Đầu tháng 9, An quyết tâm tiết kiệm tiền mua một chiếc tai nghe. Tuần đầu tiên, An bỏ ống 100 nghìn đồng. Tuần thứ hai, An bỏ 150 nghìn. Tuần thứ ba 200 nghìn, tuần thứ tư 250 nghìn. Cứ mỗi tuần, số tiền bỏ ống lại tăng thêm đúng 50 nghìn so với tuần trước. Mẹ An nhìn dãy số 100, 150, 200, 250... rồi hỏi: "Sau 8 tuần con được bao nhiêu?". An ngồi cộng tay từng tuần một, cộng tới tuần thứ 5 thì rối, phải bấm máy lại từ đầu. Thật ra, dãy số của An có một cái tên trong toán học: cấp số cộng. Và chỉ với hai công thức ngắn gọn, An có thể trả lời câu hỏi của mẹ trong chưa đầy một phút, không cần cộng tay từng số.
Bài viết này tổng hợp công thức cấp số cộng đầy đủ cho học sinh lớp 11: định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, công thức tính tổng, ví dụ tính đúng từng bước, lỗi sai thường gặp và bài tập tự luyện có đáp án. Từ tiền tiết kiệm đến số bậc thang của một khán đài, đâu đâu cũng có cấp số cộng — và sau bài này, bạn sẽ nhận ra chúng ngay.
Cấp số cộng là gì?
Một dãy số được gọi là cấp số cộng nếu kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi. Số không đổi đó gọi là công sai, ký hiệu là d. Công thức truy hồi của cấp số cộng là u_{n+1} = u_n + d. Trong đó u₁ là số hạng đầu tiên, u₂ là số hạng thứ hai, và u_n là số hạng thứ n.
Ví dụ, dãy 1, 4, 7, 10, 13... là cấp số cộng với u₁ = 1 và công sai d = 3, vì mỗi số sau hơn số trước đúng 3 đơn vị. Dãy 20, 17, 14, 11, 8... cũng là cấp số cộng nhưng công sai d = −3, dãy này giảm dần. Dãy 5, 5, 5, 5... là cấp số cộng với công sai d = 0, mọi số hạng đều bằng nhau. Như vậy, công sai d có thể dương (dãy tăng), âm (dãy giảm) hoặc bằng 0 (dãy không đổi) — đây là điểm nhiều bạn hay quên khi làm bài.
Muốn kiểm tra một dãy số có phải cấp số cộng hay không, bạn chỉ cần lấy hai số hạng liên tiếp bất kỳ trừ cho nhau: nếu hiệu số luôn bằng nhau thì đó là cấp số cộng, và hiệu đó chính là công sai d. Ví dụ, dãy 2, 6, 10, 14 có 6 − 2 = 4, 10 − 6 = 4, 14 − 10 = 4, vậy đây là cấp số cộng với d = 4. Ngược lại, dãy 2, 4, 8, 16 có hiệu 2, 4, 8 khác nhau nên không phải cấp số cộng (đó là cấp số nhân, bạn sẽ học sau).
Hai công thức cấp số cộng cần nhớ
Toàn bộ bài toán về cấp số cộng trong chương trình lớp 11 xoay quanh hai công thức dưới đây. Thuộc hai công thức này, bạn giải được gần như mọi dạng bài: tìm số hạng thứ n, tìm công sai, tìm số hạng đầu, tính tổng.
| Công thức | Ý nghĩa từng ký hiệu |
|---|---|
| u_n = u₁ + (n − 1)·d | u_n: số hạng thứ n; u₁: số hạng đầu; n: vị trí của số hạng; d: công sai |
| S_n = n/2 · (u₁ + u_n) | S_n: tổng n số hạng đầu tiên; u_n: số hạng cuối cùng trong n số hạng đó |
| S_n = n/2 · [2u₁ + (n − 1)·d] | Cùng công thức tổng, viết theo u₁ và d (dùng khi chưa biết u_n) |
Vì sao số hạng tổng quát lại là u₁ + (n − 1)·d mà không phải u₁ + n·d? Hãy đếm số "bước nhảy": từ u₁ đến u₂ là 1 bước (cộng 1 lần d), từ u₁ đến u₃ là 2 bước (cộng 2 lần d), vậy từ u₁ đến u_n là n − 1 bước (cộng n − 1 lần d). Số bước luôn ít hơn số thứ tự một đơn vị — nhớ được lý do này, bạn sẽ không bao giờ nhầm n với n − 1 nữa.
