Công thức liên hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông — Toán 9

Buổi sáng đầu tuần, bác bảo vệ trường mang ra một chiếc thang dài đúng 10 m để thay bóng đèn trên bức tường cao của nhà thể chất. Bác đặt chân thang cách chân tường một khoảng, ngả thang vào tường rồi nhìn lên và nói: "Góc giữa thang với mặt đất khoảng 30 độ, đầu thang chạm tường ở độ cao chừng 5 m". Không cần trèo lên, không cần thước dây, bác vẫn biết đầu thang đang ở độ cao 5 m. Bạn có đoán được bác tính như thế nào không? Bí quyết nằm ở một mối liên hệ rất đẹp giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông trong tam giác vuông — chỉ cần biết độ dài cạnh huyền và một góc nhọn, bạn tính được ngay cạnh góc vuông mà không cần đo trực tiếp.

Bài này sẽ dạy bạn đúng mối liên hệ đó. Bạn sẽ học cách gọi tên ba cạnh theo từng góc nhọn, thuộc bốn hệ thức nối cạnh huyền với hai cạnh góc vuông, hiểu vì sao các hệ thức ấy đúng, rồi luyện tập với bốn ví dụ tính từng bước, năm lỗi sai mà rất nhiều bạn từng mắc, năm bài tập trắc nghiệm có giải thích cặn kẽ và năm câu hỏi thường gặp. Học xong bài này, những bài toán đo chiều cao, đo khoảng cách qua sông hay tính độ dài cái thang sẽ trở thành chuyện nhỏ. Nếu bạn chưa nắm vững bốn tỉ số sin, cos, tan, cot, hãy xem lại bài tỉ số lượng giác của góc nhọn trước, vì toàn bộ bài này được xây dựng trên bốn tỉ số đó.

1. Ba cái tên phải thuộc trước khi tính: đối – kề – huyền

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A, ba cạnh có tên gọi cố định: cạnh huyền BC là cạnh dài nhất, nằm đối diện góc vuông; hai cạnh góc vuông AB và AC tạo nên góc vuông. Nhưng khi bạn xét một góc nhọn cụ thể, hai cạnh góc vuông lại đổi vai cho nhau. Với góc B, cạnh AC nằm đối diện góc B nên gọi là cạnh đối, còn cạnh AB tạo nên góc B nên gọi là cạnh kề. Với góc C thì ngược lại: cạnh AB trở thành cạnh đối, cạnh AC trở thành cạnh kề. Cạnh huyền BC thì không bao giờ đổi vai — nó luôn là cạnh huyền dù bạn xét góc nào.

Quy ước đặt tên bằng chữ cái cũng giúp bạn viết công thức gọn hơn rất nhiều. Người ta thường kí hiệu cạnh huyền BC = a, cạnh AC = b, cạnh AB = c. Chú ý quy luật đẹp này: cạnh a đối diện góc A, cạnh b đối diện góc B, cạnh c đối diện góc C. Nhờ quy ước đó, bạn chỉ cần nhớ "b đối diện B, c đối diện C" là gọi đúng tên mọi cạnh. Trong tam giác vuông tại A, góc B và góc C là hai góc nhọn phụ nhau, tức là B + C = 90°, nên sin của góc này bằng cos của góc kia — điều này sẽ giải thích vì sao mỗi cạnh góc vuông có tới hai cách tính trong công thức ở mục sau.

Bạn hãy tập phản xạ gọi tên cạnh trước khi chạm vào công thức. Mỗi khi đọc đề bài, việc đầu tiên là vẽ tam giác, đánh dấu góc vuông tại A, ghi tên ba cạnh a, b, c, rồi khoanh tròn góc mà đề bài cho. Sau đó bạn hỏi: cạnh cần tìm đối diện hay kề với góc đó? Trả lời được câu này là bạn đã đi được nửa đường. Nhiều bạn làm sai không phải vì không thuộc công thức, mà vì gọi nhầm đối thành kề ngay từ đầu. Chỉ cần một lần gọi nhầm, mọi bước tính sau đó đều lệch. Vì vậy bạn hãy dành hẳn một phút chỉ để gọi tên cạnh cho đúng, rồi mới chọn công thức.

