Bạn hãy tưởng tượng mình là người vẽ bản đồ cho một con đường thẳng chạy qua hai ngôi làng. Bạn không cần đi hết con đường, cũng không cần đánh dấu từng mét — bạn chỉ cần biết vị trí của hai ngôi làng, rồi kẻ một đường thẳng qua hai điểm đó là xong. Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất cũng giống hệt như vậy: đồ thị là một đường thẳng, mà một đường thẳng chỉ cần hai điểm là xác định được. Bài hôm nay sẽ dạy bạn cách tìm hai điểm đẹp nhất, đặt chúng lên mặt phẳng tọa độ, rồi kẻ đường thẳng qua chúng — chỉ bốn bước là bạn có ngay đồ thị.
Bạn sẽ học vì sao đồ thị của hàm số bậc nhất là đường thẳng, cách tìm hai giao điểm với hai trục tọa độ, bốn bước vẽ đồ thị chuẩn, rồi luyện bốn ví dụ tính từng bước — trong đó có ví dụ gốc y = 2x − 1 đi qua hai điểm (0, −1) và (1, 1) — năm lỗi sai thường gặp, năm bài tập trắc nghiệm có giải thích cặn kẽ và năm câu hỏi thường gặp. Bạn cần nắm vững bài trước về tính đồng biến, nghịch biến, vì biết hàm số đi lên hay đi xuống sẽ giúp bạn kiểm tra đồ thị mình vẽ có đúng chiều hay không: xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất. Nếu bạn chưa nhớ cách tính giá trị của hàm số tại một điểm, hãy xem lại bài tìm tỉ số, tỉ số phần trăm để ôn lại cách thay số vào công thức.
1. Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng
Bạn hãy lấy hàm số y = 2x + 1 và tính giá trị của y tại nhiều giá trị của x: x = −2 thì y = −3, x = −1 thì y = −1, x = 0 thì y = 1, x = 1 thì y = 3, x = 2 thì y = 5. Bạn đặt năm điểm (−2, −3), (−1, −1), (0, 1), (1, 3), (2, 5) lên mặt phẳng tọa độ rồi nối chúng lại — bạn sẽ thấy năm điểm nằm thẳng hàng trên cùng một đường thẳng. Đó không phải là sự trùng hợp: mọi điểm (x, y) thỏa mãn y = ax + b đều nằm trên cùng một đường thẳng, và ngược lại, mọi điểm trên đường thẳng đó đều thỏa mãn y = ax + b. Đường thẳng này chính là đồ thị của hàm số bậc nhất.
Vì sao đồ thị là đường thẳng mà không phải là đường cong? Bạn hãy nhìn vào cách y thay đổi: mỗi lần x tăng thêm 1 thì y tăng thêm đúng a đơn vị — một lượng không đổi. Sự thay đổi đều đặn này làm cho các điểm xếp thành hàng thẳng, giống như bạn đi bộ với vận tốc không đổi thì quãng đường tăng đều theo thời gian. Nếu y thay đổi không đều — lúc tăng nhanh, lúc tăng chậm — thì các điểm mới tạo thành đường cong, như đồ thị của hàm số y = ax² mà bạn sẽ học sau. Với hàm số bậc nhất, sự thay đổi đều đặn của y theo x chính là lí do đồ thị là đường thẳng.
Bạn hãy nhớ hệ quả quan trọng nhất của tính chất này: để vẽ đồ thị, bạn chỉ cần xác định hai điểm thuộc đồ thị, rồi kẻ đường thẳng đi qua hai điểm đó. Bạn không cần tính mười điểm, hai mươi điểm như khi vẽ đường cong. Hai điểm là đủ — đó là toàn bộ bí quyết của bài này. Nhưng bạn phải chọn hai điểm thật đẹp: điểm có tọa độ là số nguyên, dễ xác định trên mặt phẳng tọa độ, và hai điểm không quá gần nhau để đường thẳng vẽ ra không bị lệch. Mục sau sẽ chỉ cho bạn hai điểm đẹp nhất mà bạn luôn có sẵn: hai giao điểm với hai trục tọa độ.
