhưng lại viết tam giác ABC = tam giác DFE, rồi suy ra AB = DF — sai hoàn toàn, vì AB ứng với DE chứ không phải DF. Cách tránh: sau khi chứng minh xong, hãy viết lại một dòng liệt kê các cặp tương ứng: góc A = góc D, AB = DE, góc B = góc E — rồi mới viết kí hiệu hai tam giác bằng nhau theo đúng thứ tự đó.

Lỗi 3: Nhầm g–c–g với c–g–c.
Hai trường hợp này chỉ khác nhau ở "thực đơn" ba yếu tố: c–g–c cần hai cạnh và góc xen giữa, g–c–g cần một cạnh và hai góc kề. Nhiều bạn đếm đủ ba yếu tố bằng nhau là ghi bừa một trong hai tên. Ví dụ: hai tam giác có AB = DE, góc B = góc E, BC = EF — đây là c–g–c (góc B xen giữa AB và BC), không phải g–c–g. Cách tránh: đếm số cạnh trong ba yếu tố đã cho — nếu có hai cạnh thì là c–g–c, nếu chỉ có một cạnh thì mới xét tới g–c–g. Và nhớ kiểm tra thêm: góc trong c–g–c phải xen giữa hai cạnh đó, còn hai góc trong g–c–g phải kề cạnh đó.

Lỗi 4: Quên kiểm tra cạnh bằng nhau có nằm giữa hai góc bằng nhau không.
Có những bài cho một cạnh bằng nhau và hai góc bằng nhau, nhưng cạnh đó không phải là cạnh chung của hai góc ấy. Ví dụ: tam giác ABC có AB = 5 cm, góc A = 50°, góc C = 60°; tam giác DEF có DE = 5 cm, góc D = 50°, góc F = 60°. Cạnh AB nằm giữa góc A và góc B, nhưng góc B chưa biết — hai góc đã cho là góc A (kề AB) và góc C (đối diện AB). Bài này vẫn giải được nhờ hệ quả (tính góc B = 70° rồi áp dụng g–c–g), nhưng nếu bạn ghi thẳng "tam giác ABC = tam giác DEF (g–c–g)" mà không tính góc B thì lời giải chưa chặt chẽ. Cách tránh: luôn xác định rõ cạnh bằng nhau nằm giữa hai góc nào trước khi ghi tên trường hợp.

Lỗi 5: Tưởng ba góc bằng nhau là đủ để hai tam giác bằng nhau.
Nhiều bạn nghĩ "ba góc bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau" vì nghe giống như "ba cạnh bằng nhau thì hai tam giác bằng nhau". Nhưng ba góc bằng nhau chỉ cho biết hai tam giác có cùng hình dạng — tức là đồng dạng — còn kích thước có thể khác nhau hoàn toàn: một tam giác nhỏ xíu và một tam giác khổng lồ vẫn có thể có ba góc bằng nhau từng đôi một. Muốn kết luận bằng nhau, nhất thiết phải có ít nhất một cặp cạnh bằng nhau để "khóa" kích thước. Cách tránh: nhớ câu thần chú "không có cạnh thì không có bằng nhau" — mọi trường hợp bằng nhau (c–c–c, c–g–c, g–c–g) đều chứa ít nhất một cặp cạnh bằng nhau.

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ vẽ hình ra giấy nháp trước khi làm — vẽ hình là một nửa của bài làm.

Câu 1: Cho hai tam giác ABC và DEF có góc A = góc D = 50°, AB = DE = 5 cm, góc B = góc E = 70°. Kết luận nào sau đây đúng?
A. Tam giác ABC = tam giác DEF (c–c–c)
B. Tam giác ABC = tam giác DEF (g–c–g)
C. Tam giác ABC = tam giác DEF (c–g–c)
D. Không kết luận được hai tam giác bằng nhau

Câu 2: Cho tam giác ABC = tam giác MNP (g–c–g). Biết AB = MN = 6 cm, góc A = 40°, góc B = 60°. Góc P bằng bao nhiêu?
A. 40°
B. 60°
C. 100°
D. 80°

