Bạn gửi tiết kiệm 10 triệu đồng với lãi suất đơn giản: mỗi tháng, số tiền trong sổ tăng thêm 200 nghìn đồng. Tháng thứ nhất bạn có 10,2 triệu, tháng thứ hai 10,4 triệu, tháng thứ ba 10,6 triệu — tháng càng về sau, tiền càng nhiều lên. Ngược lại, một chiếc xe máy mới mua 40 triệu đồng, mỗi năm mất giá 5 triệu đồng: năm thứ nhất còn 35 triệu, năm thứ hai còn 30 triệu, năm thứ ba còn 25 triệu — năm càng về sau, giá trị càng giảm xuống. Hai câu chuyện này đều là hàm số bậc nhất, nhưng một hàm đi lên, một hàm đi xuống. Bài hôm nay sẽ dạy bạn cách đọc ngay "tính cách" của một hàm số bậc nhất chỉ bằng cách nhìn vào một con số duy nhất: hệ số a.
Bạn sẽ học định nghĩa đồng biến và nghịch biến, công thức xét dấu của hệ số a, cách lập bảng giá trị để nhìn thấy sự tăng giảm bằng mắt thường, rồi luyện bốn ví dụ tính từng bước — trong đó có ví dụ gốc y = 2x + 1 đồng biến và y = −3x + 2 nghịch biến — năm lỗi sai thường gặp, năm bài tập trắc nghiệm có giải thích cặn kẽ và năm câu hỏi thường gặp. Bài này là nền tảng của bài tiếp theo về cách vẽ đồ thị, vì biết hàm số đi lên hay đi xuống thì bạn mới vẽ đúng chiều của đường thẳng. Nếu bạn chưa nắm định nghĩa hàm số bậc nhất, hãy xem lại bài tìm tỉ số, tỉ số phần trăm để ôn lại cách một đại lượng thay đổi theo một đại lượng khác, và bài giá trị tuyệt đối của một số thực để nắm vững cách so sánh các số.
1. Đồng biến và nghịch biến là gì?
Bạn hãy tưởng tượng mình đang đi trên một con đường: nếu đường đi lên dốc thì bạn càng đi càng cao, nếu đường đi xuống dốc thì bạn càng đi càng thấp. Hàm số cũng vậy. Một hàm số được gọi là đồng biến trên R nếu khi x tăng thì y cũng tăng: bạn lấy hai giá trị x1 nhỏ hơn x2 bất kì thì luôn có f(x1) nhỏ hơn f(x2). Một hàm số được gọi là nghịch biến trên R nếu khi x tăng thì y lại giảm: bạn lấy x1 nhỏ hơn x2 thì luôn có f(x1) lớn hơn f(x2). Từ "đồng" có nghĩa là cùng chiều, từ "nghịch" có nghĩa là ngược chiều — đồng biến là x và y cùng tăng, nghịch biến là x tăng mà y giảm.
Bạn hãy nhìn vào hai câu chuyện ở đầu bài. Sổ tiết kiệm: tháng tăng thì tiền tăng — đó là hàm số đồng biến. Chiếc xe máy: năm tăng thì giá trị giảm — đó là hàm số nghịch biến. Trong đời sống, bạn gặp hai kiểu biến thiên này khắp nơi: nhiệt độ tăng theo giờ trong buổi sáng là đồng biến, lượng pin giảm theo thời gian dùng là nghịch biến, quãng đường tăng theo thời gian khi xe chạy đều là đồng biến, lượng nước trong bể giảm theo thời gian xả là nghịch biến. Mỗi khi bạn thấy một đại lượng thay đổi theo một đại lượng khác, bạn hãy hỏi: chúng cùng tăng hay ngược chiều nhau? Trả lời được câu này là bạn đã hiểu bản chất của đồng biến và nghịch biến, trước khi chạm tới bất kì công thức nào.