2. Công thức: bốn hệ thức nối cạnh huyền với cạnh góc vuông

Công thức của bài này gói gọn trong bốn hệ thức. Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin của góc đối, hoặc bằng cạnh huyền nhân cos của góc kề. Cụ thể, cạnh b đối diện góc B và kề góc C, nên b = a·sin B = a·cos C. Cạnh c đối diện góc C và kề góc B, nên c = a·sin C = a·cos B. Bạn chỉ cần nhớ một câu duy nhất: "cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối, nhân cos góc kề". Từ câu này, bạn suy ra cả bốn hệ thức mà không cần học vẹt từng cái một.

Bạn hãy để ý một điểm rất hay: mỗi cạnh có hai cách tính, và hai cách đó luôn cho cùng một kết quả vì B và C phụ nhau nên sin B = cos C và sin C = cos B. Trong bài làm, bạn chọn cách nào tiện hơn tùy theo dữ kiện đề bài cho. Nếu đề cho góc B và hỏi cạnh b, bạn dùng ngay b = a·sin B. Nếu đề cho góc C và hỏi cạnh b, bạn dùng b = a·cos C. Không có cách nào "đúng hơn" cách nào — chỉ có cách nào khớp với dữ kiện đề bài cho mà thôi. Khi cần kiểm tra lại các phép tính sin, cos, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhớ chuyển máy về chế độ độ trước khi bấm.

3. Vì sao công thức đúng? Chỉ một phép nhân chéo

Bốn hệ thức trên không phải là quy tắc từ trên trời rơi xuống, mà suy ra trực tiếp từ định nghĩa tỉ số lượng giác. Với góc B, sin B = cạnh đối chia cạnh huyền = b/a. Bạn nhân chéo hai vế với a thì được ngay b = a·sin B. Tương tự, cos B = cạnh kề chia cạnh huyền = c/a, nhân chéo thì được c = a·cos B. Hai hệ thức còn lại suy ra y hệt như vậy khi bạn xét góc C: sin C = c/a nên c = a·sin C, cos C = b/a nên b = a·cos C. Toàn bộ công thức của bài này chỉ là bốn phép nhân chéo từ bốn định nghĩa sin, cos mà thôi.

Hiểu được nguồn gốc này giúp bạn hai điều. Thứ nhất, bạn không bao giờ quên công thức: quên thì suy lại từ sin = đối/huyền trong vài giây. Thứ hai, bạn hiểu vì sao công thức chỉ đúng với góc nhọn của tam giác vuông: vì sin, cos ở đây được định nghĩa từ ba cạnh của tam giác vuông, mà tam giác vuông chỉ có hai góc nhọn. Góc vuông không có cạnh đối, cạnh kề theo nghĩa này, nên bạn đừng bao giờ áp công thức cho góc 90°. Và bạn cũng hiểu vì sao sin, cos của góc nhọn luôn nhỏ hơn 1: vì cạnh đối và cạnh kề luôn ngắn hơn cạnh huyền, nên tỉ số của chúng với cạnh huyền luôn nhỏ hơn 1, và cạnh góc vuông tính ra luôn ngắn hơn cạnh huyền — một cách kiểm tra kết quả rất nhanh sau mỗi bài tính.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (ví dụ gốc): Cạnh huyền a = 10, góc B = 30°, tính cạnh b.
Cạnh b = AC đối diện góc B, nên bạn dùng hệ thức b = a·sin B. Thay số: b = 10·sin 30°. Bạn tra bảng góc đặc biệt: sin 30° = 1/2 = 0,5. Vậy b = 10·0,5 = 5. Kết quả này đúng với câu chuyện chiếc thang ở đầu bài: thang dài 10 m, góc với mặt đất 30°, đầu thang chạm tường ở độ cao 5 m. Bạn hãy kiểm tra nhanh: 5 nhỏ hơn 10, hợp lí vì cạnh góc vuông luôn ngắn hơn cạnh huyền. Đây chính là ví dụ mà bác bảo vệ đã dùng trong đầu để biết đầu thang ở độ cao 5 m mà không cần đo.

