Bạn Lan nhìn biểu thức √50 − √8 + √18 mà thở dài. Ba căn thức, ba số khác nhau, chẳng có cặp nào giống nhau để cộng trừ. Bạn thử bấm máy tính: √50 ≈ 7,071, √8 ≈ 2,828, √18 ≈ 4,243 — cộng trừ xong được khoảng 8,486, nhưng cô giáo không cho dùng máy tính, và đáp án "khoảng 8,486" thì không phải đáp án của một bài toán lớp 9. Bí quyết ở đây không phải là tính gần đúng, mà là biến đổi: √50 = 5√2, √8 = 2√2, √18 = 3√2 — ba căn thức bỗng trở thành ba số hạng đồng dạng, cộng trừ gọn nhẹ ra 6√2. Chỉ một phép biến đổi mà biểu thức dài ngoằng trở nên ngắn gọn. Bài viết này dạy bạn đúng kĩ thuật đó.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", các công thức biến đổi căn bậc hai nằm trong Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba, ở Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Đây là bài học "thực hành" của chương: sau khi học các hằng đẳng thức ở Bài 8, bạn dùng chúng để biến đổi và rút gọn mọi biểu thức chứa căn. Học xong bài này, bạn sẽ rút gọn được biểu thức chứa nhiều căn thức khác nhau, đưa thừa số ra vào dấu căn thành thạo, và tính đúng những bài toán mà máy tính chỉ cho đáp án gần đúng.
1. Bốn công thức biến đổi căn bậc hai
Bốn công thức dưới đây là toàn bộ "bộ dụng cụ" để biến đổi căn thức. Mỗi công thức có một hướng dùng riêng: hai công thức đầu tách và gộp căn thức, hai công thức sau đưa thừa số ra vào dấu căn. Bạn hãy học cả bốn cùng điều kiện của chúng.
Công thức 1 — Khai căn của một tích: √(ab) = √a · √b (với a ≥ 0, b ≥ 0).
Căn bậc hai của một tích bằng tích các căn bậc hai của từng thừa số. Ví dụ √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2. Công thức này là chìa khóa để rút gọn: bạn tách số trong căn thành tích của một số chính phương với một số còn lại, rồi khai căn số chính phương. Điều kiện a, b ≥ 0 là bắt buộc, vì căn bậc hai chỉ xác định với số không âm.
Công thức 2 — Khai căn của một thương: √(a/b) = √a / √b (với a ≥ 0, b > 0).
Căn bậc hai của một thương bằng thương các căn bậc hai của tử và mẫu. Ví dụ √(25/4) = 5/2. Công thức này giúp bạn xử lí căn thức ở dạng phân số: thay vì khai căn cả phân số, bạn khai căn tử và mẫu riêng. Bạn hãy chú ý điều kiện b > 0 (mẫu khác 0), chặt hơn điều kiện của công thức 1.
Công thức 3 — Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: √(a²b) = |a|√b (với b ≥ 0).
Thừa số là bình phương của một số thì "đi ra ngoài" dấu căn thành giá trị tuyệt đối của số đó. Ví dụ √48 = √(16 · 3) = 4√3, √75 = √(25 · 3) = 5√3. Đây là công thức bạn dùng nhiều nhất khi rút gọn: mục tiêu là làm cho số trong căn nhỏ nhất có thể. Bạn đừng quên dấu giá trị tuyệt đối khi a âm: √((−3)² · 5) = 3√5, không phải −3√5.
Công thức 4 — Đưa thừa số vào trong dấu căn: a√b = √(a²b) (với a ≥ 0, b ≥ 0); a√b = −√(a²b) (với a < 0).
Ngược lại với công thức 3, bạn có thể đưa một thừa số từ ngoài vào trong dấu căn bằng cách bình phương nó. Ví dụ 3√5 = √(9 · 5) = √45; −2√3 = −√(4 · 3) = −√12. Bạn hãy đặc biệt chú ý trường hợp a âm: dấu trừ ở lại ngoài dấu căn, chỉ có |a| được bình phương đưa vào trong. Công thức này dùng để so sánh các căn thức: muốn biết 2√3 với 3√2 số nào lớn hơn, bạn đưa cả hai vào trong căn thành √12 và √18 rồi so sánh.
| Công thức | Điều kiện | Dùng để làm gì |
|---|---|---|
| √(ab) = √a · √b | a ≥ 0, b ≥ 0 | Tách tích trong căn thành tích các căn |
| √(a/b) = √a / √b | a ≥ 0, b > 0 | Tách thương trong căn thành thương các căn |
| √(a²b) = |a|√b | b ≥ 0 | Đưa thừa số ra ngoài dấu căn để rút gọn |
| a√b = √(a²b) (a ≥ 0); a√b = −√(a²b) (a < 0) | b ≥ 0 | Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh |
Bạn hãy nhớ: bốn công thức này thực ra là một — chúng đều nói về cách "di chuyển" thừa số qua lại biên giới của dấu căn. Ra ngoài thì khai căn (bình phương thành chính nó), vào trong thì bình phương. Nắm được ý tưởng này, bạn không cần học vẹt từng công thức mà vẫn dùng đúng.
