Một công trình cần hoàn thành trong 6 ngày. Nếu huy động 4 người thì mỗi người phải làm việc cật lực; nếu tăng lên 8 người thì mỗi người chỉ mất 3 ngày là xong. Số người tăng gấp đôi, số ngày giảm một nửa. Ngược lại, nếu chỉ có 2 người thì phải mất đến 12 ngày. Đây là một quy luật rất quen thuộc trong đời sống: càng đông người làm thì càng nhanh xong, càng chạy nhanh thì càng mau tới nơi, càng mở nhiều vòi nước thì bể càng mau đầy. Khi một đại lượng tăng lên bao nhiêu lần thì đại lượng kia giảm đi bấy nhiêu lần, hai đại lượng đó được gọi là tỉ lệ nghịch với nhau.
Trong sách giáo khoa Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", đại lượng tỉ lệ nghịch được dạy trong Bài 23, ngay sau bài về đại lượng tỉ lệ thuận. Hai bài này là một cặp song sinh: tỉ lệ thuận thì "cùng tăng cùng giảm", tỉ lệ nghịch thì "một tăng một giảm". Nhầm lẫn giữa hai loại này là lỗi phổ biến nhất của học sinh lớp 7 — và cũng là lỗi "đắt" nhất, vì nó khiến đáp số sai hoàn toàn chứ không chỉ sai một chút. Học xong bài này, bạn sẽ phân biệt được hai loại tỉ lệ chỉ bằng một câu hỏi duy nhất, và giải nhanh mọi bài toán về số người — số ngày, vận tốc — thời gian, năng suất — sản lượng.
1. Tỉ lệ nghịch là gì? Một tăng, một giảm — nhưng tích thì không đổi
Hai đại lượng y và x được gọi là tỉ lệ nghịch với nhau nếu chúng liên hệ với nhau bởi công thức y = a/x (hay x · y = a), trong đó a là một hằng số khác 0. Hằng số a được gọi là hệ số tỉ lệ. Nói bằng lời: tích của hai đại lượng luôn không đổi, dù mỗi đại lượng thay đổi thế nào đi nữa.
Ví dụ: một đội 4 người làm xong một công việc trong 6 ngày. Gọi x là số người, y là số ngày, ta có x · y = 4 × 6 = 24. Hệ số tỉ lệ a = 24 — chính là "tổng số ngày công" của công việc đó. Tăng lên 8 người thì số ngày là 24 : 8 = 3 ngày; giảm xuống 2 người thì số ngày là 24 : 2 = 12 ngày. Số người thay đổi, số ngày thay đổi ngược lại, nhưng tích của chúng luôn bằng 24.
Một ví dụ khác: một ô tô đi hết quãng đường 120 km. Gọi v là vận tốc (km/h), t là thời gian (giờ), ta có v · t = 120. Hệ số tỉ lệ a = 120 — chính là quãng đường. Chạy 60 km/h thì mất 2 giờ; chạy 40 km/h thì mất 3 giờ; chạy 30 km/h thì mất 4 giờ. Vận tốc càng lớn thì thời gian càng nhỏ, nhưng tích của chúng luôn bằng 120.
Chú ý: nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo cùng hệ số a (vì x = a/y). Khác với tỉ lệ thuận — nơi hệ số tỉ lệ đổi thành 1/k khi đổi chiều — ở tỉ lệ nghịch, hệ số tỉ lệ giữ nguyên cả hai chiều. Đây là một điểm khác biệt nhỏ nhưng hay xuất hiện trong các câu hỏi trắc nghiệm "bẫy".
2. Tính chất thứ nhất: tích hai giá trị tương ứng luôn không đổi
Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ: x1 · y1 = x2 · y2 = x3 · y3 = ... = a. Đây là cách kiểm tra nhanh nhất xem hai đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau hay không: lấy từng cặp giá trị tương ứng nhân với nhau, nếu các tích đều bằng nhau thì chúng tỉ lệ nghịch.
Ví dụ: bảng giá trị có x = 4, 8, 2 và y = 4, 2, 8. Tính: 4 × 4 = 16; 8 × 2 = 16; 2 × 8 = 16. Ba tích đều bằng 16 nên x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số 16, công thức là y = 16/x. Ngược lại, nếu bảng có x = 2, 4 và y = 6, 10 thì 2 × 6 = 12 còn 4 × 10 = 40 — hai tích khác nhau nên x và y không tỉ lệ nghịch.
