Một bể nước hình lập phương chứa được 64 mét khối nước. Hỏi mỗi cạnh của bể dài bao nhiêu mét? Bạn thử mò: 3 × 3 × 3 = 27, chưa đủ; 4 × 4 × 4 = 64 — đúng rồi, cạnh bể dài 4 mét. Phép tính ngược lại của "lập phương một số" chính là khai căn bậc ba: ³√64 = 4. Nghe thì đơn giản, nhưng căn bậc ba có một điểm rất khác căn bậc hai mà nhiều bạn hay quên: nó tính được với cả số âm. ³√(−8) = −2, vì (−2)³ = −8 — trong khi √(−8) thì không tồn tại. Chỉ một khác biệt nhỏ đó thôi mà bao nhiêu bài toán đã đi chệch hướng.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", căn bậc ba nằm trong Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba, ở Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba. Đây là bài học mở rộng tầm mắt sau hai chương về căn bậc hai: bạn sẽ thấy không phải mọi phép khai căn đều cần số không âm, và không phải mọi kết quả khai căn đều dương. Học xong bài này, bạn sẽ tính được căn bậc ba của số âm, nhân chia các căn bậc ba với nhau, và rút gọn những biểu thức mà căn bậc hai không xử lí được.
1. Căn bậc ba là gì? Khác căn bậc hai ở điểm nào?
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ = a, kí hiệu là ³√a. Ví dụ ³√27 = 3 vì 3³ = 27; ³√(−8) = −2 vì (−2)³ = −8; ³√0 = 0 vì 0³ = 0. Bạn hãy đọc kĩ định nghĩa: chỉ cần x³ = a là đủ, không có thêm điều kiện nào về dấu của x. Đây chính là điểm khác biệt lớn nhất với căn bậc hai.
Bạn hãy so sánh hai loại căn trong bảng dưới đây, vì đề thi rất hay hỏi về sự khác nhau này. Căn bậc hai số học của a chỉ xác định khi a ≥ 0, và kết quả luôn không âm: √16 = 4, còn √(−16) không tồn tại. Căn bậc ba của a xác định với mọi số thực a — dương, âm hay bằng 0 đều được — và kết quả cùng dấu với a: ³√8 = 2, ³√(−8) = −2, ³√0 = 0. Vì sao lại khác nhau? Vì bình phương một số âm cho kết quả dương (nên không thể "ngược" lại thành số âm), còn lập phương một số âm cho kết quả âm (nên vẫn "ngược" lại được). Số mũ chẵn "xóa" dấu, số mũ lẻ "giữ" dấu — đó là quy luật chung của lũy thừa.
Một hệ quả quan trọng: mọi số thực đều có đúng một căn bậc ba. Số 27 có đúng một căn bậc ba là 3; số −27 có đúng một căn bậc ba là −3; số 0 có đúng một căn bậc ba là 0. Trong khi đó, số dương có hai căn bậc hai (√16 = 4 nhưng phương trình x² = 16 có hai nghiệm x = 4 và x = −4), còn số âm thì không có căn bậc hai nào. Bạn hãy nhớ: căn bậc ba "dễ tính" hơn căn bậc hai ở chỗ không cần xét điều kiện xác định, nhưng cũng vì thế mà bạn không được áp dụng thói quen "kết quả luôn không âm" của căn bậc hai sang căn bậc ba.
Bạn cũng nên thuộc lòng các căn bậc ba của những số lập phương quen thuộc: ³√1 = 1, ³√8 = 2, ³√27 = 3, ³√64 = 4, ³√125 = 5, ³√216 = 6, ³√343 = 7, ³√512 = 8, ³√729 = 9, ³√1000 = 10. Mười số này xuất hiện rất thường xuyên trong bài tập trắc nghiệm, và nhớ chúng sẽ giúp bạn tính nhanh mà không cần mò từng số. Bạn hãy để ý: 1, 8, 27, 64, 125... chính là các số lập phương 1³, 2³, 3³, 4³, 5³... — giống như các số chính phương 1, 4, 9, 16, 25... của căn bậc hai vậy.
2. Ba công thức tính toán với căn bậc ba
Sau khi hiểu căn bậc ba là gì, bạn học ba công thức tính toán với nó: nhân, chia và lũy thừa. Ba công thức này giống hệt các công thức của căn bậc hai — chỉ khác ở chỗ chúng dùng được với mọi số, không cần điều kiện không âm.
Công thức 1 — Căn bậc ba của một tích: ³√(ab) = ³√a · ³√b.
