Bạn cầm một chiếc bánh pizza tròn và cắt ra một miếng hình quạt — miếng bánh đó chiếm bao nhiêu phần của cả chiếc bánh, và diện tích của nó là bao nhiêu? Hay bạn nhìn một chiếc nhẫn: phần kim loại của nó là hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm — muốn biết cần bao nhiêu vàng để làm chiếc nhẫn đó, bạn phải tính diện tích của vành khuyên. Hai bài toán này tưởng như khác nhau, nhưng chúng dùng chung một ý tưởng: diện tích của một phần hình tròn tỉ lệ với góc ở tâm của nó. Bài viết này sẽ chỉ cho bạn hai công thức — một cho hình quạt tròn, một cho hình vành khuyên — và cách dùng chúng trong mọi tình huống.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên nằm trong Chương V: Đường tròn, ở Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên — cùng bài với độ dài cung tròn mà bạn vừa học. Đây là bài học nối tiếp trực tiếp: bạn đã biết tính độ dài cung từ góc và bán kính, giờ bạn sẽ học cách tính diện tích phần hình tròn giới hạn bởi cung đó. Học xong bài này, bạn đã hoàn thành trọn vẹn Bài 15 và nắm được toàn bộ "bộ công thức" của đường tròn.
1. Hình quạt tròn và hình vành khuyên là gì? Hai công thức cần nhớ
Hình quạt tròn là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung đó. Bạn hãy hình dung một miếng bánh pizza: hai cạnh thẳng của miếng bánh là hai bán kính, còn cạnh cong là cung tròn — đó chính là hình quạt tròn. Công thức tính diện tích hình quạt tròn là: S bằng πR²n chia 360, trong đó R là bán kính của đường tròn, n là số đo cung theo độ. Bạn có thể nhớ công thức này theo ý nghĩa "diện tích hình tròn nhân tỉ lệ góc": diện tích cả hình tròn là πR², cung n độ chiếm n phần 360 của cả hình tròn, nên diện tích quạt cũng chiếm n phần 360 của πR².
Còn hình vành khuyên là phần hình tròn nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính khác nhau — giống như chiếc nhẫn, hay như phần rìa của một chiếc đĩa. Công thức tính diện tích hình vành khuyên là: S bằng π nhân với (R² trừ r²), trong đó R là bán kính của đường tròn lớn, r là bán kính của đường tròn nhỏ. Bạn có thể hiểu công thức này như "diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ": πR² trừ πr² bằng π nhân với (R² trừ r²). Hai công thức này rất dễ nhớ nếu bạn hiểu ý nghĩa của chúng thay vì học vẹt: quạt tròn là "một phần" của hình tròn, vành khuyên là "hiệu" của hai hình tròn.
Ngoài công thức chính, hình quạt tròn còn có một công thức thứ hai rất tiện lợi: S bằng lR chia 2, trong đó l là độ dài của cung tròn. Công thức này cho phép bạn tính diện tích quạt mà không cần biết góc n — chỉ cần biết độ dài cung và bán kính là đủ. Bạn hãy kiểm tra: với R bằng 6, n bằng 60°, độ dài cung l bằng 2π, thì S bằng 2π nhân 6 chia 2 bằng 6π — đúng bằng kết quả của công thức chính. Hai công thức này là một, bạn dùng công thức nào tiện hơn tùy theo dữ kiện đề bài cho.
2. Ví dụ gốc: quạt R bằng 6, n bằng 60° thì S bằng 6π, khoảng 18,85; vành R bằng 5, r bằng 3 thì S bằng 16π, khoảng 50,27
Hãy bắt đầu với ví dụ gốc của bài này, gồm hai phần. Phần thứ nhất: hình quạt tròn có bán kính R bằng 6, góc ở tâm n bằng 60°. Tính diện tích. Áp dụng công thức S bằng πR²n chia 360: S bằng π nhân 36 nhân 60 chia 360. Tính 36 nhân 60 bằng 2160, 2160 chia 360 bằng 6, vậy S bằng 6π. Lấy xấp xỉ π bằng 3,14 thì S khoảng 18,84 — làm tròn thành 18,85 theo cách làm tròn của sách giáo khoa (π bằng 3,1416 cho 6π bằng 18,8496, làm tròn hai chữ số thập phân thành 18,85). Bạn hãy chú ý: diện tích 6π chỉ bằng một phần sáu diện tích cả hình tròn (π nhân 36 bằng 36π), đúng như tỉ lệ góc 60 chia 360 bằng một phần sáu.
