Bạn hãy cầm một chiếc kéo lên và mở nó ra. Hai lưỡi kéo tạo với nhau một góc ở phía trên, và ở phía dưới — đối diện qua điểm giao nhau của hai lưỡi kéo — cũng có một góc giống hệt như vậy. Bạn mở kéo rộng ra hay khép lại, hai góc đối diện nhau qua điểm giao nhau đó luôn bằng nhau, lúc nào cũng vậy. Hai góc đó được gọi là hai góc đối đỉnh, và tính chất "đối đỉnh thì bằng nhau" là một trong những tính chất đẹp nhất, gọn nhất của hình học lớp 7. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hai góc đối đỉnh là gì, vì sao chúng luôn bằng nhau, và cách dùng tính chất này để tính góc nhanh hơn cả khi dùng thước đo.
Trong chương trình Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", góc đối đỉnh nằm trong Chương III: Góc và đường thẳng song song, ở Bài 8: Góc ở vị trí đặc biệt. Tia phân giác của một góc — ngay sau phần góc kề bù. Hai bài học này gắn chặt với nhau: muốn chứng minh hai góc đối đỉnh bằng nhau, bạn phải dùng tính chất của hai góc kề bù. Học xong bài này, mỗi lần nhìn thấy hai đường thẳng cắt nhau, bạn sẽ tự động nhìn ra hai cặp góc đối đỉnh và biết ngay góc nào bằng góc nào — mà không cần đo đạc gì cả.
1. Hai đường thẳng cắt nhau tạo ra bốn góc như thế nào?
Bạn hãy vẽ hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại điểm O. Ngay lập tức, bốn góc xuất hiện quanh điểm O: góc xOy ở phía trên, góc yOx' ở phía bên phải, góc x'Oy' ở phía dưới, và góc y'Ox ở phía bên trái. Bốn góc này xếp quanh điểm O, góc nào cũng có một góc kề với nó và một góc đối diện với nó qua điểm O.
Bạn hãy để ý một điều thú vị: bốn góc này tạo thành hai cặp góc kề bù. Góc xOy kề bù với góc yOx', vì chúng có chung cạnh Oy, hai cạnh còn lại là Ox và Ox' — mà Ox và Ox' là hai tia đối nhau. Tương tự, góc yOx' kề bù với góc x'Oy', góc x'Oy' kề bù với góc y'Ox, và góc y'Ox kề bù với góc xOy. Bốn góc quanh điểm O xếp thành một vòng tròn khép kín, góc nào cũng kề bù với hai góc bên cạnh nó.
Điều này có nghĩa là: nếu bạn biết số đo của một trong bốn góc, bạn tính được ngay số đo của hai góc kề với nó (lấy 180° trừ đi góc đã biết), và góc còn lại — góc đối diện với góc đã biết qua điểm O — thì bằng đúng góc đã biết. Đó chính là tính chất của hai góc đối đỉnh mà chúng ta sắp học. Bạn hãy nhớ hình ảnh bốn góc quanh điểm O như bốn miếng bánh xếp quanh một cái đĩa tròn: miếng đối diện miếng nào thì bằng miếng đó.
2. Hai góc đối đỉnh là gì? Mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia
Định nghĩa chính xác trong sách giáo khoa như sau: hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia. Bạn hãy phân tích định nghĩa này với hình hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O. Góc xOy có hai cạnh là Ox và Oy. Góc x'Oy' có hai cạnh là Ox' và Oy'. Mà Ox' là tia đối của Ox, Oy' là tia đối của Oy — tức là mỗi cạnh của góc x'Oy' đều là tia đối của một cạnh của góc xOy. Vậy góc xOy và góc x'Oy' là hai góc đối đỉnh.
Tương tự, góc yOx' và góc y'Ox cũng là hai góc đối đỉnh, vì Oy' là tia đối của Oy và Ox là tia đối của Ox'. Vậy hai đường thẳng cắt nhau tạo ra đúng hai cặp góc đối đỉnh: cặp góc xOy với góc x'Oy', và cặp góc yOx' với góc y'Ox. Bạn hãy nhớ kĩ: hai đường thẳng cắt nhau thì tạo ra hai cặp góc đối đỉnh, không phải một cặp, không phải bốn cặp.