Một điểm quan trọng bạn cần nhớ: với hàm số bậc nhất, tính đồng biến hay nghịch biến là tính chất trên toàn bộ tập số thực R, không phải chỉ trên một khoảng nào đó. Hàm số y = 2x + 1 đồng biến ở mọi nơi — từ âm vô cùng tới dương vô cùng, x càng lớn thì y càng lớn. Hàm số y = −3x + 2 nghịch biến ở mọi nơi — x càng lớn thì y càng nhỏ. Điều này khác với hàm số y = ax² mà bạn sẽ học sau, khi tính đồng biến, nghịch biến còn phụ thuộc vào x âm hay x dương. Với hàm số bậc nhất, bạn chỉ cần nhìn dấu của a là biết ngay tính chất trên toàn bộ R.
2. Công thức: chỉ cần nhìn dấu của hệ số a
Đây là công thức ngắn gọn nhất trong cả loạt bài công thức Toán 9: cho hàm số bậc nhất y = ax + b với a khác 0, nếu a lớn hơn 0 thì hàm số đồng biến trên R, nếu a nhỏ hơn 0 thì hàm số nghịch biến trên R. Bạn không cần tính toán gì thêm, không cần lập bảng, không cần vẽ đồ thị — chỉ cần nhìn dấu của hệ số a. Hệ số b không ảnh hưởng gì tới tính đồng biến hay nghịch biến, nó chỉ quyết định đồ thị cắt trục Oy ở đâu mà thôi. Vì vậy khi xét tính đồng biến, nghịch biến, bạn hãy che số b lại và chỉ nhìn số a.
| Dấu của a | Tính chất | Khi x tăng thì y | Đồ thị |
|---|---|---|---|
| a > 0 | Đồng biến trên R | Tăng theo | Đi lên từ trái sang phải |
| a < 0 | Nghịch biến trên R | Giảm xuống | Đi xuống từ trái sang phải |
Vì sao công thức này đúng? Bạn hãy lấy hai giá trị x1 nhỏ hơn x2, rồi tính hiệu f(x2) − f(x1) = (a·x2 + b) − (a·x1 + b) = a·(x2 − x1). Vì x2 lớn hơn x1 nên x2 − x1 là số dương. Nếu a lớn hơn 0 thì tích a·(x2 − x1) là số dương, tức là f(x2) lớn hơn f(x1) — y tăng theo x, hàm số đồng biến. Nếu a nhỏ hơn 0 thì tích là số âm, tức là f(x2) nhỏ hơn f(x1) — y giảm khi x tăng, hàm số nghịch biến. Bạn thấy không: toàn bộ tính chất chỉ phụ thuộc vào dấu của a, vì x2 − x1 luôn dương. Đây là một chứng minh ngắn mà bạn hoàn toàn có thể tự làm lại trong vài dòng.
3. Nhìn bằng mắt: bảng giá trị nói lên tất cả
Nếu bạn vẫn chưa tin công thức chỉ cần nhìn dấu của a, hãy lập bảng giá trị và nhìn bằng mắt thường. Với hàm số y = 2x + 1, bạn tính: x = −2 thì y = −3, x = −1 thì y = −1, x = 0 thì y = 1, x = 1 thì y = 3, x = 2 thì y = 5. Bạn thấy y tăng dần đều, mỗi lần x tăng 1 thì y tăng 2 — đúng bằng hệ số a. Với hàm số y = −3x + 2, bạn tính: x = −2 thì y = 8, x = −1 thì y = 5, x = 0 thì y = 2, x = 1 thì y = −1, x = 2 thì y = −4. Bạn thấy y giảm dần đều, mỗi lần x tăng 1 thì y giảm 3 — đúng bằng trị tuyệt đối của hệ số a.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y = 2x + 1 | −3 | −1 | 1 | 3 | 5 |
| y = −3x + 2 | 8 | 5 | 2 | −1 | −4 |
Bảng giá trị còn cho bạn thấy một điều rất hay: khi x tăng thêm 1 thì y tăng thêm đúng a đơn vị. Nếu a = 2 thì y tăng 2, nếu a = −3 thì y giảm 3, nếu a = 0,5 thì y tăng 0,5. Vì vậy hệ số a còn được gọi là hệ số góc — nó đo độ dốc của đồ thị: a càng lớn thì đồ thị càng dốc lên, a càng âm thì đồ thị càng dốc xuống. Bạn hãy nhớ mối liên hệ này, vì bài tiếp theo về cách vẽ đồ thị sẽ dùng nó rất nhiều. Khi cần tính nhanh các giá trị trong bảng, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ tính toán.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (ví dụ gốc): Xét tính đồng biến, nghịch biến của y = 2x + 1 và y = −3x + 2.