Còn công thức tính tổng thì có một câu chuyện nổi tiếng gắn liền với nhà toán học Gauss. Hồi nhỏ, thầy giáo yêu cầu cả lớp tính tổng 1 + 2 + 3 + ... + 100. Trong khi các bạn cắm cúi cộng tay, cậu bé Gauss đã ghép cặp: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101... Có đúng 50 cặp, mỗi cặp bằng 101, vậy tổng là 50 × 101 = 5050. Công thức S_n = n/2 · (u₁ + u_n) chính là cách viết tổng quát của trò ghép cặp đó: có n/2 cặp, mỗi cặp bằng u₁ + u_n. Với dãy 1 đến 100, u₁ = 1, u₁₀₀ = 100, n = 100, tổng là 100/2 · (1 + 100) = 50 × 101 = 5050. Câu chuyện này vừa là mẹo nhớ công thức, vừa là cách kiểm tra nhanh khi bạn không chắc mình đã áp dụng đúng hay chưa.
Ví dụ minh họa chi tiết từng bước
Ví dụ 1: Tìm số hạng thứ 8 và tổng 8 số hạng đầu. Cho cấp số cộng có u₁ = 1, công sai d = 3. Tìm u₈ và S₈. Áp dụng công thức số hạng tổng quát: u₈ = u₁ + (8 − 1)·d = 1 + 7·3 = 1 + 21 = 22. Dãy số là 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22. Áp dụng công thức tổng: S₈ = 8/2 · (u₁ + u₈) = 4·(1 + 22) = 4·23 = 92. Kiểm tra bằng cách cộng tay: 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 = 92, trùng khớp. Bạn cũng có thể dùng công thức thứ hai: S₈ = 8/2 · [2·1 + 7·3] = 4·[2 + 21] = 4·23 = 92, cùng một đáp án.
Ví dụ 2: Cấp số cộng với công sai bằng 1. Cho cấp số cộng có u₁ = 5, công sai d = 1. Tìm u₁₀ và S₁₀. Số hạng thứ 10: u₁₀ = 5 + 9·1 = 14. Dãy số là 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Tổng 10 số hạng đầu: S₁₀ = 10/2 · (5 + 14) = 5·19 = 95. Kiểm tra: tổng các số từ 5 đến 14 bằng tổng 1 đến 14 trừ tổng 1 đến 4, tức 105 − 10 = 95, trùng khớp. Đây là dạng bài mà nhiều bạn hay cộng tay từng số — với n = 10 thì còn làm được, nhưng với n = 100 thì công thức tổng nhanh hơn gấp nhiều lần.
Ví dụ 3: Tiền tiết kiệm của An. Trở lại câu chuyện mở đầu: An bỏ ống tuần đầu 100 nghìn đồng, mỗi tuần sau tăng thêm 50 nghìn. Hỏi sau 8 tuần An tiết kiệm được bao nhiêu? Đây là cấp số cộng với u₁ = 100, d = 50, n = 8 (đơn vị: nghìn đồng). Số tiền tuần thứ 8: u₈ = 100 + 7·50 = 100 + 350 = 450 nghìn đồng. Tổng sau 8 tuần: S₈ = 8/2 · (100 + 450) = 4·550 = 2200 nghìn đồng, tức 2.200.000 đồng. Nếu An giữ nhịp này trong 12 tuần, tổng sẽ là S₁₂ = 12/2 · [2·100 + 11·50] = 6·[200 + 550] = 6·750 = 4500 nghìn đồng, tức 4.500.000 đồng — đủ mua chiếc tai nghe mơ ước và còn dư.
Ví dụ 4: Tìm công sai khi biết hai số hạng. Cho cấp số cộng có u₁ = 7 và u₅ = 23. Tìm công sai d và số hạng thứ 20. Từ u₅ = u₁ + 4d, ta có 23 = 7 + 4d, suy ra 4d = 16, d = 4. Số hạng thứ 20: u₂₀ = 7 + 19·4 = 7 + 76 = 83. Dạng bài này dạy bạn một điều quan trọng: chỉ cần biết hai số hạng bất kỳ là tìm được công sai, vì hiệu của chúng chia cho khoảng cách vị trí chính là d.
