Góc ở tâm và số đo của một cung: công thức, bài tập lớp 9

Bạn đã bao giờ nhìn lên mặt đồng hồ treo tường và tự hỏi: kim giờ và kim phút tạo thành một góc ở chính giữa mặt đồng hồ, vậy góc đó "đo" được bao nhiêu? Hay khi bạn cắt một chiếc bánh pizza thành từng miếng, mỗi miếng bánh là một phần của hình tròn — và độ "lớn" của mỗi miếng được đo bằng chính góc ở tâm của nó. Trong hình học lớp 9, góc ở tâm và số đo của cung là hai khái niệm đi cùng nhau như hình với bóng: biết góc ở tâm, bạn biết ngay cung tròn dài bao nhiêu độ, và ngược lại. Bài viết này sẽ chỉ cho bạn mối liên hệ đơn giản mà mạnh mẽ đó, cùng cách dùng nó để tính toán nhanh mọi bài toán về cung tròn.

Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", góc ở tâm và số đo của một cung nằm trong Chương V: Đường tròn, ở Bài 14: Cung và dây của một đường tròn. Đây là bài học nền tảng của cả chương: mọi bài sau đó — từ góc nội tiếp, tứ giác nội tiếp cho tới độ dài cung tròn và diện tích hình quạt tròn — đều xây dựng trên việc bạn đọc được số đo của một cung từ góc ở tâm chắn nó. Học chắc bài này, bạn đã nắm được một nửa chương đường tròn.

1. Góc ở tâm là gì? Số đo của một cung được tính như thế nào?

Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. Chẳng hạn, trên đường tròn tâm O, bạn lấy hai điểm A và B trên đường tròn rồi nối OA và OB — góc AOB chính là một góc ở tâm. Hai tia OA và OB chia đường tròn thành hai cung: cung nhỏ AB nằm bên trong góc AOB và cung lớn AB nằm bên ngoài góc đó. Khi góc AOB nhỏ hơn 180°, cung nằm bên trong góc là cung nhỏ; khi góc AOB lớn hơn 180°, phần còn lại mới là cung nhỏ — nhưng trong thực hành, bạn thường chỉ làm việc với góc ở tâm từ 0° tới 180° nên cung nhỏ luôn là cung nằm gọn trong góc.

Công thức quan trọng nhất của bài này chỉ có một dòng: số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Nếu góc AOB bằng 60° thì cung nhỏ AB cũng có số đo bằng 60°, kí hiệu là sđ AB bằng 60°. Nghe thì đơn giản, nhưng đây chính là "cầu nối" biến một góc — thứ bạn đo bằng thước đo độ — thành số đo của một cung — thứ bạn không thể đo trực tiếp bằng thước. Nhờ công thức này, mọi bài toán về cung tròn đều quy về bài toán về góc ở tâm.

Còn số đo của cung lớn thì sao? Vì cả đường tròn có số đo là 360°, nên số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ có chung hai mút với nó. Nếu cung nhỏ AB bằng 60° thì cung lớn AB bằng 360° trừ 60° bằng 300°. Và một trường hợp đặc biệt bạn phải nhớ: số đo của nửa đường tròn bằng 180°, vì khi đó góc ở tâm chắn nó là góc bẹt AOB bằng 180°. Ba con số 60° — 300° — 180° này sẽ xuất hiện đi xuất hiện lại trong các bài tập, nên bạn hãy ghi nhớ mối quan hệ: cung nhỏ cộng cung lớn bằng 360°, cung nhỏ bằng góc ở tâm, nửa đường tròn bằng 180°.

Một tính chất nữa rất hay dùng: nếu điểm C nằm trên cung nhỏ AB thì số đo cung AB bằng tổng số đo cung AC và số đo cung CB. Nói cách khác, cung tròn cũng "cộng được" như đoạn thẳng: bạn chia một cung lớn thành hai cung nhỏ hơn thì số đo của cung lớn bằng tổng số đo của hai cung nhỏ. Tính chất này giúp bạn tính số đo cung khi đề bài chỉ cho số đo của từng phần nhỏ — bạn chỉ việc cộng lại, không cần vẽ thêm hình gì cả.

