Bạn đã bao giờ thắc mắc vì sao mọi góc nội tiếp cùng chắn một cung thì luôn bằng nhau, dù đỉnh của chúng nằm ở những vị trí khác nhau trên đường tròn? Hay vì sao một góc nội tiếp chắn nửa đường tròn luôn luôn là góc vuông — không cần biết đường tròn đó lớn hay nhỏ? Câu trả lời nằm ở một định lí đẹp nhất của chương đường tròn: số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn. Chỉ với một phép chia đôi, bạn có thể tính được vô số góc trên đường tròn mà không cần đo thêm bất kì góc nào. Bài viết này sẽ chỉ cho bạn định lí đó là gì, dùng như thế nào, và vì sao nó đúng.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", góc nội tiếp nằm trong Chương IX: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp, ở Bài 27: Góc nội tiếp. Đây là bài học quan trọng bậc nhất của học kì 2: từ góc nội tiếp, bạn sẽ chứng minh được tứ giác nội tiếp, tính được góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, và giải được hàng loạt bài toán chứng minh hình học. Nếu bài về góc ở tâm cho bạn "thước đo" của cung tròn thì bài này cho bạn cách dùng thước đo đó để tính góc ở bất kì đâu trên đường tròn — và nó cũng là cầu nối để bạn quay lại hiểu sâu hơn về góc ở tâm đã học ở Bài 14.
1. Góc nội tiếp là gì? Công thức tính số đo của góc nội tiếp
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Chẳng hạn, trên đường tròn tâm O, bạn lấy ba điểm A, B, C trên đường tròn rồi nối CA và CB — góc ACB chính là một góc nội tiếp, và cung AB nằm bên trong góc đó được gọi là cung bị chắn. Bạn hãy chú ý hai điều kiện: đỉnh phải nằm trên đường tròn (không phải ở tâm, không phải bên ngoài), và hai cạnh phải là hai dây cung (không phải tia tiếp tuyến). Nếu thiếu một trong hai điều kiện này thì góc đó không phải là góc nội tiếp.
Công thức quan trọng nhất của bài này là: số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn. Nếu cung AB có số đo 100° thì góc nội tiếp ACB chắn cung đó bằng 50°. Bạn hãy so sánh với bài trước: góc ở tâm chắn cung AB thì bằng đúng số đo cung AB (100°), còn góc nội tiếp chắn cùng cung đó thì chỉ bằng một nửa (50°). Nói cách khác, góc ở tâm có số đo gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung — đây là một cách phát biểu khác của cùng một định lí, và bạn sẽ thấy cả hai cách phát biểu này xuất hiện trong sách giáo khoa.
Từ định lí này suy ra ba hệ quả rất hay dùng. Thứ nhất, các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau — vì chúng đều bằng một nửa số đo của cùng một cung. Thứ hai, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông: nửa đường tròn có số đo 180°, một nửa của nó là 90°. Thứ ba, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Ba hệ quả này là "bộ ba" bạn sẽ dùng đi dùng lại trong các bài toán chứng minh, đặc biệt là khi chứng minh hai góc bằng nhau hay chứng minh một tam giác là tam giác vuông.
2. Ví dụ gốc: cung bị chắn có số đo 100° thì góc nội tiếp bằng 50°
Hãy bắt đầu với ví dụ gốc của bài này. Cho đường tròn tâm O, cung AB có số đo bằng 100°. Điểm C nằm trên đường tròn (ở phía đối diện với cung nhỏ AB) sao cho góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB. Hỏi góc ACB bằng bao nhiêu? Bạn áp dụng ngay công thức: góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn. Cung bị chắn AB bằng 100°, một nửa của nó là 50°, vậy góc ACB bằng 50°. Chỉ một phép chia đôi — đơn giản hơn cả bài góc ở tâm, vì bạn chỉ cần nhớ "chia đôi" là xong.
Từ ví dụ này, bạn có thể suy ra ngay góc ở tâm AOB cùng chắn cung AB: góc ở tâm bằng đúng số đo cung, tức là 100°, gấp đôi góc nội tiếp 50°. Và nếu có thêm một điểm D khác cũng nằm trên đường tròn, cùng phía với C, thì góc ADB cũng chắn cung AB nên cũng bằng 50° — bằng góc ACB. Bạn thấy không: chỉ với một cung 100° ban đầu, bạn đã tính được góc ở tâm, góc nội tiếp tại C, góc nội tiếp tại D, và khẳng định được hai góc nội tiếp đó bằng nhau. Đó là cách các bài toán chứng minh thường được ra: cho một cung, hỏi nhiều góc.