2. Quy trình 4 bước rút gọn biểu thức chứa căn
Biết công thức là một chuyện, dùng chúng để rút gọn một biểu thức dài lại là chuyện khác. Bạn hãy làm theo quy trình 4 bước dưới đây — nó đúng với mọi biểu thức chứa căn ở lớp 9, từ bài dễ đến bài khó.
Bước 1: Phân tích số trong căn thành tích của số chính phương với số còn lại.
Với mỗi căn thức, bạn tách số trong căn thành tích mà một thừa số là số chính phương lớn nhất có thể. Ví dụ √50 = √(25 · 2), √72 = √(36 · 2), √48 = √(16 · 3). Bạn hãy thuộc lòng các số chính phương: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Nếu số trong căn đã là số chính phương (√36 = 6) hoặc không tách được nữa (√7, √11) thì bạn giữ nguyên.
Bước 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
Dùng công thức √(a²b) = |a|√b để đưa số chính phương ra ngoài: √50 = 5√2, √72 = 6√2, √48 = 4√3. Sau bước này, mọi căn thức đều có dạng "số × √số nhỏ". Bạn hãy kiểm tra lại: số trong căn sau bước 2 không còn chứa thừa số chính phương nào lớn hơn 1 nữa.
Bước 3: Gom các căn thức đồng dạng rồi cộng, trừ.
Hai căn thức đồng dạng là hai căn thức có cùng số trong căn, ví dụ 5√2 và 3√2 đồng dạng, còn 5√2 và 5√3 thì không. Bạn cộng, trừ các căn thức đồng dạng như cộng, trừ các đơn thức đồng dạng: cộng hệ số, giữ nguyên phần căn. Ví dụ 5√2 − 2√2 + 3√2 = 6√2. Các căn thức không đồng dạng thì giữ nguyên, không cộng được với nhau.
Bước 4: Kiểm tra và trình bày gọn.
Bạn kiểm tra ba điều: số trong căn còn thừa số chính phương không, còn hai căn thức đồng dạng nào chưa gom không, và dấu của kết quả có hợp lí không. Ví dụ √50 − √8 = 5√2 − 2√2 = 3√2 — bạn có thể kiểm tra bằng máy tính: 3√2 ≈ 4,243, còn √50 − √8 ≈ 7,071 − 2,828 = 4,243. Khớp nhau. Khi cần kiểm tra lại các phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
3. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Rút gọn √72.
Đây là ví dụ gốc của bài. Bạn phân tích 72 = 36 · 2, trong đó 36 là số chính phương.
Áp dụng công thức khai căn của một tích: √72 = √36 · √2 = 6√2.
Vậy √72 = 6√2. Bạn hãy kiểm tra: 6√2 ≈ 6 × 1,414 = 8,485, còn √72 ≈ 8,485. Khớp nhau.
Ví dụ 2 (cộng trừ căn thức): Tính √50 − √8.
Đây là ví dụ gốc thứ hai của bài. Bạn rút gọn từng căn thức theo quy trình 4 bước.
√50 = √(25 · 2) = 5√2; √8 = √(4 · 2) = 2√2.
Hai căn thức đồng dạng (cùng √2) nên trừ được: 5√2 − 2√2 = 3√2.
Vậy √50 − √8 = 3√2.
Ví dụ 3 (đưa thừa số vào trong để so sánh): So sánh 2√3 và 3√2.
Bạn đưa cả hai thừa số vào trong dấu căn.
2√3 = √(4 · 3) = √12; 3√2 = √(9 · 2) = √18.
Vì 12 < 18 nên √12 < √18.
Vậy 2√3 < 3√2. Bạn hãy chú ý: so sánh bằng mắt thường rất dễ sai (2√3 ≈ 3,464 còn 3√2 ≈ 4,243), nhưng đưa vào trong căn thì đáp án hiện ra ngay.
Ví dụ 4 (rút gọn biểu thức dài): Rút gọn √12 + √27 − √3.
