Bạn có một khối rubik nhỏ và một chiếc hộp quà hình lập phương. Khối rubik có thể tích 27 cm³, chiếc hộp có thể tích 64 cm³. Hỏi cạnh của mỗi khối dài bao nhiêu? Với khối rubik, bạn thử nhẩm: số nào nhân với chính nó ba lần thì bằng 27? 3 × 3 × 3 = 27, vậy cạnh dài 3 cm. Với chiếc hộp, 4 × 4 × 4 = 64, vậy cạnh dài 4 cm. Phép toán ngược của "lập phương một số" mà bạn vừa làm chính là lấy căn bậc ba — và bài viết này sẽ dạy bạn dùng nó thành thạo như dùng căn bậc hai.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", căn bậc ba và căn thức bậc ba nằm trong Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba, ở Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba. Bài học này nối tiếp Bài 8 (Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia) và là bước chuẩn bị cho Bài 11 (Tỉ số lượng giác của góc nhọn) — nơi bạn sẽ gặp những con số mà chỉ căn bậc hai không đủ để diễn tả. Học xong bài này, bạn sẽ tính được căn bậc ba của bất kì số thực nào — kể cả số âm — và hiểu vì sao căn bậc ba "dễ tính" hơn căn bậc hai ở một điểm rất quan trọng: nó xác định với mọi số thực, không cần điều kiện gì thêm.
1. Căn bậc ba là gì? Định nghĩa và điểm khác biệt lớn nhất với căn bậc hai
Căn bậc ba của số thực a là số thực x thỏa mãn x³ = a. Công thức viết gọn là ³√a = x ⇔ x³ = a. Căn bậc ba của số a được kí hiệu là ³√a, trong đó số 3 nhỏ ở phía trên dấu căn được gọi là chỉ số của căn. Phép tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba. Bạn hãy đọc kĩ định nghĩa này: căn bậc ba là số mà khi lập phương lên thì bằng số ban đầu — giống như căn bậc hai là số mà khi bình phương lên thì bằng số ban đầu, chỉ khác là ở đây lũy thừa là 3 thay vì 2.
Điểm khác biệt lớn nhất giữa căn bậc ba và căn bậc hai nằm ở điều kiện xác định. Căn bậc hai √a chỉ xác định khi a ≥ 0 — bạn không thể lấy căn bậc hai của −4 trong tập số thực, vì không có số thực nào bình phương lên bằng −4. Nhưng căn bậc ba ³√a thì xác định với mọi số thực a, kể cả số âm. Vì sao? Vì lập phương một số âm vẫn ra số âm: (−2)³ = −8, nên ³√(−8) = −2 hoàn toàn hợp lệ. Mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc ba — số dương có căn bậc ba dương, số âm có căn bậc ba âm, và ³√0 = 0. Bạn hãy ghi nhớ điểm này, vì nó là câu hỏi trắc nghiệm "bẫy" xuất hiện rất thường xuyên.
Từ định nghĩa, ta có ngay hai nhận xét quan trọng mà bạn sẽ dùng suốt bài này. Thứ nhất, với mọi số thực a, ta có (³√a)³ = a — lập phương căn bậc ba của một số thì trở lại số đó. Thứ hai, với mọi số thực a, ta có ³√(a³) = a — căn bậc ba của lập phương một số thì trở lại số đó. Bạn hãy chú ý: ³√(a³) = a đúng với mọi a, kể cả a âm — khác hẳn với √(a²) = |a| của căn bậc hai, nơi bạn phải thêm dấu giá trị tuyệt đối. Nếu muốn ôn lại quy tắc giá trị tuyệt đối đó, bạn hãy xem lại bài giá trị tuyệt đối của một số thực.
Một nhận xét nữa cũng rất hữu ích: ³√(−a) = −³√a với mọi số thực a. Căn bậc ba của số đối thì bằng số đối của căn bậc ba — dấu trừ "đi xuyên" qua dấu căn bậc ba một cách tự do. Ví dụ ³√(−27) = −³√27 = −3. Tính chất này không có ở căn bậc hai, vì căn bậc hai của số âm vốn không tồn tại. Bạn hãy nhớ kĩ ba nhận xét này, vì chúng là chìa khóa để rút gọn nhanh mọi biểu thức chứa căn bậc ba.
