Bạn đã biết sin 30° = 1/2 và cos 60° = 1/2. Hai con số này bằng nhau — có phải là trùng hợp không? Không hề. 30° và 60° là hai góc phụ nhau: cộng lại bằng đúng 90°. Và đó là quy luật chung: sin của góc này luôn bằng cos của góc kia, cos của góc này luôn bằng sin của góc kia, tan của góc này luôn bằng cot của góc kia. Bài viết này sẽ chỉ cho bạn vì sao quy luật đó luôn đúng, và làm sao để dùng nó biến một bài toán khó thành một bài toán dễ chỉ trong một dòng.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau nằm trong Chương IV: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, ở Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn — phần cuối của bài, nơi bạn học mối quan hệ giữa hai góc nhọn trong cùng một tam giác vuông. Đây là bài học nối tiếp trực tiếp bài về tỉ số lượng giác của góc nhọn: nếu bài trước bạn học cách tính sin, cos, tan, cot của MỘT góc thì bài này bạn học cách các tỉ số của HAI góc trong cùng một tam giác liên hệ với nhau. Học xong bài này, bạn sẽ tính được sin 60° khi chỉ biết cos 30°, đổi tan thành cot để tra bảng nhanh hơn, và nhận ra rằng hai góc nhọn trong tam giác vuông lúc nào cũng "soi gương" lẫn nhau.
1. Hai góc phụ nhau là gì? Cặp góc cộng lại bằng 90°
Hai góc được gọi là phụ nhau khi tổng số đo của chúng bằng 90°. Ví dụ: 30° và 60° là hai góc phụ nhau vì 30° + 60° = 90°. 20° và 70° phụ nhau. 45° và 45° phụ nhau — một góc có thể phụ với chính nó khi nó bằng 45°. Bạn hãy phân biệt với hai góc bù nhau: hai góc bù nhau có tổng bằng 180°, còn hai góc phụ nhau có tổng bằng 90°. Đề thi rất hay gài bẫy ở điểm này: hỏi "góc phụ với góc 35° là góc nào?" thì đáp án là 55°, không phải 145°.
Hai góc phụ nhau xuất hiện tự nhiên trong mọi tam giác vuông. Tam giác ABC vuông tại A có tổng ba góc bằng 180°, mà góc A đã chiếm 90°, nên hai góc còn lại B và C cộng lại đúng bằng 90° — tức là B và C luôn phụ nhau. Đây là lí do vì sao bài này gắn liền với tam giác vuông: bất cứ tam giác vuông nào cũng chứa sẵn một cặp góc phụ nhau. Bạn hãy nhớ kĩ điều này: trong tam giác vuông, hai góc nhọn lúc nào cũng phụ nhau, không có ngoại lệ.
Bạn cũng gặp hai góc phụ nhau trong đời sống: góc giữa thang và mặt đất cộng với góc giữa thang và bức tường bằng 90°; góc ngước nhìn ngọn cây cộng với góc giữa tia nhìn và phương thẳng đứng bằng 90°; góc của mái nhà với phương ngang cộng với góc của mái nhà với phương thẳng đứng bằng 90°. Mỗi khi bạn thấy một góc vuông bị chia thành hai góc nhọn, hai góc đó chính là một cặp góc phụ nhau — và các tỉ số lượng giác của chúng liên hệ với nhau theo quy luật của bài này.
2. Vì sao sin góc này bằng cos góc kia? Cạnh đối và cạnh kề "đổi vai"
Quy luật trung tâm của bài này là: nếu α + β = 90° thì sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β và cot α = tan β. Bạn hãy nhìn vào tam giác vuông để hiểu vì sao. Xét tam giác ABC vuông tại A, góc B = α, góc C = β, với α + β = 90°. Với góc B, cạnh đối là AC, cạnh kề là AB. Nhưng với góc C, cạnh đối lại là AB, cạnh kề lại là AC — hai cạnh góc vuông đã "đổi vai" cho nhau! Vậy sin B = AC / BC, còn cos C = AC / BC — hai tỉ số này có cùng tử số và cùng mẫu số nên bằng nhau. Tức là sin α = cos β. Tương tự, cos B = AB / BC = sin C, tan B = AC / AB = cot C.
