Chú thợ xây đang lợp mái nhà mới. Mái dốc tạo với mặt ngang một góc 45 độ, chiều ngang của mái là 8 m. Chú nhìn bản vẽ rồi nói với chủ nhà: "Chiều cao của mái cũng là 8 m, không cần đo đâu". Chủ nhà ngạc nhiên: làm sao biết chiều cao mà không cần leo lên đo? Chú cười: "Góc 45 độ thì hai cạnh góc vuông bằng nhau, ngang 8 thì cao cũng 8". Câu nói đó chính là nội dung của bài hôm nay: liên hệ giữa hai cạnh góc vuông với nhau, qua tan và cot — một mối liên hệ không cần tới cạnh huyền.
Bài trước, bạn đã học cách tính cạnh góc vuông khi biết cạnh huyền và một góc nhọn. Bài này đi xa hơn một bước: bạn sẽ tính được một cạnh góc vuông khi chỉ biết cạnh góc vuông kia và một góc nhọn, không cần biết cạnh huyền dài bao nhiêu. Bạn sẽ học bốn hệ thức tan, cot, thuộc bảng giá trị của ba góc đặc biệt 30°, 45°, 60°, rồi luyện bốn ví dụ tính từng bước, năm lỗi sai thường gặp, năm bài tập trắc nghiệm có giải thích cặn kẽ và năm câu hỏi thường gặp. Nếu bạn chưa nắm công thức dùng cạnh huyền, hãy xem lại bài liên hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông, vì hai bài này là hai nửa của cùng một bộ công thức giải tam giác vuông.
1. Khi nào bạn không cần cạnh huyền?
Bạn hãy tưởng tượng đề bài chỉ cho bạn một cạnh góc vuông và một góc nhọn, rồi hỏi cạnh góc vuông còn lại. Lúc này cạnh huyền không xuất hiện trong dữ kiện, và bạn cũng không cần tính nó ra. Đây chính là lúc tan và cot lên tiếng. Tan của một góc bằng cạnh đối chia cạnh kề, cot bằng cạnh kề chia cạnh đối — cả hai tỉ số đều chỉ so sánh hai cạnh góc vuông với nhau, không dính dáng gì tới cạnh huyền. Vì vậy, khi bộ ba dữ kiện của bạn không có cạnh huyền, bạn dùng tan hoặc cot; khi bộ ba có cạnh huyền, bạn dùng sin hoặc cos như bài trước.
Quy tắc chọn này rất đáng nhớ: "có huyền thì sin, cos; không huyền thì tan, cot". Bạn hãy nhìn vào đề bài, liệt kê ba đại lượng mà đề cho và hỏi: trong ba đại lượng đó có cạnh huyền không? Nếu có, bạn đi theo đường sin, cos. Nếu không, bạn đi theo đường tan, cot. Nhiều bạn làm sai chỉ vì chọn nhầm đường ngay từ đầu — ví dụ đề không cho cạnh huyền mà bạn cứ cố dùng sin, rồi loay hoay không biết lấy sin của cái gì chia cho cái gì. Chỉ cần nhớ quy tắc này, bạn sẽ không bao giờ chọn sai đường nữa.
Một điểm nữa bạn cần nắm: tan và cot là nghịch đảo của nhau, tan B · cot B = 1. Vì vậy bốn hệ thức của bài này thực ra chỉ là hai hệ thức viết theo hai chiều. Bạn thuộc một chiều thì suy ra chiều còn lại ngay. Và khác với sin, cos luôn nhỏ hơn 1, tan và cot có thể lớn hơn 1, bằng 1 hay nhỏ hơn 1 tùy theo góc — vì cạnh đối và cạnh kề có thể lớn hơn nhau tùy ý. Bạn đừng hoảng khi tính ra tan bằng 2 hay bằng 0,5: đó là chuyện bình thường, không phải dấu hiệu làm sai.
