Bạn muốn biết một cái cây cao bao nhiêu mét nhưng không thể trèo lên để đo. Bạn đứng cách gốc cây một khoảng đã biết, ngước nhìn lên ngọn cây và đo được góc ngước lên là bao nhiêu độ. Chỉ với khoảng cách và góc đó, bạn có thể tính ra chiều cao của cây — mà không cần chạm vào nó. Bí quyết nằm ở bốn con số gọi là tỉ số lượng giác của góc nhọn: sin, cos, tan và cot. Bài viết này sẽ chỉ cho bạn bốn tỉ số đó là gì, tính như thế nào, và vì sao chúng là "chiếc thước đo gián tiếp" mạnh nhất của hình học lớp 9.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", tỉ số lượng giác của góc nhọn nằm trong Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, ở Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn. Đây là bài học mở đầu cho cả chương — mọi bài sau đó, từ hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông cho tới ứng dụng thực tế đo chiều cao, khoảng cách, đều xây dựng trên bốn tỉ số này. Học xong bài này, bạn sẽ tính được sin, cos, tan, cot của bất kì góc nhọn nào trong tam giác vuông, thuộc lòng giá trị của các góc đặc biệt 30°, 45°, 60°, và biết cách dùng chúng để đo những thứ không thể đo trực tiếp.
1. Tỉ số lượng giác là gì? Bốn tỉ số của một góc nhọn
Cho tam giác ABC vuông tại A, xét góc nhọn B. Ba cạnh của tam giác có tên gọi riêng theo góc B: cạnh BC đối diện góc vuông gọi là cạnh huyền; cạnh AC đối diện góc B gọi là cạnh đối của góc B; cạnh AB kề với góc B (và không phải cạnh huyền) gọi là cạnh kề của góc B. Bốn tỉ số lượng giác của góc B là bốn tỉ số giữa các cạnh này với nhau. Bạn hãy nhớ kĩ ba cái tên đối, kề, huyền — vì mọi công thức của bài này đều viết bằng ba từ đó.
Bốn tỉ số lượng giác được định nghĩa như sau: sin của góc B bằng cạnh đối chia cạnh huyền, viết là sin B = đối / huyền; cos của góc B bằng cạnh kề chia cạnh huyền, viết là cos B = kề / huyền; tan của góc B bằng cạnh đối chia cạnh kề, viết là tan B = đối / kề; cot của góc B bằng cạnh kề chia cạnh đối, viết là cot B = kề / đối. Bạn hãy chú ý: sin và cos đều chia cho cạnh huyền, còn tan và cot chia cho nhau — tan là "đối trên kề", cot là "kề trên đối", hai tỉ số này là nghịch đảo của nhau.
Để nhớ bốn công thức này, học sinh Việt Nam có một câu thần chú rất nổi tiếng: "Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn". Bạn hãy giải nghĩa từng vế: "Sin đi học" — sin bằng đối (đi) chia huyền (học); "Cos không hư" — cos bằng kề (không) chia huyền (hư); "Tan đoàn kết" — tan bằng đối (đoàn) chia kề (kết); "Cot kết đoàn" — cot bằng kề (kết) chia đối (đoàn). Câu thần chú này đã giúp bao thế hệ học sinh nhớ bốn công thức trong vài phút. Bạn hãy học thuộc nó ngay bây giờ, vì nó sẽ theo bạn suốt chương trình lớp 9.
2. Ví dụ gốc: tam giác 3 – 4 – 5 và bốn tỉ số của góc B
Bạn hãy xem bốn tỉ số này qua ví dụ gốc của bài: tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3, AC = 4, BC = 5. Đây là tam giác vuông nổi tiếng nhất trong toán học — bộ ba 3, 4, 5 thỏa mãn định lí Pythagore: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Xét góc B: cạnh đối của góc B là AC = 4, cạnh kề của góc B là AB = 3, cạnh huyền là BC = 5. Vậy sin B = đối / huyền = 4 / 5 = 0,8; cos B = kề / huyền = 3 / 5 = 0,6; tan B = đối / kề = 4 / 3; cot B = kề / đối = 3 / 4.