Câu 3: Khẳng định nào sau đây SAI?
A. Trường hợp g–c–g cần một cạnh và hai góc kề cạnh đó bằng nhau
B. Nếu hai tam giác có ba góc bằng nhau từng đôi một thì chúng bằng nhau
C. Trong trường hợp g–c–g, cạnh bằng nhau phải là cạnh chung của hai góc bằng nhau
D. Trường hợp g–c–g là trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác

Câu 4: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Hai tam giác AMB và DMC bằng nhau theo trường hợp nào?
A. Cạnh – cạnh – cạnh
B. Cạnh – góc – cạnh
C. Góc – cạnh – góc
D. Không bằng nhau

Câu 5: Cho hai tam giác ABC và DEF có góc B = góc E = 60°, BC = EF = 8 cm, góc C = góc F = 45°. Biết AB = 5 cm. Độ dài DE bằng bao nhiêu?
A. 5 cm
B. 6 cm
C. 8 cm
D. Không tính được

Giải thích Câu 1 — Đáp án B đúng: Góc A và góc B là hai góc kề cạnh AB, góc D và góc E là hai góc kề cạnh DE, mà góc A = góc D, AB = DE, góc B = góc E nên tam giác ABC = tam giác DEF (g–c–g). Đáp án A sai vì trường hợp c–c–c cần ba cạnh bằng nhau, ở đây chỉ biết một cạnh. Đáp án C sai vì trường hợp c–g–c cần hai cạnh và góc xen giữa, ở đây chỉ có một cạnh bằng nhau. Đáp án D sai vì đủ điều kiện g–c–g nên kết luận được.

Giải thích Câu 2 — Đáp án D (80°) đúng: Vì tam giác ABC = tam giác MNP nên góc C = góc P. Mà góc C = 180° − góc A − góc B = 180° − 40° − 60° = 80°, vậy góc P = 80°. Đáp án A (40°) sai vì 40° là số đo góc A, mà góc P ứng với góc C chứ không ứng với góc A. Đáp án B (60°) sai vì 60° là số đo góc B, mà góc P ứng với góc C. Đáp án C (100°) sai vì không có phép tính nào cho ra 100° từ 40° và 60°.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B sai: Hai tam giác có ba góc bằng nhau từng đôi một chỉ đồng dạng với nhau, chưa chắc đã bằng nhau — chúng có thể khác nhau về kích thước. Muốn kết luận bằng nhau phải có thêm ít nhất một cặp cạnh bằng nhau. Đáp án A đúng vì đó chính là phát biểu của trường hợp g–c–g. Đáp án C đúng vì cạnh bằng nhau phải nằm giữa hai góc bằng nhau. Đáp án D đúng vì g–c–g là trường hợp thứ ba sau c–c–c và c–g–c.

Giải thích Câu 4 — Đáp án B (c–g–c) đúng: Xét hai tam giác AMB và DMC, ta có AM = DM (giả thiết), góc AMB = góc DMC (hai góc đối đỉnh), BM = CM (M là trung điểm của BC). Đây là hai cạnh và góc xen giữa nên hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Đáp án A sai vì chỉ biết hai cạnh bằng nhau, chưa biết cạnh thứ ba. Đáp án C sai vì chỉ có một cặp góc bằng nhau, không có hai góc kề một cạnh. Đáp án D sai vì đủ điều kiện c–g–c nên hai tam giác bằng nhau.

