Các hằng đẳng thức căn bậc hai: công thức và bài tập lớp 9

Trong giờ kiểm tra Toán, bạn Minh gặp phép tính √((−4)²). Bạn nhẩm nhanh: (−4)² = 16, √16 = 4 — đáp án là 4. Nhưng bạn ngồi bên cạnh lại viết: √((−4)²) = −4, vì "căn bậc hai của bình phương thì bỏ dấu căn và bỏ dấu ngoặc". Hai bạn tranh cãi mãi không ngã ngũ, đến khi cô giáo chấm bài mới rõ: bạn Minh đúng, bạn kia sai. Chỉ một dấu giá trị tuyệt đối bị bỏ quên mà cả bài toán đi tong. Câu chuyện nhỏ đó cho thấy hằng đẳng thức căn bậc hai tưởng như đơn giản nhưng lại là cái bẫy quen thuộc nhất của chương căn bậc hai lớp 9.

Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", các hằng đẳng thức căn bậc hai nằm trong Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba, ở Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia, và được dùng xuyên suốt Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai. Đây là nhóm công thức nền tảng: mọi phép rút gọn biểu thức chứa căn, mọi bài toán so sánh căn thức, mọi phương trình chứa căn ở lớp 9 đều quay về ba hằng đẳng thức này. Học xong bài này, bạn sẽ tính đúng √((−4)²), rút gọn được √(x²) với mọi x, và không bao giờ mất điểm oan vì quên dấu giá trị tuyệt đối nữa.

1. Ba hằng đẳng thức căn bậc hai cần nhớ

Có ba hằng đẳng thức căn bậc hai bạn phải thuộc lòng. Chúng giống nhau ở chỗ đều nói về mối quan hệ giữa phép khai căn và phép bình phương — hai phép toán ngược nhau — nhưng mỗi đẳng thức có điều kiện riêng. Bạn hãy học cả công thức lẫn điều kiện đi kèm, vì điều kiện chính là chỗ đề thi hay "gài" nhất.

Hằng đẳng thức thứ nhất: √(A²) = |A|.
Với mọi số thực A, căn bậc hai số học của A² bằng giá trị tuyệt đối của A. Bạn đọc kĩ: kết quả là |A|, không phải A. Vì sao? Vì A² luôn không âm, còn căn bậc hai số học của một số không âm cũng luôn không âm. Nếu A = 5 thì √(5²) = 5, đúng bằng A. Nhưng nếu A = −5 thì √((−5)²) = √25 = 5, mà 5 = |−5|, không phải −5. Dấu giá trị tuyệt đối ở đây chính là "bộ lọc" giữ cho kết quả luôn không âm. Khi A ≥ 0 thì |A| = A, đẳng thức trở thành √(A²) = A. Khi A < 0 thì |A| = −A, đẳng thức trở thành √(A²) = −A. Bạn hãy nhớ hai trường hợp này, vì khi rút gọn √(x²) với x chưa biết dấu, bạn bắt buộc phải xét dấu của x.

Hằng đẳng thức thứ hai: (√A)² = A (với A ≥ 0).
Với A không âm, bình phương của căn bậc hai số học của A bằng chính A. Đây là đẳng thức "ngược chiều" với đẳng thức thứ nhất: đẳng thức thứ nhất lấy căn của một bình phương, đẳng thức thứ hai bình phương của một căn. Ví dụ (√7)² = 7, (√3)² = 3, (√0,5)² = 0,5. Điều kiện A ≥ 0 là bắt buộc, vì √A chỉ xác định khi A không âm. Bạn đừng nhầm hai đẳng thức này với nhau: √(A²) cần dấu giá trị tuyệt đối vì A có thể âm, còn (√A)² không cần vì A đã bị điều kiện A ≥ 0 "khóa" lại rồi.