2. Công thức: bốn hệ thức tan, cot
Công thức của bài này cũng gói gọn trong một câu: "cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tan góc đối, nhân cot góc kề". Cụ thể, cạnh b đối diện góc B và kề góc C, nên b = c·tan B = c·cot C. Cạnh c đối diện góc C và kề góc B, nên c = b·tan C = b·cot B. Bạn hãy đối chiếu với bài trước: ở đó cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin, cos; ở đây cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tan, cot. Hai bài giống nhau về cấu trúc, chỉ khác "đối tác" nhân cùng — bài trước nhân với cạnh huyền, bài này nhân với cạnh góc vuông còn lại.
| Cạnh cần tìm | Dùng tan (góc đối) | Dùng cot (góc kề) |
|---|---|---|
| b = AC | b = c·tan B | b = c·cot C |
| c = AB | c = b·tan C | c = b·cot B |
Vì sao công thức đúng? Cũng chỉ là một phép nhân chéo từ định nghĩa, giống hệt bài trước. Với góc B, tan B = cạnh đối chia cạnh kề = b/c. Bạn nhân chéo hai vế với c thì được ngay b = c·tan B. Tương tự, cot B = c/b nên c = b·cot B. Hai hệ thức còn lại suy ra khi bạn xét góc C. Bạn thấy không: toàn bộ chương tỉ số lượng giác chỉ là vài phép nhân chéo từ bốn định nghĩa sin, cos, tan, cot. Bạn thuộc bốn định nghĩa thì không bao giờ lo quên công thức — quên đâu suy lại đó trong vài giây.
3. Bảng ba góc đặc biệt: 30°, 45°, 60°
Trong bài tập trắc nghiệm, ba góc 30°, 45°, 60° xuất hiện nhiều nhất, vì giá trị lượng giác của chúng là những số đẹp, không cần máy tính. Bạn hãy thuộc lòng bảng này như thuộc bảng cửu chương. Góc 30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3, cot = √3. Góc 45°: sin = cos = √2/2, tan = cot = 1. Góc 60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3, cot = √3/3. Bạn hãy để ý quy luật đối xứng đẹp đẽ: sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 60° = cos 30° = √3/2, tan 30° = cot 60° = √3/3, tan 60° = cot 30° = √3. Đó chính là hệ quả của việc hai góc 30° và 60° phụ nhau.
Riêng góc 45° là góc đặc biệt nhất: sin bằng cos, tan bằng cot bằng 1, và tam giác vuông có góc 45° là tam giác vuông cân — hai cạnh góc vuông bằng nhau. Đó là lí do chú thợ xây ở đầu bài khẳng định ngay chiều cao mái bằng chiều ngang mà không cần tính: mái dốc 45° thì hai cạnh góc vuông bằng nhau. Bạn hãy nhớ mốc này: gặp góc 45°, hai cạnh góc vuông bằng nhau; gặp góc 30°, cạnh đối diện góc 30° bằng nửa cạnh huyền; gặp góc 60°, cạnh đối diện góc 60° bằng cạnh huyền nhân √3/2. Ba mốc này giúp bạn làm nhanh rất nhiều bài trắc nghiệm mà không cần bấm máy. Khi gặp góc không đặc biệt, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn tính giúp giá trị sin, cos, tan, cot.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (ví dụ gốc): Cạnh c = 8, góc B = 45°, tính cạnh b.
Cạnh b = AC đối diện góc B, nên bạn dùng b = c·tan B. Thay số: b = 8·tan 45°. Bạn tra bảng: tan 45° = 1. Vậy b = 8·1 = 8. Kết quả này đúng với câu chuyện mái nhà ở đầu bài: góc 45° thì hai cạnh góc vuông bằng nhau, ngang 8 thì cao cũng 8. Bạn hãy kiểm tra bằng cách thứ hai: cạnh b kề góc C, mà C = 90° − 45° = 45°, nên b = c·cot C = 8·cot 45° = 8·1 = 8. Hai cách trùng nhau, bạn yên tâm ghi đáp án.
Ví dụ 2: Cạnh b = 6, góc B = 30°, tính cạnh c.
Cạnh c = AB kề góc B, nên bạn dùng c = b·cot B. Thay số: c = 6·cot 30°. Bạn tra bảng: cot 30° = √3. Vậy c = 6√3 ≈ 10,39. Bạn cũng có thể tính theo cách khác: cạnh c đối diện góc C, mà C = 60°, nên c = b·tan C = 6·tan 60° = 6·√3 = 6√3. Hai cách cho cùng một kết quả. Bạn hãy để ý: cạnh đối diện góc lớn hơn thì dài hơn — góc C = 60° lớn hơn góc B = 30°, nên cạnh c dài hơn cạnh b, đúng với kết quả 10,39 lớn hơn 6.
