Tổng số đo hai góc đối của tứ giác nội tiếp: công thức lớp 9

Bạn hãy tưởng tượng bốn người bạn đứng trên một vòng tròn lớn vẽ trên sân trường, mỗi người đứng ở một vị trí khác nhau. Bạn nối bốn người ấy lại thành một tứ giác và đo các góc trong của nó. Dù bốn người đứng ở đâu, dù tứ giác méo mó ra sao, có một điều không bao giờ thay đổi: hai góc đối nhau của tứ giác luôn cộng lại đúng bằng 180 độ. Đó không phải là sự trùng hợp — đó là tính chất đẹp nhất của tứ giác nội tiếp, và bài này sẽ chứng minh cho bạn thấy vì sao nó luôn đúng, rồi dạy bạn dùng nó để tính góc nhanh như chớp trong mọi bài toán đường tròn.

Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn. Tính chất tổng hai góc đối bằng 180 độ là chìa khóa để nhận biết một tứ giác có nội tiếp được hay không, và cũng là công cụ để tính góc khi bạn chỉ biết một góc đối diện. Bài này sẽ đi từ góc nội tiếp mà bạn đã học — góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn — để chứng minh tính chất, rồi luyện qua bốn ví dụ và năm bài tập có đáp án giải thích cặn kẽ. Bạn hãy chuẩn bị sẵn giấy nháp, vì càng vẽ hình nhiều thì tính chất này càng in sâu vào đầu.

1. Công thức: tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng 180 độ

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, tức là bốn đỉnh A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Khi đó tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180 độ: góc A cộng góc C bằng 180 độ, và góc B cộng góc D cũng bằng 180 độ. Nói cách khác, mỗi cặp góc đối nhau của tứ giác nội tiếp là hai góc bù nhau. Đây là công thức duy nhất của bài này, nhưng nó mở ra rất nhiều bài toán: biết một góc thì tính được ngay góc đối diện bằng cách lấy 180 độ trừ đi góc đã biết.

Vì sao công thức này luôn đúng? Bạn hãy chứng minh bằng góc nội tiếp. Góc A của tứ giác là góc nội tiếp chắn cung BCD, nên số đo góc A bằng một nửa số đo cung BCD. Góc C là góc nội tiếp chắn cung BAD, nên số đo góc C bằng một nửa số đo cung BAD. Hai cung BCD và BAD gộp lại thành toàn bộ đường tròn, tức là 360 độ. Vậy góc A cộng góc C bằng một nửa của 360 độ, tức là 180 độ. Chứng minh tương tự cho cặp góc B và D. Chỉ với vài dòng suy luận, bạn đã thấy tính chất này là hệ quả tất yếu của định lí góc nội tiếp — không có gì bí ẩn cả.

Điều kiện ngược lại cũng đúng và rất hữu ích: nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. Nhờ điều kiện này, bạn có thể chứng minh một tứ giác nội tiếp mà không cần vẽ đường tròn trước. Ví dụ hình chữ nhật có bốn góc đều bằng 90 độ, tổng hai góc đối bằng 180 độ nên mọi hình chữ nhật đều nội tiếp được — điều này khớp với bài bán kính đường tròn ngoại tiếp mà bạn đã học. Hình thang cân cũng có tổng hai góc đối bằng 180 độ nên nội tiếp được, còn hình bình hành thường thì không, trừ trường hợp đặc biệt là hình chữ nhật.

Một hệ quả đẹp khác mà bạn nên nhớ: góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong của đỉnh đối diện. Ví dụ góc ngoài tại đỉnh A — tức là góc tạo bởi một cạnh và phần kéo dài của cạnh kề — bằng góc C ở phía đối diện. Hệ quả này thường xuất hiện trong các bài toán chứng minh, và nó suy ra trực tiếp từ tính chất tổng hai góc đối bằng 180 độ kết hợp với tính chất hai góc kề bù. Bạn hãy ghi nhớ cả công thức chính lẫn hệ quả này, vì đề thi rất thích hỏi chúng dưới nhiều dạng khác nhau.

Khi làm bài, bạn hãy vẽ hình thật rõ và đánh dấu các góc đã biết bằng màu khác nhau. Một mẹo nhỏ: bạn hãy tô màu hai cung bị chắn bởi hai góc đối — hai cung này gộp lại thành cả đường tròn, nên bạn sẽ "nhìn thấy" vì sao tổng hai góc bằng 180 độ thay vì chỉ học thuộc lòng. Nếu muốn ôn lại định lí góc nội tiếp — nền tảng của mọi chứng minh trong bài này — bạn hãy xem lại bài số đo góc nội tiếp của đường tròn.

2. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (tính góc đối diện): Tứ giác ABCD nội tiếp, góc A bằng 70 độ. Tính góc C.
Bạn áp dụng ngay công thức: góc A cộng góc C bằng 180 độ. Vậy góc C bằng 180 độ trừ 70 độ bằng 110 độ. Chỉ một phép trừ là xong — đây là dạng bài cơ bản nhất và cũng là dạng hay gặp nhất. Bạn hãy chú ý: góc A và góc C là hai góc đối nhau vì chúng không chung một cạnh nào của tứ giác, còn góc B mới là góc kề với góc A.

Ví dụ 2 (tính góc còn lại): Tứ giác ABCD nội tiếp, góc B bằng 125 độ. Tính góc D.
Tương tự ví dụ 1: góc B cộng góc D bằng 180 độ, nên góc D bằng 180 độ trừ 125 độ bằng 55 độ. Bạn hãy kiểm tra lại bằng cách cộng: 125 cộng 55 bằng 180 — đúng. Dạng bài này tưởng dễ nhưng nhiều bạn vẫn nhầm cặp góc đối với cặp góc kề, ví dụ lấy góc B cộng góc A bằng 180 độ — sai, vì góc A và góc B là hai góc kề nhau, tổng của chúng không cố định.

Ví dụ 3 (tìm x): Tứ giác ABCD nội tiếp, góc A bằng 3x, góc C bằng 2x. Tính góc A.
Bạn lập phương trình từ công thức: góc A cộng góc C bằng 180 độ, tức là 3x cộng 2x bằng 180 độ, suy ra 5x bằng 180 độ, x bằng 36 độ. Vậy góc A bằng 3 nhân 36 bằng 108 độ, góc C bằng 2 nhân 36 bằng 72 độ. Bạn hãy kiểm tra: 108 cộng 72 bằng 180 — đúng. Dạng bài tìm x này rất phổ biến trong đề kiểm tra, và chìa khóa luôn là lập phương trình tổng hai góc đối bằng 180 độ rồi giải ra x. Khi cần kiểm tra lại phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 4 (dùng cả hai cặp góc): Tứ giác ABCD nội tiếp, góc A bằng 85 độ, góc B bằng 95 độ. Tính góc C và góc D.
Bạn tính từng cặp đối một. Góc C đối với góc A nên góc C bằng 180 độ trừ 85 độ bằng 95 độ. Góc D đối với góc B nên góc D bằng 180 độ trừ 95 độ bằng 85 độ. Bạn hãy để ý điều thú vị: góc C bằng góc B và góc D bằng góc A — tứ giác này có hai cặp góc đối bằng nhau từng đôi một. Bạn cũng có thể kiểm tra tổng bốn góc: 85 cộng 95 cộng 95 cộng 85 bằng 360 độ — đúng với tổng bốn góc của mọi tứ giác. Nếu muốn ôn lại quan hệ giữa góc ở tâm và số đo cung — kiến thức song hành với góc nội tiếp — bạn hãy xem lại bài góc ở tâm và số đo của một cung.

3. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Nhầm góc đối với góc kề.
Nhiều bạn thấy tứ giác ABCD nội tiếp có góc A bằng 70 độ thì tính góc B bằng 180 độ trừ 70 độ bằng 110 độ. Sai: góc B kề với góc A, tổng của hai góc kề không cố định. Chỉ có góc đối diện — góc C — mới cộng với góc A bằng 180 độ. Cách tránh: trước khi tính, bạn hãy chỉ rõ cặp góc đối trên hình — A đối C, B đối D — rồi mới áp dụng công thức. Bạn có thể khoanh tròn hai đỉnh đối nhau trên hình để không nhầm.

Lỗi 2: Áp dụng công thức cho tứ giác không nội tiếp.
Nhiều bạn gặp tứ giác bất kì cũng lấy 180 độ trừ góc đã biết để tính góc đối diện. Nhưng công thức chỉ đúng khi tứ giác nội tiếp đường tròn. Cách tránh: bạn hãy kiểm tra đề bài có nói tứ giác nội tiếp hay không, hoặc có cho bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn không. Nếu đề chỉ cho một tứ giác thường thì tổng hai góc đối có thể bằng bất kì số nào, không nhất thiết bằng 180 độ.

Lỗi 3: Quên điều kiện ngược khi chứng minh tứ giác nội tiếp.
Nhiều bạn muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp nhưng lại đi chứng minh bốn đỉnh cách đều một điểm — vừa khó vừa dài. Cách tránh: bạn hãy dùng điều kiện ngược — chỉ cần chứng minh tổng hai góc đối bằng 180 độ là đủ kết luận tứ giác nội tiếp. Ví dụ muốn chứng minh hình thang cân nội tiếp được, bạn chỉ cần chỉ ra hai góc đối của nó cộng lại bằng 180 độ nhờ tính chất hai góc kề một cạnh bên của hình thang cân.