Bạn hãy xem quy luật này qua ví dụ gốc của bài: sin 30° = cos 60° = 0,5. Trong tam giác vuông có góc 30°, cạnh đối góc 30° bằng một nửa cạnh huyền (vì tam giác đều chia đôi), nên sin 30° = 1/2. Còn góc 60° trong cùng tam giác đó có cạnh kề chính là cạnh đối của góc 30°, nên cos 60° cũng bằng 1/2. Hai con số bằng nhau không phải vì trùng hợp, mà vì chúng là HAI CÁCH VIẾT của cùng một tỉ số AC / BC — một lần gọi nó là sin của góc 30°, một lần gọi nó là cos của góc 60°.
Quy luật này cho bạn một cách học bảng giá trị đặc biệt nhanh gấp đôi: bạn chỉ cần nhớ một nửa bảng, nửa còn lại suy ra bằng cách đổi vai. Nhớ sin 30° = 1/2 thì biết ngay cos 60° = 1/2. Nhớ tan 30° = √3/3 thì biết ngay cot 60° = √3/3. Nhớ sin 45° = √2/2 thì biết ngay cos 45° = √2/2 (vì 45° phụ với chính nó). Bạn hãy tập thói quen này: mỗi khi tính một tỉ số lượng giác, hãy tự hỏi "góc phụ với nó có tỉ số nào bằng với tỉ số này?" — câu trả lời sẽ giúp bạn kiểm tra bài làm trong vài giây.
3. Bộ ba công thức và bảng minh họa với cặp góc 30° – 60°
Ba công thức của bài này có thể viết gọn như sau, với α + β = 90°: sin α = cos β; cos α = sin β; tan α = cot β (và ngược lại cot α = tan β). Bạn hãy học thuộc ba công thức này theo cặp: sin đi với cos, cos đi với sin, tan đi với cot. Một cách nhớ rất dễ: khi hai góc phụ nhau, chữ "co" sẽ "nhảy" từ tỉ số này sang tỉ số kia — sin thành cos, tan thành cot, và ngược lại. Cái tên "cos" vốn là viết tắt của "complement sine" — sin của góc phụ — nên mối quan hệ này đã nằm ngay trong tên gọi của nó.
| Cặp tỉ số | Góc 30° | Góc 60° | Nhận xét |
|---|---|---|---|
| sin 30° và cos 60° | 1/2 | 1/2 | Bằng nhau |
| cos 30° và sin 60° | √3/2 | √3/2 | Bằng nhau |
| tan 30° và cot 60° | √3/3 | √3/3 | Bằng nhau |
| cot 30° và tan 60° | √3 | √3 | Bằng nhau |
Bảng trên cho thấy quy luật hoạt động hoàn hảo với cặp góc 30° – 60°: mỗi hàng đều có hai giá trị bằng nhau. Bạn hãy chú ý: bảng này không phải là bảng mới — nó chỉ là bảng giá trị đặc biệt ở bài trước được sắp xếp lại theo cặp. Nếu bạn đã thuộc bảng giá trị của 30°, 45°, 60° thì bảng này không có gì mới; nó chỉ giúp bạn NHÌN RA quy luật. Và một khi đã nhìn ra quy luật, bạn có thể áp dụng nó cho bất kì cặp góc phụ nhau nào, kể cả những góc không đặc biệt như 20° và 70°, 37° và 53° — những góc mà bạn không thể tra bảng mà phải dùng máy tính.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Biết sin 30° = 0,5. Tính cos 60°.
Đây là ví dụ gốc của bài. Vì 30° + 60° = 90° nên 30° và 60° là hai góc phụ nhau.
Áp dụng công thức sin α = cos β với α = 30°, β = 60°: cos 60° = sin 30° = 0,5.
Vậy cos 60° = 0,5 — bạn không cần tra bảng, chỉ cần biết sin của góc phụ với nó.
Ví dụ 2 (tan và cot): Biết tan 45° = 1. Tính cot 45°.
Vì 45° + 45° = 90° nên góc 45° phụ với chính nó.