Ví dụ 2: Cạnh huyền a = 8, góc C = 60°, tính cạnh c.
Cạnh c = AB đối diện góc C, nên bạn dùng c = a·sin C. Thay số: c = 8·sin 60°. Bạn tra bảng: sin 60° = √3/2. Vậy c = 8·√3/2 = 4√3 ≈ 6,93. Bạn cũng có thể tính theo cách thứ hai để kiểm tra: cạnh c kề góc B, mà B = 90° − 60° = 30°, nên c = a·cos B = 8·cos 30° = 8·√3/2 = 4√3. Hai cách cho cùng một kết quả, đúng như lí thuyết đã nói. Bạn hãy nhớ thói quen kiểm tra bằng cách thứ hai này — nó giúp bạn phát hiện sai sót ngay lập tức mà không tốn thêm bao nhiêu thời gian.

Ví dụ 3 (tìm ngược góc): Biết cạnh b = 5, cạnh huyền a = 10, tìm góc B.
Bài này cho cạnh và hỏi góc, nên bạn làm ngược lại: lập tỉ số sin B = b/a = 5/10 = 0,5 = 1/2. Bạn tra bảng góc đặc biệt: góc nào có sin bằng 1/2? Đó là góc 30°. Vậy B = 30°. Bạn hãy chú ý: ở đây bạn không dùng trực tiếp bốn hệ thức, mà dùng định nghĩa sin B = b/a rồi tra ngược. Nếu tỉ số không rơi vào góc đặc biệt, ví dụ sin B = 0,6, bạn dùng phím sin⁻¹ trên máy tính để tìm góc, kết quả khoảng 36,87°. Khi cần tính góc từ tỉ số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ, nhớ để máy ở chế độ độ thì góc mới ra đúng đơn vị độ.

Ví dụ 4 (đo chiều cao): Một chiếc thang dài 12 m tựa vào tường, góc giữa thang và mặt đất là 60°, hỏi đầu thang chạm tường ở độ cao bao nhiêu?
Bạn vẽ tam giác vuông: cạnh huyền là chiếc thang dài 12 m, góc với mặt đất là 60°, chiều cao cần tìm là cạnh đối diện góc 60°. Vậy chiều cao = 12·sin 60° = 12·√3/2 = 6√3 ≈ 10,39 m. Bạn kiểm tra nhanh: 10,39 nhỏ hơn 12, hợp lí. Bạn cũng tính được chân thang cách chân tường bao nhiêu: đó là cạnh kề góc 60°, bằng 12·cos 60° = 12·0,5 = 6 m. Một bài toán thực tế, hai đáp số, cùng một bộ công thức. Bạn hãy để ý: góc càng lớn thì chiều cao càng lớn và chân thang càng gần tường — đúng với cảm giác thực tế khi bạn dựng thang.

5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Gọi nhầm cạnh đối thành cạnh kề.
Nhiều bạn xét góc B nhưng lại lấy cạnh AB làm cạnh đối, rồi viết sin B = c/a. Sai từ bước gọi tên nên mọi bước sau đều sai. Cách tránh: mỗi lần xét một góc, bạn hãy đặt ngón tay lên đỉnh của góc đó, rồi nhìn sang phía đối diện — cạnh nằm đối diện chính là cạnh đối, cạnh còn lại tạo nên góc là cạnh kề. Bạn làm động tác này trên hình vẽ, không làm trong đầu, thì gần như không bao giờ nhầm nữa.

Lỗi 2: Dùng sin khi phải dùng cos (và ngược lại).
Nhiều bạn nhớ "cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin" rồi áp dụng cho mọi trường hợp, kể cả khi cạnh cần tìm kề với góc đã cho. Ví dụ cần tính cạnh kề mà bạn lại viết a·sin thì kết quả sai. Cách tránh: bạn hãy đọc to câu thần chú đủ cả hai vế: "sin góc đối, cos góc kề". Trước khi viết công thức, bạn hỏi: cạnh cần tìm đối hay kề với góc đã cho? Đối thì sin, kề thì cos. Chỉ một câu hỏi này thôi cũng cứu được rất nhiều điểm.

Lỗi 3: Nhầm góc B với góc C.
Nhiều bạn thấy đề cho góc 30° thì dùng ngay sin 30° mà không kiểm tra đó là góc B hay góc C. Nhưng sin B = cos C, nên dùng nhầm góc là đổi luôn kết quả. Cách tránh: bạn hãy ghi rõ tên góc lên hình vẽ ngay khi đọc đề — góc nào cho thì tô đậm góc đó, rồi mới chọn công thức theo đúng tên góc đã tô. Đừng bao giờ tính với một con số góc mà không biết nó là góc nào.