Lỗi 4: Tính sai khi góc cho dưới dạng biểu thức chứa x.
Nhiều bạn gặp góc A bằng 3x và góc C bằng 2x thì cộng nhầm thành 5x bằng 90 độ thay vì 180 độ, hoặc giải ra x rồi quên nhân lại để tìm góc. Cách tránh: bạn hãy viết rõ phương trình 3x cộng 2x bằng 180 độ, giải ra x bằng 36 độ, rồi nhân lại: góc A bằng 108 độ, góc C bằng 72 độ. Cuối cùng bạn hãy cộng kiểm tra: 108 cộng 72 phải bằng 180 mới đúng.

Lỗi 5: Nhầm góc ngoài với góc trong khi dùng hệ quả.
Nhiều bạn nghe hệ quả "góc ngoài bằng góc trong đối diện" thì lấy góc ngoài tại A bằng góc B — sai, góc ngoài tại A bằng góc C mới đúng. Cách tránh: bạn hãy nhớ góc ngoài tại một đỉnh thì đối diện với góc trong của đỉnh đối diện, tức là đỉnh không kề với nó. Bạn hãy vẽ hình và kéo dài một cạnh ra, nhìn trực tiếp góc ngoài nằm ở đâu rồi mới đối chiếu với góc trong đối diện.

4. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định đúng cặp góc đối nhau trước khi lấy 180 độ trừ đi — xác định đúng cặp góc là một nửa của bài làm.

Câu 1: Tứ giác ABCD nội tiếp, góc A bằng 70 độ. Góc C bằng bao nhiêu?
A. 70 độ
B. 110 độ
C. 90 độ
D. 20 độ

Câu 2: Tứ giác ABCD nội tiếp, góc B bằng 125 độ. Góc D bằng bao nhiêu?
A. 55 độ
B. 125 độ
C. 65 độ
D. 35 độ

Câu 3: Tứ giác ABCD nội tiếp, góc A bằng 3x, góc C bằng 2x. Góc A bằng bao nhiêu?
A. 36 độ
B. 72 độ
C. 108 độ
D. 144 độ

Câu 4: Tứ giác ABCD nội tiếp, góc A bằng 85 độ, góc B bằng 95 độ. Góc C bằng bao nhiêu?
A. 85 độ
B. 95 độ
C. 105 độ
D. 175 độ

Câu 5: Khẳng định nào sau đây SAI?
A. Tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng 180 độ
B. Nếu tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp được
C. Mọi hình chữ nhật đều nội tiếp được đường tròn
D. Mọi hình bình hành đều nội tiếp được đường tròn

Giải thích Câu 1 — Đáp án B (110 độ) đúng: Góc A và góc C là hai góc đối nhau nên góc C bằng 180 độ trừ 70 độ bằng 110 độ. Đáp án A (70 độ) sai vì đó là góc A, không phải góc đối của nó. Đáp án C (90 độ) sai vì không có cơ sở nào cho ra 90 độ. Đáp án D (20 độ) sai vì 20 độ bằng 180 độ trừ 160 độ, không liên quan gì tới bài toán.

Giải thích Câu 2 — Đáp án A (55 độ) đúng: Góc B và góc D là hai góc đối nhau nên góc D bằng 180 độ trừ 125 độ bằng 55 độ. Đáp án B (125 độ) sai vì đó là góc B. Đáp án C (65 độ) sai vì 65 độ bằng 180 độ trừ 115 độ, không phải trừ 125 độ. Đáp án D (35 độ) sai vì 35 độ bằng 180 độ trừ 145 độ, không liên quan gì tới bài toán.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C (108 độ) đúng: Góc A cộng góc C bằng 180 độ nên 3x cộng 2x bằng 180 độ, x bằng 36 độ, góc A bằng 3 nhân 36 bằng 108 độ. Đáp án A (36 độ) sai vì 36 độ là giá trị của x, chưa nhân với 3. Đáp án B (72 độ) sai vì 72 độ là góc C, không phải góc A. Đáp án D (144 độ) sai vì 144 độ bằng 4 nhân 36, không phải 3 nhân 36.

Giải thích Câu 4 — Đáp án B (95 độ) đúng: Góc C đối với góc A nên góc C bằng 180 độ trừ 85 độ bằng 95 độ. Đáp án A (85 độ) sai vì 85 độ là góc A. Đáp án C (105 độ) sai vì 105 độ bằng 180 độ trừ 75 độ, không liên quan. Đáp án D (175 độ) sai vì 175 độ gần bằng 180 độ, không thể là một góc của tứ giác nội tiếp có góc đối 85 độ.

