Bạn muốn làm một vòng hoa bằng dây thép uốn thành hình tròn, nhưng chỉ cần một đoạn cung dài đúng 20 xăng-ti-mét để trang trí — vậy bạn phải cắt cung đó ứng với góc ở tâm bao nhiêu độ? Hay một đường đua xe đạp hình tròn có bán kính 50 mét, vận động viên chạy hết một phần tư vòng thì đã chạy được bao xa? Những bài toán này đều hỏi cùng một thứ: độ dài của một cung tròn. Khác với số đo cung tính bằng độ, độ dài cung là một khoảng cách thật, đo bằng xăng-ti-mét hay mét — và công thức tính nó chỉ là một phép tỉ lệ đơn giản từ chu vi của cả đường tròn. Bài viết này sẽ chỉ cho bạn công thức đó và cách dùng nó trong mọi tình huống.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", độ dài của cung tròn nằm trong Chương V: Đường tròn, ở Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên. Đây là bài học nối tiếp trực tiếp bài góc ở tâm và số đo cung: bạn đã biết cung có số đo bao nhiêu độ, giờ bạn sẽ học cách đổi số đo đó thành độ dài thật khi biết bán kính. Học xong bài này, bạn sẽ tính được độ dài bất kì cung nào — và ở bài sau, bạn sẽ dùng chính độ dài cung để tính diện tích hình quạt tròn.
1. Độ dài của cung tròn được tính như thế nào?
Trước hết, bạn hãy nhớ lại chu vi của đường tròn bán kính R: C bằng 2πR. Cả đường tròn ứng với góc ở tâm 360°, nên một cung có số đo n độ sẽ chiếm đúng n phần 360 của cả đường tròn — và độ dài của nó cũng chiếm đúng n phần 360 của chu vi. Từ đó ta có công thức: l bằng πRn chia 180, trong đó l là độ dài cung, R là bán kính, n là số đo cung theo độ. Bạn có thể nhớ công thức này theo cách khác: l bằng 2πR nhân n chia 360 — tức là chu vi nhân với tỉ lệ góc — rồi rút gọn 2 và 360 sẽ ra πRn chia 180. Hai cách viết này là một, bạn thích nhớ cách nào cũng được.
Điều quan trọng nhất khi dùng công thức này là đơn vị: n phải tính bằng độ, R và l phải cùng đơn vị dài. Nếu bán kính cho bằng xăng-ti-mét thì độ dài cung cũng ra xăng-ti-mét; nếu bán kính cho bằng mét thì độ dài cung ra mét. Và số π thì bạn giữ nguyên dạng π trong đáp án chính xác, hoặc lấy xấp xỉ 3,14 khi đề bài yêu cầu tính gần đúng. Trong sách giáo khoa, đáp án thường được viết dưới dạng chứa π trước (ví dụ 2π), rồi mới tính xấp xỉ (khoảng 6,28) — bạn hãy tập thói quen viết cả hai dạng để không bị mất điểm trình bày.
Có hai trường hợp đặc biệt bạn nên thuộc lòng để tính nhẩm nhanh. Thứ nhất, cung là nửa đường tròn (n bằng 180°): l bằng πR — tức là một nửa chu vi, đúng như trực giác. Thứ hai, cung là một phần tư đường tròn (n bằng 90°): l bằng πR chia 2. Hai mốc này giúp bạn kiểm tra nhanh mọi kết quả: nếu bạn tính độ dài một cung 60° mà ra số lớn hơn nửa chu vi thì chắc chắn đã tính sai, vì cung 60° chỉ bằng một phần sáu đường tròn, không thể dài hơn một nửa đường tròn được.
2. Ví dụ gốc: R bằng 6, n bằng 60° thì l bằng 2π, khoảng 6,28
Hãy bắt đầu với ví dụ gốc của bài này. Cho đường tròn bán kính R bằng 6, một cung có số đo n bằng 60°. Tính độ dài của cung đó. Bạn áp dụng công thức l bằng πRn chia 180: l bằng π nhân 6 nhân 60 chia 180. Tính tử số: 6 nhân 60 bằng 360, 360 chia 180 bằng 2, vậy l bằng 2π. Lấy xấp xỉ π bằng 3,14 thì l khoảng 6,28. Chỉ ba phép tính nhân chia đơn giản — đó là toàn bộ "kĩ thuật" của bài này, phần khó duy nhất là nhớ đúng công thức và rút gọn phân số cho gọn.