Lỗi 4: Quên chuyển máy tính sang chế độ độ.
Nhiều bạn bấm sin 30 trên máy tính đang ở chế độ radian thì được −0,988 thay vì 0,5, rồi tính ra cạnh âm — vô lí mà không biết sai ở đâu. Cách tránh: trước khi bấm sin, cos của một góc đo bằng độ, bạn hãy nhìn lên màn hình máy tính để chắc chắn đang ở chế độ Deg (hoặc D). Nếu máy đang ở chế độ Rad, bạn chuyển sang Deg rồi mới bấm. Đây là lỗi kĩ thuật, không phải lỗi kiến thức, nhưng nó làm mất điểm oan uổng nhất.

Lỗi 5: Kết quả lớn hơn cạnh huyền mà không kiểm tra.
Nhiều bạn tính ra cạnh góc vuông dài hơn cả cạnh huyền rồi vẫn ghi đáp án, ví dụ tính được b = 12 trong khi a = 10. Điều này không thể xảy ra vì cạnh huyền là cạnh dài nhất trong tam giác vuông. Cách tránh: sau mỗi phép tính, bạn hãy so sánh kết quả với cạnh huyền — nếu kết quả lớn hơn cạnh huyền thì chắc chắn bạn đã nhầm công thức hoặc nhầm số liệu, hãy tính lại ngay. Phép kiểm tra này chỉ mất hai giây nhưng cứu được cả bài làm.

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ gọi tên cạnh theo đúng góc đang xét trước khi viết công thức — gọi đúng tên là một nửa của bài làm.

Câu 1: Tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 10, góc B = 30°. Độ dài cạnh AC bằng bao nhiêu?
A. 5
B. 5√3
C. 10
D. 2,5

Câu 2: Tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 8, góc C = 60°. Độ dài cạnh AB bằng bao nhiêu?
A. 4
B. 8
C. 4√3
D. 6

Câu 3: Tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 13, góc B = 45°. Độ dài cạnh AC bằng bao nhiêu?
A. 13/2
B. 13√2/2
C. 13
D. 6,5

Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 20, góc C = 30°. Độ dài cạnh AB bằng bao nhiêu?
A. 20
B. 10√3
C. 5
D. 10

Câu 5: Tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 12, góc C = 60°. Độ dài cạnh AC bằng bao nhiêu?
A. 12
B. 6
C. 6√3
D. 3

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (5) đúng: Cạnh AC đối diện góc B nên AC = BC·sin B = 10·sin 30° = 10·0,5 = 5. Đáp án B (5√3) sai vì 5√3 là độ dài cạnh AB — bạn đã tính cạnh kề thay vì cạnh đối. Đáp án C (10) sai vì 10 là cạnh huyền, cạnh góc vuông không thể dài bằng cạnh huyền. Đáp án D (2,5) sai vì 2,5 = 10·sin 30°/2, không có cơ sở nào.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (4√3) đúng: Cạnh AB đối diện góc C nên AB = BC·sin C = 8·sin 60° = 8·√3/2 = 4√3. Đáp án A (4) sai vì 4 = 8·sin 30°, bạn đã dùng nhầm góc 30° thay vì 60°. Đáp án B (8) sai vì 8 là cạnh huyền. Đáp án D (6) sai vì 6 không phải là 8·sin 60° — bạn hãy tính lại: 8·0,866 ≈ 6,93 chứ không phải 6.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B (13√2/2) đúng: Cạnh AC đối diện góc B nên AC = BC·sin B = 13·sin 45° = 13·√2/2. Đáp án A (13/2) sai vì 13/2 = 13·sin 30°, bạn đã dùng nhầm góc 30°. Đáp án C (13) sai vì 13 là cạnh huyền. Đáp án D (6,5) sai vì 6,5 = 13/2, cũng là kết quả của việc dùng nhầm sin 30°.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D (10) đúng: Cạnh AB đối diện góc C nên AB = BC·sin C = 20·sin 30° = 20·0,5 = 10. Đáp án A (20) sai vì 20 là cạnh huyền. Đáp án B (10√3) sai vì 10√3 là độ dài cạnh AC — bạn đã tính cạnh kề thay vì cạnh đối. Đáp án C (5) sai vì 5 = 20·sin 30°/2, không có cơ sở nào.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B (6) đúng: Cạnh AC kề góc C nên AC = BC·cos C = 12·cos 60° = 12·0,5 = 6. Đáp án A (12) sai vì 12 là cạnh huyền. Đáp án C (6√3) sai vì 6√3 là độ dài cạnh AB — bạn đã tính cạnh đối thay vì cạnh kề. Đáp án D (3) sai vì 3 = 12·0,5/2, không có cơ sở nào.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Vì sao mỗi cạnh góc vuông lại có hai cách tính?
Đáp: Vì hai góc nhọn B và C phụ nhau nên sin của góc này bằng cos của góc kia. Cạnh b đối diện góc B và kề góc C, nên b vừa bằng a·sin B vừa bằng a·cos C. Hai cách tính luôn cho cùng một kết quả, bạn chọn cách nào khớp với dữ kiện đề bài cho là được. Nếu muốn ôn lại quan hệ giữa hai góc phụ nhau, bạn hãy xem lại bài tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