Tính chất này cũng là cách giải nhanh nhất cho bài toán tỉ lệ nghịch: khi đã biết hệ số tỉ lệ a, muốn tìm y khi biết x thì chỉ việc chia: y = a/x; muốn tìm x khi biết y thì chia: x = a/y. Ví dụ: 12 máy cày cày xong một cánh đồng trong 10 ngày, hệ số tỉ lệ a = 12 × 10 = 120. Vậy 15 máy cày sẽ cày xong trong 120 : 15 = 8 ngày.
3. Tính chất thứ hai: tỉ số đảo ngược
Tính chất thứ hai nói rằng: tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia. Viết bằng công thức: x1/x2 = y2/y1. Nói bằng lời: x tăng bao nhiêu lần thì y giảm đi bấy nhiêu lần.
Ví dụ: 4 người làm xong trong 6 ngày, hỏi 8 người làm trong bao lâu? Số người tăng từ 4 lên 8, tức là tăng 2 lần, nên số ngày giảm 2 lần: 6 : 2 = 3 ngày. Viết theo công thức: x1/x2 = 4/8 = 1/2, suy ra y2/y1 = 1/2, tức là y2 = 6 × 1/2 = 3 ngày. Bạn không cần tính hệ số tỉ lệ a vẫn ra đáp số — chỉ cần nhớ "tăng bao nhiêu lần thì giảm bấy nhiêu lần".
So sánh với tỉ lệ thuận: ở tỉ lệ thuận, x1/x2 = y1/y2 (tỉ số giữ nguyên chiều); ở tỉ lệ nghịch, x1/x2 = y2/y1 (tỉ số đảo ngược). Chỉ khác nhau ở chỗ "đảo ngược" này thôi, nhưng nó quyết định đáp số đúng hay sai. Khi làm bài, bạn hãy viết rõ công thức ra giấy rồi mới thay số — đừng tính nhẩm trong đầu, vì nhẩm rất dễ quên đảo tỉ số.
4. Phân biệt tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch: một bảng, hai cột, không còn nhầm
Để không bao giờ nhầm hai loại tỉ lệ nữa, bạn hãy ghi nhớ bảng so sánh sau. Tỉ lệ thuận: công thức y = kx; đại lượng không đổi là thương y/x = k; khi x tăng 2 lần thì y tăng 2 lần; tính chất tỉ số x1/x2 = y1/y2. Tỉ lệ nghịch: công thức y = a/x; đại lượng không đổi là tích x · y = a; khi x tăng 2 lần thì y giảm 2 lần; tính chất tỉ số x1/x2 = y2/y1.
Cách phân biệt nhanh nhất trong đề bài: tự hỏi "đại lượng này tăng thì đại lượng kia tăng hay giảm?" Nếu cùng tăng hoặc cùng giảm thì là tỉ lệ thuận; nếu một tăng một giảm thì là tỉ lệ nghịch. Ví dụ: số ki-lô-gam gạo tăng thì số tiền tăng — tỉ lệ thuận. Số công nhân tăng thì số ngày làm giảm — tỉ lệ nghịch. Vận tốc tăng thì thời gian đi giảm — tỉ lệ nghịch. Số trang sách tăng thì số tiền mua sách tăng — tỉ lệ thuận.
Một dấu hiệu nữa: trong bài toán tỉ lệ nghịch, đề bài thường cho một "tổng công việc" cố định mà không nói rõ — tổng số ngày công, tổng quãng đường, tổng diện tích cần cày, tổng lượng nước cần bơm. Hễ thấy một đại lượng "tổng" nào đó không đổi trong khi hai đại lượng kia thay đổi ngược chiều nhau, bạn hãy nghĩ ngay đến tỉ lệ nghịch và tìm tích x · y.