Bạn hãy kiểm tra lại các kết quả này bằng hai tính chất quan trọng. Thứ nhất, sin²B + cos²B = (4/5)² + (3/5)² = 16/25 + 9/25 = 25/25 = 1 — đúng với đẳng thức sin²α + cos²α = 1, vốn đúng với mọi góc nhọn α. Thứ hai, tan B × cot B = (4/3) × (3/4) = 1 — đúng với tính chất tan α × cot α = 1. Hai phép kiểm tra này rất hữu ích: nếu bạn tính ra sin² + cos² khác 1 thì chắc chắn bạn đã tính sai ở đâu đó. Bạn cũng có thể tính các tỉ số của góc C: góc C đối diện cạnh AB = 3 nên sin C = 3/5, cos C = 4/5 — bạn có thấy sin C = cos B và cos C = sin B không? Đó chính là mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau, chủ đề của bài tiếp theo.
Một điểm nữa bạn cần nhớ: tỉ số lượng giác của một góc nhọn chỉ phụ thuộc vào góc đó, không phụ thuộc vào kích thước của tam giác. Tam giác 3 – 4 – 5 và tam giác 6 – 8 – 10 là hai tam giác đồng dạng, góc B của chúng bằng nhau, và sin B của cả hai đều bằng 4/5. Vì sao? Vì các tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau. Điều này có nghĩa là mỗi góc nhọn có một bộ bốn tỉ số lượng giác "của riêng nó" — góc 30° luôn có sin bằng 0,5, dù tam giác to hay nhỏ. Chính tính chất này làm cho tỉ số lượng giác trở thành công cụ đo đạc: chỉ cần biết góc, bạn biết tỉ số; chỉ cần biết tỉ số và một cạnh, bạn tính được các cạnh còn lại.
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt 30°, 45°, 60°
Có ba góc nhọn mà bạn phải thuộc lòng giá trị lượng giác của chúng: 30°, 45° và 60°. Đây là ba góc xuất hiện trong các tam giác đặc biệt — tam giác đều chia đôi cho góc 30° và 60°, tam giác vuông cân cho góc 45° — và đề thi hỏi về chúng rất thường xuyên. Bạn hãy học thuộc bảng sau đây.
| Tỉ số | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| sin | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
| cos | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
| tan | √3/3 | 1 | √3 |
| cot | √3 | 1 | √3/3 |
Bạn hãy chú ý quy luật của bảng này: cột sin của 30° bằng cột cos của 60°, và ngược lại — vì 30° và 60° là hai góc phụ nhau. Cột 45° thì sin bằng cos, tan bằng cot và bằng 1 — vì tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau. Bạn không cần học vẹt cả bảng: chỉ cần nhớ sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, rồi suy ra cos bằng cách "đổi đầu" (cos 30° = sin 60°), tan bằng sin chia cos, cot là nghịch đảo của tan. Nếu muốn ôn lại cách tính tỉ số — nền tảng của mọi tỉ số lượng giác — bạn hãy xem lại bài tìm tỉ số, tỉ số phần trăm.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, BC = 5. Tính sin B, cos B, tan B, cot B.
Đây là ví dụ gốc của bài. Với góc B: cạnh đối là AC = 4, cạnh kề là AB = 3, cạnh huyền là BC = 5.
sin B = đối / huyền = 4 / 5 = 0,8. cos B = kề / huyền = 3 / 5 = 0,6.
tan B = đối / kề = 4 / 3. cot B = kề / đối = 3 / 4.
Kiểm tra: sin²B + cos²B = 0,64 + 0,36 = 1 — đúng.
Ví dụ 2 (góc đặc biệt): Tính sin 30°, cos 60° và tan 45°.