Hỏi: Khi nào dùng công thức của bài này, khi nào dùng định lí Pythagore?
Đáp: Bạn dùng công thức của bài này khi đề cho một cạnh và một góc nhọn, còn dùng định lí Pythagore khi đề cho hai cạnh. Hai công cụ này bổ sung cho nhau: có góc thì dùng sin, cos; không có góc mà có hai cạnh thì dùng Pythagore. Trong nhiều bài toán, bạn phải dùng cả hai — ví dụ tính một cạnh bằng sin rồi dùng Pythagore để tính cạnh còn lại.

Hỏi: Có thể tính cạnh góc vuông khi chỉ biết cạnh huyền mà không biết góc không?
Đáp: Không. Chỉ biết cạnh huyền thì có vô số tam giác vuông khác nhau cùng chung cạnh huyền đó, mỗi tam giác có cạnh góc vuông dài ngắn khác nhau. Bạn cần thêm một dữ kiện nữa — hoặc một góc nhọn, hoặc một cạnh góc vuông — thì mới xác định được tam giác. Đây là lí do vì sao đề bài luôn cho thêm một góc hoặc một cạnh.

Hỏi: Vì sao sin và cos của góc nhọn luôn nhỏ hơn 1?
Đáp: Vì cạnh đối và cạnh kề luôn ngắn hơn cạnh huyền — cạnh huyền là cạnh dài nhất trong tam giác vuông. Sin = đối/huyền là tỉ số của số nhỏ hơn chia cho số lớn hơn nên nhỏ hơn 1; cos cũng vậy. Nhờ đó cạnh góc vuông tính ra luôn ngắn hơn cạnh huyền, và bạn có thể dùng điều này để kiểm tra kết quả của mình.

Hỏi: Công thức này dùng để làm gì trong đời sống?
Đáp: Để đo những thứ không đo trực tiếp được: chiều cao của cây, của cột cờ, của tòa nhà; khoảng cách qua sông; độ cao của thang tựa tường. Mọi ứng dụng đó đều dùng chung một nguyên tắc: đo một góc và một cạnh huyền, rồi dùng sin hoặc cos để tính cạnh còn lại. Bài tiếp theo sẽ cho bạn thấy khi không có cạnh huyền thì tính thế nào — chỉ với hai cạnh góc vuông và góc nhọn.

8. Kết luận

Liên hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông chỉ gói gọn trong một câu: cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối, nhân cos góc kề. Từ câu này, bạn suy ra bốn hệ thức b = a·sin B = a·cos C và c = a·sin C = a·cos B, đủ để giải mọi bài toán cho một cạnh huyền và một góc nhọn. Bạn hãy nhớ ba thói quen vàng: gọi tên cạnh theo đúng góc trước khi tính, hỏi "đối hay kề" trước khi chọn sin hay cos, và so sánh kết quả với cạnh huyền sau khi tính xong. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính cạnh góc vuông trong mọi tam giác vuông — và bạn cũng đã hiểu vì sao bác bảo vệ biết đầu thang ở độ cao 5 m mà không cần trèo lên đo.