Ví dụ 3: Cạnh c = 5, góc C = 60°, tính cạnh b.
Cạnh b = AC kề góc C, nên bạn dùng b = c·cot C. Thay số: b = 5·cot 60°. Bạn tra bảng: cot 60° = √3/3. Vậy b = 5·√3/3 = 5√3/3 ≈ 2,89. Bạn kiểm tra bằng cách thứ hai: cạnh b đối diện góc B = 30°, nên b = c·tan B = 5·tan 30° = 5·√3/3 = 5√3/3. Hai cách trùng nhau. Bạn hãy chú ý: kết quả 2,89 nhỏ hơn 5, hợp lí vì cạnh đối diện góc 30° phải ngắn hơn cạnh đối diện góc 60°.
Ví dụ 4 (đo độ dốc): Một con đường dốc lên tạo với mặt ngang góc 30°, đoạn đường ngang dài 12 m, hỏi đoạn đường dốc lên cao bao nhiêu?
Bạn vẽ tam giác vuông: cạnh ngang 12 m là một cạnh góc vuông, chiều cao cần tìm là cạnh góc vuông kia, góc giữa chúng là 30°. Chiều cao đối diện góc 30° nên chiều cao = 12·tan 30° = 12·√3/3 = 4√3 ≈ 6,93 m. Bạn hãy tưởng tượng đi bộ 12 m theo chiều ngang thì bạn lên cao gần 7 m — con dốc này khá đứng, đúng với góc 30°. Nếu góc chỉ 10° thì chiều cao chỉ khoảng 2,12 m, dốc thoải hơn nhiều. Bạn thấy không: cùng một đoạn ngang, góc càng lớn thì chiều cao càng lớn — đó chính là ý nghĩa thực tế của tan.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Dùng tan khi phải dùng cot (và ngược lại).
Nhiều bạn nhớ "nhân tan" rồi áp dụng cho mọi trường hợp, kể cả khi cạnh cần tìm kề với góc đã cho. Ví dụ cần tính cạnh kề mà bạn viết c·tan thì kết quả sai. Cách tránh: bạn hãy đọc đủ câu thần chú: "tan góc đối, cot góc kề". Trước khi viết công thức, bạn hỏi: cạnh cần tìm đối hay kề với góc đã cho? Đối thì tan, kề thì cot. Chỉ một câu hỏi này thôi cũng cứu được rất nhiều điểm.
Lỗi 2: Lấy tan bằng sin chia cos rồi tính lòng vòng.
Nhiều bạn quên công thức b = c·tan B nên đi đường vòng: tính cạnh huyền bằng Pythagore rồi dùng sin. Đường vòng này vừa dài vừa dễ sai số. Cách tránh: khi đề không cho cạnh huyền, bạn hãy nghĩ ngay tới tan, cot — đó là con đường ngắn nhất. Bạn chỉ dùng sin, cos khi đề cho cạnh huyền, còn không thì tan, cot luôn là lựa chọn đầu tiên.
Lỗi 3: Nhầm tan 30° với tan 60°.
Nhiều bạn nhớ mang máng tan của góc đặc biệt là √3 nhưng không nhớ là của góc nào, nên viết tan 30° = √3. Sai: tan 30° = √3/3, còn tan 60° mới bằng √3. Cách tránh: bạn hãy nhớ theo cặp phụ nhau: tan 30° = cot 60° = √3/3, tan 60° = cot 30° = √3. Góc nhỏ thì tan nhỏ, góc lớn thì tan lớn — tan tăng theo góc, nên tan 30° phải nhỏ hơn tan 60°, tức là √3/3 nhỏ hơn √3. Bạn chỉ cần nhớ "góc nhỏ, tan nhỏ" là không bao giờ nhầm nữa.
Lỗi 4: Tính tan của góc 90°.