5. Ba bước giải mọi bài toán tỉ lệ nghịch
Bước 1: nhận biết hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau — dùng câu hỏi "một tăng thì một giảm?" để kiểm tra. Bước 2: tìm hệ số tỉ lệ a bằng cách nhân một cặp giá trị tương ứng đã biết: a = x · y. Bước 3: dùng công thức y = a/x (hoặc x = a/y) để tính đại lượng cần tìm, rồi kiểm tra tính hợp lý: đại lượng này tăng thì đại lượng kia phải giảm.
Ví dụ đầy đủ: "Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau, khi x = 8 thì y = 15. Tìm y khi x = 6." Bước 1: đề bài đã nói rõ x, y tỉ lệ nghịch. Bước 2: hệ số tỉ lệ a = 8 × 15 = 120. Bước 3: công thức y = 120/x; khi x = 6 thì y = 120/6 = 20. Kiểm tra: x giảm từ 8 xuống 6 thì y tăng từ 15 lên 20 — đúng chiều "một giảm một tăng".
Một biến thể hay gặp: đề bài không cho sẵn cặp giá trị mà cho hai tình huống để bạn tự lập phương trình. Ví dụ: "12 máy cày cày xong cánh đồng trong 10 ngày. Hỏi 15 máy cày cày xong trong bao lâu?" Bạn làm như sau: hệ số tỉ lệ a = 12 × 10 = 120 (ngày công). Số ngày của 15 máy là 120 : 15 = 8 ngày. Đáp số 8 ngày nhỏ hơn 10 ngày — hợp lý, vì nhiều máy hơn thì nhanh hơn.
6. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. 4 người làm xong một công việc trong 6 ngày. Hỏi 8 người làm xong công việc đó trong bao lâu?
Lời giải: Số người và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Hệ số tỉ lệ a = 4 × 6 = 24. Với 8 người, số ngày là 24 : 8 = 3 ngày. Cách khác: số người tăng 2 lần (từ 4 lên 8) nên số ngày giảm 2 lần: 6 : 2 = 3 ngày.
Ví dụ 2. Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau, khi x = 8 thì y = 15. Viết công thức liên hệ giữa x và y, rồi tính y khi x = 6.
Lời giải: Hệ số tỉ lệ a = x · y = 8 × 15 = 120. Vậy công thức liên hệ là y = 120/x. Khi x = 6 thì y = 120/6 = 20.
Ví dụ 3. Một ô tô đi hết quãng đường 120 km. Nếu chạy với vận tốc 60 km/h thì mất bao lâu? Nếu chạy với vận tốc 40 km/h thì mất bao lâu?
Lời giải: Vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau, tích của chúng bằng quãng đường 120 km. Với vận tốc 60 km/h, thời gian là 120 : 60 = 2 giờ. Với vận tốc 40 km/h, thời gian là 120 : 40 = 3 giờ. Chạy chậm hơn thì mất nhiều thời gian hơn — đúng với tính chất tỉ lệ nghịch.
Ví dụ 4. 12 máy cày cày xong một cánh đồng trong 10 ngày. Hỏi 15 máy cày (cùng năng suất) cày xong cánh đồng đó trong bao lâu?
Lời giải: Số máy cày và số ngày tỉ lệ nghịch với nhau. Hệ số tỉ lệ a = 12 × 10 = 120. Với 15 máy, số ngày là 120 : 15 = 8 ngày. Kiểm tra: 15 máy nhiều hơn 12 máy nên số ngày 8 ngày ít hơn 10 ngày là hợp lý.
7. Lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất: nhầm tỉ lệ nghịch với tỉ lệ thuận — lỗi phổ biến nhất và "đắt" nhất. Ví dụ bài "6 công nhân làm xong trong 10 ngày, hỏi 12 công nhân làm trong bao lâu?" mà làm theo tỉ lệ thuận sẽ ra 20 ngày, sai hoàn toàn: đáp án đúng là 5 ngày. Trước khi tính, hãy luôn tự hỏi: một đại lượng tăng thì đại lượng kia tăng hay giảm?
Lỗi thứ hai: quên đảo tỉ số ở tính chất thứ hai. Ví dụ x tăng từ 4 lên 8 (tăng 2 lần) thì y phải giảm 2 lần, tức là y2 = y1 : 2. Có bạn viết y2 = y1 × 2, ra đáp số gấp đôi — sai. Nhớ: tỉ lệ nghịch thì tỉ số đảo ngược, x1/x2 = y2/y1.