Bạn hãy kiểm tra lại kết quả bằng trực giác: chu vi của đường tròn bán kính 6 là 2π nhân 6 bằng 12π, khoảng 37,68. Cung 60° chiếm một phần sáu đường tròn (60 chia 360 bằng một phần sáu), nên độ dài của nó bằng 12π chia 6 bằng 2π — khớp với kết quả vừa tính. Cách kiểm tra bằng tỉ lệ này rất hữu ích: mỗi lần tính xong, bạn hãy nhẩm xem cung đó chiếm mấy phần của đường tròn rồi chia chu vi cho đúng số phần đó. Nếu hai cách cho cùng một đáp án thì bạn có thể yên tâm.
Ví dụ này cũng cho thấy vì sao người ta viết đáp án dưới dạng 2π thay vì 6,28: dạng 2π là đáp án chính xác, còn 6,28 chỉ là giá trị gần đúng khi lấy π bằng 3,14. Trong các bài toán chứng minh hay bài toán yêu cầu đáp án chính xác, bạn phải giữ nguyên π. Chỉ khi đề bài nói "lấy π bằng 3,14" hoặc "tính gần đúng" thì bạn mới đổi ra số thập phân. Tập thói quen này ngay từ bây giờ, vì lên lớp 10 bạn sẽ còn gặp π rất nhiều trong lượng giác.
3. Công thức đọc ngược: biết độ dài cung, tìm góc hoặc bán kính
Công thức l bằng πRn chia 180 có ba đại lượng: l, R và n. Đề bài có thể cho hai trong ba đại lượng đó và hỏi đại lượng còn lại — và bạn phải biết biến đổi công thức theo cả hai chiều. Muốn tìm số đo cung n khi biết l và R, bạn dùng n bằng 180l chia cho πR. Muốn tìm bán kính R khi biết l và n, bạn dùng R bằng 180l chia cho πn. Hai công thức biến đổi này chỉ là phép chuyển vế thông thường, nhưng nhiều bạn lúng túng khi gặp vì không quen "giải ngược". Bí quyết là bạn hãy viết công thức gốc ra giấy, rồi dùng quy tắc chuyển vế: đại lượng nào đang nhân thì chuyển sang thành chia, và ngược lại.
Một dạng bài tập rất hay gặp là so sánh độ dài hai cung trên hai đường tròn khác nhau: cung nào dài hơn không chỉ phụ thuộc vào số đo góc mà còn phụ thuộc vào bán kính. Ví dụ, cung 60° trên đường tròn bán kính 6 dài 2π, nhưng cung 30° trên đường tròn bán kính 12 lại dài π nhân 12 nhân 30 chia 180 bằng 2π — bằng nhau! Hai cung có số đo khác nhau nhưng độ dài bằng nhau, vì bán kính đã "bù" cho góc. Bài học ở đây: đừng bao giờ so sánh độ dài cung chỉ bằng số đo góc — bạn phải tính cả hai vế của công thức.
Ứng dụng thực tế của công thức này rất nhiều: kĩ sư thiết kế đường ray cong phải tính độ dài đoạn ray ứng với góc cong cho trước; thợ may tính độ dài viền ren cho một chiếc váy xòe hình quạt; người làm bánh tính độ dài đường viền của một miếng bánh hình quạt. Tất cả đều dùng chung một công thức l bằng πRn chia 180. Khi bạn gặp một bài toán thực tế trong đề thi, hãy tìm hai đại lượng đã cho (bán kính và góc, hoặc độ dài và một trong hai đại lượng kia) rồi áp công thức — bài toán thực tế cũng chỉ là bài toán công thức khoác thêm một câu chuyện mà thôi.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1: Cho đường tròn bán kính R bằng 9, một cung có số đo n bằng 40°. Tính độ dài của cung đó.