Nhiều bạn gặp tam giác vuông rồi vô tư tính tan 90°, nhưng tan 90° không xác định vì cạnh kề của góc vuông bằng 0 mà không thể chia cho 0. Cách tránh: bạn hãy nhớ tan, cot chỉ dùng cho hai góc nhọn của tam giác vuông, không bao giờ dùng cho góc vuông. Nếu đề bài hỏi tan của góc vuông thì đề sai, hoặc bạn đã xác định nhầm góc — hãy kiểm tra lại hình vẽ của mình.
Lỗi 5: Quên rằng tan, cot có thể lớn hơn 1.
Nhiều bạn quen với sin, cos nhỏ hơn 1 nên khi tính ra tan bằng 2 thì tưởng mình làm sai rồi sửa lại thành 0,5. Sai: tan là tỉ số của hai cạnh góc vuông, cạnh đối có thể dài hơn cạnh kề nên tan hoàn toàn có thể lớn hơn 1. Cách tránh: bạn hãy nhớ tan tăng từ 0 tới vô cùng khi góc tăng từ 0° tới 90°, nên tan bằng 2, bằng 5 hay bằng 10 đều bình thường. Chỉ có sin và cos mới bị giới hạn nhỏ hơn 1.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ hỏi "đối hay kề" trước khi chọn tan hay cot — chọn đúng tỉ số là một nửa của bài làm.
Câu 1: Tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 8, góc B = 45°. Độ dài cạnh AC bằng bao nhiêu?
A. 4
B. 8√2
C. 8
D. 16
Câu 2: Tam giác ABC vuông tại A, cạnh AC = 6, góc B = 30°. Độ dài cạnh AB bằng bao nhiêu?
A. 3
B. 6
C. 2√3
D. 6√3
Câu 3: Tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 5, góc C = 60°. Độ dài cạnh AC bằng bao nhiêu?
A. 5√3
B. 5
C. 10
D. 5/√3
Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A, cạnh AC = 12, góc C = 45°. Độ dài cạnh AB bằng bao nhiêu?
A. 6
B. 12√2
C. 12
D. 24
Câu 5: Góc nhọn B có tan B = 1. Số đo góc B bằng bao nhiêu?
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | D | A | C | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C (8) đúng: Cạnh AC đối diện góc B nên AC = AB·tan B = 8·tan 45° = 8·1 = 8. Đáp án A (4) sai vì 4 = 8·sin 30°, bạn đã dùng nhầm góc và nhầm tỉ số. Đáp án B (8√2) sai vì 8√2 là độ dài cạnh huyền khi hai cạnh góc vuông bằng 8 — đề không hỏi cạnh huyền. Đáp án D (16) sai vì 16 = 8·2, không có cơ sở nào.
Giải thích Câu 2 — Đáp án D (6√3) đúng: Cạnh AB kề góc B nên AB = AC·cot B = 6·cot 30° = 6·√3 = 6√3. Đáp án A (3) sai vì 3 = 6·sin 30°, bạn đã dùng nhầm sin thay vì cot. Đáp án B (6) sai vì 6 là cạnh AC đã cho, không phải cạnh cần tìm. Đáp án C (2√3) sai vì 2√3 = 6·tan 30°, bạn đã dùng tan thay vì cot — cạnh cần tìm kề góc B nên phải dùng cot.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A (5√3) đúng: Cạnh AC đối diện góc C nên AC = AB·tan C = 5·tan 60° = 5·√3 = 5√3. Đáp án B (5) sai vì 5 là cạnh AB đã cho. Đáp án C (10) sai vì 10 = 5·2, không có cơ sở nào. Đáp án D (5/√3) sai vì 5/√3 = 5·tan 30°, bạn đã dùng nhầm góc 30° thay vì 60°.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C (12) đúng: Cạnh AB đối diện góc C nên AB = AC·tan C = 12·tan 45° = 12·1 = 12. Đáp án A (6) sai vì 6 = 12·sin 30°, bạn đã dùng nhầm góc và nhầm tỉ số. Đáp án B (12√2) sai vì 12√2 là độ dài cạnh huyền khi hai cạnh góc vuông bằng 12 — đề không hỏi cạnh huyền. Đáp án D (24) sai vì 24 = 12·2, không có cơ sở nào.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (45°) đúng: Tra bảng góc đặc biệt: tan 45° = 1, nên góc B = 45°. Đáp án A (30°) sai vì tan 30° = √3/3 ≈ 0,58, không phải 1. Đáp án C (60°) sai vì tan 60° = √3 ≈ 1,73, không phải 1. Đáp án D (90°) sai vì tan 90° không xác định — góc B là góc nhọn nên không thể bằng 90°.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Vì sao bài này không cần cạnh huyền mà bài trước lại cần?