Theo bảng giá trị đặc biệt: sin 30° = 1/2 = 0,5.
cos 60° = 1/2 = 0,5 — bạn thấy sin 30° = cos 60° vì 30° và 60° phụ nhau.
tan 45° = 1 — vì tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau nên đối bằng kề, tỉ số bằng 1.
Vậy sin 30° = 0,5; cos 60° = 0,5; tan 45° = 1.
Ví dụ 3 (tìm cạnh): Tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30°, cạnh huyền BC = 10 cm. Tính cạnh AC.
Với góc B = 30°, cạnh AC là cạnh đối, cạnh BC là cạnh huyền.
sin B = AC / BC, suy ra AC = BC × sin B = 10 × sin 30° = 10 × 1/2 = 5 cm.
Vậy cạnh AC dài 5 cm. Bạn hãy chú ý cách làm: biết góc và cạnh huyền, muốn tìm cạnh đối thì dùng sin; muốn tìm cạnh kề thì dùng cos. Đây chính là cách người ta đo chiều cao của cây ở đầu bài: biết góc ngước và khoảng cách (cạnh kề), dùng tan để tính chiều cao (cạnh đối).
Ví dụ 4 (thực tế): Một chiếc thang dài 5 m tựa vào tường, chân thang cách chân tường 3 m. Tính góc giữa thang và mặt đất.
Gọi góc giữa thang và mặt đất là α. Thang là cạnh huyền (5 m), khoảng cách từ chân thang tới chân tường là cạnh kề của góc α (3 m).
cos α = kề / huyền = 3 / 5 = 0,6. Tra bảng hoặc dùng máy tính, góc có cos bằng 0,6 là khoảng 53°.
Vậy góc giữa thang và mặt đất khoảng 53°. Bạn hãy kiểm tra bằng sin: cạnh đối là chiều cao thang chạm tường, bằng √(25 − 9) = 4 m, sin α = 4 / 5 = 0,8 — và sin²α + cos²α = 0,64 + 0,36 = 1, khớp. Khi cần tính góc từ tỉ số lượng giác, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm cạnh đối với cạnh kề.
Nhiều bạn tính sin B bằng AB / BC thay vì AC / BC — lấy cạnh kề làm cạnh đối. Cách tránh: trước khi tính, bạn hãy chỉ tay vào góc đang xét rồi hỏi "cạnh nào đối diện góc này?" — cạnh không chạm vào góc đó chính là cạnh đối. Với góc B, cạnh AC là cạnh duy nhất không chạm vào đỉnh B, nên nó là cạnh đối. Bạn hãy tập thói quen xác định đối – kề – huyền bằng hình vẽ trước khi viết bất kì công thức nào.
Lỗi 2: Nhầm sin với cos khi đổi góc.
Nhiều bạn tính sin B xong lại dùng cùng một số đó làm sin C. Nhưng sin C = cos B — khi đổi góc trong cùng một tam giác vuông thì sin và cos đổi vai cho nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ sin của góc này bằng cos của góc kia (vì hai góc phụ nhau), và luôn xác định lại đối – kề theo đúng góc đang xét, đừng dùng lại kết quả của góc trước.
Lỗi 3: Viết tan B = huyền / đối hoặc cot B = huyền / kề.
Nhiều bạn nhớ mang máng rồi viết tan bằng cạnh huyền chia một cạnh nào đó. Nhưng tan và cot không bao giờ dùng cạnh huyền — tan = đối / kề, cot = kề / đối. Cách tránh: bạn hãy nhớ câu thần chú "Sin đi học, Cos không hư" — chỉ sin và cos mới có "học" (huyền) và "hư" (huyền); tan và cot thì "đoàn kết" với nhau, chỉ có đối và kề.
Lỗi 4: Cho rằng sin và cos có thể lớn hơn 1.
Nhiều bạn tính ra sin B = 5/3 rồi vẫn ghi làm đáp án. Nhưng cạnh đối luôn ngắn hơn cạnh huyền (cạnh huyền là cạnh dài nhất trong tam giác vuông), nên sin và cos luôn nhỏ hơn 1. Cách tránh: sau khi tính xong, bạn hãy kiểm tra ngay — sin và cos phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1; tan và cot thì có thể lớn hơn 1, nhưng sin và cos thì không bao giờ.