Với hàm số y = 2x + 1, hệ số a = 2 lớn hơn 0 nên hàm số đồng biến trên R. Bạn kiểm chứng bằng bảng giá trị: x = 0 thì y = 1, x = 1 thì y = 3, x = 2 thì y = 5 — y tăng theo x, đúng là đồng biến. Với hàm số y = −3x + 2, hệ số a = −3 nhỏ hơn 0 nên hàm số nghịch biến trên R. Bạn kiểm chứng: x = 0 thì y = 2, x = 1 thì y = −1, x = 2 thì y = −4 — y giảm khi x tăng, đúng là nghịch biến. Hai hàm số này là hai ví dụ gốc của bài, bạn hãy thuộc lòng chúng như hai mẫu chuẩn: a dương thì đi lên, a âm thì đi xuống.
Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = (m − 1)x + 2 đồng biến trên R.
Bạn áp dụng công thức: hàm số đồng biến khi hệ số của x lớn hơn 0, tức là m − 1 lớn hơn 0. Bạn giải bất phương trình: m − 1 > 0 nên m > 1. Vậy với mọi m lớn hơn 1, hàm số đồng biến trên R. Bạn kiểm tra bằng một giá trị cụ thể: lấy m = 3 thì hàm số thành y = 2x + 2, hệ số a = 2 lớn hơn 0 nên đồng biến, đúng. Lấy m = 0 thì hàm số thành y = −x + 2, hệ số a = −1 nhỏ hơn 0 nên nghịch biến, đúng vì 0 không lớn hơn 1. Bạn hãy nhớ: dạng bài tìm m này xuất hiện rất nhiều trong đề kiểm tra, và cách làm chỉ có hai bước — viết điều kiện a lớn hơn 0 hoặc a nhỏ hơn 0, rồi giải bất phương trình.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = −x + 5, so sánh f(−2) và f(3).
Hệ số a = −1 nhỏ hơn 0 nên hàm số nghịch biến trên R. Vì −2 nhỏ hơn 3 mà hàm số nghịch biến nên f(−2) lớn hơn f(3). Bạn kiểm chứng bằng cách tính trực tiếp: f(−2) = −(−2) + 5 = 2 + 5 = 7, f(3) = −3 + 5 = 2, và 7 lớn hơn 2, đúng như dự đoán. Bạn hãy để ý: nhờ biết tính nghịch biến, bạn so sánh được hai giá trị của hàm số mà không cần tính chúng ra — chỉ cần so sánh hai giá trị của x rồi đảo chiều bất đẳng thức. Đây là một kĩ năng rất hay dùng trong bài tập trắc nghiệm, giúp bạn trả lời nhanh mà không cần tính toán.
Ví dụ 4: Hàm số y = 5x − 3, hỏi khi x tăng thêm 2 thì y tăng hay giảm bao nhiêu?
Bạn dùng tính chất đã học: khi x tăng thêm 1 thì y tăng thêm a = 5, nên khi x tăng thêm 2 thì y tăng thêm 5·2 = 10. Bạn kiểm chứng: lấy x = 1 thì y = 2, lấy x = 3 thì y = 12, hiệu y là 12 − 2 = 10, đúng. Bạn hãy nhớ công thức tổng quát: khi x tăng thêm Δx thì y tăng thêm a·Δx. Nếu a dương thì y tăng, nếu a âm thì y giảm với lượng bằng trị tuyệt đối của a·Δx. Công thức này giúp bạn trả lời nhanh các câu hỏi về sự thay đổi của hàm số mà không cần lập bảng giá trị.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhìn vào hệ số b thay vì hệ số a.