Đáp: Vì tan và cot chỉ so sánh hai cạnh góc vuông với nhau, còn sin và cos so sánh cạnh góc vuông với cạnh huyền. Đề bài cho dữ kiện nào thì bạn dùng tỉ số nối đúng các dữ kiện đó. Hai bài là hai nửa của cùng một bộ công thức: có huyền thì sin, cos; không huyền thì tan, cot. Bạn thuộc cả hai nửa thì giải được mọi bài toán về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Hỏi: Tan và cot khác nhau như thế nào, có cần thuộc cả hai không?
Đáp: Tan = đối/kề, cot = kề/đối, hai tỉ số là nghịch đảo của nhau: tan B · cot B = 1. Bạn thuộc một tỉ số thì suy ra tỉ số còn lại ngay bằng cách lật ngược phân số. Trong bài làm, bạn chọn tan khi cạnh cần tìm đối diện góc đã cho, chọn cot khi cạnh cần tìm kề góc đã cho. Nếu bạn chỉ nhớ tan thì vẫn làm được mọi bài bằng cách đổi góc: cot B = tan C vì B và C phụ nhau.
Hỏi: Làm sao nhớ bảng giá trị tan, cot của ba góc đặc biệt?
Đáp: Bạn chỉ cần nhớ ba mốc: tan 30° = √3/3, tan 45° = 1, tan 60° = √3. Cot thì lấy nghịch đảo: cot 30° = √3, cot 45° = 1, cot 60° = √3/3. Bạn hãy nhớ theo quy luật "góc tăng thì tan tăng": 30° cho số nhỏ nhất √3/3, 45° cho 1, 60° cho số lớn nhất √3. Nhớ được chiều tăng này thì bạn không bao giờ viết nhầm tan 30° thành √3 nữa.
Hỏi: Góc 45° có gì đặc biệt mà hay xuất hiện trong đề?
Đáp: Góc 45° làm cho tam giác vuông trở thành tam giác vuông cân: hai cạnh góc vuông bằng nhau, sin bằng cos, tan bằng cot bằng 1. Nhờ đó mọi phép tính với góc 45° đều rất gọn, không có căn thức phức tạp. Trong đề trắc nghiệm, góc 45° thường được dùng để kiểm tra xem bạn có nhận ra tính chất vuông cân hay không, thay vì kiểm tra khả năng bấm máy.
Hỏi: Học hai bài về cạnh và góc này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Đây là công cụ để giải tam giác vuông — tức là tính mọi cạnh và mọi góc khi biết một số dữ kiện. Bạn sẽ dùng chúng để tính chiều cao, khoảng cách trong thực tế, rồi dùng tiếp trong bài hệ thức lượng trong tam giác vuông và các bài về đường tròn ở chương sau. Nếu muốn ôn lại bốn tỉ số lượng giác, bạn hãy xem lại bài tỉ số lượng giác của góc nhọn.
8. Kết luận
Liên hệ giữa hai cạnh góc vuông cũng gói gọn trong một câu: cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tan góc đối, nhân cot góc kề. Từ câu này, bạn suy ra bốn hệ thức b = c·tan B = c·cot C và c = b·tan C = b·cot B, đủ để giải mọi bài toán chỉ cho một cạnh góc vuông và một góc nhọn. Bạn hãy nhớ quy tắc chọn đường: có huyền thì sin, cos; không huyền thì tan, cot. Và hãy thuộc lòng ba mốc tan 30° = √3/3, tan 45° = 1, tan 60° = √3. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm trọn cả hai nửa của bộ công thức cạnh và góc — bài tiếp theo sẽ cho bạn thấy khi kẻ thêm đường cao, tam giác vuông còn giấu thêm năm hệ thức đẹp đẽ nào nữa.