Lỗi 5: Dùng giá trị góc đặc biệt cho góc không đặc biệt.
Nhiều bạn thấy góc 20° thì lấy sin 20° = 1/2 như sin 30°. Nhưng bảng giá trị đặc biệt chỉ đúng với đúng ba góc 30°, 45°, 60° — các góc khác phải tra bảng hoặc dùng máy tính. Cách tránh: bạn hãy nhớ chỉ có ba góc đặc biệt; gặp góc khác thì dùng máy tính cầm tay, đừng đoán mò. Nếu muốn ôn lại quan hệ giữa các góc trong tam giác vuông, bạn hãy xem lại bài tính chất hai đường thẳng song song — ở đó, các góc đồng vị và so le trong cũng có mối quan hệ "đổi vai" giống như sin và cos của hai góc phụ nhau.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định đối – kề – huyền theo đúng góc đang xét trước khi viết công thức — xác định đúng ba cạnh là một nửa của bài làm.
Câu 1: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, BC = 5. Giá trị sin B bằng bao nhiêu?
A. 3/5
B. 4/5
C. 3/4
D. 4/3
Câu 2: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, BC = 5. Giá trị cos B bằng bao nhiêu?
A. 3/4
B. 4/5
C. 3/5
D. 5/4
Câu 3: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, BC = 5. Giá trị tan B bằng bao nhiêu?
A. 3/5
B. 3/4
C. 5/3
D. 4/3
Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4, BC = 5. Giá trị cot B bằng bao nhiêu?
A. 4/3
B. 3/4
C. 5/4
D. 3/5
Câu 5: Giá trị của sin²B + cos²B với B là góc nhọn bằng bao nhiêu?
A. 1
B. 2
C. 0
D. 25/16
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | D | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (4/5) đúng: Với góc B, cạnh đối là AC = 4, cạnh huyền là BC = 5, nên sin B = đối / huyền = 4/5. Đáp án A (3/5) sai vì 3/5 là cos B — bạn đã lấy cạnh kề AB = 3 làm cạnh đối. Đáp án C (3/4) sai vì 3/4 là cot B — kề chia đối. Đáp án D (4/3) sai vì 4/3 là tan B — đối chia kề.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (3/5) đúng: Với góc B, cạnh kề là AB = 3, cạnh huyền là BC = 5, nên cos B = kề / huyền = 3/5. Đáp án A (3/4) sai vì 3/4 là cot B. Đáp án B (4/5) sai vì 4/5 là sin B — bạn đã lấy cạnh đối làm cạnh kề. Đáp án D (5/4) sai vì 5/4 lớn hơn 1, mà cos của góc nhọn không bao giờ lớn hơn 1.
Giải thích Câu 3 — Đáp án D (4/3) đúng: tan B = đối / kề = AC / AB = 4/3. Đáp án A (3/5) sai vì đó là cos B. Đáp án B (3/4) sai vì 3/4 là cot B — bạn đã viết ngược tử số và mẫu số. Đáp án C (5/3) sai vì tan không bao giờ dùng cạnh huyền.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (3/4) đúng: cot B = kề / đối = AB / AC = 3/4. Đáp án A (4/3) sai vì 4/3 là tan B — bạn đã viết ngược. Đáp án C (5/4) sai vì cot không bao giờ dùng cạnh huyền. Đáp án D (3/5) sai vì 3/5 là cos B.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (1) đúng: Với mọi góc nhọn B, ta luôn có sin²B + cos²B = 1 — đây là đẳng thức lượng giác cơ bản, suy ra từ định lí Pythagore: (đối² + kề²) / huyền² = huyền² / huyền² = 1. Đáp án B (2) sai vì tổng hai bình phương của hai số nhỏ hơn 1 không thể bằng 2. Đáp án C (0) sai vì sin²B và cos²B đều dương. Đáp án D (25/16) sai vì đó là (5/4)², không liên quan gì tới đẳng thức này.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Vì sao sin và cos của góc nhọn luôn nhỏ hơn 1?