2. Ví dụ gốc: góc ở tâm 60° chắn cung AB thì số đo cung AB bằng 60°

Hãy bắt đầu với ví dụ đơn giản nhất, cũng là ví dụ gốc của bài này. Cho đường tròn tâm O, hai điểm A và B trên đường tròn sao cho góc ở tâm AOB bằng 60°. Hỏi số đo của cung nhỏ AB bằng bao nhiêu? Bạn áp dụng ngay công thức: số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Góc AOB chắn cung nhỏ AB, góc AOB bằng 60°, vậy sđ AB bằng 60°. Chỉ một bước, không cần tính toán gì thêm — đó là sức mạnh của công thức này: nó biến một bài toán hình học thành một phép "đọc" trực tiếp.

Từ ví dụ này, bạn có thể suy ra ngay số đo của cung lớn AB: 360° trừ 60° bằng 300°. Và nếu có thêm một điểm C nằm trên cung nhỏ AB sao cho góc AOC bằng 25°, thì số đo cung AC bằng 25°, còn số đo cung CB bằng 60° trừ 25° bằng 35°. Bạn thấy không — chỉ với một góc 60° ban đầu, bạn đã tính được số đo của bốn cung khác nhau mà không cần đo thêm bất kì góc nào. Đó là cách các bài toán trong sách giáo khoa thường được ra: cho một góc, hỏi nhiều cung.

Ví dụ này cũng cho thấy vì sao người ta định nghĩa số đo cung theo góc ở tâm: cung tròn là một đường cong, bạn không thể đặt thước thẳng lên để đo độ dài góc của nó, nhưng bạn hoàn toàn có thể đo góc ở tâm bằng thước đo độ rồi suy ra số đo cung. Trong thực tế, các kĩ sư thiết kế bánh răng, vòm cầu hay đường đua hình tròn đều dùng chính nguyên tắc này: họ tính góc ở tâm trước, rồi mới suy ra độ dài cung cần cắt.

3. Cung nhỏ, cung lớn và nửa đường tròn — ba trường hợp phải phân biệt rõ

Nhiều bạn mất điểm không phải vì không thuộc công thức, mà vì không phân biệt được đề bài đang hỏi cung nào. Khi đề bài nói "cung AB" mà không nói rõ, quy ước chung là cung nhỏ AB — cung có số đo không vượt quá 180°. Nếu đề bài muốn hỏi cung lớn, nó sẽ nói rõ "cung lớn AB" hoặc kí hiệu cung với một điểm nằm trên cung lớn, ví dụ cung AnB, trong đó n là một điểm nằm trên cung lớn. Bạn hãy tập thói quen đọc kĩ đề: thấy chữ "lớn" hay thấy kí hiệu ba chữ cái thì mới tính 360° trừ đi, còn không thì cứ lấy số đo góc ở tâm.

Trường hợp ranh giới là nửa đường tròn: khi A và B là hai đầu của một đường kính, góc ở tâm AOB là góc bẹt bằng 180°, và hai cung AB đều có số đo bằng 180° — lúc này không còn phân biệt cung nhỏ hay cung lớn nữa, cả hai đều là nửa đường tròn. Đây là trường hợp rất hay xuất hiện trong bài toán về góc nội tiếp ở bài sau: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, và lí do sâu xa chính là vì số đo nửa đường tròn bằng 180°, một nửa của nó là 90°. Bạn hãy nhớ mốc 180° này như một "cột mốc" trên đường tròn.

Một lưu ý nhỏ nhưng quan trọng: số đo cung là một con số từ 0° tới 360°, không phải độ dài. Cung AB có số đo 60° không có nghĩa là cung đó dài 60 đơn vị — độ dài của nó còn phụ thuộc vào bán kính của đường tròn. Muốn tính độ dài cung, bạn cần thêm công thức l bằng πRn chia 180, sẽ học kĩ ở bài độ dài của cung tròn. Trong bài này, bạn chỉ cần thành thạo số đo cung theo độ — đừng nhầm hai khái niệm này với nhau, vì đó là một trong những lỗi phổ biến nhất.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O, góc ở tâm AOB bằng 75°. Tính số đo cung nhỏ AB và cung lớn AB.
Số đo cung nhỏ AB bằng số đo góc ở tâm chắn nó, tức là 75°. Số đo cung lớn AB bằng 360° trừ 75° bằng 285°. Đáp số: cung nhỏ 75°, cung lớn 285°. Bạn hãy chú ý: hai số đo này cộng lại đúng bằng 360° — đó là cách kiểm tra nhanh kết quả của bạn sau mỗi bài tính.