Áp dụng công thức tan α = cot β với α = β = 45°: cot 45° = tan 45° = 1.
Vậy cot 45° = 1. Bạn hãy chú ý: đây là góc duy nhất mà tan bằng cot — vì chỉ có 45° mới phụ với chính nó. Kiểm tra: tan 45° × cot 45° = 1 × 1 = 1 — đúng với tính chất tan × cot = 1.
Ví dụ 3 (dùng máy tính): Cho tam giác vuông có hai góc nhọn α và β. Biết sin α = 0,6. Tính cos β.
Vì α và β là hai góc nhọn của cùng một tam giác vuông nên α + β = 90° — hai góc phụ nhau.
Áp dụng công thức sin α = cos β: cos β = sin α = 0,6.
Vậy cos β = 0,6. Bạn hãy chú ý: bài này không cho số đo cụ thể của góc, nhưng bạn vẫn tính được — vì quy luật chỉ cần biết hai góc phụ nhau, không cần biết mỗi góc bằng bao nhiêu độ. Đây chính là sức mạnh của công thức: nó biến một bài toán thiếu dữ kiện thành bài toán một dòng.
Ví dụ 4 (chứng minh đẳng thức): Chứng minh sin²35° + sin²55° = 1.
Vì 35° + 55° = 90° nên 35° và 55° là hai góc phụ nhau, suy ra sin 55° = cos 35°.
Thay vào vế trái: sin²35° + sin²55° = sin²35° + cos²35°.
Áp dụng đẳng thức sin²α + cos²α = 1 với α = 35°, ta được sin²35° + cos²35° = 1.
Vậy sin²35° + sin²55° = 1 — điều phải chứng minh. Bạn hãy nhớ dạng bài này: "sin² của góc này cộng sin² của góc phụ bằng 1" là dạng đề thi rất hay ra, và cách giải luôn là đổi một sin thành cos của góc phụ rồi dùng đẳng thức sin² + cos² = 1. Khi cần kiểm tra lại các giá trị sin, cos, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm góc phụ với góc bù.
Nhiều bạn thấy "phụ" thì nghĩ tới 180° như "bù", rồi kết luận sin 30° = cos 150°. Nhưng 30° + 150° = 180° — đó là hai góc bù nhau, công thức của bài này không áp dụng được. Cách tránh: bạn hãy nhớ "phụ là 90, bù là 180" — phụ nhau thì cộng lại bằng một góc vuông, bù nhau thì cộng lại bằng hai góc vuông. Mỗi lần làm bài, bạn hãy cộng hai góc lại trước: bằng 90° mới được dùng công thức sin α = cos β.
Lỗi 2: Viết sin α = sin β khi hai góc phụ nhau.
Nhiều bạn nhớ mang máng "hai góc phụ nhau thì tỉ số bằng nhau" rồi viết sin 30° = sin 60°. Nhưng sin 30° = 0,5 còn sin 60° = √3/2 ≈ 0,866 — hoàn toàn khác nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ quy luật là "ĐỔI TÊN": sin đổi thành cos, tan đổi thành cot. Sin của góc này bằng COS của góc kia — chữ "co" phải xuất hiện ở một trong hai vế.
Lỗi 3: Áp dụng công thức cho hai góc không phụ nhau.
Nhiều bạn thấy hai góc bất kì trong một bài toán rồi viết sin 20° = cos 50°. Nhưng 20° + 50° = 70°, không phải 90°, nên hai góc này không phụ nhau và công thức không áp dụng được. Cách tránh: trước khi dùng công thức, bạn hãy kiểm tra tổng hai góc có bằng 90° không — chỉ một phép cộng đơn giản nhưng nhiều bạn bỏ qua.
Lỗi 4: Nhầm tan α = cot β với tan α = tan β.
Nhiều bạn viết tan 30° = tan 60°, nhưng tan 30° = √3/3 còn tan 60° = √3 — khác nhau. Công thức đúng là tan 30° = cot 60° = √3/3. Cách tránh: bạn hãy nhớ tan và cot là một cặp nghịch đảo — khi đổi góc phụ, tan phải đổi thành cot, giống như sin đổi thành cos. Bạn có thể kiểm tra nhanh: tan α × cot α = 1, nên nếu bạn viết tan 30° = tan 60° thì tan 30° × cot 30° sẽ không bằng 1 nữa.