Căn bậc ba của một tích bằng tích các căn bậc ba của từng thừa số. Ví dụ ³√54 = ³√(27 · 2) = ³√27 · ³√2 = 3³√2. Công thức này là chìa khóa để rút gọn căn bậc ba: bạn tách số trong căn thành tích của một số lập phương với một số còn lại, rồi khai căn số lập phương. Bạn hãy chú ý: công thức này dùng được với mọi a, b — kể cả số âm — vì căn bậc ba xác định với mọi số thực. Ví dụ ³√(−54) = ³√((−27) · 2) = −3³√2.
Công thức 2 — Căn bậc ba của một thương: ³√(a/b) = ³√a / ³√b (với b ≠ 0).
Căn bậc ba của một thương bằng thương các căn bậc ba của tử và mẫu. Ví dụ ³√(64/27) = ³√64 / ³√27 = 4/3. Điều kiện duy nhất là mẫu khác 0 — không cần tử hay mẫu không âm như công thức của căn bậc hai. Ví dụ ³√(−8/27) = ³√(−8) / ³√27 = −2/3.
Công thức 3 — Lũy thừa của căn bậc ba: (³√a)³ = a và ³√(a³) = a.
Lập phương của căn bậc ba cho lại chính số ban đầu: (³√5)³ = 5, (³√(−7))³ = −7. Ngược lại, căn bậc ba của một lập phương cũng cho lại chính số ban đầu: ³√(2³) = 2, ³√((−2)³) = −2. Bạn hãy so sánh với căn bậc hai: ³√(a³) = a với mọi a, còn √(a²) = |a| — căn bậc ba không cần dấu giá trị tuyệt đối, vì lập phương giữ nguyên dấu của a. Đây là điểm khác biệt thứ hai mà bạn phải nhớ: với căn bậc ba, bạn được "bỏ" dấu căn và dấu lập phương trực tiếp, không cần xét dấu.
| Công thức | Điều kiện | Ví dụ |
|---|---|---|
| ³√(ab) = ³√a · ³√b | Mọi số thực a, b | ³√54 = 3³√2 |
| ³√(a/b) = ³√a / ³√b | b ≠ 0 | ³√(64/27) = 4/3 |
| (³√a)³ = a; ³√(a³) = a | Mọi số thực a | (³√5)³ = 5; ³√((−2)³) = −2 |
Bạn hãy nhớ: ba công thức này là "bộ ba" dùng để tính toán với căn bậc ba, giống như bộ ba công thức của căn bậc hai. Nhưng điều kiện của chúng thoáng hơn nhiều — hầu như không có điều kiện nào ngoài mẫu khác 0. Khi làm bài, bạn hãy tự hỏi: "đây là căn bậc hai hay căn bậc ba?" — nếu là căn bậc ba thì bạn được phép tính với số âm, được bỏ dấu căn trực tiếp, và không cần dấu giá trị tuyệt đối.
3. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Tính ³√64 và ³√(−27).
Đây là ví dụ gốc của bài. Bạn tìm số mà lập phương của nó bằng số trong căn.
4³ = 64 nên ³√64 = 4.
(−3)³ = −27 nên ³√(−27) = −3.
Bạn hãy chú ý: ³√(−27) = −3 là đáp án hợp lệ — căn bậc ba của số âm là số âm. Nếu bạn viết "không xác định" thì bạn đã nhầm với căn bậc hai.
Ví dụ 2 (rút gọn bằng công thức nhân): Tính ³√54.
Bạn phân tích 54 = 27 · 2, trong đó 27 = 3³ là số lập phương.
Áp dụng công thức căn bậc ba của một tích: ³√54 = ³√27 · ³√2 = 3³√2.
Vậy ³√54 = 3³√2. Bạn hãy kiểm tra: 3³√2 ≈ 3 × 1,26 = 3,78, còn ³√54 ≈ 3,78. Khớp nhau.
Ví dụ 3 (nhân hai căn bậc ba): Tính ³√8 · ³√27.
Bạn có hai cách. Cách 1: tính từng căn rồi nhân: ³√8 = 2, ³√27 = 3, tích bằng 6.
Cách 2: gộp thành một căn rồi tính: ³√8 · ³√27 = ³√(8 · 27) = ³√216 = 6.
Hai cách cho cùng đáp án 6. Cách 2 thường nhanh hơn khi các số trong căn chưa phải là số lập phương đẹp. Khi cần kiểm tra lại các phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 4 (chia và lũy thừa): Tính ³√(54/2) và (³√10)³.
Với ³√(54/2): bạn tính trong căn trước: 54/2 = 27, rồi ³√27 = 3.
Với (³√10)³: áp dụng công thức lũy thừa của căn bậc ba, đáp án là 10 ngay mà không cần tính ³√10 bằng bao nhiêu (nó là số vô tỉ, khoảng 2,154).