Ví dụ 2: Trên đường tròn tâm O, cung nhỏ MN có số đo bằng 120°. Tính góc ở tâm MON và số đo cung lớn MN.
Vì số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó, nên góc MON bằng 120°. Số đo cung lớn MN bằng 360° trừ 120° bằng 240°. Bạn thấy mối quan hệ hai chiều ở đây: biết góc thì suy ra cung, biết cung thì suy ra góc — công thức đọc được theo cả hai hướng, giống như một đẳng thức thông thường. Trong bài tập, đề bài có thể cho bất kì đại lượng nào trong hai đại lượng này và hỏi đại lượng còn lại.

Ví dụ 3: Điểm C nằm trên cung nhỏ AB của đường tròn tâm O. Biết sđ AC bằng 40° và sđ CB bằng 80°. Tính số đo cung AB và góc ở tâm AOB.
Vì C nằm trên cung nhỏ AB nên sđ AB bằng sđ AC cộng sđ CB, tức là 40° cộng 80° bằng 120°. Góc ở tâm AOB chắn cung AB nên cũng bằng 120°. Ví dụ này minh họa tính chất cộng cung: khi một cung được chia thành hai phần, số đo của cả cung bằng tổng số đo của hai phần. Bạn sẽ gặp lại tính chất này rất nhiều trong các bài toán chứng minh, nơi người ta chia một cung lớn thành nhiều cung nhỏ để tính dần từng phần.

Ví dụ 4: Cho đường tròn tâm O, A và B là hai đầu của một đường kính. Điểm C nằm trên đường tròn sao cho góc AOC bằng 110°. Tính số đo các cung AC, BC và góc BOC.
Vì AB là đường kính nên nửa đường tròn AB có số đo 180°. Góc AOC bằng 110° nên sđ AC bằng 110°. Điểm C chia nửa đường tròn thành hai cung AC và BC, nên sđ BC bằng 180° trừ 110° bằng 70°. Góc BOC chắn cung BC nên bằng 70°. Kiểm tra lại: 110° cộng 70° bằng 180°, đúng bằng số đo nửa đường tròn. Ví dụ này cho thấy đường kính là một "mốc" rất tiện lợi: bất kì điểm nào trên đường tròn cũng chia nửa đường tròn thành hai cung có tổng số đo bằng 180°.

5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Lấy số đo cung lớn thay vì cung nhỏ khi đề bài chỉ nói "cung AB".
Nhiều bạn thấy góc ở tâm bằng 60° thì tính cung lớn bằng 300° rồi trả lời 300° cho câu hỏi "số đo cung AB bằng bao nhiêu". Sai: khi đề bài không nói rõ, "cung AB" được hiểu là cung nhỏ, đáp án đúng là 60°. Cách tránh: bạn hãy đọc kĩ đề — chỉ khi đề ghi rõ "cung lớn" hoặc kí hiệu cung bằng ba chữ cái với điểm nằm trên cung lớn thì mới tính 360° trừ đi.

Lỗi 2: Nhầm số đo cung với độ dài cung.
Nhiều bạn viết "cung AB dài 60°" hoặc tính độ dài cung bằng số đo của nó. Sai: số đo cung tính bằng độ, còn độ dài cung tính bằng đơn vị dài như xăng-ti-mét và phụ thuộc vào bán kính. Cách tránh: bạn hãy nhớ số đo cung là góc, độ dài cung là khoảng cách — hai đại lượng khác nhau, muốn tính độ dài phải dùng công thức l bằng πRn chia 180 ở bài độ dài của cung tròn.