Lỗi 5: Quên rằng hai góc nhọn trong tam giác vuông luôn phụ nhau.
Nhiều bạn gặp tam giác vuông rồi vẫn đi tính tổng hai góc nhọn để kiểm tra xem chúng có phụ nhau không — mất thời gian mà không cần thiết. Trong tam giác vuông, hai góc nhọn LUÔN phụ nhau vì tổng ba góc là 180° và góc vuông đã chiếm 90°. Cách tránh: bạn hãy coi đây là một sự thật hiển nhiên — thấy tam giác vuông là biết ngay hai góc nhọn phụ nhau, áp dụng công thức sin α = cos β ngay mà không cần kiểm tra lại. Nếu muốn ôn lại quan hệ giữa các góc kề nhau, bạn hãy xem lại bài hai góc kề nhau, bù nhau và kề bù — ở đó, hai góc kề bù cộng lại bằng 180°, còn hai góc phụ nhau ở bài này cộng lại bằng 90°.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra tổng hai góc có bằng 90° không trước khi dùng công thức — kiểm tra tổng là một nửa của bài làm.
Câu 1: Biết sin 30° = 0,5. Giá trị cos 60° bằng bao nhiêu?
A. 0,5
B. √3/2
C. √2/2
D. 1
Câu 2: Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Biết sin α = 0,6. Giá trị cos β bằng bao nhiêu?
A. 0,6
B. 0,8
C. 0,4
D. 1,6
Câu 3: Giá trị tan 35° bằng giá trị nào sau đây?
A. cot 35°
B. tan 55°
C. cot 55°
D. sin 55°
Câu 4: Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Biết tan α = 2. Giá trị cot β bằng bao nhiêu?
A. 1/2
B. −2
C. 2
D. 0
Câu 5: Cho tam giác vuông có hai góc nhọn B và C. Biết cos B = 0,8. Giá trị sin C bằng bao nhiêu?
A. 0,8
B. 0,6
C. 0,2
D. 1
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | A | C | C | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (0,5) đúng: Vì 30° + 60° = 90° nên 30° và 60° là hai góc phụ nhau, cos 60° = sin 30° = 0,5. Đáp án B (√3/2) sai vì √3/2 ≈ 0,866 là sin 60° (hay cos 30°), không phải cos 60°. Đáp án C (√2/2) sai vì √2/2 ≈ 0,707 là sin 45° (hay cos 45°). Đáp án D (1) sai vì cos 60° = 0,5, không phải 1.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A (0,6) đúng: α và β phụ nhau nên sin α = cos β. Vậy cos β = sin α = 0,6. Đáp án B (0,8) sai vì 0,8 là cos α (theo sin²α + cos²α = 1, cos α = √(1 − 0,36) = 0,8) — bạn đã tính cos của góc α thay vì cos của góc β. Đáp án C (0,4) sai vì 0,4 = 1 − 0,6, không có công thức nào cho ra số này. Đáp án D (1,6) sai vì cos của góc nhọn không bao giờ lớn hơn 1.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (cot 55°) đúng: Vì 35° + 55° = 90° nên 35° và 55° phụ nhau, tan 35° = cot 55°. Đáp án A (cot 35°) sai vì cot 35° là nghịch đảo của tan 35°, không phải bằng nó. Đáp án B (tan 55°) sai vì tan không đổi tên khi đổi góc — phải đổi tan thành cot. Đáp án D (sin 55°) sai vì sin và tan là hai tỉ số khác nhau, không có công thức nào nối chúng trực tiếp.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C (2) đúng: α và β phụ nhau nên tan α = cot β. Vậy cot β = tan α = 2. Đáp án A (1/2) sai vì 1/2 là cot α (nghịch đảo của tan α), không phải cot β. Đáp án B (−2) sai vì cot của góc nhọn luôn dương. Đáp án D (0) sai vì cot β = 2, không thể bằng 0.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (0,8) đúng: B và C là hai góc nhọn của cùng một tam giác vuông nên B + C = 90° — hai góc phụ nhau. Vậy sin C = cos B = 0,8. Đáp án B (0,6) sai vì 0,6 là sin B (theo sin²B + cos²B = 1, sin B = √(1 − 0,64) = 0,6) — bạn đã tính sin của góc B thay vì sin của góc C. Đáp án C (0,2) sai vì 0,2 = 1 − 0,8, không có công thức nào cho ra số này. Đáp án D (1) sai vì sin C = 0,8, không phải 1.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Hai góc phụ nhau và hai góc bù nhau khác nhau như thế nào?