Hằng đẳng thức thứ ba: √(A²B) = |A|√B (với B ≥ 0).
Với B không âm, căn bậc hai của A²B bằng giá trị tuyệt đối của A nhân với căn bậc hai của B. Đẳng thức này là cầu nối giữa hằng đẳng thức thứ nhất và phép khai căn của một tích: √(A²B) = √(A²) · √B = |A|√B. Ví dụ √(3² · 5) = 3√5, √((−2)² · 7) = 2√7. Đây chính là công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn mà bạn sẽ gặp rất nhiều khi rút gọn biểu thức. Bạn hãy để ý: thừa số A² "đi ra ngoài" dấu căn thì mất dấu bình phương nhưng giữ lại dấu giá trị tuyệt đối, còn B ở lại trong căn.

Bạn hãy học thuộc bảng trên trước khi làm bài tập. Một mẹo nhớ nhanh: hai đẳng thức có chữ A² ở trong căn thì kết quả luôn có dấu giá trị tuyệt đối, còn đẳng thức có √A ở ngoài rồi mới bình phương thì không cần. Nếu bạn chỉ nhớ công thức mà quên điều kiện, bạn sẽ tính sai ngay khi A âm — và đó chính là lỗi phổ biến nhất của cả chương này.

2. Vì sao √(A²) = |A| mà không phải là A?

Nhiều bạn thắc mắc: căn bậc hai và bình phương là hai phép toán ngược nhau, vậy tại sao √(A²) không đơn giản bằng A? Câu trả lời nằm ở định nghĩa căn bậc hai số học. Căn bậc hai số học của một số a không âm là số x không âm sao cho x² = a. Bạn hãy chú ý hai chữ "không âm": kết quả của phép khai căn bậc hai số học bao giờ cũng không âm. Trong khi đó A có thể âm. Vì vậy √(A²) không thể bằng A khi A âm — nó phải bằng |A|, tức là "phiên bản không âm" của A.

Bạn hãy hình dung trên trục số. Số −4 và số 4 đều cách gốc O một khoảng bằng 4. Khi bạn bình phương, cả hai đều cho 16: (−4)² = 16 và 4² = 16. Phép bình phương "xóa" dấu của số ban đầu — bạn không thể nhìn vào 16 mà biết nó đến từ −4 hay 4. Khi bạn khai căn, √16 = 4, bạn chỉ lấy được khoảng cách, không lấy lại được dấu. Giá trị tuyệt đối |A| chính là khoảng cách từ A đến gốc O trên trục số. Vì vậy √(A²) = |A| là cách nói chính xác: căn bậc hai của bình phương cho ra khoảng cách, không cho ra số ban đầu.

Điều này giải thích vì sao bài toán rút gọn √(x²) luôn phải xét dấu của x. Nếu đề bài cho x ≥ 0 thì √(x²) = x. Nếu đề bài cho x < 0 thì √(x²) = −x. Nếu đề bài không cho gì về dấu của x thì đáp án đúng là |x|, và bạn không được tự ý viết thành x. Trong các bài kiểm tra, câu hỏi "rút gọn √(x²) với x < 0" xuất hiện rất thường xuyên, và đáp án x là cái bẫy dành cho những bạn quên mất dấu giá trị tuyệt đối.

Bạn cũng nên phân biệt √(A²) với (√A)² một lần nữa cho thật chắc. Với A = −3: √(A²) = √9 = 3, tính được bình thường. Nhưng (√A)² = (√(−3))² thì không tính được, vì √(−3) không xác định trong tập số thực. Hai biểu thức này chỉ bằng nhau khi A ≥ 0. Bạn hãy ghi nhớ: √(A²) dùng được với mọi A, còn (√A)² chỉ dùng được khi A ≥ 0. Nhầm lẫn hai đẳng thức này là lỗi sai thứ hai hay gặp nhất, chỉ sau lỗi quên dấu giá trị tuyệt đối.

3. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Tính √((5 − 7)²).
Đây là ví dụ gốc của bài. Bạn tính trong ngoặc trước: 5 − 7 = −2.
Áp dụng hằng đẳng thức √(A²) = |A| với A = −2: √((−2)²) = |−2| = 2.
Vậy √((5 − 7)²) = 2. Bạn hãy kiểm tra bằng cách tính trực tiếp: (−2)² = 4, √4 = 2. Khớp nhau.
Nếu bạn quên dấu giá trị tuyệt đối và viết đáp án là −2 thì bạn đã sai, vì căn bậc hai số học không bao giờ âm.

Ví dụ 2 (rút gọn với điều kiện): Rút gọn √(x²) biết x < 0, rồi tính giá trị khi x = −6.
Áp dụng hằng đẳng thức √(A²) = |A| với A = x: √(x²) = |x|.
Vì x < 0 nên |x| = −x. Vậy √(x²) = −x.
Khi x = −6: √(x²) = −(−6) = 6. Kiểm tra trực tiếp: √((−6)²) = √36 = 6. Khớp nhau.
Bạn hãy để ý: đáp án rút gọn là −x, nhưng giá trị của nó vẫn dương vì x âm. Dấu trừ ở đây không làm kết quả âm — nó chỉ "đổi dấu" của x để ra số dương.

Ví dụ 3 (bình phương của căn): Tính (√11)² và (√(2,25))².
Áp dụng hằng đẳng thức (√A)² = A với A ≥ 0.
(√11)² = 11, vì 11 ≥ 0.
(√2,25)² = 2,25, vì 2,25 ≥ 0.
Bạn không cần tính √11 bằng bao nhiêu (nó là số vô tỉ, khoảng 3,317) — hằng đẳng thức cho bạn đáp án ngay mà không cần bấm máy tính. Khi cần kiểm tra lại các phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 4 (đưa thừa số ra ngoài): Rút gọn √((−3)² · 5) và √(7² · 2).
Áp dụng hằng đẳng thức √(A²B) = |A|√B với B ≥ 0.
√((−3)² · 5) = |−3|√5 = 3√5. Bạn hãy chú ý: |−3| = 3, không phải −3.
√(7² · 2) = |7|√2 = 7√2, vì 7 dương nên |7| = 7.
Hai ví dụ này cho thấy cùng một công thức nhưng khi A âm và A dương, bước lấy giá trị tuyệt đối cho kết quả khác nhau: với A = −3 bạn phải đổi dấu, với A = 7 bạn giữ nguyên.

4. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Viết √(A²) = A mà quên dấu giá trị tuyệt đối.
Nhiều bạn tính √((−4)²) = −4. Sai ở chỗ căn bậc hai số học không bao giờ âm, còn −4 là số âm. Cách tránh: mỗi lần thấy √(A²), bạn hãy viết ngay |A| rồi mới xét dấu của A. Bạn hãy tập thành phản xạ: thấy bình phương trong căn là viết dấu giá trị tuyệt đối trước, tính sau.

Lỗi 2: Nhầm √(A²) với (√A)².
Nhiều bạn cho rằng (√(−5))² = −5. Sai ở chỗ √(−5) không xác định trong tập số thực, nên (√(−5))² cũng không có nghĩa. Cách tránh: trước khi dùng (√A)² = A, bạn hãy kiểm tra A ≥ 0 chưa. Còn √(A²) thì dùng được với mọi A, không cần kiểm tra điều kiện.

Lỗi 3: Rút gọn √(x²) thành x khi chưa biết dấu của x.
Nhiều bạn thấy √(x²) là viết ngay bằng x. Sai ở chỗ nếu x âm thì √(x²) = −x, không phải x. Cách tránh: khi đề bài không cho dấu của x, đáp án đúng là |x|. Chỉ khi đề bài cho x ≥ 0 bạn mới được viết √(x²) = x, và chỉ khi đề bài cho x < 0 bạn mới được viết √(x²) = −x.