Lỗi thứ ba: nhầm hệ số tỉ lệ — lấy thương y/x thay vì tích x · y. Ở tỉ lệ nghịch, hệ số tỉ lệ a = x · y (tích), không phải y/x (thương). Ví dụ x = 8, y = 15 thì a = 120, không phải 15/8. Thương y/x là hệ số của tỉ lệ thuận, đừng mang sang đây.
Lỗi thứ tư: đổi chiều tỉ lệ mà đổi hệ số. Ở tỉ lệ nghịch, nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo cùng hệ số a (vì x = a/y). Có bạn viết x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số 1/a — sai, đó là quy tắc của tỉ lệ thuận, không phải tỉ lệ nghịch.
Lỗi thứ năm: quên kiểm tra tính hợp lý của đáp số. Ví dụ tính ra "15 máy cày cày xong trong 12 ngày" trong khi 12 máy chỉ mất 10 ngày — nhiều máy hơn mà lại lâu hơn thì chắc chắn sai. Sau khi tính xong, hãy dừng lại một giây để hỏi: chiều tăng giảm có đúng không? Nếu sai chiều thì đáp số sai.
8. Bài tập tự luyện
Câu 1. Đại lượng y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a = 24. Khi x = 6 thì y bằng bao nhiêu?
A. 4
B. 18
C. 30
D. 144
Câu 2. Hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau, khi x = 5 thì y = 8. Hệ số tỉ lệ a bằng bao nhiêu?
A. 13
B. 3
C. 40
D. 1,6
Câu 3. 6 công nhân làm xong một công việc trong 10 ngày. Hỏi 12 công nhân (cùng năng suất) làm xong công việc đó trong bao lâu?
A. 20 ngày
B. 5 ngày
C. 12 ngày
D. 15 ngày
Câu 4. Một ô tô đi hết quãng đường 150 km. Khi chạy với vận tốc 50 km/h thì mất 3 giờ. Hỏi khi chạy với vận tốc 75 km/h thì mất bao lâu?
A. 2 giờ
B. 4,5 giờ
C. 3 giờ
D. 1 giờ
Câu 5. Khẳng định nào sau đây là SAI?
A. Nếu y = 6/x thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số 6.
B. Nếu x và y tỉ lệ nghịch thì tích x · y luôn không đổi.
C. Nếu x tăng 3 lần thì y giảm 3 lần (với x, y tỉ lệ nghịch).
D. Nếu x tăng 2 lần thì y tăng 2 lần (với x, y tỉ lệ nghịch).
9. Bảng đáp án và lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | C | B | A | D |
Câu 1 — Đáp án A. y = a/x = 24/6 = 4. Đáp án B sai vì lấy 24 − 6 = 18. Đáp án C sai vì lấy 24 + 6 = 30. Đáp án D sai vì lấy tích a · x = 24 × 6 = 144 — nhầm công thức, phải chia chứ không nhân.
Câu 2 — Đáp án C. Hệ số tỉ lệ a = x · y = 5 × 8 = 40. Đáp án A sai vì lấy x + y = 13. Đáp án B sai vì lấy y − x = 3. Đáp án D sai vì lấy thương y/x = 8/5 = 1,6 — đó là cách tính hệ số của tỉ lệ thuận, không phải tỉ lệ nghịch.
Câu 3 — Đáp án B. Hệ số tỉ lệ a = 6 × 10 = 60. Với 12 công nhân, số ngày là 60 : 12 = 5 ngày. Đáp án A sai vì làm theo tỉ lệ thuận: 12 công nhân gấp đôi 6 công nhân nên tưởng số ngày cũng gấp đôi thành 20 ngày. Đáp án C sai vì giữ nguyên 10 ngày, tưởng số người không ảnh hưởng. Đáp án D sai vì lấy 10 + 5 = 15 (cộng thêm 5 ngày không có căn cứ).
Câu 4 — Đáp án A. Vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch, tích của chúng bằng quãng đường 150 km. Với vận tốc 75 km/h, thời gian là 150 : 75 = 2 giờ. Đáp án B sai vì làm theo tỉ lệ thuận: vận tốc tăng 1,5 lần nên tưởng thời gian cũng tăng 1,5 lần thành 4,5 giờ. Đáp án C sai vì giữ nguyên 3 giờ. Đáp án D sai vì lấy 150 : 150 = 1 (chia quãng đường cho chính nó, không có ý nghĩa).