Ví dụ 5: Tìm n khi biết số hạng cuối. Cho cấp số cộng có u₁ = 2, công sai d = 5. Hỏi số 47 là số hạng thứ mấy? Đặt u_n = 47, áp dụng công thức: 2 + (n − 1)·5 = 47. Suy ra (n − 1)·5 = 45, n − 1 = 9, n = 10. Vậy 47 là số hạng thứ 10. Kiểm tra: u₁₀ = 2 + 9·5 = 2 + 45 = 47, đúng. Dạng bài "tìm n" này rất hay xuất hiện trong đề kiểm tra, và chìa khóa là nhớ công thức dùng n − 1 chứ không phải n.
Trường hợp đặc biệt: công sai âm — dãy số giảm dần
Công sai d không nhất thiết phải dương. Xét cấp số cộng có u₁ = 20, d = −3. Dãy số là 20, 17, 14, 11, 8... giảm dần 3 đơn vị mỗi bước. Số hạng thứ 5: u₅ = 20 + 4·(−3) = 20 − 12 = 8. Tổng 5 số hạng đầu: S₅ = 5/2 · (20 + 8) = 2,5·28 = 70. Kiểm tra: 20 + 17 + 14 + 11 + 8 = 70, đúng. Công sai âm xuất hiện trong nhiều tình huống thực tế: số tiền còn lại trong tài khoản khi mỗi ngày rút một khoản cố định, nhiệt độ giảm đều theo độ cao, hay số ghế trống giảm dần theo từng hàng trong một rạp hát đã bán vé từ hàng cuối lên.
Một trường hợp đặc biệt khác là d = 0, khi đó mọi số hạng đều bằng nhau và bằng u₁. Tổng n số hạng đầu đơn giản là S_n = n·u₁. Trường hợp này ít gặp trong bài tập nhưng đề thi thỉnh thoảng vẫn hỏi để kiểm tra xem bạn có nhớ d có thể bằng 0 hay không.
5 lỗi sai thường gặp khi dùng công thức cấp số cộng
Lỗi 1: Nhầm n với n − 1. Công thức số hạng tổng quát dùng (n − 1)·d, không phải n·d. Tìm u₈ của cấp số cộng u₁ = 1, d = 3 mà tính 1 + 8·3 = 25 là sai, đáp án đúng là 1 + 7·3 = 22. Hãy nhớ câu chuyện "số bước nhảy luôn ít hơn số thứ tự một đơn vị".
Lỗi 2: Lấy nhầm u_n khi tính tổng. Công thức S_n = n/2 · (u₁ + u_n) yêu cầu u_n là số hạng thứ n, không phải số hạng bất kỳ. Tính S₈ mà lấy u₇ thay cho u₈ thì tổng sai ngay. Khi chưa biết u_n, hãy tính u_n trước bằng công thức số hạng tổng quát, hoặc dùng luôn công thức S_n = n/2 · [2u₁ + (n − 1)·d].
Lỗi 3: Quên công sai có thể âm. Nhiều bạn mặc định d luôn dương nên khi gặp dãy giảm dần thì lúng túng, hoặc tính d ra số âm rồi tưởng mình làm sai nên đổi dấu. Dãy 20, 17, 14... có d = −3 là hoàn toàn bình thường, công thức vẫn áp dụng y hệt.
Lỗi 4: Nhầm cấp số cộng với cấp số nhân. Dãy 2, 4, 8, 16 không phải cấp số cộng vì hiệu hai số liên tiếp thay đổi (2, 4, 8). Đó là cấp số nhân với công bội q = 2. Trước khi áp dụng công thức cấp số cộng, hãy kiểm tra hiệu hai số hạng liên tiếp có bằng nhau không.
Lỗi 5: Cộng tay từng số khi n lớn. Tính tổng 100 số hạng đầu bằng cách cộng tay vừa chậm vừa dễ sai một số hạng rồi sai cả tổng. Công thức S_n sinh ra để thay cho việc đó: chỉ cần u₁, d và n là ra đáp án trong hai phép tính.