Áp dụng công thức l bằng πRn chia 180: l bằng π nhân 9 nhân 40 chia 180. Tính 9 nhân 40 bằng 360, 360 chia 180 bằng 2, vậy l bằng 2π, khoảng 6,28. Bạn hãy chú ý: cung 40° trên đường tròn bán kính 9 lại có cùng độ dài với cung 60° trên đường tròn bán kính 6 ở ví dụ gốc — vì 9 nhân 40 bằng 6 nhân 60, cùng bằng 360. Đây chính là hiện tượng "góc nhỏ nhưng bán kính lớn thì cung vẫn dài" đã nói ở trên.
Ví dụ 2: Tính độ dài của nửa đường tròn bán kính R bằng 10.
Nửa đường tròn có số đo n bằng 180°. Áp dụng công thức: l bằng π nhân 10 nhân 180 chia 180 bằng 10π, khoảng 31,4. Bạn cũng có thể tính nhanh bằng mốc đã thuộc: nửa đường tròn dài bằng một nửa chu vi, tức là πR bằng 10π. Kiểm tra bằng chu vi: chu vi bằng 2π nhân 10 bằng 20π, một nửa là 10π — khớp. Ví dụ này cho thấy hai mốc 180° và 90° giúp bạn tính nhẩm rất nhanh mà không cần bấm máy tính.
Ví dụ 3: Một cung tròn có độ dài l bằng 3π, nằm trên đường tròn bán kính R bằng 9. Tính số đo n của cung đó.
Đây là bài toán ngược: dùng n bằng 180l chia cho πR. Thay số: n bằng 180 nhân 3π chia cho π nhân 9. Rút gọn π ở tử và mẫu, còn 180 nhân 3 chia 9 bằng 540 chia 9 bằng 60. Vậy số đo cung bằng 60°. Kiểm tra lại: cung 60° trên đường tròn bán kính 9 dài π nhân 9 nhân 60 chia 180 bằng 3π — đúng bằng độ dài đã cho. Bạn hãy luôn kiểm tra ngược như vậy sau mỗi bài toán ngược, vì phép biến đổi công thức rất dễ nhầm tử số với mẫu số.
Ví dụ 4: Cho đường tròn bán kính R bằng 12, một cung có số đo n bằng 90°. Tính độ dài của cung đó.
Áp dụng công thức: l bằng π nhân 12 nhân 90 chia 180. Tính 12 nhân 90 bằng 1080, 1080 chia 180 bằng 6, vậy l bằng 6π, khoảng 18,84. Bạn cũng có thể tính nhanh: cung 90° là một phần tư đường tròn, chu vi bằng 2π nhân 12 bằng 24π, một phần tư là 6π — khớp. Ví dụ này minh họa mốc 90°: cung vuông dài bằng một phần tư chu vi, một kết quả bạn sẽ dùng rất nhiều khi tính chu vi của các hình gồm cung tròn và đoạn thẳng.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm số đo cung với độ dài cung.
Nhiều bạn thấy cung có số đo 60° thì trả lời "độ dài cung bằng 60". Sai: 60° là số đo, còn độ dài phải tính bằng công thức và phụ thuộc vào bán kính. Cách tránh: mỗi lần đề bài hỏi "độ dài", bạn hãy tìm ngay bán kính R trong đề — nếu không có R thì không thể tính độ dài, và đáp án của bạn chắc chắn đang thiếu một bước.
Lỗi 2: Dùng sai công thức — viết l bằng πR²n chia 360.
Nhiều bạn nhầm công thức độ dài cung với công thức diện tích hình quạt tròn (có R² và chia 360). Sai: độ dài cung dùng R (bậc một) và chia 180, còn diện tích quạt dùng R² và chia 360. Cách tránh: bạn hãy nhớ theo đơn vị — độ dài là "mét" nên R chỉ có bậc một; diện tích là "mét vuông" nên R² mới có bậc hai. Kiểm tra đơn vị là cách nhanh nhất để phát hiện mình có dùng nhầm công thức hay không.
Lỗi 3: Quên rút gọn phân số n chia 180.
Nhiều bạn tính l bằng π nhân 6 nhân 60 chia 180 rồi bấm máy ra 6,28 mà không rút gọn thành 2π. Không sai về số, nhưng đáp án dạng thập phân bị coi là gần đúng trong khi đề bài yêu cầu đáp án chính xác. Cách tránh: trước khi bấm máy, bạn hãy rút gọn phân số n chia 180 trước — ví dụ 60 chia 180 bằng một phần ba, rồi nhân với πR: π nhân 6 chia 3 bằng 2π. Rút gọn trước vừa cho đáp án đẹp, vừa tránh sai số làm tròn.