Nhiều bạn thấy hàm số y = 2x − 5 có b = −5 âm nên kết luận hàm số nghịch biến. Sai: tính đồng biến, nghịch biến chỉ phụ thuộc vào a, không phụ thuộc vào b. Hàm số y = 2x − 5 có a = 2 lớn hơn 0 nên đồng biến, dù b âm. Cách tránh: khi xét tính đồng biến, nghịch biến, bạn hãy che số b lại và chỉ nhìn số a. Bạn hãy tập thói quen khoanh tròn hệ số a ngay khi đọc đề, rồi mới kết luận.
Lỗi 2: Quên điều kiện a khác 0.
Nhiều bạn gặp hàm số y = (m − 2)x + 3 rồi kết luận đồng biến khi m lớn hơn 2 mà quên mất trường hợp m = 2 thì hàm số không còn là hàm số bậc nhất nữa — nó trở thành hàm hằng y = 3, không đồng biến cũng không nghịch biến. Cách tránh: khi tìm m, bạn hãy nhớ điều kiện a khác 0 luôn đi kèm. Với bài tìm m để đồng biến, điều kiện m lớn hơn 2 đã tự động loại trừ m = 2, nhưng với bài tìm m để hàm số là hàm số bậc nhất thì bạn phải ghi rõ m khác 2.
Lỗi 3: Đảo chiều bất đẳng thức khi so sánh giá trị hàm số.
Nhiều bạn biết hàm số nghịch biến nhưng khi so sánh f(−2) và f(3) lại viết f(−2) nhỏ hơn f(3), quên đảo chiều. Cách tránh: bạn hãy nhớ câu thần chú "nghịch biến thì đảo chiều": x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2). Bạn hãy viết hai dòng: dòng thứ nhất so sánh x, dòng thứ hai so sánh f(x) với chiều đảo ngược. Viết đủ hai dòng thì bạn không bao giờ quên đảo chiều nữa.
Lỗi 4: Nhầm đồng biến với đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Nhiều bạn vẽ đồ thị rồi nhìn nhầm chiều: thấy đường thẳng đi xuống mà kết luận đồng biến vì tưởng "đi xuống" là "đi lên" theo chiều ngược lại. Cách tránh: bạn hãy luôn đọc đồ thị từ trái sang phải, giống như đọc một câu văn. Đường thẳng đi lên khi đọc từ trái sang phải là đồng biến, đi xuống là nghịch biến. Bạn hãy đặt ngón tay ở phía trái của đồ thị rồi trượt sang phải, cảm nhận độ cao tăng hay giảm — cảm giác này không bao giờ lừa bạn.
Lỗi 5: Kết luận hàm số đồng biến trên một khoảng thay vì trên R.
Nhiều bạn viết "hàm số đồng biến khi x lớn hơn 0" — sai, vì hàm số bậc nhất đồng biến trên toàn bộ R, không chỉ khi x lớn hơn 0. Lỗi này xuất phát từ việc nhầm với hàm số y = ax², khi tính đồng biến, nghịch biến còn phụ thuộc vào dấu của x. Cách tránh: với hàm số bậc nhất, bạn hãy luôn viết đầy đủ "đồng biến trên R" hoặc "nghịch biến trên R". Bạn hãy nhớ: a lớn hơn 0 thì đồng biến trên R, a nhỏ hơn 0 thì nghịch biến trên R — không có khoảng nào khác.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ khoanh tròn hệ số a trước khi kết luận — chỉ nhìn a, không nhìn b.
Câu 1: Hàm số y = 2x + 1 đồng biến hay nghịch biến trên R?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Không đổi
D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến
Câu 2: Hàm số y = −3x + 2 đồng biến hay nghịch biến trên R?