Lỗi 3: Quên rằng cung nhỏ cộng cung lớn bằng 360°.
Nhiều bạn tính cung lớn bằng 180° trừ đi số đo cung nhỏ, nhầm với nửa đường tròn. Ví dụ cung nhỏ 60° thì viết cung lớn bằng 120°. Sai: cung lớn bằng 360° trừ 60° bằng 300°. Cách tránh: bạn hãy nhớ cả đường tròn là 360°, nửa đường tròn mới là 180° — mỗi lần tính cung lớn, bạn hãy tự hỏi "mình đang trừ cho 360 hay 180".

Lỗi 4: Cho rằng góc ở tâm chắn cung lớn thì bằng số đo cung lớn.
Nhiều bạn thấy góc ở tâm AOB bằng 250° thì kết luận sđ AB bằng 250°. Sai: góc ở tâm trong hình học lớp 9 luôn được xét từ 0° tới 180° (góc lồi), và cung mà nó chắn là cung nhỏ. Một góc 250° không phải là góc ở tâm theo định nghĩa thông thường — đó là góc phản xạ, chương trình lớp 9 không xét tới. Cách tránh: khi thấy một góc lớn hơn 180°, bạn hãy hiểu rằng góc ở tâm tương ứng là 360° trừ đi góc đó, và cung nhỏ có số đo bằng góc nhỏ đó.

Lỗi 5: Cộng số đo cung sai khi điểm chia nằm trên cung lớn.
Nhiều bạn áp dụng tính chất sđ AB bằng sđ AC cộng sđ CB mà không kiểm tra C nằm trên cung nào. Nếu C nằm trên cung lớn AB thì sđ AB (cung nhỏ) không bằng tổng đó — mà tổng đó bằng sđ của cung lớn. Cách tránh: trước khi cộng cung, bạn hãy xác định điểm C nằm trên cung nhỏ hay cung lớn AB; chỉ cộng khi C nằm trên đúng cung mà bạn đang tính.

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định đề bài hỏi cung nhỏ hay cung lớn trước khi tính — xác định đúng cung cần tìm là một nửa của bài làm.

Câu 1: Trên đường tròn tâm O, góc ở tâm AOB bằng 70° chắn cung nhỏ AB. Số đo của cung nhỏ AB bằng bao nhiêu?
A. 35°
B. 140°
C. 290°
D. 70°

Câu 2: Cung nhỏ AB của đường tròn tâm O có số đo bằng 110°. Số đo của cung lớn AB bằng bao nhiêu?
A. 110°
B. 180°
C. 250°
D. 220°

Câu 3: Góc ở tâm chắn nửa đường tròn có số đo bằng bao nhiêu?
A. 90°
B. 180°
C. 270°
D. 360°

Câu 4: Hai điểm A, B chia đường tròn thành cung nhỏ 80° và cung lớn. Số đo của cung lớn AB bằng bao nhiêu?
A. 280°
B. 180°
C. 80°
D. 100°

Câu 5: Điểm C nằm trên cung nhỏ AB, sđ AC bằng 35°, sđ CB bằng 45°. Số đo của cung AB bằng bao nhiêu?
A. 10°
B. 80°
C. 280°
D. 45°

Giải thích Câu 1 — Đáp án D (70°) đúng: Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Góc AOB bằng 70° nên sđ AB bằng 70°. Đáp án A (35°) sai vì 35° là một nửa của 70° — bạn đã nhầm với công thức góc nội tiếp. Đáp án B (140°) sai vì 140° là gấp đôi 70°, cũng là nhầm với quan hệ góc ở tâm và góc nội tiếp. Đáp án C (290°) sai vì đó là số đo cung lớn (360° trừ 70°), không phải cung nhỏ mà đề bài hỏi.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (250°) đúng: Số đo cung lớn bằng 360° trừ số đo cung nhỏ: 360° trừ 110° bằng 250°. Đáp án A (110°) sai vì đó là số đo cung nhỏ, không phải cung lớn. Đáp án B (180°) sai vì 180° là số đo nửa đường tròn, không liên quan tới bài này. Đáp án D (220°) sai vì 220° là gấp đôi 110° — bạn đã nhân đôi thay vì lấy 360° trừ đi.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B (180°) đúng: Góc ở tâm chắn nửa đường tròn là góc bẹt, có số đo bằng 180°. Đáp án A (90°) sai vì 90° là góc vuông — đó là số đo góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, không phải góc ở tâm. Đáp án C (270°) sai vì đó là số đo của ba phần tư đường tròn. Đáp án D (360°) sai vì 360° là số đo của cả đường tròn.