Lỗi 4: Tính chu vi thay vì độ dài cung.
Nhiều bạn thấy bán kính R thì tính ngay chu vi 2πR rồi trả lời đó là độ dài cung. Sai: chu vi là độ dài của cả đường tròn, còn cung chỉ là một phần của nó. Cách tránh: sau khi tính xong, bạn hãy so sánh đáp án với chu vi — độ dài cung luôn nhỏ hơn chu vi (trừ khi cung là cả đường tròn). Nếu đáp án của bạn bằng đúng chu vi thì bạn đã quên nhân với tỉ lệ n chia 360.
Lỗi 5: Đổi đơn vị sai khi bán kính và độ dài khác đơn vị.
Nhiều bạn gặp bán kính 0,5 mét mà tính độ dài cung ra xăng-ti-mét mà không đổi đơn vị, hoặc ngược lại. Sai: công thức chỉ đúng khi R và l cùng đơn vị. Cách tránh: trước khi tính, bạn hãy đổi mọi đại lượng về cùng một đơn vị — thường là đơn vị mà đề bài yêu cầu ở đáp án. Ghi rõ đơn vị vào đáp án cuối cùng để không bị trừ điểm trình bày.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ rút gọn phân số n chia 180 trước khi nhân — rút gọn trước vừa nhanh vừa cho đáp án đẹp.
Câu 1: Cho đường tròn bán kính R bằng 6, một cung có số đo n bằng 60°. Độ dài của cung đó bằng bao nhiêu?
A. π
B. 6π
C. 2π
D. 3π
Câu 2: Cho đường tròn bán kính R bằng 5, một cung có số đo n bằng 72°. Độ dài của cung đó bằng bao nhiêu?
A. 2π
B. π
C. 5π
D. 10π
Câu 3: Độ dài của nửa đường tròn bán kính R bằng 4 bằng bao nhiêu?
A. 2π
B. π
C. 8π
D. 4π
Câu 4: Một cung tròn có độ dài l bằng 5π, nằm trên đường tròn bán kính R bằng 15. Số đo n của cung đó bằng bao nhiêu?
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 45°
Câu 5: Cho đường tròn bán kính R bằng 3, một cung có số đo n bằng 120°. Độ dài của cung đó bằng bao nhiêu?
A. 2π
B. 3π
C. 4π
D. 6π
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | A | D | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C (2π) đúng: l bằng π nhân 6 nhân 60 chia 180 bằng 2π. Đây chính là ví dụ gốc của bài. Đáp án A (π) sai vì π ứng với R nhân n chia 180 bằng 1 — bạn đã tính 6 nhân 60 chia 180 bằng 1 một cách nhầm lẫn. Đáp án B (6π) sai vì 6π là một nửa chu vi (πR), không phải độ dài cung 60°. Đáp án D (3π) sai vì 3π ứng với n bằng 90°, không phải 60°.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A (2π) đúng: l bằng π nhân 5 nhân 72 chia 180: 5 nhân 72 bằng 360, 360 chia 180 bằng 2, vậy l bằng 2π. Đáp án B (π) sai vì π ứng với 5 nhân 72 chia 180 bằng 1 — sai phép chia. Đáp án C (5π) sai vì 5π là πR, tức là nửa chu vi, không phải độ dài cung. Đáp án D (10π) sai vì 10π là chu vi của cả đường tròn (2πR), bạn đã quên nhân với tỉ lệ góc.