Ví dụ này cũng cho thấy vì sao góc nội tiếp lại quan trọng trong thực tế: khi bạn muốn đo góc nhìn của một vật từ nhiều vị trí khác nhau trên cùng một đường tròn — chẳng hạn góc nhìn một sân khấu từ các hàng ghế khác nhau trong một nhà hát hình tròn — thì mọi góc nhìn đó đều bằng nhau nếu chúng cùng chắn một cung. Các kiến trúc sư thiết kế khán đài dựa vào chính tính chất này để đảm bảo mọi khán giả đều có góc nhìn tốt như nhau.
3. Ba hệ quả quan trọng: góc bằng nhau, góc vuông và quan hệ với góc ở tâm
Hệ quả thứ nhất — các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau — là công cụ chứng minh hai góc bằng nhau nhanh nhất trong hình học lớp 9. Thay vì phải chứng minh hai tam giác bằng nhau rồi suy ra góc bằng góc, bạn chỉ cần chỉ ra hai góc nội tiếp đó cùng chắn một cung là xong. Ví dụ, trong tứ giác nội tiếp ABCD, góc ABD và góc ACD cùng chắn cung AD nên chúng bằng nhau. Hệ quả này sẽ trở thành "vũ khí" chính của bạn khi học tới bài tứ giác nội tiếp ở mục sau — hãy xem bài tổng số đo hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp.
Hệ quả thứ hai — góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông — là một trong những định lí đẹp nhất của hình học phẳng, còn được gọi là định lí Thales. Bất kì tam giác nào có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó vuông tại đỉnh còn lại. Hệ quả này có ứng dụng thực tế rất hay: thợ mộc muốn kiểm tra một góc có vuông hay không, họ chỉ cần vẽ một nửa đường tròn có đường kính là một cạnh của góc rồi xem đỉnh góc có nằm trên đường tròn hay không. Nếu đỉnh nằm trên đường tròn thì góc đó vuông — không cần thước đo độ.
Hệ quả thứ ba — góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung — cho bạn một cách tính góc nội tiếp khác: nếu bạn biết góc ở tâm thì chỉ việc chia đôi. Ngược lại, nếu bạn biết góc nội tiếp thì nhân đôi sẽ ra góc ở tâm. Mối quan hệ "một gấp đôi, một một nửa" này là cầu nối giữa hai bài góc ở tâm và góc nội tiếp: mọi bài toán về góc nội tiếp đều có thể quy về bài toán về góc ở tâm và ngược lại. Khi làm bài tập, bạn hãy linh hoạt chọn hướng nào tiện hơn — có bài cho góc ở tâm thì tính góc nội tiếp, có bài cho góc nội tiếp thì suy ra góc ở tâm.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1: Trên đường tròn tâm O, cung AB có số đo bằng 100°. Tính góc nội tiếp ACB chắn cung AB.
Góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn: 100° chia 2 bằng 50°. Vậy góc ACB bằng 50°. Đây chính là ví dụ gốc của bài — bạn hãy nhớ nó như một "mốc" để kiểm tra mọi bài tính sau này: cung 100° thì góc nội tiếp 50°, cung 60° thì góc 30°, cung 140° thì góc 70°.
Ví dụ 2: Góc nội tiếp BAC chắn cung BC và bằng 35°. Tính số đo của cung BC và góc ở tâm BOC cùng chắn cung đó.
Vì góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn nên sđ BC bằng 35° nhân 2 bằng 70°. Góc ở tâm BOC bằng đúng số đo cung BC nên bằng 70°. Ví dụ này minh họa công thức đọc theo chiều ngược: biết góc nội tiếp thì nhân đôi để ra cung, rồi từ cung suy ra góc ở tâm. Bạn hãy chú ý: góc nội tiếp 35° và góc ở tâm 70° cùng chắn cung BC — góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp, đúng như hệ quả thứ ba.
Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm O có đường kính AB. Điểm C nằm trên đường tròn. Tính góc ACB.
Vì AB là đường kính nên cung AB là nửa đường tròn, có số đo 180°. Góc ACB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên bằng 180° chia 2 bằng 90°. Vậy tam giác ABC vuông tại C. Ví dụ này chính là định lí Thales: bất kì điểm nào trên đường tròn (khác A, B) cũng tạo thành một góc vuông với hai đầu đường kính. Bạn sẽ gặp lại kết quả này trong bài toán về đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông.
Ví dụ 4: Trên đường tròn tâm O, cung AB có số đo bằng 80°. Hai điểm C và D nằm trên đường tròn, cùng phía đối với dây AB. Tính góc ACB và góc ADB, rồi so sánh hai góc đó.