A. Đồng biến
B. Nghịch biến
C. Hằng
D. Không xác định
Câu 3: Hàm số y = (m − 1)x + 2 đồng biến trên R khi m thỏa mãn điều kiện nào?
A. m < 1
B. m = 1
C. m > 1
D. m ≠ 1
Câu 4: Cho hàm số y = −x + 5. So sánh f(−2) và f(3).
A. f(−2) > f(3)
B. f(−2) < f(3)
C. f(−2) = f(3)
D. Không so sánh được
Câu 5: Hàm số y = 5x − 3. Khi x tăng thêm 2 thì y tăng thêm bao nhiêu?
A. 5
B. 2
C. 10
D. 7
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | A | C |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (Đồng biến) đúng: Hệ số a = 2 lớn hơn 0 nên hàm số đồng biến trên R. Đáp án B (Nghịch biến) sai vì nghịch biến xảy ra khi a nhỏ hơn 0, mà ở đây a = 2 lớn hơn 0. Đáp án C (Không đổi) sai vì hàm số chỉ không đổi khi a = 0, mà ở đây a = 2 khác 0. Đáp án D (Vừa đồng biến vừa nghịch biến) sai vì một hàm số bậc nhất không thể vừa đồng biến vừa nghịch biến trên R.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (Nghịch biến) đúng: Hệ số a = −3 nhỏ hơn 0 nên hàm số nghịch biến trên R. Đáp án A (Đồng biến) sai vì đồng biến xảy ra khi a lớn hơn 0, mà ở đây a = −3 nhỏ hơn 0. Đáp án C (Hằng) sai vì hàm số chỉ là hàm hằng khi a = 0, mà ở đây a = −3 khác 0. Đáp án D (Không xác định) sai vì hàm số bậc nhất xác định với mọi x thuộc R.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (m > 1) đúng: Hàm số đồng biến khi hệ số của x lớn hơn 0, tức là m − 1 > 0, nên m > 1. Đáp án A (m < 1) sai vì m < 1 thì m − 1 < 0, hàm số nghịch biến chứ không đồng biến. Đáp án B (m = 1) sai vì m = 1 thì hệ số của x bằng 0, hàm số trở thành hàm hằng y = 2, không đồng biến. Đáp án D (m ≠ 1) sai vì m ≠ 1 chỉ đảm bảo hàm số là hàm số bậc nhất, chưa đủ để kết luận đồng biến — ví dụ m = 0 thì hàm số nghịch biến.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (f(−2) > f(3)) đúng: Hệ số a = −1 nhỏ hơn 0 nên hàm số nghịch biến trên R. Vì −2 nhỏ hơn 3 mà hàm số nghịch biến nên f(−2) lớn hơn f(3). Bạn kiểm chứng: f(−2) = 7, f(3) = 2, và 7 lớn hơn 2. Đáp án B (f(−2) < f(3)) sai vì bạn đã quên đảo chiều bất đẳng thức khi hàm số nghịch biến. Đáp án C (f(−2) = f(3)) sai vì hai giá trị x khác nhau thì hai giá trị y cũng khác nhau khi a khác 0. Đáp án D (Không so sánh được) sai vì bạn luôn so sánh được nhờ tính nghịch biến.
Giải thích Câu 5 — Đáp án C (10) đúng: Khi x tăng thêm 1 thì y tăng thêm a = 5, nên khi x tăng thêm 2 thì y tăng thêm 5·2 = 10. Đáp án A (5) sai vì 5 là lượng y tăng khi x tăng thêm 1, không phải khi x tăng thêm 2. Đáp án B (2) sai vì 2 là lượng x tăng, không phải lượng y tăng. Đáp án D (7) sai vì 7 = 5 + 2, bạn đã cộng nhầm hai con số không cùng ý nghĩa.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Hệ số b có ảnh hưởng gì tới tính đồng biến, nghịch biến không?