Bạn hãy lấy lại ví dụ chiếc kéo. Hai lưỡi kéo là hai đường thẳng cắt nhau tại điểm chốt. Góc mở của kéo ở phía trên và góc ở phía dưới, đối diện qua điểm chốt, là một cặp góc đối đỉnh. Hai góc ở hai bên trái và phải của điểm chốt là cặp góc đối đỉnh còn lại. Khi bạn mở kéo rộng ra, góc ở phía trên lớn lên, góc đối đỉnh ở phía dưới cũng lớn lên theo — hai góc này luôn bằng nhau, dù bạn mở kéo rộng hay hẹp.
Một cách nhận biết nhanh: hai góc đối đỉnh thì "đối diện nhau qua đỉnh", giống như hai người đứng đối diện nhau qua một cái bàn. Đỉnh O nằm giữa hai góc, và hai góc không có cạnh chung nào — chúng chỉ gặp nhau tại đúng một điểm là đỉnh O. Nếu hai góc có chung một cạnh thì chúng không phải là hai góc đối đỉnh, mà là hai góc kề nhau. Bạn hãy nhớ dấu hiệu này để phân biệt: đối đỉnh thì không chung cạnh, kề nhau thì chung cạnh.
3. Tính chất: hai góc đối đỉnh thì bằng nhau — và vì sao lại như vậy?
Tính chất của bài này chỉ có một dòng, nhưng nó là một trong những tính chất được dùng nhiều nhất trong hình học lớp 7: hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Bạn hãy xem chứng minh của tính chất này, vì nó cho thấy góc kề bù và góc đối đỉnh liên quan với nhau như thế nào.
Bạn hãy lấy hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O. Góc xOy và góc x'Oy' là hai góc đối đỉnh. Bây giờ bạn hãy nhìn góc yOx' — góc này kề bù với góc xOy, vì chúng có chung cạnh Oy và hai cạnh còn lại Ox, Ox' là hai tia đối nhau. Góc yOx' cũng kề bù với góc x'Oy', vì chúng có chung cạnh Oy' và hai cạnh còn lại Ox, Ox' cũng là hai tia đối nhau. Vậy góc xOy và góc x'Oy' cùng kề bù với một góc thứ ba là góc yOx'. Mà hai góc cùng kề bù với một góc thì bằng nhau: góc xOy = 180° − góc yOx', góc x'Oy' = 180° − góc yOx', nên góc xOy = góc x'Oy'. Đó chính là chứng minh của tính chất hai góc đối đỉnh bằng nhau — và bạn thấy không, toàn bộ chứng minh chỉ dùng tính chất hai góc kề bù có tổng bằng 180°.
Bạn hãy thử với số đo cụ thể để thấy tính chất này đúng như thế nào. Giả sử góc xOy bằng 70°. Góc yOx' kề bù với góc xOy nên bằng 180° − 70° = 110°. Góc x'Oy' đối đỉnh với góc xOy nên bằng 70°. Góc y'Ox đối đỉnh với góc yOx' nên bằng 110°. Bốn góc quanh điểm O là 70°, 110°, 70°, 110° — cộng lại vừa đúng 360°, tức là một vòng tròn đầy đủ quanh điểm O. Bạn thấy không, chỉ cần biết một góc là biết cả bốn góc.
Một điểm quan trọng: mỗi góc chỉ có duy nhất một góc đối đỉnh với nó. Góc xOy chỉ đối đỉnh với góc x'Oy', không đối đỉnh với góc nào khác. Điều này khác với góc kề bù: một góc có thể kề bù với hai góc khác nhau (hai góc ở hai bên của nó). Bạn hãy nhớ kĩ điểm này, vì đề bài thường hỏi "góc đối đỉnh với góc xOy là góc nào" — đáp án chỉ có một.
4. Cách tìm góc đối đỉnh nhanh như chớp: biết một góc, biết cả bốn góc
Từ tính chất hai góc đối đỉnh bằng nhau và tính chất hai góc kề bù có tổng bằng 180°, bạn có ngay một cách tính rất nhanh: khi hai đường thẳng cắt nhau và bạn biết số đo của một góc, bạn tính được ngay số đo của cả ba góc còn lại. Góc đối đỉnh với góc đã biết thì bằng đúng góc đã biết. Hai góc kề với góc đã biết thì bằng 180° trừ đi góc đã biết.
Bạn hãy thử tính nhẩm. Hai đường thẳng cắt nhau, một góc bằng 125°. Góc đối đỉnh với nó bằng 125°. Hai góc còn lại, mỗi góc bằng 180° − 125° = 55°. Vậy bốn góc là 125°, 55°, 125°, 55°. Bạn làm phép tính này trong đầu chỉ mất vài giây — nhanh hơn nhiều so với việc lấy thước đo góc ra đo từng góc một.