Giải thích Câu 5 — Đáp án A (5 cm) đúng: Góc B và góc C là hai góc kề cạnh BC, góc E và góc F là hai góc kề cạnh EF, mà góc B = góc E, BC = EF, góc C = góc F nên tam giác ABC = tam giác DEF (g–c–g). Vì hai tam giác bằng nhau nên DE = AB = 5 cm. Đáp án B (6 cm) sai vì không có số liệu nào cho ra 6 cm. Đáp án C (8 cm) sai vì 8 cm là độ dài cạnh BC, mà DE ứng với AB chứ không ứng với BC. Đáp án D sai vì tính được DE nhờ hai tam giác bằng nhau.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Trường hợp g–c–g khác trường hợp c–g–c ở điểm nào?
Đáp: Khác nhau ở "thực đơn" ba yếu tố: c–g–c cần hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó, còn g–c–g cần một cạnh và hai góc kề cạnh đó. Bạn chỉ cần đếm số cạnh trong ba yếu tố đã cho: hai cạnh thì nghĩ tới c–g–c, một cạnh thì nghĩ tới g–c–g. Cả hai đều là trường hợp bằng nhau của tam giác thường và đều cần đúng ba yếu tố.

Hỏi: Một cạnh, một góc kề và góc đối diện bằng nhau có đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau không?
Đáp: Có. Đây là hệ quả của trường hợp g–c–g: vì tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên biết một góc kề và góc đối diện thì tính được ngay góc kề còn lại, và ta quay về đúng trường hợp g–c–g. Bạn nhớ tính góc thứ ba ra giấy rồi mới ghi kết luận cho chặt chẽ.

Hỏi: Ba góc bằng nhau thì hai tam giác có bằng nhau không?
Đáp: Không. Ba góc bằng nhau chỉ cho biết hai tam giác đồng dạng — cùng hình dạng nhưng có thể khác kích thước. Muốn kết luận bằng nhau, nhất thiết phải có ít nhất một cặp cạnh bằng nhau. Đây là lỗi sai rất phổ biến, bạn hãy ghi nhớ: không có cạnh thì không có bằng nhau.

Hỏi: Vì sao chứng minh hai tam giác bằng nhau nhất thiết cần ít nhất một cặp cạnh bằng nhau?
Đáp: Vì góc chỉ quyết định hình dạng, còn cạnh mới quyết định kích thước. Hai tam giác có cùng ba góc có thể là một tam giác nhỏ và một tam giác lớn gấp mười lần — giống hệt nhau về hình dạng nhưng không bằng nhau. Một cặp cạnh bằng nhau sẽ "khóa" kích thước của hai tam giác lại bằng nhau, từ đó mọi yếu tố còn lại cũng bằng nhau theo.

Hỏi: Trường hợp g–c–g dùng để làm gì trong các bài toán chứng minh?
Đáp: Rất nhiều. Người ta thường chứng minh hai tam giác bằng nhau theo g–c–g để suy ra hai đoạn thẳng bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau mà đề bài yêu cầu — ví dụ chứng minh một điểm nằm trên tia phân giác thì cách đều hai cạnh của góc, hay chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng. Bạn hãy xem lại ví dụ 3 ở mục 4 để thấy cách dùng này.

8. Kết luận

Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác — góc – cạnh – góc — chỉ cần đúng ba yếu tố: một cạnh và hai góc kề cạnh đó bằng nhau từng đôi một là đủ để kết luận hai tam giác bằng nhau. Bạn hãy nhớ kĩ hai chữ "kề": hai góc phải nằm ở hai đầu mút của cạnh bằng nhau thì mới gọi là g–c–g, còn nếu có một góc đối diện thì hãy tính góc thứ ba rồi mới kết luận. Và đừng bao giờ quên: không có cạnh thì không có bằng nhau — ba góc bằng nhau mới chỉ cho đồng dạng. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán về trường hợp g–c–g trong chương trình lớp 7 — và bạn cũng đã có trong tay một công cụ để học bài tiếp theo về tam giác vuông, vì các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông cũng xây dựng trên chính ba trường hợp này. Nếu muốn ôn lại trường hợp đầu tiên, bạn hãy xem lại bài hai tam giác bằng nhau — ở đó, hai tam giác bằng nhau khi cả sáu yếu tố bằng nhau từng đôi một. Và khi học sang bài các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, bạn sẽ thấy góc vuông có sẵn giúp bạn chỉ cần thêm hai điều kiện là đủ kết luận hai tam giác vuông bằng nhau.