Hai ví dụ này cho thấy hai "đường tắt" hay dùng: tính gọn trong căn trước khi khai căn, và dùng công thức lũy thừa để bỏ dấu căn mà không cần tính giá trị của căn.
4. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cho rằng căn bậc ba của số âm không xác định.
Nhiều bạn viết ³√(−8) là "không xác định" vì quen với căn bậc hai. Sai ở chỗ căn bậc ba xác định với mọi số thực, và ³√(−8) = −2. Cách tránh: bạn hãy nhớ câu thần chú "căn bậc ba không sợ số âm" — mỗi lần thấy số âm trong căn bậc ba, bạn hãy tính bình thường, chỉ nhớ đáp án mang dấu âm.
Lỗi 2: Viết ³√(a³) = |a| như căn bậc hai.
Nhiều bạn tính ³√((−2)³) = 2. Sai ở chỗ lập phương giữ nguyên dấu nên ³√((−2)³) = −2, không cần dấu giá trị tuyệt đối. Cách tránh: bạn hãy nhớ dấu giá trị tuyệt đối chỉ xuất hiện với căn bậc hai (vì bình phương xóa dấu), còn căn bậc ba thì bỏ dấu căn trực tiếp.
Lỗi 3: Nhầm ³√a với √a.
Nhiều bạn tính ³√64 = 8. Sai ở chỗ 8² = 64 nên 8 là căn bậc hai của 64, còn căn bậc ba của 64 là 4 (vì 4³ = 64). Cách tránh: bạn hãy nhìn kĩ số mũ nhỏ trên dấu căn: không có số là căn bậc hai (mũ 2), số 3 là căn bậc ba (mũ 3). Mỗi lần đọc đề, bạn hãy đọc to "căn bậc ba của 64" để não không tự đổi thành căn bậc hai.
Lỗi 4: Tách ³√(a + b) thành ³√a + ³√b.
Nhiều bạn tính ³√(8 + 27) = 2 + 3 = 5. Sai ở chỗ ³√(8 + 27) = ³√35 ≈ 3,271, không phải 5. Cách tránh: công thức căn bậc ba của một tích và một thương chỉ đúng với phép nhân và phép chia, không đúng với phép cộng và phép trừ — giống hệt căn bậc hai. Bạn hãy tính trong căn trước rồi mới khai căn.
Lỗi 5: Rút gọn ³√a chưa hết cỡ.
Nhiều bạn tính ³√16 = ³√16 rồi dừng lại. Chưa gọn hẳn: 16 = 8 · 2 nên ³√16 = ³√8 · ³√2 = 2³√2. Cách tránh: bạn hãy tách số trong căn thành tích của một số lập phương (1, 8, 27, 64, 125...) với số còn lại, rồi khai căn số lập phương. Sau khi rút gọn, bạn kiểm tra lại: số trong căn còn chứa thừa số lập phương nào không?
5. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Trước khi chọn đáp án, bạn hãy tự hỏi: đây là căn bậc hai hay căn bậc ba? Số trong căn âm hay dương?
Câu 1: Giá trị của ³√(−27) bằng bao nhiêu?
A. −3
B. 3
C. 9
D. Không xác định
Câu 2: Tính ³√8 · ³√27 được kết quả nào sau đây?
A. 5
B. 6
C. 10
D. 12
Câu 3: Giá trị của (³√5)³ bằng bao nhiêu?
A. 25
B. ³√25
C. √5
D. 5
Câu 4: Tính ³√(54/2) được kết quả nào sau đây?
A. 2
B. 9
C. 3
D. 27
Câu 5: Rút gọn ³√16 được kết quả nào sau đây?
A. 2³√2
B. 4³√2
C. ³√8
D. 8
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | D | C | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (−3) đúng: (−3)³ = −27 nên ³√(−27) = −3. Đáp án B (3) sai vì 3³ = 27, không phải −27. Đáp án C (9) sai vì 9 là (−3)², không liên quan. Đáp án D (không xác định) sai vì căn bậc ba xác định với mọi số thực, kể cả số âm — chỉ căn bậc hai mới cần số không âm.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (6) đúng: ³√8 = 2, ³√27 = 3, tích bằng 6. Hoặc gộp lại: ³√(8 · 27) = ³√216 = 6. Đáp án A (5) sai vì 5 = 2 + 3 — đã cộng hai căn thay vì nhân. Đáp án C (10) sai vì 10 = 2 × 5, không liên quan. Đáp án D (12) sai vì 12 = 2 × 6, đã nhân nhầm.