Bạn rút gọn từng căn thức: √12 = √(4 · 3) = 2√3; √27 = √(9 · 3) = 3√3; √3 giữ nguyên.
Ba căn thức đều chứa √3 nên đồng dạng: 2√3 + 3√3 − √3 = 4√3.
Vậy √12 + √27 − √3 = 4√3. Bạn hãy kiểm tra: 4√3 ≈ 6,928, còn √12 + √27 − √3 ≈ 3,464 + 5,196 − 1,732 = 6,928. Khớp nhau.
4. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cộng, trừ các căn thức không đồng dạng.
Nhiều bạn tính √2 + √3 = √5. Sai hoàn toàn: √2 và √3 không đồng dạng nên không cộng được, đáp án đúng là giữ nguyên √2 + √3. Cách tránh: chỉ cộng, trừ khi số trong căn giống hệt nhau. Bạn hãy nhớ: √2 + √3 giống như "2 quả táo + 3 quả cam" — không gộp thành một loại được.
Lỗi 2: Tách số trong căn sai số chính phương.
Nhiều bạn tách √72 = √(9 · 8) = 3√8 rồi dừng lại. Chưa gọn hẳn: √8 còn tách được thành 2√2, nên đáp án đầy đủ là 6√2. Cách tránh: bạn hãy tách bằng số chính phương LỚN NHẤT có thể (72 chia hết cho 36), hoặc sau khi tách, kiểm tra lại xem số trong căn còn chứa thừa số chính phương nào không.
Lỗi 3: Quên dấu giá trị tuyệt đối khi đưa thừa số ra ngoài.
Nhiều bạn tính √((−5)² · 3) = −5√3. Sai ở chỗ |−5| = 5, nên đáp án đúng là 5√3. Cách tránh: mỗi lần đưa thừa số ra ngoài căn, bạn hãy viết |a| trước rồi mới xét dấu của a — giống như đã học ở bài hằng đẳng thức căn bậc hai.
Lỗi 4: Đưa thừa số âm vào trong căn mà quên dấu trừ ở ngoài.
Nhiều bạn viết −2√3 = √12. Sai ở chỗ −2√3 = −√(4 · 3) = −√12 — dấu trừ phải ở ngoài dấu căn. Cách tránh: bạn hãy tách dấu trước: −2√3 = −(2√3) = −√12. Nếu bạn đưa cả dấu trừ vào trong căn thì kết quả thành số dương, hoàn toàn sai dấu.
Lỗi 5: Cho rằng √(a + b) = √a + √b.
Nhiều bạn tính √(9 + 16) = 3 + 4 = 7. Sai ở chỗ √(9 + 16) = √25 = 5, không phải 7. Cách tránh: bạn hãy nhớ công thức khai căn chỉ đúng với phép nhân và phép chia, không đúng với phép cộng và phép trừ. Trước khi khai căn, bạn hãy tính tổng trong căn trước, rồi mới khai căn kết quả.
5. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ làm theo quy trình 4 bước: phân tích, đưa ra ngoài, gom đồng dạng, kiểm tra.
Câu 1: Rút gọn √72 được kết quả nào sau đây?
A. 6√2
B. 8√2
C. 2√6
D. 9√2
Câu 2: Tính √50 − √18 được kết quả nào sau đây?
A. √2
B. 3√2
C. 2√2
D. 8√2
Câu 3: Đưa thừa số vào trong dấu căn: 2√3 bằng bao nhiêu?
A. √6
B. √12
C. √18
D. √9
Câu 4: Tính √(45/5) được kết quả nào sau đây?
A. 5
B. 9
C. √5
D. 3
Câu 5: Rút gọn √12 + √27 − √3 được kết quả nào sau đây?
A. 3√3
B. 4√3
C. 6√3
D. √3
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | D | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (6√2) đúng: √72 = √(36 · 2) = 6√2. Đáp án B (8√2) sai vì 8² × 2 = 128, không phải 72. Đáp án C (2√6) sai vì (2√6)² = 4 × 6 = 24, không phải 72. Đáp án D (9√2) sai vì (9√2)² = 81 × 2 = 162, không phải 72.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (2√2) đúng: √50 = 5√2, √18 = 3√2, hai căn thức đồng dạng nên 5√2 − 3√2 = 2√2. Đáp án A (√2) sai vì đã trừ nhầm hệ số: 5 − 3 = 2, không phải 1. Đáp án B (3√2) sai vì 3√2 là √18, chưa trừ. Đáp án D (8√2) sai vì đã cộng hệ số thay vì trừ: 5 + 3 = 8.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (√12) đúng: 2√3 = √(2² · 3) = √(4 · 3) = √12. Đáp án A (√6) sai vì đã nhân 2 × 3 = 6 rồi đưa vào căn mà quên bình phương 2. Đáp án C (√18) sai vì √18 = 3√2, không phải 2√3. Đáp án D (√9) sai vì √9 = 3, còn 2√3 ≈ 3,464.