Lỗi 4: Quên đổi dấu khi A âm trong công thức √(A²B) = |A|√B.
Nhiều bạn tính √((−2)² · 7) = −2√7. Sai ở chỗ |−2| = 2, không phải −2. Cách tránh: bạn hãy tính |A| riêng ra một bước: |−2| = 2, rồi mới nhân với √B. Đừng gộp bước lấy giá trị tuyệt đối với bước nhân, vì gộp lại rất dễ quên đổi dấu.

Lỗi 5: Cho rằng √(A²) = A khi A là biểu thức chứa căn.
Nhiều bạn tính √((2 − √5)²) = 2 − √5. Sai ở chỗ 2 − √5 < 0 (vì √5 ≈ 2,236 > 2), nên đáp án đúng là |2 − √5| = √5 − 2. Cách tránh: khi A là một hiệu, bạn hãy so sánh hai số trong hiệu trước: số nào lớn hơn? Nếu số trừ lớn hơn số bị trừ thì A âm, và √(A²) = −A. Bạn hãy ước lượng giá trị của căn thức (√5 ≈ 2,236; √3 ≈ 1,732; √2 ≈ 1,414) để xác định dấu cho nhanh.

5. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Trước khi chọn đáp án, bạn hãy tự hỏi: số trong căn là âm hay dương? Đề bài có cho điều kiện về dấu không?

Câu 1: Giá trị của √((−5)²) bằng bao nhiêu?
A. −5
B. 5
C. 25
D. √5

Câu 2: Giá trị của (√7)² bằng bao nhiêu?
A. 7
B. 49
C. √7
D. 14

Câu 3: Với x < 0, √(x²) bằng bao nhiêu?
A. x
B. −x
C. 0
D. 2x

Câu 4: Rút gọn √(3² · 5) được kết quả nào sau đây?
A. 3√5
B. 5√3
C. 9√5
D. 15

Câu 5: Giá trị của √((2 − √5)²) bằng bao nhiêu?
A. 2 − √5
B. √5 − 2
C. 2 + √5
D. 0

Giải thích Câu 1 — Đáp án B (5) đúng: √((−5)²) = |−5| = 5. Đáp án A (−5) sai vì căn bậc hai số học không bao giờ âm. Đáp án C (25) sai vì 25 là (−5)², chưa khai căn. Đáp án D (√5) sai vì √((−5)²) = √25 = 5, không phải √5.

Giải thích Câu 2 — Đáp án A (7) đúng: Áp dụng (√A)² = A với A = 7 ≥ 0, ta có (√7)² = 7. Đáp án B (49) sai vì 49 = 7², còn đây là bình phương của √7. Đáp án C (√7) sai vì bình phương của √7 đã "triệt tiêu" dấu căn. Đáp án D (14) sai vì 14 = 2 × 7, không liên quan đến phép tính này.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B (−x) đúng: √(x²) = |x|, mà x < 0 nên |x| = −x. Đáp án A (x) sai vì x âm thì √(x²) không thể bằng x (kết quả khai căn luôn không âm). Đáp án C (0) sai vì √(x²) = 0 chỉ khi x = 0. Đáp án D (2x) sai vì không có phép nhân nào với 2 ở đây.

Giải thích Câu 4 — Đáp án A (3√5) đúng: √(3² · 5) = |3|√5 = 3√5. Đáp án B (5√3) sai vì đã đổi chỗ 3 và 5: thừa số ra ngoài căn là 3 (từ 3²), còn 5 ở lại trong căn. Đáp án C (9√5) sai vì 3² = 9 nhưng khi ra ngoài căn, 9 phải khai căn thành 3. Đáp án D (15) sai vì 15 = 3 × 5, còn √45 = 3√5 ≈ 6,708, không phải 15.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B (√5 − 2) đúng: √((2 − √5)²) = |2 − √5|. Vì √5 ≈ 2,236 > 2 nên 2 − √5 < 0, do đó |2 − √5| = √5 − 2. Đáp án A (2 − √5) sai vì đó là số âm, không thể là kết quả của phép khai căn. Đáp án C (2 + √5) sai vì dấu trong ngoặc là dấu trừ, không phải dấu cộng. Đáp án D (0) sai vì (2 − √5)² ≠ 0.

6. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: √(A²) và (√A)² khác nhau ở điểm nào?
Đáp: √(A²) = |A| dùng được với mọi số thực A, còn (√A)² = A chỉ dùng được khi A ≥ 0. Bạn hãy nhớ: √(A²) lấy căn của một bình phương nên cần dấu giá trị tuyệt đối, còn (√A)² bình phương của một căn nên điều kiện A ≥ 0 đã có sẵn từ việc √A xác định. Nếu muốn ôn lại căn bậc hai số học của một số không âm — nền tảng của cả hai đẳng thức này — bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm.

Hỏi: Khi nào √(x²) = x, khi nào √(x²) = −x?
Đáp: Khi x ≥ 0 thì √(x²) = x, khi x < 0 thì √(x²) = −x. Nếu đề bài không cho điều kiện về dấu của x thì đáp án đúng là |x|. Bạn đừng bao giờ viết √(x²) = x khi chưa biết dấu của x — đó là lỗi mất điểm nhiều nhất trong chương căn bậc hai.

Hỏi: Giá trị tuyệt đối |A| tính như thế nào?
Đáp: Nếu A ≥ 0 thì |A| = A, nếu A < 0 thì |A| = −A. Ví dụ |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0. Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách từ số đó đến gốc O trên trục số, nên nó luôn không âm. Nếu muốn ôn kĩ hơn về giá trị tuyệt đối, bạn hãy xem lại bài giá trị tuyệt đối của một số thực.

Hỏi: √(A²B) = |A|√B dùng để làm gì?
Đáp: Đẳng thức này dùng để đưa thừa số ra ngoài dấu căn khi rút gọn biểu thức chứa căn. Ví dụ √(48) = √(16 · 3) = 4√3. Nhờ đó, các biểu thức chứa căn trở nên gọn hơn và bạn có thể cộng, trừ các căn thức đồng dạng với nhau. Đây là bước chuẩn bị cho bài rút gọn biểu thức chứa căn ở Bài 9.

Hỏi: Làm sao để xác định dấu của biểu thức dạng a − √b?
Đáp: Bạn hãy so sánh a với √b bằng cách bình phương cả hai vế (khi a ≥ 0): a² so với b. Ví dụ 2 − √5: 2² = 4 < 5 nên 2 < √5, do đó 2 − √5 < 0. Hoặc bạn nhớ các giá trị gần đúng: √2 ≈ 1,414; √3 ≈ 1,732; √5 ≈ 2,236; √7 ≈ 2,646. Nhớ bốn số này sẽ giúp bạn xác định dấu rất nhanh trong phòng thi.

7. Kết luận

Ba hằng đẳng thức căn bậc hai gói gọn trong một nguyên tắc duy nhất: căn bậc hai số học luôn cho kết quả không âm. √(A²) = |A| vì A có thể âm; (√A)² = A vì điều kiện A ≥ 0 đã khóa dấu lại; √(A²B) = |A|√B vì thừa số ra ngoài căn vẫn phải giữ dấu giá trị tuyệt đối. Bạn hãy thuộc lòng ba đẳng thức này cùng điều kiện đi kèm, tập phản xạ viết dấu giá trị tuyệt đối mỗi khi thấy bình phương trong căn, và luôn xét dấu trước khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm chắc nhóm công thức nền tảng nhất của chương căn bậc hai — và bạn cũng đã có trong tay chìa khóa để rút gọn mọi biểu thức chứa căn ở các bài tiếp theo.