2. Hai giao điểm với hai trục tọa độ: hai điểm đẹp nhất
Đồ thị của hàm số y = ax + b cắt trục Oy tại điểm có hoành độ bằng 0. Bạn thay x = 0 vào công thức thì được y = b, nên giao điểm với trục Oy là điểm (0, b). Đồ thị cắt trục Ox tại điểm có tung độ bằng 0. Bạn thay y = 0 vào công thức thì được 0 = ax + b, nên x = −b/a, và giao điểm với trục Ox là điểm (−b/a, 0). Hai giao điểm này là hai điểm đẹp nhất để vẽ đồ thị, vì bạn tính được chúng ngay từ công thức mà không cần chọn số liệu gì thêm.
| Giao điểm | Cách tìm | Tọa độ |
|---|---|---|
| Với trục Oy | Cho x = 0, tính y | (0, b) |
| Với trục Ox | Cho y = 0, tính x | (−b/a, 0) |
Bạn hãy lấy ví dụ gốc y = 2x − 1: giao điểm với trục Oy là (0, −1), giao điểm với trục Ox là (1/2, 0). Điểm (1/2, 0) có hoành độ là phân số nên hơi khó xác định chính xác trên giấy kẻ ô. Vì vậy trong thực hành, người ta thường không dùng giao điểm với trục Ox mà chọn một điểm khác có tọa độ nguyên — ví dụ cho x = 1 thì y = 1, được điểm (1, 1) rất đẹp. Bạn hãy nhớ quy tắc linh hoạt này: giao điểm với trục Oy hầu như luôn được dùng vì tọa độ của nó là (0, b) rất dễ xác định; điểm thứ hai thì bạn chọn x sao cho y ra số nguyên đẹp, thường là x = 1 hoặc x = −1. Bạn sẽ thấy cách chọn này trong các ví dụ ở mục 4.
Có một trường hợp đặc biệt bạn cần nhớ: khi b = 0 thì hàm số thành y = ax, đồ thị đi qua gốc tọa độ O(0, 0). Lúc này hai giao điểm với hai trục trùng nhau tại gốc tọa độ, nên bạn không thể dùng hai giao điểm làm hai điểm vẽ nữa. Bạn phải chọn thêm một điểm khác, ví dụ cho x = 1 thì y = a, được điểm (1, a), rồi kẻ đường thẳng qua gốc tọa độ và điểm (1, a). Bạn hãy nhớ: đồ thị của hàm số y = ax luôn đi qua gốc tọa độ, và chỉ cần thêm một điểm nữa là vẽ được.
3. Bốn bước vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
Bạn hãy thuộc lòng bốn bước sau đây, rồi áp dụng cho mọi hàm số bậc nhất mà đề bài cho. Bước 1: xác định hai điểm thuộc đồ thị — thường là giao điểm với trục Oy (0, b) và một điểm có tọa độ nguyên mà bạn chọn, ví dụ cho x = 1 rồi tính y. Bước 2: vẽ mặt phẳng tọa độ với hai trục Ox, Oy vuông góc nhau, chia vạch đều nhau trên hai trục, đánh dấu gốc tọa độ O. Bước 3: xác định hai điểm lên mặt phẳng tọa độ — bạn hãy gióng từ hoành độ lên và từ tung độ sang, giao nhau ở đâu thì chấm điểm ở đó, ghi tên điểm bên cạnh. Bước 4: kẻ đường thẳng đi qua hai điểm vừa xác định, kéo dài hai đầu ra ngoài đoạn nối hai điểm, ghi tên hàm số bên cạnh đường thẳng.
Bạn hãy chú ý ba chi tiết làm nên một đồ thị đẹp. Thứ nhất, hai trục phải chia vạch đều nhau và cùng một đơn vị trên cả hai trục, nếu không đồ thị sẽ bị méo. Thứ hai, hai điểm bạn chọn không nên quá gần nhau — nếu hai điểm cách nhau chỉ một ô thì đường thẳng kẻ ra rất dễ lệch; bạn hãy chọn hai điểm cách nhau ít nhất ba ô. Thứ ba, đường thẳng phải được kéo dài ra ngoài hai điểm, vì đồ thị của hàm số bậc nhất kéo dài vô hạn theo cả hai hướng — bạn đừng chỉ vẽ một đoạn ngắn nối hai điểm rồi dừng lại. Bạn hãy kiểm tra lại đồ thị sau khi vẽ: đường thẳng đi lên hay đi xuống có khớp với tính đồng biến, nghịch biến của hàm số không? Nếu hàm số đồng biến mà đường thẳng bạn vẽ đi xuống thì chắc chắn bạn đã xác định sai một điểm.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (ví dụ gốc): Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x − 1.