Bài tập tự luyện có đáp án
| Câu | Đề bài | Đáp án | Giải thích ngắn |
|---|---|---|---|
| 1 | Cấp số cộng có u₁ = 3, d = 2. Tìm u₇. | u₇ = 15 | u₇ = 3 + 6·2 = 3 + 12 = 15 |
| 2 | Dãy 10, 7, 4, 1... có phải cấp số cộng không? Tìm u₆. | Phải, d = −3; u₆ = −5 | Hiệu liên tiếp đều bằng −3; u₆ = 10 + 5·(−3) = −5 |
| 3 | Cấp số cộng có u₁ = 2, d = 4. Tính S₆. | S₆ = 72 | Dãy: 2, 6, 10, 14, 18, 22; S₆ = 6/2 · (2 + 22) = 3·24 = 72 |
| 4 | Cấp số cộng có S₁₀ = 100, u₁ = 1. Tìm d. | d = 2 | S₁₀ = 5·(2 + 9d) = 100, suy ra 2 + 9d = 20, d = 2 |
| 5 | Cấp số cộng có u₁ = 1, d = 2. Tìm n biết S_n = 100. | n = 10 | S_n = n/2 · [2 + 2(n − 1)] = n² = 100, suy ra n = 10 |
Muốn luyện thêm các bài cấp số cộng trắc nghiệm có đáp án chi tiết, bạn có thể làm bài trong ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán 11 theo chủ đề. Khi cần tính tổng nhanh nhiều số hạng, hãy dùng máy tính Casio online để bấm tổng rồi đối chiếu với kết quả tính bằng công thức. Cách bấm tổng trên máy Casio có trong bài máy tính online.
Câu hỏi thường gặp về công thức cấp số cộng
Cấp số cộng khác dãy số thường ở điểm nào? Dãy số thường là dãy số bất kỳ, còn cấp số cộng là dãy số mà hiệu hai số hạng liên tiếp luôn bằng nhau. Chính tính chất "hiệu không đổi" này tạo ra hai công thức tính nhanh u_n và S_n mà dãy số thường không có.
Công sai d = 0 thì dãy số ra sao? Mọi số hạng đều bằng nhau và bằng u₁, ví dụ 5, 5, 5, 5... Tổng n số hạng đầu là S_n = n·u₁. Đây vẫn là cấp số cộng, chỉ là trường hợp đặc biệt.
Nhớ công thức tính tổng bằng mẹo nào? Nhớ câu chuyện Gauss ghép cặp: tổng bằng số cặp (n/2) nhân với tổng một cặp (u₁ + u_n). Hoặc nhớ hình ảnh "trung bình cộng của số đầu và số cuối nhân với số lượng": S_n = n · (u₁ + u_n)/2, vì (u₁ + u_n)/2 chính là trung bình cộng của dãy.
Khi nào dùng công thức u_n, khi nào dùng công thức S_n? Đề hỏi "số hạng thứ mấy bằng bao nhiêu" thì dùng u_n. Đề hỏi "tổng bao nhiêu số hạng đầu bằng bao nhiêu" thì dùng S_n. Đề cho tổng rồi hỏi ngược lại u₁ hoặc d thì dùng S_n rồi giải phương trình tìm ẩn số.
Cấp số cộng xuất hiện ở đâu ngoài sách giáo khoa? Rất nhiều nơi: tiền tiết kiệm tăng đều mỗi tuần, số ghế trong khán đài tăng đều theo từng hàng, nhiệt độ giảm đều theo độ cao, quãng đường vật rơi trong từng giây liên tiếp (khi xét hiệu số), hay lịch trả góp đều mỗi tháng. Nhận ra cấp số cộng trong đời sống là cách tốt nhất để nhớ công thức lâu dài.
Kết luận
Cấp số cộng chỉ có hai công thức: u_n = u₁ + (n − 1)·d và S_n = n/2 · (u₁ + u_n). Nhớ được hai công thức này, cộng thêm thói quen kiểm tra hiệu hai số hạng liên tiếp trước khi áp dụng, bạn sẽ giải được mọi bài toán cấp số cộng trong chương trình lớp 11. Và lần tới khi nghe ai đó kể chuyện tiết kiệm tiền tăng dần mỗi tuần, bạn sẽ mỉm cười vì biết rằng đằng sau câu chuyện đó là một cấp số cộng — với tổng sau n tuần chỉ cách bạn đúng hai phép tính.