Đáp: Hai góc phụ nhau có tổng bằng 90°, hai góc bù nhau có tổng bằng 180°. Bạn hãy nhớ bằng hình ảnh: "phụ" là một góc vuông (90°) bị chia đôi, "bù" là một góc bẹt (180°) bị chia đôi. Công thức sin α = cos β chỉ đúng với hai góc phụ nhau, không đúng với hai góc bù nhau. Nếu đề bài cho hai góc cộng lại bằng 180° thì bạn đừng dùng công thức của bài này.
Hỏi: Góc 45° có gì đặc biệt trong bài này?
Đáp: Góc 45° là góc duy nhất phụ với chính nó (45° + 45° = 90°). Vì vậy sin 45° = cos 45° = √2/2 và tan 45° = cot 45° = 1. Đây là lí do vì sao cột 45° trong bảng giá trị đặc biệt có sin bằng cos và tan bằng cot. Nếu đề hỏi "góc nào có sin bằng cos?" thì đáp án là 45°.
Hỏi: Có thể dùng công thức này để tính sin 70° khi biết cos 20° không?
Đáp: Có. Vì 20° + 70° = 90° nên sin 70° = cos 20°. Quy luật này đúng với mọi cặp góc phụ nhau, không chỉ góc đặc biệt. Bạn chỉ cần biết một trong hai giá trị là suy ra được giá trị còn lại — dù góc đó là 20°, 37° hay 53°, dù bạn phải dùng máy tính để tính giá trị ban đầu.
Hỏi: Vì sao tên gọi "cos" lại liên quan tới góc phụ?
Đáp: Vì "cos" là viết tắt của "complement sine" trong tiếng Latinh — nghĩa là "sin của góc phụ" (complement là phần bù cho đủ 90°). Tức là cos β vốn được định nghĩa là sin của góc phụ với β. Tương tự, "cot" là viết tắt của "complement tangent" — tan của góc phụ. Ngay trong tên gọi, toán học đã "giấu" sẵn quy luật của bài này.
Hỏi: Học bài này để làm gì ở các bài sau?
Đáp: Bạn sẽ dùng nó trong mọi bài toán hệ thức lượng: khi đề cho sin của một góc mà cần cos của góc còn lại, khi cần chứng minh đẳng thức lượng giác, khi cần tính nhanh mà không tra bảng. Ở lớp 10, quy luật này mở rộng thành công thức lượng giác của hai góc phụ nhau trong đường tròn lượng giác. Nếu muốn ôn lại cách tính tỉ số lượng giác của một góc — nền tảng của bài này — bạn hãy xem lại bài tìm tỉ số, tỉ số phần trăm, vì mọi tỉ số lượng giác đều là tỉ số giữa hai cạnh của tam giác vuông.
8. Kết luận
Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau chỉ gói gọn trong một quy luật: khi α + β = 90° thì sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β — chữ "co" nhảy từ tỉ số này sang tỉ số kia, vì cạnh đối của góc này chính là cạnh kề của góc kia. Bạn hãy nhớ kĩ hai điểm: kiểm tra tổng hai góc có bằng 90° không trước khi dùng công thức, và đừng bao giờ nhầm góc phụ (90°) với góc bù (180°). Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để đổi sin thành cos, tan thành cot mỗi khi gặp cặp góc phụ nhau — và bạn cũng đã hiểu vì sao sin 30° lại bằng cos 60°: không phải trùng hợp, mà vì hai con số đó là hai cách viết của cùng một tỉ số trong cùng một tam giác vuông.