Câu 5 — Đáp án D. Nếu x và y tỉ lệ nghịch thì x tăng 2 lần, y giảm 2 lần — không phải tăng 2 lần. Đáp án A đúng theo định nghĩa y = a/x với a = 6. Đáp án B đúng theo tính chất thứ nhất của đại lượng tỉ lệ nghịch. Đáp án C đúng: x tăng 3 lần thì y = a/(3x) = (a/x) : 3, tức là giảm 3 lần.
10. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Làm sao phân biệt nhanh tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch trong đề bài?
Đáp: Tự hỏi một câu duy nhất: "đại lượng này tăng thì đại lượng kia tăng hay giảm?" Cùng tăng hoặc cùng giảm là tỉ lệ thuận; một tăng một giảm là tỉ lệ nghịch. Bạn có thể xem lại bài về đại lượng tỉ lệ thuận để đối chiếu hai loại cạnh nhau.
Hỏi: Hệ số tỉ lệ của tỉ lệ nghịch có thể âm không?
Đáp: Có, về mặt toán học thì a có thể âm. Ví dụ y = −12/x thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số −12. Trong bài toán thực tế (số người, số ngày, vận tốc) thì a thường dương vì các đại lượng đều dương.
Hỏi: Đồ thị của hàm số tỉ lệ nghịch trông như thế nào?
Đáp: Hàm số y = a/x có đồ thị là một đường hypebol — hai nhánh cong nằm ở hai góc đối nhau. Bạn sẽ học kỹ về đồ thị này ở lớp 9. Ở lớp 7, chỉ cần nhớ công thức và hai tính chất là đủ.
Hỏi: Có bài toán nào vừa có tỉ lệ thuận vừa có tỉ lệ nghịch không?
Đáp: Có. Ví dụ: quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian khi vận tốc không đổi, nhưng vận tốc lại tỉ lệ nghịch với thời gian khi quãng đường không đổi. Cùng ba đại lượng s, v, t mà quan hệ thay đổi tùy theo đại lượng nào được giữ cố định. Đọc kỹ đề bài để biết đại lượng nào không đổi.
Hỏi: Làm sao kiểm tra nhanh đáp án bài toán tỉ lệ nghịch?
Đáp: Nhân hai đại lượng trong đáp số của bạn lại: tích đó phải bằng hệ số tỉ lệ a ban đầu. Ví dụ bài 12 máy cày trong 10 ngày: a = 120; đáp số 15 máy trong 8 ngày thì 15 × 8 = 120, đúng. Bạn cũng có thể bấm máy tính Casio online để kiểm tra phép nhân, chia.
11. Kết luận
Đại lượng tỉ lệ nghịch gói gọn trong một công thức ngắn: y = a/x (a khác 0), hay x · y = a. Nhớ được công thức này, bạn nhớ được cả hai tính chất: tích hai giá trị tương ứng luôn không đổi và bằng a; tỉ số hai giá trị của đại lượng này bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia. Trong đời sống, tỉ lệ nghịch có mặt ở khắp nơi: càng đông người làm thì càng nhanh xong, càng chạy nhanh thì càng mau tới, càng mở nhiều vòi thì bể càng mau đầy. Bí quyết để không bao giờ nhầm với tỉ lệ thuận là câu hỏi "một tăng thì một giảm?". Trả lời được câu hỏi đó, bạn đã giải được một nửa bài toán. Hãy luyện tập thêm với 5 bài tập ở trên, và lần tới khi thấy một công trình đông công nhân, thử nhẩm xem họ sẽ xong sớm hơn bao nhiêu ngày — bạn sẽ thấy toán học đang diễn ra ngay trước mắt. Nếu cần đối chiếu kết quả, máy tính Casio online trên ClassOn luôn sẵn sàng giúp bạn. Và nếu muốn ôn lại nền tảng tỉ lệ, hãy xem thêm công thức tỉ số, tỉ số phần trăm đã học từ lớp 6.