Sáng nay mẹ đưa bạn 150.000 đồng đi mua 10 kg gạo. Chiều nay mẹ lại nhờ bạn mua thêm 4 kg nữa — bạn cần bao nhiêu tiền? Bạn không cần ra chợ hỏi giá, chỉ cần nhẩm: 10 kg hết 150.000 đồng thì 1 kg hết 15.000 đồng, vậy 4 kg hết 60.000 đồng. Phép tính đơn giản đó ẩn chứa một quy luật toán học rất quan trọng: khi số gạo tăng gấp đôi thì số tiền cũng tăng gấp đôi; khi số gạo giảm một nửa thì số tiền cũng giảm một nửa. Hai đại lượng "cùng tăng cùng giảm" theo cùng một tỉ lệ như vậy được gọi là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
Trong sách giáo khoa Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", đại lượng tỉ lệ thuận được dạy trong Bài 22, ngay sau chương về tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau. Đây là một trong những khái niệm xuất hiện nhiều nhất trong đời sống: tiền mua hàng tỉ lệ thuận với khối lượng, quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian khi vận tốc không đổi, số trang in tỉ lệ thuận với số tờ giấy. Học xong bài này, bạn không chỉ giải được bài tập trong sách mà còn tính nhẩm được rất nhiều tình huống mua bán, đi lại hằng ngày — nhanh hơn cả việc mở điện thoại bấm máy tính.
1. Khi nào hai đại lượng tỉ lệ thuận? Câu trả lời nằm ở một chữ "k"
Hai đại lượng y và x được gọi là tỉ lệ thuận với nhau nếu chúng liên hệ với nhau bởi công thức y = kx, trong đó k là một hằng số khác 0. Hằng số k được gọi là hệ số tỉ lệ của y đối với x. Nói bằng lời: y luôn bằng một số cố định k nhân với x, dù x thay đổi thế nào đi nữa.
Ví dụ quen thuộc nhất: mua gạo với giá 15.000 đồng một ki-lô-gam. Gọi x là số ki-lô-gam gạo, y là số tiền phải trả, ta có y = 15.000x. Hệ số tỉ lệ k = 15.000 — chính là giá của 1 kg gạo. Mua 2 kg hết 30.000 đồng, mua 5 kg hết 75.000 đồng, mua 10 kg hết 150.000 đồng: số tiền luôn bằng 15.000 nhân với số ki-lô-gam.
Một ví dụ khác: một ô tô chạy với vận tốc không đổi 45 km/h. Gọi t là thời gian (giờ), s là quãng đường (km), ta có s = 45t. Hệ số tỉ lệ k = 45 — chính là vận tốc của xe. Đi 1 giờ được 45 km, đi 2 giờ được 90 km, đi 3,5 giờ được 157,5 km. Quãng đường luôn bằng vận tốc nhân với thời gian.
Chú ý quan trọng: hệ số tỉ lệ k phải khác 0. Nếu k = 0 thì y = 0 với mọi x, y không còn "thay đổi theo" x nữa, hai đại lượng không còn quan hệ tỉ lệ thuận. Ngoài ra, khi y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k thì x cũng tỉ lệ thuận với y, nhưng theo hệ số 1/k. Ví dụ y = 5x thì x = y/5, tức là x tỉ lệ thuận với y theo hệ số 1/5. Hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau là quan hệ hai chiều, chỉ khác nhau ở hệ số tỉ lệ.
2. Hệ số tỉ lệ k — con số "chìa khóa" mở ra mọi giá trị
Hệ số tỉ lệ k là con số quan trọng nhất trong bài toán tỉ lệ thuận: chỉ cần biết k, bạn tính được mọi giá trị tương ứng của hai đại lượng. Muốn tìm k, bạn lấy một cặp giá trị tương ứng đã biết rồi chia: k = y/x.
Ví dụ: hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau, khi x = 6 thì y = 4. Hệ số tỉ lệ k = y/x = 4/6 = 2/3. Vậy công thức liên hệ là y = (2/3)x. Từ đó, khi x = 9 thì y = (2/3) × 9 = 6; khi x = 12 thì y = (2/3) × 12 = 8; khi y = 10 thì x = 10 : (2/3) = 15. Một cặp giá trị ban đầu là đủ để "mở khóa" toàn bộ bảng giá trị.
Trong bài toán thực tế, hệ số tỉ lệ thường chính là một đại lượng có ý nghĩa quen thuộc: giá của một đơn vị hàng hóa, vận tốc của xe, năng suất của một người thợ, tỉ giá hối đoái. Ví dụ: 1 đô la Mỹ đổi được khoảng 25.000 đồng, vậy số tiền Việt Nam tỉ lệ thuận với số đô la theo hệ số 25.000. Nhận ra "k là cái gì" trong đề bài sẽ giúp bạn hiểu bài toán nhanh hơn là chỉ nhớ công thức một cách máy móc.
3. Tính chất thứ nhất: thương y/x luôn không đổi
Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ thuận với nhau thì tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi và bằng hệ số tỉ lệ: y1/x1 = y2/x2 = y3/x3 = ... = k. Đây chính là cách kiểm tra nhanh nhất xem hai đại lượng có tỉ lệ thuận với nhau hay không: lấy từng cặp giá trị tương ứng chia cho nhau, nếu các thương đều bằng nhau thì chúng tỉ lệ thuận.
Ví dụ: bảng giá trị sau có x = 2, 5, 10 và y = 6, 15, 30. Tính: 6/2 = 3; 15/5 = 3; 30/10 = 3. Ba thương đều bằng 3 nên x và y tỉ lệ thuận với nhau theo hệ số 3, công thức là y = 3x. Ngược lại, nếu bảng có x = 2, 4 và y = 6, 10 thì 6/2 = 3 còn 10/4 = 2,5 — hai thương khác nhau nên x và y không tỉ lệ thuận.
Tính chất này cũng cho bạn một cách tính nhanh: khi đã biết hệ số tỉ lệ k, muốn tìm y khi biết x thì chỉ việc nhân: y = kx; muốn tìm x khi biết y thì chia: x = y/k. Ví dụ mua vải giá 30.000 đồng một mét: 7 mét hết 7 × 30.000 = 210.000 đồng; có 450.000 đồng thì mua được 450.000 : 30.000 = 15 mét.
4. Tính chất thứ hai: tỉ số hai giá trị này bằng tỉ số hai giá trị kia
Tính chất thứ hai nói rằng: tỉ số hai giá trị bất kỳ của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia. Viết bằng công thức: y1/y2 = x1/x2, hay x1/x2 = y1/y2. Nói bằng lời: x tăng bao nhiêu lần thì y cũng tăng bấy nhiêu lần.
Ví dụ: 5 kg gạo giá 75.000 đồng, hỏi 8 kg gạo giá bao nhiêu? Theo tính chất này: 75.000/(giá 8 kg) = 5/8, suy ra giá 8 kg = 75.000 × 8/5 = 120.000 đồng. Bạn không cần tính giá 1 kg rồi nhân lên — chỉ cần lập tỉ số là ra đáp số. Đây chính là cách giải "quy tắc tam suất" mà nhiều bạn đã nghe nói đến: biết ba số, tìm số thứ tư.
Hai tính chất này thực ra là hai mặt của cùng một sự thật: y = kx. Tính chất thứ nhất nhìn vào thương y/x, tính chất thứ hai nhìn vào tỉ số giữa hai giá trị cùng một đại lượng. Trong bài tập, bạn dùng tính chất nào cũng được, miễn là thuận tiện: nếu đề bài cho sẵn hệ số tỉ lệ thì dùng tính chất thứ nhất; nếu đề bài cho hai cặp giá trị mà chưa biết k thì dùng tính chất thứ hai để lập tỉ số cho nhanh.
5. Nhận ra tỉ lệ thuận trong đề bài: ba dấu hiệu vàng
Trong đề thi, các bài toán tỉ lệ thuận thường "cải trang" thành bài toán thực tế, không nói thẳng hai đại lượng nào tỉ lệ thuận với nhau. Bạn nhận ra chúng nhờ ba dấu hiệu sau. Dấu hiệu thứ nhất: đề bài có một "giá trị đơn vị" cố định — giá 1 kg, vận tốc 1 giờ, năng suất 1 ngày. Dấu hiệu thứ hai: một đại lượng tăng thì đại lượng kia cũng tăng, và tăng theo cùng tỉ lệ — gấp đôi thì gấp đôi, gấp ba thì gấp ba. Dấu hiệu thứ ba: tích hoặc thương của hai đại lượng có một đại lượng không đổi — với tỉ lệ thuận, thương y/x không đổi.