2. Căn thức bậc ba: khi nào một biểu thức có nghĩa?
Khi a là một biểu thức đại số, người ta gọi ³√A là căn thức bậc ba của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. Ví dụ ³√(x + 1), ³√(2x − 5) đều là căn thức bậc ba. Điều kiện xác định của căn thức bậc ba chính là điều kiện xác định của biểu thức A — vì căn bậc ba xác định với mọi số thực nên bạn không cần thêm điều kiện A ≥ 0 như với căn thức bậc hai. Ví dụ căn thức ³√(x − 7) xác định với mọi giá trị của x, trong khi √(x − 7) chỉ xác định khi x ≥ 7. Đây là điểm khác biệt mà bạn phải nắm chắc để không bị nhầm khi làm bài tập tìm điều kiện xác định.
Để tính giá trị của một căn thức bậc ba tại những giá trị cho trước của biến, bạn chỉ cần thay giá trị đó vào biểu thức dưới dấu căn rồi tính căn bậc ba của kết quả. Ví dụ tính giá trị của ³√(x + 1) tại x = 7: thay x = 7 vào được ³√8 = 2, vì 2³ = 8. Tính giá trị của ³√(x − 9) tại x = 1: thay x = 1 vào được ³√(−8) = −2, vì (−2)³ = −8. Bạn thấy không, không có bước kiểm tra điều kiện nào ở đây cả — cứ thay số vào rồi tính, đơn giản hơn hẳn căn thức bậc hai.
Bạn cũng có thể tính căn bậc ba của một số bằng máy tính cầm tay. Trên máy tính Casio fx-570VN PLUS hay fx-580VN X, bạn bấm phím SHIFT rồi bấm phím x³ (hoặc phím ³√) rồi nhập số cần tính. Ví dụ để tính ³√25, bạn bấm SHIFT + x³ rồi nhập 25, máy cho kết quả xấp xỉ 2,924. Nếu cần tính nhanh các giá trị gần đúng như thế này, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ. Nhưng trong bài kiểm tra, bạn nên thuộc lòng căn bậc ba của các số lập phương quen thuộc: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 — tương ứng với 1³, 2³, 3³, 4³, 5³, 6³, 7³, 8³, 9³, 10³.
3. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Tính ³√27 và ³√(−8).
Đây là ví dụ gốc của bài. Tìm số mà lập phương lên bằng 27: 3³ = 27, vậy ³√27 = 3.
Tìm số mà lập phương lên bằng −8: (−2)³ = −8, vậy ³√(−8) = −2.
Bạn hãy chú ý: căn bậc ba của số âm là số âm, không phải "không tồn tại" như căn bậc hai.
Ví dụ 2 (số lớn): Tính ³√64 và ³√(−125).
4³ = 64, vậy ³√64 = 4.
(−5)³ = −125, vậy ³√(−125) = −5.
Bạn có thể kiểm tra bằng tính chất ³√(−a) = −³√a: ³√(−125) = −³√125 = −5 — khớp nhau.
Ví dụ 3 (căn thức bậc ba): Tính giá trị của căn thức ³√(x + 1) tại x = 7 và x = −9.
Tại x = 7: ³√(7 + 1) = ³√8 = 2, vì 2³ = 8.
Tại x = −9: ³√(−9 + 1) = ³√(−8) = −2, vì (−2)³ = −8.
Cả hai giá trị đều tính được, vì căn thức bậc ba xác định với mọi x.
Ví dụ 4 (rút gọn): Rút gọn biểu thức ³√(54).
Phân tích 54 thành 27 × 2, trong đó 27 = 3³ là một lập phương hoàn hảo.
³√54 = ³√(27 × 2) = ³√27 × ³√2 = 3³√2.
Vậy ³√54 = 3³√2. Cách làm này giống như đưa thừa số ra ngoài dấu căn bậc hai: bạn tách phần lập phương hoàn hảo ra, lấy căn bậc ba của nó, còn phần còn lại giữ nguyên trong căn.
4. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Tưởng căn bậc ba của số âm không tồn tại.
Nhiều bạn viết ³√(−8) là "không tồn tại" vì quen với căn bậc hai. Nhưng (−2)³ = −8 nên ³√(−8) = −2 hoàn toàn tồn tại. Cách tránh: bạn hãy nhớ câu thần chú "căn bậc ba xác định với mọi số thực" — số âm vẫn có căn bậc ba, và căn bậc ba của số âm là số âm.
Lỗi 2: Nhầm căn bậc ba với căn bậc hai.
Nhiều bạn tính ³√9 = 3 — sai, vì 3³ = 27 chứ không phải 9. Số 3 là căn bậc hai của 9, không phải căn bậc ba. Cách tránh: mỗi lần thấy dấu căn có chỉ số 3, bạn hãy tự hỏi "số nào nhân với chính nó BA lần thì bằng số trong căn?" — đếm đủ ba lần, không được dừng ở hai lần.
Lỗi 3: Viết ³√(a³) = |a|.
Nhiều bạn áp dụng thói quen từ căn bậc hai và viết ³√((−2)³) = |−2| = 2 — sai, vì ³√((−2)³) = −2. Lập phương giữ nguyên dấu nên căn bậc ba cũng giữ nguyên dấu, không cần giá trị tuyệt đối. Cách tránh: bạn hãy nhớ cặp đối lập này: √(a²) = |a| nhưng ³√(a³) = a — lũy thừa chẵn cần trị tuyệt đối, lũy thừa lẻ thì không.
Lỗi 4: Quên chỉ số 3 của căn.
Nhiều bạn viết √27 = 3 — sai, vì √27 ≈ 5,196 chứ không phải 3. Chỉ số 3 nhỏ ở phía trên dấu căn không phải để trang trí: nó quyết định bạn phải lập phương hay bình phương để kiểm tra. Cách tránh: khi chép đề, bạn hãy viết chỉ số 3 thật rõ, và khi làm bài, bạn hãy kiểm tra lại bằng phép lập phương: 3³ = 27 thì mới kết luận ³√27 = 3.
Lỗi 5: Đặt điều kiện xác định thừa cho căn thức bậc ba.
Nhiều bạn viết căn thức ³√(x − 5) xác định khi x ≥ 5 — sai, vì căn bậc ba không cần điều kiện này. Cách tránh: bạn hãy phân biệt rõ hai loại căn thức: √(x − 5) cần x ≥ 5, còn ³√(x − 5) xác định với mọi x. Nếu muốn ôn lại điều kiện xác định của căn thức bậc hai, bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm.
5. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kiểm tra lại mỗi đáp án bằng phép lập phương — lập phương đáp án lên phải bằng đúng số trong căn.
Câu 1: Giá trị của ³√64 bằng bao nhiêu?
A. 8
B. 32
C. 4
D. 16
Câu 2: Giá trị của ³√(−27) bằng bao nhiêu?
A. 3
B. −9
C. −3
D. Không tồn tại
Câu 3: Với mọi số thực x, ³√(x³) bằng bao nhiêu?
A. x
B. |x|
C. x³
D. −x
Câu 4: Một khối lập phương có thể tích 125 cm³. Cạnh của khối lập phương đó dài bao nhiêu?
A. 25 cm
B. 5 cm
C. 15 cm
D. 11 cm
Câu 5: Rút gọn ³√54 ta được kết quả nào sau đây?
A. 3³√2
B. 2³√3
C. 6
D. 9³√2
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | C | C | A | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án C (4) đúng: 4³ = 64 nên ³√64 = 4. Đáp án A (8) sai vì 8³ = 512, không phải 64 — 8 là căn bậc hai của 64 chứ không phải căn bậc ba. Đáp án B (32) sai vì 32³ là một số rất lớn. Đáp án D (16) sai vì 16³ = 4096.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (−3) đúng: (−3)³ = −27 nên ³√(−27) = −3. Đáp án A (3) sai vì 3³ = 27 (dương), không phải −27. Đáp án B (−9) sai vì (−9)³ = −729. Đáp án D sai vì căn bậc ba của số âm tồn tại — ³√(−27) = −3.