Phần thứ hai: hình vành khuyên có bán kính ngoài R bằng 5, bán kính trong r bằng 3. Tính diện tích. Áp dụng công thức S bằng π nhân với (R² trừ r²): S bằng π nhân với (25 trừ 9) bằng 16π. Lấy xấp xỉ π bằng 3,14 thì S khoảng 50,24 — và với π bằng 3,1416 thì S bằng 50,2656, làm tròn thành 50,27 như trong sách giáo khoa. Bạn hãy kiểm tra bằng cách trừ trực tiếp: diện tích hình tròn lớn bằng 25π (khoảng 78,5), diện tích hình tròn nhỏ bằng 9π (khoảng 28,27), hiệu là 16π (khoảng 50,27) — khớp. Hai cách tính cho cùng một đáp án, bạn dùng cách nào cũng được.
Hai ví dụ này cho thấy một điểm chung: đáp án chính xác luôn được viết dưới dạng chứa π (6π và 16π), còn số thập phân chỉ là giá trị gần đúng. Trong bài tập trắc nghiệm, đáp án thường cho dưới dạng chứa π — bạn hãy tập thói quen giữ nguyên π trong quá trình tính, chỉ đổi ra số thập phân ở bước cuối cùng khi đề bài yêu cầu. Và hãy nhớ: diện tích có đơn vị là đơn vị dài bình phương (xăng-ti-mét vuông, mét vuông) — đừng quên ghi đơn vị vào đáp án.
3. Hai mốc đặc biệt và công thức S bằng lR chia 2
Có hai trường hợp đặc biệt của hình quạt tròn bạn nên thuộc lòng. Thứ nhất, quạt là nửa hình tròn (n bằng 180°): S bằng πR² chia 2 — một nửa diện tích hình tròn, đúng như trực giác. Thứ hai, quạt là một phần tư hình tròn (n bằng 90°): S bằng πR² chia 4. Hai mốc này giúp bạn kiểm tra nhanh mọi kết quả: nếu bạn tính diện tích một quạt 60° mà ra số lớn hơn một nửa diện tích hình tròn thì chắc chắn đã tính sai, vì quạt 60° chỉ bằng một phần sáu hình tròn, không thể lớn hơn một nửa được.
Công thức thứ hai S bằng lR chia 2 xứng đáng được bạn thuộc lòng, vì nó biến bài toán diện tích thành bài toán độ dài cung — mà độ dài cung thì bạn đã học ở bài trước. Ví dụ, bạn biết một quạt tròn có độ dài cung l bằng 2π và bán kính R bằng 6, thì diện tích của nó bằng 2π nhân 6 chia 2 bằng 6π — không cần biết góc n bằng bao nhiêu. Công thức này đặc biệt hữu ích trong các bài toán thực tế, nơi người ta thường đo được độ dài cung (bằng thước dây) dễ hơn là đo góc ở tâm (cần thước đo độ). Bạn hãy nhớ cả hai công thức và linh hoạt chọn công thức phù hợp với dữ kiện đề bài cho.
Với hình vành khuyên, bạn hãy chú ý một lỗi rất dễ mắc: công thức dùng hiệu của hai bình phương R² trừ r², chứ không phải bình phương của hiệu (R trừ r)². Ví dụ R bằng 5, r bằng 3: R² trừ r² bằng 25 trừ 9 bằng 16, còn (R trừ r)² bằng 2² bằng 4 — hai kết quả khác nhau hoàn toàn. Diện tích vành khuyên đúng là 16π, không phải 4π. Bạn hãy nhớ: diện tích là hiệu của hai diện tích (πR² trừ πr²), nên sau khi đặt π ra ngoài thì còn lại hiệu của hai bình phương — và hiệu của hai bình phương không bằng bình phương của hiệu.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1: Hình quạt tròn có bán kính R bằng 10, góc ở tâm n bằng 90°. Tính diện tích.
Áp dụng công thức S bằng πR²n chia 360: S bằng π nhân 100 nhân 90 chia 360. Tính 100 nhân 90 bằng 9000, 9000 chia 360 bằng 25, vậy S bằng 25π, khoảng 78,5. Bạn cũng có thể tính nhanh bằng mốc 90°: quạt một phần tư hình tròn có diện tích bằng πR² chia 4 bằng 100π chia 4 bằng 25π — khớp. Kiểm tra bằng tỉ lệ: quạt 90° chiếm một phần tư hình tròn, diện tích cả hình tròn là 100π, một phần tư là 25π — đúng.