Ví dụ: "Một đội thợ 5 người làm xong một đoạn đường trong 12 ngày" — đây KHÔNG phải tỉ lệ thuận, vì thêm người thì số ngày giảm đi (đó là tỉ lệ nghịch, bạn sẽ học ở bài sau). Còn "5 kg gạo giá 75.000 đồng, hỏi 8 kg giá bao nhiêu?" — đây là tỉ lệ thuận, vì mua nhiều gạo hơn thì trả nhiều tiền hơn theo cùng tỉ lệ.
Một mẹo nhỏ: khi đọc đề, hãy tự hỏi "đại lượng này tăng thì đại lượng kia tăng hay giảm?" Nếu cùng tăng (hoặc cùng giảm) theo cùng tỉ lệ thì đó là tỉ lệ thuận. Nếu một tăng một giảm thì đó là tỉ lệ nghịch. Chỉ một câu hỏi này thôi cũng đủ giúp bạn phân loại đúng hơn một nửa số bài toán về tỉ lệ trong chương trình lớp 7.
6. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. 5 kg gạo giá 75.000 đồng. Hỏi 8 kg gạo giá bao nhiêu tiền?
Lời giải: Số tiền tỉ lệ thuận với khối lượng gạo. Giá 1 kg gạo là 75.000 : 5 = 15.000 đồng. Vậy 8 kg gạo giá 8 × 15.000 = 120.000 đồng. Cách khác, dùng tính chất thứ hai: gọi giá 8 kg là y, ta có y/75.000 = 8/5, suy ra y = 75.000 × 8/5 = 120.000 đồng.
Ví dụ 2. Hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau, khi x = 6 thì y = 4. Viết công thức liên hệ giữa x và y, rồi tính y khi x = 9.
Lời giải: Hệ số tỉ lệ k = y/x = 4/6 = 2/3. Vậy công thức liên hệ là y = (2/3)x. Khi x = 9 thì y = (2/3) × 9 = 6.
Ví dụ 3. Một ô tô chạy với vận tốc không đổi 45 km/h. Hỏi sau 3,5 giờ ô tô đi được bao nhiêu ki-lô-mét?
Lời giải: Quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian, hệ số tỉ lệ là vận tốc 45 km/h. Công thức: s = 45t. Sau 3,5 giờ, quãng đường đi được là s = 45 × 3,5 = 157,5 km.
Ví dụ 4. 3 kg cam giá 60.000 đồng. Hỏi với 500.000 đồng thì mua được bao nhiêu ki-lô-gam cam?
Lời giải: Giá 1 kg cam là 60.000 : 3 = 20.000 đồng. Với 500.000 đồng, số cam mua được là 500.000 : 20.000 = 25 kg. Kiểm tra: 25 kg × 20.000 = 500.000 đồng, đúng.
7. Lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất: nhầm hệ số tỉ lệ — lấy x/y thay vì y/x. Đề bài hỏi "y tỉ lệ thuận với x theo hệ số nào?" thì hệ số là k = y/x. Ví dụ x = 6, y = 4 thì k = 4/6 = 2/3, không phải 6/4 = 3/2. Bạn nhớ: hệ số tỉ lệ của y đối với x thì y đứng trên tử.
Lỗi thứ hai: tưởng hai đại lượng cùng tăng là tỉ lệ thuận, dù tỉ lệ tăng không giống nhau. Ví dụ: x tăng từ 2 lên 4 (tăng 2 lần) mà y tăng từ 6 lên 10 (chưa đến 2 lần) thì x và y không tỉ lệ thuận. Phải kiểm tra thương y/x có không đổi không — chỉ "cùng tăng" thôi là chưa đủ.