Bước 1: bạn tìm hai điểm. Cho x = 0 thì y = −1, được điểm A(0, −1) là giao điểm với trục Oy. Cho x = 1 thì y = 1, được điểm B(1, 1). Bước 2: bạn vẽ mặt phẳng tọa độ, chia vạch đều nhau. Bước 3: bạn xác định hai điểm A(0, −1) và B(1, 1) lên mặt phẳng tọa độ. Bước 4: bạn kẻ đường thẳng đi qua hai điểm A và B, kéo dài hai đầu, ghi tên y = 2x − 1 bên cạnh. Bạn kiểm tra: hàm số có a = 2 lớn hơn 0 nên đồng biến, đồ thị đi lên từ trái sang phải, đúng. Bạn cũng kiểm tra giao điểm với trục Ox: cho y = 0 thì x = 1/2, đường thẳng của bạn cắt trục Ox tại (1/2, 0), khớp với tính toán. Đồ thị đã vẽ xong và đúng.
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = −x + 3.
Bước 1: bạn tìm hai điểm. Cho x = 0 thì y = 3, được điểm A(0, 3) là giao điểm với trục Oy. Cho x = 3 thì y = 0, được điểm B(3, 0) là giao điểm với trục Ox. Hai điểm này đều có tọa độ nguyên đẹp, nên bạn dùng luôn cả hai giao điểm. Bước 2 và bước 3: bạn vẽ mặt phẳng tọa độ rồi xác định hai điểm A(0, 3) và B(3, 0). Bước 4: bạn kẻ đường thẳng qua A và B, kéo dài hai đầu, ghi tên y = −x + 3. Bạn kiểm tra: hàm số có a = −1 nhỏ hơn 0 nên nghịch biến, đồ thị đi xuống từ trái sang phải, đúng. Bạn hãy để ý: đường thẳng này đi qua hai điểm (0, 3) và (3, 0) tạo thành một tam giác vuông cân với hai trục tọa độ — một hình vẽ rất đẹp và dễ nhớ.
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị của hàm số y = x.
Đây là trường hợp đặc biệt b = 0: đồ thị đi qua gốc tọa độ O(0, 0). Bước 1: bạn lấy điểm O(0, 0) và chọn thêm một điểm — cho x = 1 thì y = 1, được điểm A(1, 1). Bước 2 và bước 3: bạn vẽ mặt phẳng tọa độ rồi xác định hai điểm O(0, 0) và A(1, 1). Bước 4: bạn kẻ đường thẳng qua O và A, kéo dài hai đầu, ghi tên y = x. Bạn kiểm tra: đường thẳng này là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba, tạo với trục Ox một góc 45°, đúng vì hệ số góc a = 1 thì tan của góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox bằng 1. Bạn hãy nhớ: đồ thị của hàm số y = x luôn là đường phân giác này, và đồ thị của hàm số y = −x là đường phân giác của góc phần tư thứ hai và thứ tư.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thị của hàm số y = 3x + 2 và tìm giao điểm với trục Ox.
Bước 1: bạn tìm hai điểm. Cho x = 0 thì y = 2, được điểm A(0, 2). Cho x = −1 thì y = −1, được điểm B(−1, −1). Bước 2 và bước 3: bạn vẽ mặt phẳng tọa độ rồi xác định hai điểm A(0, 2) và B(−1, −1). Bước 4: bạn kẻ đường thẳng qua A và B, kéo dài hai đầu, ghi tên y = 3x + 2. Bạn kiểm tra: hàm số có a = 3 lớn hơn 0 nên đồng biến, đồ thị đi lên, đúng. Bạn tìm giao điểm với trục Ox: cho y = 0 thì 0 = 3x + 2, nên x = −2/3, giao điểm là (−2/3, 0). Bạn hãy nhìn vào đồ thị vừa vẽ: đường thẳng cắt trục Ox ở một điểm nằm giữa −1 và 0, gần phía −1 hơn một chút, khớp với −2/3 ≈ −0,67. Bạn thấy không: đồ thị không chỉ là hình vẽ minh họa, mà còn là công cụ để bạn đọc đáp án bằng mắt thường.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Chỉ tính một điểm rồi vẽ đường thẳng tùy ý.