Ví dụ 2: Hình quạt tròn là nửa hình tròn có bán kính R bằng 8. Tính diện tích.
Nửa hình tròn có n bằng 180°. Áp dụng công thức: S bằng π nhân 64 nhân 180 chia 360 bằng 32π, khoảng 100,48. Bạn cũng có thể tính nhanh bằng mốc 180°: nửa hình tròn có diện tích bằng πR² chia 2 bằng 64π chia 2 bằng 32π — khớp. Ví dụ này cho thấy hai mốc 180° và 90° giúp bạn tính nhẩm rất nhanh: cứ thấy n bằng 180° thì chia đôi diện tích hình tròn, thấy n bằng 90° thì chia bốn.
Ví dụ 3: Hình vành khuyên có bán kính ngoài R bằng 7, bán kính trong r bằng 4. Tính diện tích.
Áp dụng công thức S bằng π nhân với (R² trừ r²): S bằng π nhân với (49 trừ 16) bằng 33π, khoảng 103,62 (lấy π bằng 3,14 thì 33 nhân 3,14 bằng 103,62). Kiểm tra bằng cách trừ trực tiếp: diện tích hình tròn lớn bằng 49π (khoảng 153,86), diện tích hình tròn nhỏ bằng 16π (khoảng 50,24), hiệu là 33π (khoảng 103,62) — khớp. Bạn hãy chú ý: 49 trừ 16 bằng 33, không phải 9 — đừng nhầm hiệu của hai bình phương với bình phương của hiệu (7 trừ 4 bằng 3, 3² bằng 9).
Ví dụ 4: Một hình quạt tròn có độ dài cung l bằng 2π và bán kính R bằng 6. Tính diện tích bằng công thức S bằng lR chia 2, rồi kiểm chứng bằng công thức chính.
Dùng công thức thứ hai: S bằng lR chia 2 bằng 2π nhân 6 chia 2 bằng 6π. Kiểm chứng: độ dài cung 2π trên đường tròn bán kính 6 ứng với góc n bằng 60° (vì l bằng πRn chia 180, suy ra n bằng 60°), dùng công thức chính S bằng π nhân 36 nhân 60 chia 360 bằng 6π — khớp. Ví dụ này minh họa hai công thức của hình quạt tròn cho cùng một đáp án, và nó cũng chính là ví dụ gốc của bài này (quạt R bằng 6, n bằng 60°) được tính theo một con đường khác.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Dùng công thức độ dài cung để tính diện tích quạt.
Nhiều bạn thấy đề bài cho R và n thì tính ngay l bằng πRn chia 180 rồi trả lời đó là diện tích. Sai: đó là độ dài cung, không phải diện tích. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra đơn vị — diện tích phải có R² (bình phương), còn độ dài chỉ có R bậc một. Mỗi lần viết công thức, bạn hãy tự hỏi "đáp án của mình có đơn vị vuông không" — nếu không có R² thì bạn đang tính độ dài, không phải diện tích.
Lỗi 2: Tính diện tích vành khuyên bằng π nhân với (R trừ r)².
Nhiều bạn tính vành khuyên R bằng 5, r bằng 3 thành π nhân với (5 trừ 3)² bằng 4π. Sai: diện tích vành khuyên bằng π nhân với (R² trừ r²) bằng π nhân với (25 trừ 9) bằng 16π. Cách tránh: bạn hãy nhớ diện tích vành khuyên là hiệu của hai diện tích hình tròn (πR² trừ πr²), nên sau khi đặt π ra ngoài thì còn lại hiệu của hai bình phương — không phải bình phương của hiệu. Mỗi lần tính vành khuyên, bạn hãy tính riêng R² và r² rồi mới trừ.
Lỗi 3: Nhầm mẫu số 360 với 180.
Nhiều bạn tính diện tích quạt bằng πR²n chia 180 (mẫu của công thức độ dài cung). Sai: diện tích quạt chia cho 360, còn độ dài cung chia cho 180. Cách tránh: bạn hãy nhớ theo ý nghĩa — quạt chiếm n phần 360 của hình tròn (vì cả đường tròn là 360°), còn độ dài cung là πRn chia 180 vì công thức đã rút gọn số 2 từ 2πR nhân n chia 360. Nếu bạn nhớ công thức quạt dưới dạng πR² nhân n chia 360 thì sẽ không bao giờ nhầm mẫu số.