Lỗi thứ ba: nhầm tỉ lệ thuận với tỉ lệ nghịch. Ví dụ bài "5 người làm xong trong 12 ngày, hỏi 10 người làm trong bao lâu?" — nhiều bạn làm theo tỉ lệ thuận ra 24 ngày, sai hoàn toàn: thêm người thì số ngày phải giảm, đáp án đúng là 6 ngày. Hãy luôn tự hỏi trước: một đại lượng tăng thì đại lượng kia tăng hay giảm?
Lỗi thứ tư: quên điều kiện k khác 0. Có bạn viết y = 0x rồi kết luận y tỉ lệ thuận với x — sai, vì khi k = 0 thì y luôn bằng 0, không còn quan hệ tỉ lệ. Hệ số tỉ lệ bao giờ cũng là một số khác 0.
Lỗi thứ năm: đổi chiều tỉ lệ mà quên đổi hệ số. Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số 1/k, không phải hệ số k. Ví dụ y = 5x thì x = y/5, hệ số là 1/5. Bạn nào viết x tỉ lệ thuận với y theo hệ số 5 là sai.
8. Bài tập tự luyện
Câu 1. Đại lượng y tỉ lệ thuận với x theo hệ số k = 5. Khi x = 3 thì y bằng bao nhiêu?
A. 8
B. 15
C. 2
D. 5/3
Câu 2. Hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau, khi x = 4 thì y = 12. Hệ số tỉ lệ của y đối với x là bao nhiêu?
A. 1/3
B. 4
C. 3
D. 12
Câu 3. 4 m vải giá 120.000 đồng. Hỏi 7 m vải cùng loại giá bao nhiêu tiền?
A. 180.000 đồng
B. 210.000 đồng
C. 240.000 đồng
D. 150.000 đồng
Câu 4. Hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau. Biết khi x = 2 thì y = 6, khi x = 5 thì y = 15. Khi x = 10 thì y bằng bao nhiêu?
A. 20
B. 25
C. 30
D. 35
Câu 5. Khẳng định nào sau đây là SAI?
A. Nếu y = 3x thì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số 3.
B. Nếu x tăng 2 lần thì y cũng tăng 2 lần (với x, y tỉ lệ thuận).
C. Nếu x và y tỉ lệ thuận thì thương y/x luôn không đổi.
D. Nếu y tỉ lệ thuận với x thì x tỉ lệ nghịch với y.
9. Bảng đáp án và lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | B | C | D |
Câu 1 — Đáp án B. y = kx = 5 × 3 = 15. Đáp án A sai vì lấy 5 + 3 = 8 — tỉ lệ thuận là phép nhân, không phải phép cộng. Đáp án C sai vì lấy 5 − 3 = 2. Đáp án D sai vì lấy x/k = 3/5 rồi viết ngược thành 5/3.
Câu 2 — Đáp án C. Hệ số tỉ lệ của y đối với x là k = y/x = 12/4 = 3. Đáp án A sai vì lấy x/y = 4/12 = 1/3 — đó là hệ số tỉ lệ của x đối với y, không phải của y đối với x. Đáp án B sai vì lấy luôn giá trị x = 4 làm hệ số. Đáp án D sai vì lấy luôn giá trị y = 12 làm hệ số.
Câu 3 — Đáp án B. Giá 1 m vải là 120.000 : 4 = 30.000 đồng. Vậy 7 m vải giá 7 × 30.000 = 210.000 đồng. Đáp án A sai vì chỉ cộng thêm 2 m (120.000 + 2 × 30.000 = 180.000), trong khi từ 4 m lên 7 m là thêm 3 m. Đáp án C sai vì lấy 120.000 × 2 = 240.000 (tưởng 7 m gấp đôi 4 m). Đáp án D sai vì chỉ cộng thêm giá 1 m (120.000 + 30.000 = 150.000).
Câu 4 — Đáp án C. Hệ số tỉ lệ k = y/x = 6/2 = 3 (kiểm tra: 15/5 = 3, đúng). Vậy khi x = 10 thì y = 3 × 10 = 30. Đáp án A sai vì lấy 10 × 2 = 20 (nhân với giá trị x đầu tiên). Đáp án B sai vì lấy 10 + 15 = 25 (cộng hai giá trị y đã biết). Đáp án D sai vì lấy 15 + 20 = 35 (cộng y = 15 với x = 20 không có trong bài).