Nhiều bạn tính được một điểm (0, b) rồi kẻ một đường thẳng bất kì đi qua nó mà không cần điểm thứ hai. Sai: có vô số đường thẳng đi qua một điểm, bạn không biết đường nào mới là đồ thị của hàm số. Cách tránh: bạn hãy luôn tính đủ hai điểm trước khi đặt thước kẻ. Bạn hãy viết hai điểm ra giấy nháp, xác định cả hai lên mặt phẳng tọa độ, rồi mới kẻ đường thẳng qua chúng.
Lỗi 2: Chọn hai điểm quá gần nhau.
Nhiều bạn chọn hai điểm (0, 1) và (0, 2) rồi kẻ đường thẳng qua chúng — hai điểm này cùng nằm trên trục Oy nên đường thẳng kẻ ra là trục Oy, sai hoàn toàn. Hoặc bạn chọn hai điểm cách nhau chỉ một ô thì đường thẳng kẻ ra rất dễ lệch một chút, mà lệch một chút ở gần thì càng xa càng lệch nhiều. Cách tránh: bạn hãy chọn hai điểm cách nhau ít nhất ba ô trên mặt phẳng tọa độ, và hai điểm phải có hoành độ khác nhau. Bạn hãy kiểm tra: hai điểm bạn chọn có cùng hoành độ không? Nếu có thì chọn lại ngay.
Lỗi 3: Vẽ đoạn thẳng thay vì đường thẳng.
Nhiều bạn chỉ vẽ một đoạn ngắn nối hai điểm rồi dừng lại, quên kéo dài hai đầu. Sai: đồ thị của hàm số bậc nhất kéo dài vô hạn theo cả hai hướng, vì x nhận mọi giá trị thực. Cách tránh: sau khi kẻ đường thẳng qua hai điểm, bạn hãy kéo dài nó ra ngoài hai điểm thêm vài ô về cả hai phía, rồi mới ghi tên hàm số. Bạn hãy nhớ: đồ thị không có điểm dừng, chỉ có giấy vẽ của bạn là có giới hạn.
Lỗi 4: Chia vạch không đều trên hai trục.
Nhiều bạn chia vạch trên trục Ox mỗi ô là 1 đơn vị, nhưng trên trục Oy mỗi ô là 2 đơn vị, rồi xác định điểm theo vạch đó — đồ thị vẽ ra bị méo, góc tạo bởi đường thẳng và trục Ox cũng sai. Cách tránh: bạn hãy dùng giấy kẻ ô và lấy cùng một đơn vị cho cả hai trục — mỗi ô là 1 đơn vị trên cả Ox lẫn Oy. Nếu bạn vẽ trên giấy trắng, hãy dùng thước chia vạch cẩn thận trước khi xác định điểm.
Lỗi 5: Vẽ đồ thị đi lên trong khi hàm số nghịch biến (hoặc ngược lại).
Nhiều bạn tính đúng hai điểm nhưng khi kẻ đường thẳng lại kẻ nhầm chiều, hoặc xác định nhầm một điểm lên mặt phẳng tọa độ. Cách tránh: sau khi vẽ xong, bạn hãy kiểm tra chiều của đồ thị với tính đồng biến, nghịch biến đã học ở bài trước — a lớn hơn 0 thì đồ thị phải đi lên từ trái sang phải, a nhỏ hơn 0 thì đồ thị phải đi xuống. Nếu chiều không khớp thì chắc chắn bạn đã xác định sai một điểm, hãy tính lại tọa độ của hai điểm rồi xác định lại. Khi cần tính nhanh các giá trị của hàm số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính đủ hai điểm trước khi trả lời bất kì câu hỏi nào về đồ thị — hai điểm là một nửa của bài làm.