Đáp: Không. Tính đồng biến, nghịch biến chỉ phụ thuộc vào dấu của hệ số a. Hệ số b chỉ quyết định đồ thị cắt trục Oy ở điểm nào — b càng lớn thì giao điểm càng cao, b càng nhỏ thì giao điểm càng thấp. Bạn hãy nhớ: xét tính đồng biến, nghịch biến thì chỉ nhìn a; tìm giao điểm với Oy thì mới nhìn b. Hai việc này dùng hai hệ số khác nhau, đừng trộn lẫn chúng với nhau.
Hỏi: Hàm số y = 3 có đồng biến hay nghịch biến không?
Đáp: Không đồng biến cũng không nghịch biến — đó là hàm hằng, vì a = 0 nên y luôn bằng 3 dù x thay đổi thế nào. Hàm hằng không phải là hàm số bậc nhất theo định nghĩa chặt chẽ, vì định nghĩa yêu cầu a khác 0. Khi bạn gặp hàm số mà hệ số của x bằng 0, bạn hãy kết luận ngay đó là hàm hằng, không xét đồng biến hay nghịch biến nữa.
Hỏi: Làm sao phân biệt đồng biến với nghịch biến khi nhìn vào đồ thị?
Đáp: Bạn đọc đồ thị từ trái sang phải: đường thẳng đi lên là đồng biến, đi xuống là nghịch biến. Bạn cũng có thể nhìn vào hệ số a: a lớn hơn 0 thì đồ thị đi lên, a nhỏ hơn 0 thì đồ thị đi xuống. Hai cách này luôn khớp nhau, vì đồ thị của hàm số bậc nhất là đường thẳng có hệ số góc a. Bài tiếp theo sẽ dạy bạn vẽ đồ thị, và khi đó bạn sẽ thấy mối liên hệ này rõ ràng hơn bao giờ hết.
Hỏi: Vì sao phải xét tính đồng biến, nghịch biến trước khi vẽ đồ thị?
Đáp: Vì biết hàm số đi lên hay đi xuống thì bạn mới vẽ đúng chiều của đường thẳng, và mới kiểm tra được hai điểm mình tính có hợp lí không. Ví dụ hàm số y = 2x + 1 đồng biến, nếu bạn tính ra hai điểm mà điểm bên phải thấp hơn điểm bên trái thì chắc chắn bạn đã tính sai một điểm. Tính đồng biến, nghịch biến là một công cụ kiểm tra rất nhanh trước khi bạn đặt bút vẽ đồ thị trong bài cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất.
Hỏi: Tính đồng biến, nghịch biến dùng để làm gì trong đời sống?
Đáp: Để dự đoán xu hướng: tiền tiết kiệm tăng theo thời gian là đồng biến nên bạn biết càng để lâu càng nhiều tiền; giá trị xe giảm theo thời gian là nghịch biến nên bạn biết càng để lâu càng mất giá. Trong kinh doanh, người ta dùng tính đồng biến, nghịch biến để biết doanh thu tăng hay giảm khi giá tăng, để quyết định nên tăng giá hay giảm giá. Mọi quyết định "càng làm càng được" hay "càng làm càng mất" đều là bài toán đồng biến, nghịch biến trong đời sống.
8. Kết luận
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất y = ax + b chỉ gói gọn trong một câu: a lớn hơn 0 thì đồng biến trên R, a nhỏ hơn 0 thì nghịch biến trên R. Bạn không cần tính toán gì thêm — chỉ cần nhìn dấu của hệ số a. Bạn hãy nhớ ba thói quen vàng: khoanh tròn hệ số a ngay khi đọc đề, che số b lại để nó không làm bạn phân tâm, và kiểm tra bằng bảng giá trị khi nghi ngờ. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xét tính đồng biến, nghịch biến của mọi hàm số bậc nhất — và bạn cũng đã sẵn sàng cho bài tiếp theo, nơi bạn sẽ biến những con số này thành đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.