Góc ACB chắn cung AB nên bằng 80° chia 2 bằng 40°. Góc ADB cũng chắn cung AB nên cũng bằng 80° chia 2 bằng 40°. Vậy góc ACB bằng góc ADB, cùng bằng 40°. Ví dụ này minh họa hệ quả thứ nhất: hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Trong bài toán chứng minh, bạn sẽ dùng kết quả này để khẳng định hai góc bằng nhau mà không cần đo đạc gì thêm.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên chia đôi — lấy số đo góc nội tiếp bằng luôn số đo cung bị chắn.
Nhiều bạn thấy cung AB bằng 100° thì viết ngay góc ACB bằng 100°. Sai: góc nội tiếp chỉ bằng một nửa số đo cung bị chắn, tức là 50°. Cách tránh: mỗi lần thấy chữ "góc nội tiếp", bạn hãy tự nhắc "chia đôi" trước khi viết đáp án. Ngược lại, thấy "góc ở tâm" thì giữ nguyên — hai loại góc này chỉ khác nhau ở đúng một phép chia đôi.
Lỗi 2: Nhầm cung bị chắn với cung còn lại.
Nhiều bạn tính góc nội tiếp ACB bằng một nửa số đo của cung lớn AB thay vì cung nhỏ AB. Ví dụ cung nhỏ AB bằng 100°, cung lớn bằng 260°, bạn lấy 260° chia 2 bằng 130° làm đáp án. Sai: cung bị chắn của góc ACB là cung nằm bên trong góc, tức là cung nhỏ AB. Cách tránh: trước khi tính, bạn hãy xác định cung nào nằm gọn trong hai cạnh của góc — đó mới là cung bị chắn.
Lỗi 3: Cho rằng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 180°.
Nhiều bạn nhớ "nửa đường tròn bằng 180°" rồi kết luận góc nội tiếp chắn nó cũng bằng 180°. Sai: góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn, tức là 180° chia 2 bằng 90°. Cách tránh: bạn hãy nhớ câu thần chú "góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông" — từ "vuông" chính là đáp án 90°.
Lỗi 4: Áp dụng hệ quả "các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau" khi hai góc chắn hai cung khác nhau.
Nhiều bạn thấy hai góc nội tiếp trong cùng một hình thì khẳng định chúng bằng nhau mà không kiểm tra cung bị chắn. Sai: hai góc chỉ bằng nhau khi chúng cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau. Cách tránh: trước khi khẳng định hai góc bằng nhau, bạn hãy chỉ ra rõ cung bị chắn của từng góc — nếu hai cung đó khác nhau thì hai góc không có lí do gì để bằng nhau.
Lỗi 5: Nhầm góc nội tiếp với góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
Nhiều bạn thấy một góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn (không phải trên đường tròn) cũng áp dụng công thức "một nửa số đo cung bị chắn". Sai: góc có đỉnh ở bên trong đường tròn có số đo bằng một nửa tổng số đo của hai cung bị chắn — một công thức khác hẳn. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra vị trí của đỉnh trước tiên — đỉnh trên đường tròn mới là góc nội tiếp, đỉnh bên trong hay bên ngoài đường tròn đều có công thức riêng.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định đúng cung bị chắn trước khi chia đôi — xác định đúng cung là một nửa của bài làm.
Câu 1: Trên đường tròn tâm O, góc nội tiếp ACB chắn cung AB có số đo bằng 120°. Góc ACB bằng bao nhiêu?
A. 30°
B. 120°
C. 60°
D. 240°
Câu 2: Góc nội tiếp BAC chắn cung BC và bằng 40°. Số đo của cung BC bằng bao nhiêu?
A. 80°
B. 20°
C. 40°
D. 140°
Câu 3: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng bao nhiêu?
A. 45°
B. 90°
C. 180°
D. 60°
Câu 4: Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung có số đo bằng 80°. Mỗi góc nội tiếp đó bằng bao nhiêu?
A. 80°
B. 160°
C. 20°
D. 40°
Câu 5: Góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung có số đo bằng 140°. Góc nội tiếp đó bằng bao nhiêu?