Câu 1: Đồ thị của hàm số y = 2x − 1 cắt trục Oy tại điểm nào?
A. (0, 1)
B. (0, −1)
C. (1, 0)
D. (−1, 0)
Câu 2: Đồ thị của hàm số y = 2x − 1 cắt trục Ox tại điểm nào?
A. (0, 1/2)
B. (1, 0)
C. (1/2, 0)
D. (−1/2, 0)
Câu 3: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số y = −x + 3?
A. (1, 3)
B. (1, 2)
C. (2, 2)
D. (0, 0)
Câu 4: Đồ thị của hàm số y = 3x + 2 cắt trục Ox tại điểm nào?
A. (2/3, 0)
B. (0, 2)
C. (−2/3, 0)
D. (0, −2)
Câu 5: Đồ thị của hàm số y = x đi qua gốc tọa độ và điểm nào sau đây?
A. (1, 1)
B. (1, 0)
C. (0, 1)
D. (2, 1)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | B | C | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B ((0, −1)) đúng: Giao điểm với trục Oy có hoành độ bằng 0. Bạn thay x = 0 vào y = 2x − 1 thì được y = −1, nên giao điểm là (0, −1). Đáp án A ((0, 1)) sai vì bạn đã lấy y = 1 thay vì y = −1 — hãy chú ý dấu trừ trong công thức. Đáp án C ((1, 0)) sai vì đó là điểm trên trục Ox, không phải trên trục Oy. Đáp án D ((−1, 0)) sai vì điểm này không thỏa mãn y = 2x − 1: thay x = −1 thì y = −3, không phải 0.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C ((1/2, 0)) đúng: Giao điểm với trục Ox có tung độ bằng 0. Bạn cho y = 0 thì 0 = 2x − 1, nên x = 1/2, giao điểm là (1/2, 0). Đáp án A ((0, 1/2)) sai vì bạn đã hoán đổi hoành độ và tung độ cho nhau. Đáp án B ((1, 0)) sai vì thay x = 1 thì y = 1, không phải 0 — điểm (1, 0) không thuộc đồ thị. Đáp án D ((−1/2, 0)) sai vì bạn đã giải phương trình 2x − 1 = 0 nhầm dấu: x = 1/2 chứ không phải −1/2.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B ((1, 2)) đúng: Bạn thay x = 1 vào y = −x + 3 thì được y = −1 + 3 = 2, nên điểm (1, 2) thuộc đồ thị. Đáp án A ((1, 3)) sai vì thay x = 1 thì y = 2, không phải 3. Đáp án C ((2, 2)) sai vì thay x = 2 thì y = 1, không phải 2. Đáp án D ((0, 0)) sai vì thay x = 0 thì y = 3, không phải 0 — gốc tọa độ không thuộc đồ thị này.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C ((−2/3, 0)) đúng: Giao điểm với trục Ox có tung độ bằng 0. Bạn cho y = 0 thì 0 = 3x + 2, nên x = −2/3, giao điểm là (−2/3, 0). Đáp án A ((2/3, 0)) sai vì bạn đã giải phương trình 3x + 2 = 0 nhầm dấu: x = −2/3 chứ không phải 2/3. Đáp án B ((0, 2)) sai vì đó là giao điểm với trục Oy, không phải với trục Ox. Đáp án D ((0, −2)) sai vì điểm này không thỏa mãn y = 3x + 2: thay x = 0 thì y = 2, không phải −2.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A ((1, 1)) đúng: Đồ thị của hàm số y = x đi qua gốc tọa độ và mọi điểm có hoành độ bằng tung độ. Điểm (1, 1) có hoành độ bằng tung độ nên thuộc đồ thị. Đáp án B ((1, 0)) sai vì thay x = 1 thì y = 1, không phải 0. Đáp án C ((0, 1)) sai vì thay x = 0 thì y = 0, không phải 1. Đáp án D ((2, 1)) sai vì thay x = 2 thì y = 2, không phải 1.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Vì sao chỉ cần hai điểm là vẽ được đồ thị?