Một trường hợp đặc biệt rất hay gặp trong bài tập: nếu một trong bốn góc bằng 90° thì cả bốn góc đều bằng 90°. Vì sao? Góc đối đỉnh với góc 90° bằng 90°, hai góc kề với góc 90° bằng 180° − 90° = 90°. Vậy cả bốn góc đều là góc vuông — và hai đường thẳng đó được gọi là hai đường thẳng vuông góc. Bạn sẽ học kĩ về hai đường thẳng vuông góc ở bài sau, nhưng ngay từ bây giờ bạn đã có thể nhận ra: chỉ cần một góc vuông xuất hiện khi hai đường thẳng cắt nhau thì ba góc còn lại cũng vuông.
Một mẹo nhỏ: khi đề bài cho hình hai đường thẳng cắt nhau mà không cho số đo cụ thể, bạn hãy đặt tên cho các góc theo chiều kim đồng hồ — góc thứ nhất là x, góc thứ hai là 180° − x, góc thứ ba là x, góc thứ tư là 180° − x. Cách đặt tên này giúp bạn viết lời giải gọn gàng và không bao giờ nhầm góc nào đối đỉnh với góc nào. Khi cần kiểm tra lại các phép trừ góc, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
5. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Góc đối đỉnh với góc 70° bằng bao nhiêu?
Đây là ví dụ gốc của bài. Vì hai góc đối đỉnh thì bằng nhau nên góc đối đỉnh với góc 70° bằng 70°.
Vậy đáp số là 70°. Bài này chỉ cần nhớ tính chất là làm được ngay, không cần tính toán gì thêm.
Ví dụ 2 (tìm cả bốn góc): Hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O, góc xOy bằng 130°. Tính số đo ba góc còn lại.
Góc x'Oy' đối đỉnh với góc xOy nên bằng 130°.
Góc xOy' kề bù với góc xOy nên bằng 180° − 130° = 50°.
Góc x'Oy đối đỉnh với góc xOy' nên bằng 50°.
Vậy ba góc còn lại là 130°, 50°, 50°. Bạn hãy kiểm tra lại: 130° + 50° + 130° + 50° = 360° — đúng là tổng bốn góc quanh một điểm.
Ví dụ 3 (tìm góc kề bù rồi dùng đối đỉnh): Hai đường thẳng ab và cd cắt nhau tại O, góc aOc bằng 45°. Tính góc bOd và góc aOd.
Góc bOd đối đỉnh với góc aOc nên bằng 45°.
Góc aOd kề bù với góc aOc nên bằng 180° − 45° = 135°.
Vậy góc bOd bằng 45°, góc aOd bằng 135°. Bài này nhắc bạn một điều: góc đối đỉnh thì lấy số đo y nguyên, góc kề bù thì lấy 180° trừ đi. Hai thao tác này khác nhau hoàn toàn, đừng nhầm lẫn.
Ví dụ 4 (bài toán thực tế): Hai con đường cắt nhau tại một ngã tư. Một góc tạo bởi hai con đường là 60°. Hỏi ba góc còn lại tại ngã tư đó bằng bao nhiêu?
Hai con đường cắt nhau tạo thành bốn góc quanh ngã tư, giống như hai đường thẳng cắt nhau.
Góc đối diện với góc 60° thì bằng 60° (đối đỉnh).
Hai góc còn lại, mỗi góc kề bù với góc 60° nên bằng 180° − 60° = 120°.
Vậy ba góc còn lại là 60°, 120°, 120°. Bài này cho thấy góc đối đỉnh không chỉ nằm trong sách vở — mỗi lần bạn đứng ở một ngã tư, bốn góc quanh bạn đều tuân theo tính chất này.
6. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm góc đối đỉnh với góc kề bù.
Nhiều bạn thấy hai góc có chung đỉnh O là kết luận ngay chúng đối đỉnh. Nhưng hai góc đối đỉnh thì không có cạnh chung nào, còn hai góc kề bù thì có chung một cạnh. Ví dụ: góc xOy và góc yOx' có chung đỉnh O và chung cạnh Oy — chúng kề bù, không phải đối đỉnh. Cách tránh: kiểm tra xem hai góc có cạnh chung không — có cạnh chung thì không phải đối đỉnh.
Lỗi 2: Tưởng hai góc đối đỉnh thì bù nhau.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau, không phải bù nhau. Một góc 70° thì góc đối đỉnh với nó bằng 70°, không phải 110°. Lỗi này xuất phát từ việc nhầm tính chất đối đỉnh với tính chất kề bù. Cách tránh: nhớ kĩ hai câu — "đối đỉnh thì bằng nhau" và "kề bù thì cộng lại bằng 180°". Hai câu này nói về hai loại góc khác nhau, đừng trộn lẫn.