Giải thích Câu 3 — Đáp án D (5) đúng: Áp dụng (³√a)³ = a với a = 5, ta có (³√5)³ = 5. Đáp án A (25) sai vì 25 = 5², còn đây là lập phương của ³√5. Đáp án B (³√25) sai vì ³√25 ≈ 2,924, không phải 5. Đáp án C (√5) sai vì √5 là căn bậc hai, không phải căn bậc ba.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C (3) đúng: 54/2 = 27, ³√27 = 3. Đáp án A (2) sai vì 2 là 54/27, không phải đáp án. Đáp án B (9) sai vì 9 = 3² — đã bình phương đáp án đúng. Đáp án D (27) sai vì 27 là số trong căn sau khi chia, chưa khai căn.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (2³√2) đúng: ³√16 = ³√(8 · 2) = ³√8 · ³√2 = 2³√2. Đáp án B (4³√2) sai vì 4 không phải là căn bậc ba của 8 (³√8 = 2). Đáp án C (³√8) sai vì ³√8 = 2, còn ³√16 ≈ 2,52. Đáp án D (8) sai vì 8 là một thừa số trong phép tách, không phải kết quả.
6. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Căn bậc ba khác căn bậc hai ở những điểm nào?
Đáp: Ba điểm. Một, căn bậc ba xác định với mọi số thực, căn bậc hai chỉ xác định với số không âm. Hai, căn bậc ba của số âm là số âm, căn bậc hai số học luôn không âm. Ba, ³√(a³) = a với mọi a, còn √(a²) = |a| — căn bậc ba không cần dấu giá trị tuyệt đối. Nếu muốn ôn lại căn bậc hai số học để so sánh, bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm.
Hỏi: Mọi số thực đều có căn bậc ba phải không?
Đáp: Đúng, mọi số thực đều có đúng một căn bậc ba. Số dương có căn bậc ba dương, số âm có căn bậc ba âm, số 0 có căn bậc ba bằng 0. Đây là điểm khác biệt lớn với căn bậc hai: số âm không có căn bậc hai, số dương có hai căn bậc hai (một dương, một âm) nhưng chỉ một căn bậc hai số học.
Hỏi: ³√a tính như thế nào khi a không phải là số lập phương đẹp?
Đáp: Bạn tách a thành tích của một số lập phương với số còn lại, rồi khai căn số lập phương. Ví dụ ³√54 = ³√(27 · 2) = 3³√2. Nếu a không tách được (ví dụ ³√10) thì bạn giữ nguyên dạng căn thức — đáp án ³√10 đã là đáp án gọn nhất, không cần tính gần đúng trừ khi đề bài yêu cầu.
Hỏi: (³√a)³ và ³√(a³) có giống nhau không?
Đáp: Cả hai đều bằng a với mọi số thực a. (³√a)³ = a là "lập phương của căn", còn ³√(a³) = a là "căn của lập phương". Bạn dùng công thức nào cũng được — chúng là hai chiều của cùng một quan hệ ngược nhau giữa phép lập phương và phép khai căn bậc ba. Nếu muốn ôn lại lũy thừa với số mũ tự nhiên — nền tảng của phép lập phương — bạn hãy xem lại bài lũy thừa với số mũ tự nhiên.
Hỏi: Căn bậc ba dùng để làm gì trong đời sống?
Đáp: Rất nhiều. Tính cạnh của một khối lập phương khi biết thể tích (bể nước, thùng hàng, khối bê tông). Tính bán kính quả cầu khi biết thể tích. Trong khoa học, căn bậc ba xuất hiện trong công thức tính chu kì dao động, tốc độ tăng trưởng và nhiều mô hình vật lí. Ở lớp 9, bạn chủ yếu gặp căn bậc ba trong bài toán thể tích hình lập phương và rút gọn biểu thức.
7. Kết luận
Căn bậc ba là phép toán ngược của phép lập phương, và điểm đặc biệt nhất của nó là tính được với mọi số thực — kể cả số âm. Ba công thức tính toán — căn bậc ba của một tích, căn bậc ba của một thương, và lũy thừa của căn bậc ba — cho bạn đầy đủ dụng cụ để nhân, chia và rút gọn các căn bậc ba. Bạn hãy nhớ ba điều: căn bậc ba không sợ số âm, ³√(a³) = a không cần dấu giá trị tuyệt đối, và đừng bao giờ nhầm ³√a với √a. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm chắc nhóm công thức căn bậc ba — và bạn cũng đã có trong tay một công cụ mới để giải những bài toán mà căn bậc hai không xử lí được, từ thể tích khối lập phương đến phương trình chứa căn bậc ba ở các bài tiếp theo.