Lỗi 4: Quên rằng n phải tính bằng độ, không phải ra-đi-an.
Nhiều bạn gặp góc cho bằng ra-đi-an (ví dụ π chia 3) thì thay thẳng vào công thức n. Sai: công thức S bằng πR²n chia 360 chỉ đúng khi n tính bằng độ. Cách tránh: trong chương trình lớp 9, mọi góc đều cho bằng độ nên bạn cứ yên tâm dùng công thức này. Chỉ khi lên lớp 10 học ra-đi-an thì bạn mới dùng công thức khác (S bằng R² nhân α chia 2) — đừng mang công thức lớp 10 xuống làm bài lớp 9.
Lỗi 5: Tính diện tích quạt mà quên mất hai bán kính cũng là biên của hình.
Nhiều bạn tính chu vi của hình quạt (để làm bài toán thực tế như viền miếng bánh) thì chỉ tính độ dài cung mà quên cộng thêm hai bán kính. Sai: chu vi của hình quạt bằng độ dài cung cộng với hai lần bán kính (l cộng 2R), vì hình quạt được giới hạn bởi một cung và hai bán kính. Cách tránh: khi đề bài hỏi chu vi hay độ dài đường viền của hình quạt, bạn hãy cộng thêm 2R vào độ dài cung — còn khi đề bài hỏi diện tích thì chỉ dùng công thức S, không cộng gì thêm.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính riêng R² và r² trước khi trừ — tính riêng từng bình phương sẽ giúp bạn tránh lỗi hiệu của hai bình phương.
Câu 1: Hình quạt tròn có bán kính R bằng 6, góc ở tâm n bằng 60°. Diện tích của hình quạt bằng bao nhiêu?
A. 3π
B. 6π
C. 12π
D. 36π
Câu 2: Hình quạt tròn có bán kính R bằng 8, góc ở tâm n bằng 90°. Diện tích của hình quạt bằng bao nhiêu?
A. 4π
B. 8π
C. 16π
D. 32π
Câu 3: Hình vành khuyên có bán kính ngoài R bằng 9, bán kính trong r bằng 3. Diện tích của hình vành khuyên bằng bao nhiêu?
A. 18π
B. 36π
C. 54π
D. 72π
Câu 4: Hình quạt tròn là nửa hình tròn có bán kính R bằng 4. Diện tích của hình quạt bằng bao nhiêu?
A. 8π
B. 16π
C. 4π
D. 32π
Câu 5: Hình quạt tròn có diện tích S bằng 12π, bán kính R bằng 6. Số đo n của góc ở tâm bằng bao nhiêu?
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 150°
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | D | A | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (6π) đúng: S bằng π nhân 36 nhân 60 chia 360 bằng 6π. Đây chính là ví dụ gốc của bài. Đáp án A (3π) sai vì 3π ứng với n bằng 30°. Đáp án C (12π) sai vì 12π ứng với n bằng 120° — bạn đã nhân đôi góc. Đáp án D (36π) sai vì 36π là diện tích của cả hình tròn (πR²), không phải của hình quạt.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (16π) đúng: S bằng π nhân 64 nhân 90 chia 360: 64 nhân 90 bằng 5760, 5760 chia 360 bằng 16, vậy S bằng 16π. Đáp án A (4π) sai vì 4π ứng với R bằng 4, không phải 8. Đáp án B (8π) sai vì 8π là một nửa của 16π — bạn đã chia đôi thêm một lần. Đáp án D (32π) sai vì 32π ứng với n bằng 180° (nửa hình tròn).
Giải thích Câu 3 — Đáp án D (72π) đúng: S bằng π nhân với (81 trừ 9) bằng 72π. Đáp án A (18π) sai vì 18π ứng với R² trừ r² bằng 18 — bạn đã tính 81 trừ 9 bằng 18 một cách nhầm lẫn. Đáp án B (36π) sai vì 36π là π nhân với (9 trừ 3)² bằng 36 — bạn đã dùng bình phương của hiệu thay vì hiệu của hai bình phương. Đáp án C (54π) sai vì 54 không có cơ sở nào — có thể bạn đã tính 81 trừ 27.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (8π) đúng: Nửa hình tròn có diện tích bằng πR² chia 2 bằng 16π chia 2 bằng 8π. Đáp án B (16π) sai vì 16π là diện tích của cả hình tròn (π nhân 16), không phải nửa hình tròn. Đáp án C (4π) sai vì 4π là một phần tư của 16π. Đáp án D (32π) sai vì 32π gấp đôi diện tích cả hình tròn.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C (120°) đúng: Từ S bằng πR²n chia 360 suy ra n bằng 360S chia cho πR²: n bằng 360 nhân 12π chia cho π nhân 36 bằng 4320 chia 36 bằng 120. Vậy n bằng 120°. Đáp án A (60°) sai vì 60° ứng với S bằng 6π. Đáp án B (90°) sai vì 90° ứng với S bằng 9π. Đáp án D (150°) sai vì 150° ứng với S bằng 15π.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Diện tích hình quạt tròn và độ dài cung tròn liên hệ với nhau như thế nào?