Câu 5 — Đáp án D. Nếu y tỉ lệ thuận với x thì x cũng tỉ lệ thuận với y (theo hệ số 1/k), không phải tỉ lệ nghịch với y. Đáp án A đúng theo định nghĩa y = kx. Đáp án B đúng: x tăng 2 lần thì y = k × (2x) = 2(kx) cũng tăng 2 lần. Đáp án C đúng theo tính chất thứ nhất của đại lượng tỉ lệ thuận.
10. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Làm sao biết hai đại lượng có tỉ lệ thuận với nhau không?
Đáp: Lấy các cặp giá trị tương ứng chia cho nhau: nếu mọi thương y/x đều bằng nhau thì hai đại lượng tỉ lệ thuận. Ngoài ra, bạn có thể kiểm tra bằng cảm giác thực tế: một đại lượng tăng thì đại lượng kia có tăng theo cùng tỉ lệ không? Nếu có thì rất có thể chúng tỉ lệ thuận.
Hỏi: Hệ số tỉ lệ âm có được không?
Đáp: Được. Ví dụ y = −2x thì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số −2. Khi x tăng thì y giảm (vì nhân với số âm), nhưng quan hệ vẫn là tỉ lệ thuận vì y luôn bằng một hằng số nhân với x. Trong đời sống, hệ số tỉ lệ thường dương (giá tiền, vận tốc), nhưng trong toán học thì k âm vẫn hợp lệ.
Hỏi: Tỉ lệ thuận khác gì dãy tỉ số bằng nhau?
Đáp: Dãy tỉ số bằng nhau nói về các tỉ số có cùng giá trị, còn tỉ lệ thuận nói về quan hệ giữa hai đại lượng thay đổi cùng nhau. Nhưng hai khái niệm này liên hệ chặt chẽ: nếu y tỉ lệ thuận với x thì các tỉ số y1/x1 = y2/x2 = ... tạo thành một dãy tỉ số bằng nhau. Bạn có thể xem lại tính chất dãy tỉ số bằng nhau để thấy mối liên hệ này.
Hỏi: Bài toán tỉ lệ thuận thường dùng cách giải nào nhanh nhất?
Đáp: Cách "tìm giá trị đơn vị" (tìm k rồi nhân) thường dễ hiểu nhất; cách "lập tỉ số" (y1/y2 = x1/x2) thường nhanh nhất khi đề bài đã cho đủ ba số. Bạn nên thành thạo cả hai cách và chọn cách phù hợp với từng đề bài.
Hỏi: Có thể dùng máy tính để kiểm tra bài toán tỉ lệ thuận không?
Đáp: Có. Bạn bấm máy tính Casio online để tính hệ số tỉ lệ, kiểm tra các thương y/x có bằng nhau không, hoặc đối chiếu đáp số cuối cùng. Máy tính giúp bạn tránh sai sót khi tính nhẩm với các số lớn.
11. Kết luận
Đại lượng tỉ lệ thuận gói gọn trong một công thức ngắn: y = kx (k khác 0). Nhớ được công thức này, bạn nhớ được cả hai tính chất: thương y/x luôn không đổi và bằng k; tỉ số hai giá trị của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia. Trong đời sống, tỉ lệ thuận có mặt ở khắp nơi: tiền mua hàng theo khối lượng, quãng đường theo thời gian, số tiền lãi theo số tiền gửi. Mỗi khi gặp một bài toán mà một đại lượng tăng thì đại lượng kia cũng tăng theo cùng tỉ lệ, hãy nghĩ ngay đến y = kx, tìm hệ số tỉ lệ k, rồi mọi giá trị còn lại sẽ lần lượt hiện ra. Và đừng quên "người anh em song sinh" của tỉ lệ thuận là tỉ lệ nghịch — khi một đại lượng tăng mà đại lượng kia giảm — bạn sẽ gặp ở bài về đại lượng tỉ lệ nghịch. Luyện tập thêm với 5 bài tập ở trên, và khi đi chợ cùng mẹ, thử nhẩm nhanh giá tiền trước khi người bán tính — bạn sẽ thấy toán học gần gũi hơn mình tưởng. Nếu cần đối chiếu kết quả, máy tính Casio online trên ClassOn luôn sẵn sàng giúp bạn.