Giải thích Câu 3 — Đáp án D (4π) đúng: Nửa đường tròn dài bằng một nửa chu vi, tức là πR bằng 4π. Đáp án A (2π) sai vì 2π là một nửa của 4π — bạn đã chia đôi thêm một lần nữa. Đáp án B (π) sai vì π không liên quan gì tới bán kính 4. Đáp án C (8π) sai vì 8π là chu vi của cả đường tròn (2π nhân 4), không phải nửa đường tròn.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (60°) đúng: Dùng công thức ngược n bằng 180l chia cho πR: n bằng 180 nhân 5π chia cho π nhân 15 bằng 900 chia 15 bằng 60. Vậy n bằng 60°. Đáp án A (30°) sai vì 30° ứng với l bằng 2,5π. Đáp án C (90°) sai vì 90° ứng với l bằng 7,5π. Đáp án D (45°) sai vì 45° ứng với l bằng 3,75π.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (2π) đúng: l bằng π nhân 3 nhân 120 chia 180: 3 nhân 120 bằng 360, 360 chia 180 bằng 2, vậy l bằng 2π. Đáp án B (3π) sai vì 3π ứng với n bằng 180° (nửa đường tròn). Đáp án C (4π) sai vì 4π ứng với n bằng 240°. Đáp án D (6π) sai vì 6π là chu vi của cả đường tròn (2π nhân 3).
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Độ dài cung và số đo cung khác nhau như thế nào?
Đáp: Số đo cung tính bằng độ và chỉ phụ thuộc vào góc ở tâm — cung 60° thì số đo luôn là 60° dù đường tròn lớn hay nhỏ. Độ dài cung tính bằng đơn vị dài (xăng-ti-mét, mét) và phụ thuộc cả vào góc lẫn bán kính — cung 60° trên đường tròn bán kính 6 dài 2π, nhưng trên đường tròn bán kính 12 lại dài 4π. Nếu muốn ôn lại số đo cung, bạn hãy xem bài góc ở tâm và số đo của một cung.
Hỏi: Vì sao công thức lại là πRn chia 180 mà không phải chia 360?
Đáp: Vì công thức đã rút gọn từ 2πR nhân n chia 360: số 2 ở tử và 360 ở mẫu cùng chia hết cho 2, còn lại πRn chia 180. Hai cách viết là một — bạn dùng cách nào cũng đúng, miễn là nhớ 2πR là chu vi và n chia 360 là tỉ lệ góc. Nhiều bạn nhớ công thức dạng 2πRn chia 360 sẽ ít nhầm hơn, vì nó thể hiện rõ ý nghĩa "chu vi nhân tỉ lệ góc".
Hỏi: Khi nào thì độ dài cung bằng chu vi của đường tròn?
Đáp: Khi cung là cả đường tròn, tức là n bằng 360°. Khi đó l bằng πR nhân 360 chia 180 bằng 2πR — đúng bằng chu vi. Đây là trường hợp giới hạn để bạn kiểm tra công thức: thay n bằng 360° vào công thức mà ra chu vi thì công thức của bạn đúng.
Hỏi: Có thể tính độ dài cung khi chỉ biết dây căng cung không?
Đáp: Không trực tiếp. Dây căng cung cho bạn độ dài đoạn thẳng nối hai đầu cung, còn độ dài cung thì dài hơn dây (vì cung cong ra ngoài). Muốn tính độ dài cung từ dây, bạn phải tìm thêm bán kính và góc ở tâm — ví dụ dùng định lí Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi bán kính và nửa dây. Đó là bài toán nâng cao, chương trình lớp 9 chỉ yêu cầu bạn tính độ dài cung khi đã biết R và n.
Hỏi: Học độ dài cung để làm gì trong bài sau?
Đáp: Để tính diện tích hình quạt tròn theo công thức thứ hai S bằng lR chia 2 — chỉ cần biết độ dài cung và bán kính là tính được diện tích quạt mà không cần biết góc. Bạn hãy xem bài diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên để thấy mối liên hệ này. Khi cần kiểm tra lại phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
8. Kết luận
Độ dài của cung tròn chỉ gói gọn trong một công thức: l bằng πRn chia 180 — chu vi nhân với tỉ lệ góc. Nhớ công thức này theo ý nghĩa "chu vi nhân tỉ lệ" thì bạn sẽ không bao giờ nhầm với công thức diện tích hình quạt, và nhớ rút gọn phân số n chia 180 trước khi nhân thì đáp án của bạn sẽ luôn gọn đẹp dưới dạng chứa π. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính độ dài bất kì cung nào — dù là một đoạn dây thép uốn thành vòng hoa, một phần tư đường đua xe đạp, hay một miếng bánh hình quạt trên bàn ăn.