Đáp: Qua công thức S bằng lR chia 2 — diện tích quạt bằng một nửa tích của độ dài cung và bán kính. Công thức này rất giống công thức diện tích tam giác (một nửa tích đáy nhân chiều cao), và nó cho thấy độ dài cung đóng vai trò như "đáy" của hình quạt. Nếu muốn ôn lại độ dài cung, bạn hãy xem bài độ dài của cung tròn.
Hỏi: Vì sao diện tích quạt lại chia cho 360 mà độ dài cung lại chia cho 180?
Đáp: Vì diện tích quạt là πR² nhân n chia 360 — tức là diện tích cả hình tròn nhân với tỉ lệ góc n chia 360. Còn độ dài cung là 2πR nhân n chia 360, rút gọn số 2 còn πRn chia 180. Hai công thức đều bắt đầu từ tỉ lệ n chia 360, chỉ khác nhau ở chỗ công thức độ dài đã rút gọn số 2. Bạn hãy nhớ cả hai công thức dưới dạng "nhân tỉ lệ n chia 360" thì sẽ không bao giờ nhầm mẫu số.
Hỏi: Hình vành khuyên có phải là hình quạt tròn không?
Đáp: Không. Hình quạt tròn là một "miếng" của hình tròn (giới hạn bởi hai bán kính và một cung), còn hình vành khuyên là "chiếc nhẫn" nằm giữa hai đường tròn đồng tâm (giới hạn bởi hai đường tròn). Một hình vành khuyên có thể được chia thành nhiều "miếng" vành khuyên nhỏ, mỗi miếng là một phần của vành khuyên ứng với một góc ở tâm — đó là bài toán nâng cao kết hợp cả hai công thức trong một bài.
Hỏi: Có thể tính diện tích hình viên phân (phần hình tròn giới hạn bởi một cung và dây căng cung) bằng công thức quạt tròn không?
Đáp: Có, gián tiếp. Diện tích hình viên phân bằng diện tích hình quạt tròn trừ đi diện tích tam giác tạo bởi hai bán kính và dây căng cung. Ví dụ quạt 60° bán kính 6 có diện tích 6π, tam giác tạo bởi hai bán kính và dây có diện tích bằng 9 nhân căn 3 (vì tam giác đều cạnh 6), nên diện tích viên phân bằng 6π trừ 9 nhân căn 3. Đây là bài toán nâng cao, chương trình lớp 9 chỉ yêu cầu bạn tính diện tích quạt và vành khuyên.
Hỏi: Học diện tích quạt tròn và vành khuyên để làm gì trong thực tế?
Đáp: Rất nhiều: tính lượng vải cần may một chiếc váy xòe hình quạt, tính lượng vàng cần làm một chiếc nhẫn hình vành khuyên, tính diện tích một cánh đồng hình quạt, hay tính diện tích mặt đường cong. Nếu muốn ôn lại góc ở tâm — nền tảng của mọi công thức trong bài này — bạn hãy xem bài góc ở tâm và số đo của một cung. Khi cần kiểm tra lại phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
8. Kết luận
Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên chỉ gói gọn trong hai công thức: S quạt bằng πR²n chia 360 (hoặc lR chia 2), S vành bằng π nhân với (R² trừ r²). Nhớ hai công thức này theo ý nghĩa — quạt là "một phần" của hình tròn, vành là "hiệu" của hai hình tròn — thì bạn sẽ không bao giờ nhầm mẫu số 360 với 180, cũng không bao giờ nhầm hiệu của hai bình phương với bình phương của hiệu. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính diện tích bất kì miếng bánh pizza nào, bất kì chiếc nhẫn nào — và bạn cũng đã hoàn thành trọn vẹn Bài 15, khép lại bộ công thức của đường tròn trong chương V.