Giải thích Câu 4 — Đáp án D (3) đúng: √(45/5) = √9 = 3. Đáp án A (5) sai vì 5 là mẫu số, không phải kết quả. Đáp án B (9) sai vì 9 là 45/5, chưa khai căn. Đáp án C (√5) sai vì √5 ≈ 2,236, còn √(45/5) = 3.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (4√3) đúng: √12 = 2√3, √27 = 3√3, nên 2√3 + 3√3 − √3 = 4√3. Đáp án A (3√3) sai vì đã tính 2 + 3 − 1 = 4, không phải 3. Đáp án C (6√3) sai vì đã cộng cả ba hệ số 2 + 3 + 1 = 6 mà quên dấu trừ trước √3. Đáp án D (√3) sai vì hệ số của √3 sau khi gom là 4, không phải 1.
6. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Khi nào hai căn thức được gọi là đồng dạng?
Đáp: Khi chúng có cùng số trong căn, ví dụ 5√2 và 3√2 đồng dạng, còn 5√2 và 5√3 thì không. Chỉ các căn thức đồng dạng mới cộng, trừ được với nhau. Bạn hãy rút gọn từng căn thức về dạng tối giản trước rồi mới xét đồng dạng — √50 và √8 thoạt nhìn khác nhau nhưng rút gọn ra đều chứa √2 nên đồng dạng.
Hỏi: Làm sao để tìm số chính phương lớn nhất chia hết cho số trong căn?
Đáp: Bạn hãy thử lần lượt các số chính phương từ lớn xuống nhỏ: 144, 121, 100, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4. Ví dụ với 72: 72 không chia hết cho 49, nhưng chia hết cho 36 (72 = 36 · 2). Với 200: 200 chia hết cho 100 (200 = 100 · 2) nên √200 = 10√2. Nếu muốn ôn lại cách phân tích một số thành thừa số, bạn hãy xem lại bài tìm ước chung lớn nhất.
Hỏi: √(a + b) có bằng √a + √b không?
Đáp: Không. Khai căn chỉ phân phối qua phép nhân và phép chia, không qua phép cộng và phép trừ. Ví dụ √(9 + 16) = √25 = 5, còn √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Bạn hãy tính trong căn trước rồi mới khai căn — đừng bao giờ tách căn của một tổng thành tổng các căn.
Hỏi: Đưa thừa số vào trong dấu căn để làm gì?
Đáp: Để so sánh hai căn thức, ví dụ 2√3 và 3√2: đưa vào trong thành √12 và √18 thì thấy ngay 2√3 < 3√2. Ngoài ra, đưa vào trong căn còn giúp bạn kiểm tra đáp án: nếu đáp án rút gọn của bạn là 6√2 thì bình phương đưa vào thành √72, đúng bằng số ban đầu.
Hỏi: Rút gọn biểu thức chứa căn khác gì rút gọn biểu thức thường?
Đáp: Giống nhau ở chỗ đều gom các hạng tử đồng dạng, khác nhau ở chỗ "đồng dạng" với căn thức nghĩa là cùng số trong căn. Ngoài ra, rút gọn căn thức còn có bước phân tích số trong căn thành thừa số chính phương — bước mà biểu thức thường không có. Nếu muốn ôn lại căn bậc hai số học — khái niệm gốc của mọi công thức biến đổi — bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm.
7. Kết luận
Bốn công thức biến đổi căn bậc hai thực ra chỉ là một ý tưởng: thừa số đi qua biên giới của dấu căn thì hoặc khai căn (khi ra ngoài) hoặc bình phương (khi vào trong). Nắm được ý tưởng đó và quy trình 4 bước — phân tích, đưa ra ngoài, gom đồng dạng, kiểm tra — bạn sẽ rút gọn được mọi biểu thức chứa căn ở lớp 9, từ √72 đơn giản đến √50 − √8 + √18 dài ngoằng. Bạn hãy nhớ ba điều cấm kị: không cộng căn thức không đồng dạng, không tách căn của một tổng, và không quên dấu giá trị tuyệt đối khi thừa số ra ngoài âm. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để bước sang bài tiếp theo: rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai với cả phép nhân, phép chia và trục căn thức ở mẫu.