Đáp: Vì qua hai điểm phân biệt chỉ có duy nhất một đường thẳng đi qua, mà đồ thị của hàm số bậc nhất chính là một đường thẳng. Bạn xác định hai điểm thuộc đồ thị thì đường thẳng đi qua chúng chính là đồ thị cần vẽ. Đây là tính chất hình học cơ bản nhất: hai điểm xác định một đường thẳng. Bạn hãy nhớ: hai điểm là đủ, một điểm thì chưa đủ, ba điểm thì thừa.
Hỏi: Nên chọn hai điểm nào để vẽ cho nhanh và chính xác?
Đáp: Bạn hãy chọn giao điểm với trục Oy (0, b) làm điểm thứ nhất, vì tính được ngay mà không cần chọn số liệu. Điểm thứ hai, bạn chọn x = 1 hoặc x = −1 rồi tính y, sao cho y ra số nguyên đẹp. Bạn tránh chọn điểm có tọa độ là phân số, vì khó xác định chính xác trên giấy kẻ ô. Và bạn hãy chọn hai điểm cách nhau ít nhất ba ô để đường thẳng kẻ ra không bị lệch.
Hỏi: Đồ thị của hàm số y = ax (b = 0) vẽ thế nào?
Đáp: Đồ thị của hàm số y = ax luôn đi qua gốc tọa độ O(0, 0). Bạn lấy gốc tọa độ làm điểm thứ nhất, rồi chọn thêm một điểm nữa — thường là (1, a) — làm điểm thứ hai, rồi kẻ đường thẳng qua hai điểm đó. Bạn hãy nhớ: khi b = 0 thì hai giao điểm với hai trục trùng nhau tại gốc tọa độ, nên bạn không thể dùng hai giao điểm làm hai điểm vẽ nữa mà phải chọn thêm một điểm khác.
Hỏi: Làm sao kiểm tra đồ thị mình vừa vẽ có đúng không?
Đáp: Bạn có ba cách kiểm tra. Cách thứ nhất: xem chiều của đồ thị có khớp với tính đồng biến, nghịch biến không — a lớn hơn 0 thì đồ thị đi lên, a nhỏ hơn 0 thì đồ thị đi xuống. Cách thứ hai: lấy một điểm thứ ba thuộc đồ thị, ví dụ cho x = 2 rồi tính y, xem điểm đó có nằm trên đường thẳng bạn vừa vẽ không. Cách thứ ba: xem giao điểm với hai trục có khớp với tính toán không — đường thẳng phải cắt Oy tại (0, b) và cắt Ox tại (−b/a, 0). Bạn hãy dùng ít nhất một trong ba cách này trước khi nộp bài.
Hỏi: Vẽ đồ thị dùng để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Bạn sẽ dùng đồ thị để giải phương trình và hệ phương trình bằng hình học, để tìm giao điểm của hai đường thẳng, để xét vị trí tương đối của hai đồ thị — song song hay cắt nhau. Trong đời sống, đồ thị giúp bạn nhìn thấy xu hướng: giá cả tăng hay giảm, doanh thu lên hay xuống, chỉ bằng một cái nhìn. Bài này là bước đầu tiên để bạn đọc được ngôn ngữ hình học của hàm số, và bạn sẽ dùng nó suốt cả chương trình Toán 9. Nếu muốn ôn lại tính đồng biến, nghịch biến để kiểm tra chiều của đồ thị, bạn hãy xem lại bài xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất.
8. Kết luận
Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất chỉ gói gọn trong bốn bước: tìm hai điểm, vẽ mặt phẳng tọa độ, xác định hai điểm lên mặt phẳng, kẻ đường thẳng qua hai điểm và kéo dài hai đầu. Hai điểm đẹp nhất là giao điểm với trục Oy (0, b) và một điểm có tọa độ nguyên mà bạn chọn, ví dụ cho x = 1 rồi tính y. Bạn hãy nhớ ba thói quen vàng: tính đủ hai điểm trước khi đặt thước kẻ, chọn hai điểm cách nhau ít nhất ba ô, và kiểm tra chiều của đồ thị với tính đồng biến, nghịch biến sau khi vẽ xong. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để vẽ đồ thị của mọi hàm số bậc nhất — và bạn cũng đã hoàn thành cả chùm bài về hàm số bậc nhất, từ định nghĩa, tính đồng biến, nghịch biến tới cách vẽ đồ thị.