Giải thích Câu 4 — Đáp án A (280°) đúng: Cung lớn bằng 360° trừ cung nhỏ: 360° trừ 80° bằng 280°. Đáp án B (180°) sai vì đó là số đo nửa đường tròn. Đáp án C (80°) sai vì đó là số đo cung nhỏ. Đáp án D (100°) sai vì 100° không có cơ sở nào — có thể bạn đã lấy 180° trừ 80° một cách nhầm lẫn.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B (80°) đúng: Vì C nằm trên cung nhỏ AB nên sđ AB bằng sđ AC cộng sđ CB: 35° cộng 45° bằng 80°. Đáp án A (10°) sai vì 10° là hiệu 45° trừ 35° — bạn đã trừ thay vì cộng. Đáp án C (280°) sai vì đó là số đo cung lớn (360° trừ 80°). Đáp án D (45°) sai vì 45° chỉ là số đo cung CB, bạn đã bỏ mất cung AC.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Góc ở tâm và góc nội tiếp khác nhau như thế nào?
Đáp: Góc ở tâm có đỉnh trùng với tâm đường tròn, còn góc nội tiếp có đỉnh nằm trên đường tròn. Số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn, còn số đo góc nội tiếp chỉ bằng một nửa số đo cung bị chắn. Nếu muốn hiểu kĩ góc nội tiếp, bạn hãy xem bài số đo góc nội tiếp của đường tròn.

Hỏi: Vì sao số đo của cả đường tròn lại là 360°?
Đáp: Đó là quy ước có từ thời Babylon cổ đại, khi người ta chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau. Con số 360 được chọn vì nó chia hết cho rất nhiều số (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12...), rất tiện cho việc chia đường tròn thành các phần bằng nhau. Quy ước này được giữ nguyên cho tới ngày nay trong toàn bộ hình học.

Hỏi: Khi nào thì cung nhỏ và cung lớn có số đo bằng nhau?
Đáp: Khi cả hai đều bằng 180°, tức là khi hai mút của cung là hai đầu của một đường kính. Lúc đó mỗi cung là một nửa đường tròn, và góc ở tâm chắn chúng là góc bẹt 180°. Đây là trường hợp duy nhất mà cung nhỏ và cung lớn bằng nhau.

Hỏi: Có thể có cung nào có số đo lớn hơn 360° không?
Đáp: Không. Số đo của một cung luôn nằm trong khoảng từ 0° tới 360°, vì cung là một phần của đường tròn và cả đường tròn chỉ có 360°. Nếu bạn tính ra một số đo lớn hơn 360°, chắc chắn bạn đã tính sai ở đâu đó — hãy kiểm tra lại phép trừ 360° trừ đi số đo cung nhỏ.

Hỏi: Học số đo cung để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Số đo cung là chìa khóa để tính góc nội tiếp (bằng một nửa số đo cung bị chắn), tính độ dài cung tròn (công thức l bằng πRn chia 180) và diện tích hình quạt tròn. Nếu muốn học tiếp, bạn hãy xem bài độ dài của cung tròn và bài diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên. Khi cần kiểm tra lại phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

8. Kết luận

Góc ở tâm và số đo của một cung chỉ gói gọn trong một công thức: số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó, số đo cung lớn bằng 360° trừ đi số đo cung nhỏ, và nửa đường tròn bằng 180°. Ba con số này là nền tảng của cả chương đường tròn: từ đây bạn sẽ tính được góc nội tiếp, độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và cả vị trí tương đối của hai đường tròn. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để đọc được số đo của bất kì cung nào chỉ từ một góc ở tâm — và bạn cũng đã hiểu vì sao mỗi miếng bánh pizza đều có thể đo bằng góc ở chính giữa của nó.