A. 140°
B. 70°
C. 280°
D. 35°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | A | B | D | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C (60°) đúng: Góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn: 120° chia 2 bằng 60°. Đáp án A (30°) sai vì 30° là một phần tư của 120° — bạn đã chia cho 4 thay vì chia cho 2. Đáp án B (120°) sai vì đó là số đo của cung, không phải của góc nội tiếp — bạn đã quên chia đôi. Đáp án D (240°) sai vì 240° là gấp đôi 120°, bạn đã nhân đôi thay vì chia đôi.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A (80°) đúng: Góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn nên sđ BC bằng 40° nhân 2 bằng 80°. Đáp án B (20°) sai vì 20° là một nửa của 40° — bạn đã chia đôi góc nội tiếp thay vì nhân đôi. Đáp án C (40°) sai vì đó là số đo góc nội tiếp, không phải số đo cung. Đáp án D (140°) sai vì 140° không có cơ sở nào trong bài này.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (90°) đúng: Nửa đường tròn có số đo 180°, góc nội tiếp chắn nó bằng 180° chia 2 bằng 90° — đây chính là định lí Thales. Đáp án A (45°) sai vì 45° là một nửa của 90°. Đáp án C (180°) sai vì đó là số đo của nửa đường tròn, bạn đã quên chia đôi. Đáp án D (60°) sai vì 60° không liên quan gì tới nửa đường tròn.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (40°) đúng: Mỗi góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn: 80° chia 2 bằng 40°. Hai góc cùng chắn một cung nên bằng nhau, cùng bằng 40°. Đáp án A (80°) sai vì đó là số đo cung — bạn đã quên chia đôi. Đáp án B (160°) sai vì 160° là gấp đôi 80°. Đáp án C (20°) sai vì 20° là một phần tư của 80°.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (70°) đúng: Góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn: 140° chia 2 bằng 70°. (Góc ở tâm cùng chắn cung đó bằng 140°.) Đáp án A (140°) sai vì đó là số đo góc ở tâm, không phải góc nội tiếp. Đáp án C (280°) sai vì 280° là gấp đôi 140°. Đáp án D (35°) sai vì 35° là một nửa của 70° — bạn đã chia đôi hai lần.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Vì sao góc nội tiếp lại bằng một nửa số đo cung bị chắn mà không phải bằng luôn?
Đáp: Vì đỉnh của góc nội tiếp nằm trên đường tròn, xa tâm hơn so với đỉnh của góc ở tâm. Khi bạn nối tâm O với đỉnh C của góc nội tiếp, tam giác tạo thành là tam giác cân, và góc ở ngoài tại O gấp đôi góc ở C — đó là nội dung của chứng minh định lí. Kết quả cuối cùng: góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung. Bạn không cần thuộc lòng chứng minh, chỉ cần nhớ kết quả "một nửa" là đủ để làm bài tập.
Hỏi: Góc nội tiếp có bao giờ lớn hơn 90° không?
Đáp: Có. Khi cung bị chắn lớn hơn 180° (tức là cung lớn) thì góc nội tiếp lớn hơn 90°, gọi là góc tù. Ví dụ góc nội tiếp chắn cung 220° thì bằng 110°. Tuy nhiên trong chương trình lớp 9, bạn chủ yếu làm việc với góc nội tiếp chắn cung nhỏ (không quá 180°) nên góc nội tiếp thường nhỏ hơn hoặc bằng 90°. Khi gặp góc tù, bạn đừng hoảng — công thức "một nửa" vẫn đúng như thường.
Hỏi: Làm sao để nhận ra hai góc nội tiếp cùng chắn một cung trong hình vẽ?
Đáp: Bạn hãy nhìn vào hai mút của cung bị chắn. Nếu hai góc có hai cạnh cùng đi qua hai điểm A và B trên đường tròn, và đỉnh của chúng nằm cùng phía đối với dây AB, thì chúng cùng chắn cung AB. Trong hình vẽ, hai góc đó thường "nhìn" về cùng một dây cung — bạn hãy tập thói quen tìm dây cung chung trước, rồi mới kết luận hai góc bằng nhau.
Hỏi: Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung thì góc nào lớn hơn?
Đáp: Góc ở tâm lớn hơn — gấp đôi góc nội tiếp. Ví dụ cùng chắn cung 100°, góc ở tâm bằng 100° còn góc nội tiếp chỉ bằng 50°. Mối quan hệ này là cách nhanh nhất để kiểm tra đáp án: nếu bạn tính ra góc nội tiếp lớn hơn góc ở tâm cùng chắn một cung thì chắc chắn bạn đã tính sai ở đâu đó.
Hỏi: Học góc nội tiếp để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Góc nội tiếp là chìa khóa để chứng minh tứ giác nội tiếp — xem bài tổng số đo hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp — và để giải các bài toán về đường tròn ngoại tiếp tam giác. Nếu muốn ôn lại góc ở tâm, bạn hãy xem lại bài góc ở tâm và số đo của một cung. Khi cần kiểm tra lại phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
8. Kết luận
Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn — chỉ một phép chia đôi mà mở ra cả một kho tàng hệ quả: các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, và góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung. Ba hệ quả này là "bộ ba" bạn sẽ mang theo suốt học kì 2 của Toán 9, từ bài tứ giác nội tiếp cho tới đường tròn ngoại tiếp tam giác. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính bất kì góc nội tiếp nào chỉ từ số đo của cung bị chắn — và bạn cũng đã hiểu vì sao mọi khán giả ngồi trên cùng một khán đài hình tròn đều nhìn sân khấu dưới cùng một góc.