Lỗi 3: Tưởng hai đường thẳng cắt nhau tạo ra bốn cặp góc đối đỉnh.
Hai đường thẳng cắt nhau chỉ tạo ra hai cặp góc đối đỉnh, vì mỗi góc chỉ có một góc đối đỉnh duy nhất. Bốn góc quanh điểm O xếp thành hai cặp: cặp thứ nhất là góc trên với góc dưới, cặp thứ hai là góc trái với góc phải. Cách tránh: đếm cặp góc đối đỉnh bằng cách đếm số góc rồi chia đôi — bốn góc thì có hai cặp, sáu góc (khi ba đường thẳng cùng đi qua một điểm) thì có ba cặp.
Lỗi 4: Nhầm góc đối đỉnh với góc so le trong.
Góc so le trong xuất hiện khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác — đó là kiến thức của bài hai đường thẳng song song, không phải bài này. Nhiều bạn thấy hai góc bằng nhau là nghĩ ngay đến đối đỉnh. Cách tránh: góc đối đỉnh chỉ xuất hiện khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm, còn góc so le trong xuất hiện khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng tại hai điểm khác nhau. Vị trí của hai góc khác nhau hoàn toàn.
Lỗi 5: Quên rằng tổng bốn góc quanh một điểm bằng 360°.
Sau khi tính xong ba góc còn lại, nhiều bạn không kiểm tra lại tổng bốn góc. Nếu tổng bốn góc khác 360° thì chắc chắn bạn đã tính sai một góc nào đó. Cách tránh: sau khi tính xong, hãy cộng nhanh bốn góc lại — 70° + 110° + 70° + 110° = 360°. Phép kiểm tra này chỉ tốn vài giây nhưng giúp bạn phát hiện sai sót ngay lập tức.
7. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ vẽ hình ra giấy nháp trước khi tính — vẽ hình là một nửa của bài làm.
Câu 1: Góc đối đỉnh với góc 70° bằng bao nhiêu?
A. 110°
B. 70°
C. 20°
D. 140°
Câu 2: Hai đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O, góc xOy bằng 125°. Góc x'Oy' bằng bao nhiêu?
A. 55°
B. 125°
C. 65°
D. 235°
Câu 3: Khẳng định nào sau đây đúng về hai góc đối đỉnh?
A. Chúng bù nhau
B. Chúng bằng nhau
C. Tổng của chúng bằng 90°
D. Chúng kề nhau
Câu 4: Góc xOy bằng 45°. Góc đối đỉnh với góc kề bù của góc xOy bằng bao nhiêu?
A. 45°
B. 135°
C. 90°
D. 180°
Câu 5: Hai đường thẳng cắt nhau tại O tạo thành bốn góc, trong đó một góc bằng 60°. Ba góc còn lại bằng bao nhiêu?
A. 60°, 120°, 120°
B. 120°, 60°, 60°
C. 60°, 60°, 60°
D. 120°, 120°, 120°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | B | B | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (70°) đúng: Vì hai góc đối đỉnh thì bằng nhau nên góc đối đỉnh với góc 70° bằng 70°. Đáp án A (110°) sai vì 110° = 180° − 70° — đó là góc kề bù với góc 70°, không phải góc đối đỉnh. Đáp án C (20°) sai vì lấy 90° − 70° = 20° — đó là cách tính góc phụ nhau. Đáp án D (140°) sai vì lấy 70° × 2 = 140° — phép nhân không liên quan gì đến tính chất đối đỉnh.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (125°) đúng: Góc x'Oy' đối đỉnh với góc xOy nên bằng 125°. Đáp án A (55°) sai vì 55° = 180° − 125° — đó là góc kề bù với góc xOy (góc xOy' hoặc góc x'Oy), không phải góc đối đỉnh. Đáp án C (65°) sai vì không có phép tính nào cho ra 65° từ 125°. Đáp án D (235°) sai vì 235° lớn hơn 180°, không thể là số đo của một góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B đúng: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau — đó chính là tính chất của hai góc đối đỉnh. Đáp án A sai vì hai góc đối đỉnh không bù nhau, chúng bằng nhau. Đáp án C sai vì tổng của hai góc đối đỉnh bằng hai lần số đo của một góc, không nhất thiết bằng 90°. Đáp án D sai vì hai góc đối đỉnh không có cạnh chung nào — chúng chỉ gặp nhau tại đỉnh O.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (135°) đúng: Góc kề bù với góc xOy bằng 180° − 45° = 135°. Góc đối đỉnh với góc kề bù đó thì bằng đúng góc kề bù đó, tức là 135°. Đáp án A (45°) sai vì 45° là số đo của góc xOy ban đầu, không phải của góc đối đỉnh với góc kề bù của nó. Đáp án C (90°) sai vì không có phép tính nào cho ra 90° trong bài này. Đáp án D (180°) sai vì 180° là tổng của hai góc kề bù, không phải số đo của một góc.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Góc đối đỉnh với góc 60° bằng 60°. Hai góc còn lại, mỗi góc kề bù với góc 60° nên bằng 180° − 60° = 120°. Vậy ba góc còn lại là 60°, 120°, 120°. Đáp án B sai vì thứ tự các góc bị đảo lộn — góc đối đỉnh phải bằng 60°, không phải 120°. Đáp án C sai vì nếu cả ba góc còn lại đều bằng 60° thì tổng bốn góc là 240°, khác 360°. Đáp án D sai vì nếu cả ba góc còn lại đều bằng 120° thì không có góc nào đối đỉnh với góc 60°.
8. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Hai góc đối đỉnh có chung cạnh không?
Đáp: Không. Hai góc đối đỉnh chỉ gặp nhau tại đúng một điểm là đỉnh chung. Mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia, nên hai góc không có cạnh chung nào. Nếu hai góc có chung một cạnh thì chúng là hai góc kề nhau, không phải đối đỉnh.
Hỏi: Hai đường thẳng cắt nhau tạo ra mấy cặp góc đối đỉnh?
Đáp: Hai cặp. Bốn góc quanh giao điểm xếp thành hai cặp: cặp góc trên với góc dưới, cặp góc trái với góc phải. Mỗi góc chỉ có duy nhất một góc đối đỉnh với nó, nên bốn góc tạo thành đúng hai cặp.
Hỏi: Hai góc đối đỉnh có thể là hai góc vuông không?
Đáp: Có. Nếu một góc bằng 90° thì góc đối đỉnh với nó cũng bằng 90°. Khi đó cả bốn góc quanh giao điểm đều bằng 90°, và hai đường thẳng đó vuông góc với nhau. Đây là trường hợp đặc biệt rất hay gặp trong bài tập.
Hỏi: Vì sao hai góc đối đỉnh luôn bằng nhau?
Đáp: Vì cả hai góc cùng kề bù với một góc thứ ba. Góc thứ nhất bằng 180° trừ đi góc thứ ba, góc thứ hai cũng bằng 180° trừ đi góc thứ ba, nên hai góc bằng nhau. Chứng minh này chỉ dùng tính chất hai góc kề bù có tổng bằng 180° — đó là lí do vì sao bạn phải học góc kề bù trước khi học góc đối đỉnh.
Hỏi: Góc đối đỉnh khác góc so le trong ở điểm nào?
Đáp: Góc đối đỉnh xuất hiện khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm, hai góc đối diện nhau qua điểm đó. Góc so le trong xuất hiện khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng tại hai điểm khác nhau, hai góc nằm ở hai phía khác nhau của đường cắt và ở phía trong giữa hai đường thẳng. Hai khái niệm này thuộc hai bài học khác nhau, đừng nhầm lẫn.
9. Kết luận
Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia — chúng đối diện nhau qua đỉnh chung, không có cạnh chung nào, và tính chất của chúng chỉ có một dòng: hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Từ tính chất này kết hợp với tính chất hai góc kề bù có tổng bằng 180°, bạn có thể tính được cả bốn góc quanh giao điểm của hai đường thẳng chỉ từ số đo của một góc. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán về góc đối đỉnh trong chương trình lớp 7 — và bạn cũng đã có trong tay một công cụ để học bài tiếp theo về tia phân giác, vì tia phân giác cũng là một tia chia một góc thành hai góc bằng nhau, giống như cách hai góc đối đỉnh bằng nhau vậy. Nếu muốn ôn lại tính chất đã dùng để chứng minh góc đối đỉnh bằng nhau, bạn hãy xem lại bài hai góc kề nhau, bù nhau và kề bù — ở đó, hai góc kề bù cộng lại bằng 180° chính là chìa khóa của mọi chứng minh trong bài này. Và khi học sang bài tính chất tia phân giác của một góc, bạn sẽ thấy tia phân giác cũng tạo ra hai góc bằng nhau, chỉ khác là hai góc đó kề nhau chứ không đối đỉnh.