Đáp: Vì cạnh đối và cạnh kề luôn ngắn hơn cạnh huyền — cạnh huyền là cạnh dài nhất trong tam giác vuông. sin = đối / huyền là tỉ số của số nhỏ hơn chia cho số lớn hơn nên nhỏ hơn 1; cos cũng vậy. Chỉ có tan và cot mới có thể lớn hơn 1, vì đối và kề có thể lớn hơn nhau tùy theo góc.
Hỏi: Học thuộc câu "Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn" như thế nào?
Đáp: Bạn hãy đọc to câu này ba lần, rồi tự viết bốn công thức ra giấy mà không nhìn: sin = đối / huyền, cos = kề / huyền, tan = đối / kề, cot = kề / đối. Làm lại như vậy vài lần trong ngày đầu học, sau đó ôn lại mỗi ngày một lần trong một tuần — bốn công thức sẽ thành phản xạ. Đây là cách học thuộc lòng hiệu quả nhất cho các công thức lượng giác.
Hỏi: Khi nào dùng sin, khi nào dùng cos, khi nào dùng tan?
Đáp: Bạn hãy nhìn vào hai cạnh mà đề bài cho hoặc hỏi. Biết cạnh đối và cạnh huyền thì dùng sin; biết cạnh kề và cạnh huyền thì dùng cos; biết cạnh đối và cạnh kề thì dùng tan. Quy tắc chung: chọn tỉ số nào mà cả tử số và mẫu số đều liên quan tới dữ kiện của bài — tỉ số đó chính là chìa khóa.
Hỏi: Tỉ số lượng giác có dùng được cho góc tù không?
Đáp: Ở lớp 9, tỉ số lượng giác chỉ định nghĩa cho góc nhọn trong tam giác vuông. Góc tù không có trong tam giác vuông nên chưa xét tới. Lên lớp 10, bạn sẽ học tỉ số lượng giác của góc bất kì từ 0° đến 180°, trong đó sin của góc tù vẫn dương còn cos của góc tù thì âm. Nhưng trong chương trình lớp 9, bạn chỉ cần thành thạo góc nhọn là đủ.
Hỏi: Học tỉ số lượng giác để làm gì trong đời sống?
Đáp: Để đo những thứ không đo trực tiếp được: chiều cao của cây, của tòa nhà, của cột cờ; khoảng cách qua sông; độ dốc của mái nhà, của con đường; góc nghiêng của thang, của cầu trượt. Mọi ứng dụng đó đều dùng chung một nguyên tắc: đo một góc và một cạnh, rồi dùng tỉ số lượng giác để tính cạnh còn lại. Nếu muốn ôn lại cách tính tỉ số — nền tảng của bài này — bạn hãy xem lại bài tìm tỉ số, tỉ số phần trăm.
8. Kết luận
Bốn tỉ số lượng giác của góc nhọn — sin = đối / huyền, cos = kề / huyền, tan = đối / kề, cot = kề / đối — là bốn con số gắn liền với mỗi góc nhọn, không phụ thuộc vào kích thước của tam giác. Bạn hãy thuộc lòng câu thần chú "Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn", thuộc lòng bảng giá trị của ba góc đặc biệt 30°, 45°, 60°, và luôn nhớ hai phép kiểm tra nhanh sin² + cos² = 1 và tan × cot = 1. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính tỉ số lượng giác của bất kì góc nhọn nào — và bạn cũng đã có trong tay chiếc thước đo gián tiếp để đo chiều cao của cái cây ở đầu bài mà không cần trèo lên nó. Bài tiếp theo sẽ cho bạn thấy hai góc nhọn trong cùng một tam giác vuông có mối quan hệ đặc biệt như thế nào — sin của góc này bằng cos của góc kia.