Giải thích Câu 5 — Đáp án D sai: Hình bình hành thường có tổng hai góc đối không bằng 180 độ — ví dụ hình bình hành có góc 60 độ và góc đối 60 độ, tổng bằng 120 độ — nên không nội tiếp được. Chỉ hình bình hành đặc biệt là hình chữ nhật mới nội tiếp được. Đáp án A đúng vì đó là công thức của bài này. Đáp án B đúng vì đó là điều kiện ngược để nhận biết tứ giác nội tiếp. Đáp án C đúng vì hình chữ nhật có bốn góc vuông nên tổng hai góc đối bằng 180 độ.

5. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Làm sao để nhớ góc nào đối với góc nào trong tứ giác ABCD?
Đáp: Bạn hãy đọc tên các đỉnh theo thứ tự quanh tứ giác: A, B, C, D rồi quay lại A. Hai đỉnh đối nhau là hai đỉnh cách nhau một đỉnh trong thứ tự đó: A đối C, B đối D. Một cách nhớ khác: hai góc đối nhau là hai góc không có chung cạnh nào — góc A dùng hai cạnh AB và AD, góc C dùng hai cạnh CB và CD, không chung cạnh nào nên chúng đối nhau. Còn góc A và góc B chung cạnh AB nên chúng kề nhau. Bạn hãy tập chỉ cặp đối trên hình vài lần là nhớ ngay.

Hỏi: Tứ giác nội tiếp có phải lúc nào cũng lồi không?
Đáp: Trong chương trình lớp 9, bạn chỉ xét tứ giác nội tiếp lồi — tức là tứ giác mà mọi góc trong đều nhỏ hơn 180 độ và các đỉnh nằm theo thứ tự quanh đường tròn. Tứ giác lõm vẫn có thể nội tiếp được về mặt hình học, nhưng công thức tổng hai góc đối bằng 180 độ cần được hiểu cẩn thận hơn trong trường hợp đó. Trong đề thi lớp 9, bạn cứ mặc định tứ giác nội tiếp là tứ giác lồi và áp dụng công thức bình thường.

Hỏi: Vì sao hình thang cân nội tiếp được còn hình thang thường thì không?
Đáp: Vì hình thang cân có hai góc kề một cạnh bên bù nhau theo một cách đặc biệt: hai góc ở đáy lớn bằng nhau, hai góc ở đáy nhỏ bằng nhau, và một góc ở đáy lớn cộng một góc ở đáy nhỏ bằng 180 độ. Hai góc đó lại là hai góc đối nhau của tứ giác, nên tổng hai góc đối bằng 180 độ — thỏa mãn điều kiện nội tiếp. Còn hình thang thường không có tính chất này, tổng hai góc đối có thể bằng bất kì số nào. Đây là một trong những cách chứng minh tứ giác nội tiếp hay gặp nhất trong đề thi.

Hỏi: Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc nào?
Đáp: Bằng góc trong của đỉnh đối diện. Ví dụ bạn kéo dài cạnh AB qua B, góc ngoài tại B là góc tạo bởi phần kéo dài và cạnh BC. Góc ngoài này bằng góc D — góc trong của đỉnh đối diện với B. Bạn có thể chứng minh nhanh: góc ngoài tại B kề bù với góc B nên cộng với góc B bằng 180 độ, mà góc B cộng góc D cũng bằng 180 độ nên góc ngoài bằng góc D. Hệ quả này rất tiện khi đề bài cho góc ngoài thay vì cho góc trong.

Hỏi: Học tính chất này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Tính chất tổng hai góc đối bằng 180 độ là công cụ chính để chứng minh tứ giác nội tiếp, để tính góc trong các bài toán đường tròn tổng hợp, và để giải các bài toán về góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ở chương sau. Nó cũng là cầu nối sang hình học lớp 10, nơi bạn sẽ dùng tính chất này để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn. Nếu muốn ôn lại góc ở tâm — "người anh em" của góc nội tiếp trong mọi chứng minh về đường tròn — bạn hãy xem lại bài góc ở tâm và số đo của một cung.

6. Kết luận

Tổng số đo hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp bằng 180 độ — đó là toàn bộ công thức của bài này, nhưng là một trong những công thức quyền lực nhất của chương đường tròn. Bạn chứng minh nó bằng góc nội tiếp: hai góc đối chắn hai cung gộp lại thành cả đường tròn 360 độ, nên tổng hai góc bằng một nửa của 360 độ là 180 độ. Điều ngược lại cũng đúng: tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì nội tiếp được. Bạn hãy nhớ kĩ cặp góc đối — A đối C, B đối D — đừng nhầm với cặp góc kề, và luôn kiểm tra tứ giác có nội tiếp hay không trước khi áp dụng công thức. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính góc và chứng minh tứ giác nội tiếp trong mọi bài toán đường tròn của lớp 9.