Giải thích Câu 3 — Đáp án A (x) đúng: Với mọi số thực x, ³√(x³) = x — lập phương giữ nguyên dấu nên không cần giá trị tuyệt đối. Đáp án B (|x|) sai vì đó là công thức của căn bậc hai: √(x²) = |x|. Đáp án C (x³) sai vì chưa lấy căn. Đáp án D (−x) sai vì đổi dấu không đúng: với x = 2 thì ³√8 = 2, không phải −2.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (5 cm) đúng: Cạnh khối lập phương bằng căn bậc ba của thể tích: ³√125 = 5 vì 5³ = 125. Đáp án A (25 cm) sai vì 25³ = 15625. Đáp án C (15 cm) sai vì 15³ = 3375. Đáp án D (11 cm) sai vì 11³ = 1331.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (3³√2) đúng: 54 = 27 × 2 nên ³√54 = ³√27 × ³√2 = 3³√2. Đáp án B (2³√3) sai vì 2³ × 3 = 24, không phải 54. Đáp án C (6) sai vì 6³ = 216. Đáp án D (9³√2) sai vì 9³ × 2 = 1458.
6. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Căn bậc ba khác căn bậc hai ở những điểm nào?
Đáp: Ba điểm chính. Thứ nhất, căn bậc ba dùng lũy thừa 3 còn căn bậc hai dùng lũy thừa 2. Thứ hai, căn bậc ba xác định với mọi số thực còn căn bậc hai chỉ xác định với số không âm. Thứ ba, ³√(a³) = a với mọi a còn √(a²) = |a| — căn bậc ba không cần giá trị tuyệt đối.
Hỏi: Số 0 có căn bậc ba không?
Đáp: Có, ³√0 = 0 vì 0³ = 0. Số 0 là số duy nhất vừa là căn bậc hai vừa là căn bậc ba của chính nó.
Hỏi: Làm sao để tính căn bậc ba của một số không phải lập phương hoàn hảo, ví dụ ³√10?
Đáp: Bạn dùng máy tính cầm tay để được giá trị gần đúng: ³√10 ≈ 2,154. Trong bài kiểm tra, những số như vậy thường chỉ xuất hiện ở dạng rút gọn, ví dụ ³√10 giữ nguyên chứ không bắt tính số thập phân.
Hỏi: Căn thức bậc ba có cần điều kiện xác định không?
Đáp: Chỉ cần điều kiện xác định của biểu thức dưới dấu căn (ví dụ mẫu số khác 0 nếu có phân số). Riêng bản thân dấu căn bậc ba thì không đặt thêm điều kiện nào, vì nó xác định với mọi số thực.
Hỏi: Học căn bậc ba để làm gì?
Đáp: Để tính cạnh của khối lập phương khi biết thể tích, để giải phương trình dạng x³ = a, và để làm nền tảng cho chương trình lớp 10 — nơi bạn sẽ gặp căn bậc n tổng quát. Trong đời sống, căn bậc ba xuất hiện mỗi khi bạn làm việc với thể tích: từ tính kích thước hộp đựng hàng đến thiết kế bể nước hình lập phương.
7. Kết luận
Căn bậc ba của số thực a là số thực x thỏa mãn x³ = a, kí hiệu ³√a, và mỗi số thực đều có duy nhất một căn bậc ba. Ba điều bạn phải nhớ là căn bậc ba xác định với mọi số thực (kể cả số âm), (³√a)³ = a và ³√(a³) = a với mọi a — không cần giá trị tuyệt đối. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để tính căn bậc ba của bất kì số nào, tìm điều kiện xác định của căn thức bậc ba và rút gọn các biểu thức chứa căn bậc ba — và bạn cũng đã có trong tay một công cụ để học tiếp các công thức biến đổi căn bậc hai, vì nhiều kĩ thuật rút gọn ở đó cũng áp dụng được cho căn bậc ba. Nếu muốn ôn lại cách tính căn bậc hai số học — phép toán "anh em" của căn bậc ba — bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm.