Ba bạn An, Bình và Chi cùng góp tiền mua một món quà tặng thầy giáo. An góp 2 phần, Bình góp 3 phần, Chi góp 4 phần, tổng cộng là 360.000 đồng. Hỏi mỗi bạn góp bao nhiêu? Nếu bạn tính từng phần một thì sẽ mất khá nhiều thời gian: gọi số tiền một phần là x, rồi lập phương trình 2x + 3x + 4x = 360.000, giải ra x rồi nhân ngược lại. Nhưng có một cách nhanh hơn nhiều: viết các số tiền cần tìm thành một dãy tỉ số bằng nhau, rồi dùng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm đáp số chỉ trong hai bước. Bài này sẽ dạy bạn đúng "chiêu" đó.
Trong sách giáo khoa Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", tính chất dãy tỉ số bằng nhau được dạy trong Bài 21, ngay sau bài về tỉ số và tỉ số phần trăm mà bạn đã học ở lớp 6. Nó là công cụ giải nhanh cho cả một họ bài toán: tìm hai số khi biết tổng và tỉ lệ, chia một số thành các phần tỉ lệ, bài toán về tỉ lệ thức và cả những bài toán thực tế như chia tiền, pha nước chấm, trộn nguyên liệu. Học xong bài này, bạn sẽ thấy những bài toán chia tỉ lệ vốn dài dòng bỗng trở nên ngắn gọn đến bất ngờ.
1. Dãy tỉ số bằng nhau là gì? Nhìn từ một dãy phân số quen thuộc
Dãy tỉ số bằng nhau là một dãy gồm nhiều tỉ số có cùng một giá trị, nối với nhau bằng dấu "=". Ví dụ: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8. Bốn tỉ số này tuy viết khác nhau nhưng đều có giá trị bằng 1/2, nên chúng tạo thành một dãy tỉ số bằng nhau. Dạng tổng quát: a/b = c/d = e/f = ...
Ngoài cách viết phân số, dãy tỉ số bằng nhau còn có thể viết dưới dạng a : b = c : d = e : f. Khi đó, người ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, f. Chẳng hạn, với dãy 1/2 = 2/4 = 3/6, ta nói các số 1, 2, 3 tỉ lệ với các số 2, 4, 6. Cách nói này rất hay gặp trong đề bài: "ba số x, y, z tỉ lệ với 2, 3, 5" có nghĩa là x/2 = y/3 = z/5.
Điều quan trọng nhất cần nhớ: một dãy tỉ số chỉ được gọi là "bằng nhau" khi MỌI tỉ số trong dãy đều có cùng giá trị. Ví dụ 1/2 = 2/4 = 5/9 thì không phải dãy tỉ số bằng nhau, vì 5/9 khác 1/2. Trước khi dùng bất kỳ tính chất nào dưới đây, bạn luôn phải kiểm tra điều này trước.
2. Tính chất cộng: cộng tử với tử, mẫu với mẫu
Tính chất đầu tiên — cũng là tính chất được dùng nhiều nhất — nói rằng: từ tỉ lệ thức a/b = c/d, ta suy ra a/b = c/d = (a + c)/(b + d), với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa (tức là các mẫu số khác 0 và b + d khác 0). Nói bằng lời: lấy tử cộng tử, mẫu cộng mẫu, ta được một tỉ số mới vẫn bằng các tỉ số cũ.
Kiểm chứng bằng số: 2/3 = 4/6. Cộng tử với tử: 2 + 4 = 6; cộng mẫu với mẫu: 3 + 6 = 9; tỉ số mới 6/9 rút gọn được 2/3 — đúng bằng các tỉ số ban đầu. Thử một ví dụ khác: 10/6 = 5/3, cộng tử: 10 + 5 = 15; cộng mẫu: 6 + 3 = 9; tỉ số mới 15/9 rút gọn thành 5/3 — lại đúng. Tính chất này không phải là sự trùng hợp, mà là quy luật: nếu a/b = c/d = k thì a = bk và c = dk, nên (a + c)/(b + d) = k(b + d)/(b + d) = k.
Vì sao tính chất này hữu ích? Vì trong nhiều bài toán, đề bài cho tổng của hai số (chẳng hạn x + y = 16) mà không cho từng số riêng. Nhờ tính chất cộng, bạn biến "tổng của hai tử" thành một tỉ số mới, rồi từ đó tìm ra giá trị chung của cả dãy — và từ giá trị chung đó, bạn tìm được từng số một. Toàn bộ "mẹo" giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ lệ nằm ở đây, bạn sẽ thấy rõ trong mục 5.
3. Tính chất trừ: trừ tử với tử, mẫu với mẫu
Tính chất thứ hai là "người anh em" của tính chất cộng: từ tỉ lệ thức a/b = c/d, ta suy ra a/b = c/d = (a − c)/(b − d), với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa và b − d khác 0. Nói bằng lời: lấy tử trừ tử, mẫu trừ mẫu, ta được một tỉ số mới vẫn bằng các tỉ số cũ.
Kiểm chứng bằng số: 10/6 = 5/3. Trừ tử: 10 − 5 = 5; trừ mẫu: 6 − 3 = 3; tỉ số mới 5/3 — đúng bằng các tỉ số ban đầu. Một ví dụ nữa: 12/4 = 21/7 = 3. Trừ tử: 21 − 12 = 9; trừ mẫu: 7 − 4 = 3; tỉ số mới 9/3 = 3 — lại đúng.
Điều kiện b − d khác 0 là điều kiện sống còn, và đây cũng là chỗ nhiều bạn mắc lỗi nhất. Nếu b = d thì b − d = 0, tỉ số (a − c)/(b − d) có mẫu bằng 0 nên không có nghĩa — tính chất trừ lúc đó không dùng được. Ví dụ: 2/5 = 4/10, nếu trừ tử với tử và mẫu với mẫu: (4 − 2)/(10 − 5) = 2/5, vẫn dùng được vì 10 − 5 = 5 khác 0. Nhưng với 3/7 = 6/14 mà trừ theo chiều ngược lại (3 − 6)/(7 − 14) = (−3)/(−7) = 3/7, vẫn đúng — vì mẫu −7 khác 0. Chỉ khi hai mẫu bằng nhau thì mới "kẹt". Bạn nhớ: trước khi trừ, hãy nhìn nhanh xem hai mẫu có bằng nhau không.
Tính chất trừ tỏ ra lợi hại khi đề bài cho HIỆU của hai số thay vì tổng. Chẳng hạn đề cho x − y = −9 và x/4 = y/7, bạn chỉ cần viết x/4 = y/7 = (x − y)/(4 − 7) = (−9)/(−3) = 3, rồi suy ra x = 12, y = 21. Nhanh hơn nhiều so với cách giải hệ phương trình từng bước.
4. Mở rộng cho ba tỉ số trở lên và hệ số nhân
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau không chỉ đúng với hai tỉ số mà còn mở rộng cho dãy có ba tỉ số trở lên. Từ dãy a/b = c/d = e/f, ta suy ra a/b = c/d = e/f = (a + c + e)/(b + d + f) = (a − c + e)/(b − d + f), với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa. Quy tắc vẫn như cũ: cộng (hoặc trừ) tất cả các tử với nhau, cộng (hoặc trừ) tất cả các mẫu với nhau, tỉ số mới vẫn bằng các tỉ số cũ.
Ví dụ: 1/2 = 2/4 = 3/6. Cộng cả ba tử: 1 + 2 + 3 = 6; cộng cả ba mẫu: 2 + 4 + 6 = 12; tỉ số mới 6/12 = 1/2 — đúng. Trộn cộng trừ: (1 − 2 + 3)/(2 − 4 + 6) = 2/4 = 1/2 — cũng đúng. Bạn thấy đấy, dấu cộng hay trừ ở từng cặp tử — mẫu phải "đi cùng nhau": tử cộng thì mẫu cộng, tử trừ thì mẫu trừ, không được trộn lộn xộn.
Còn một mở rộng nữa rất hay gặp trong bài tập nâng cao: nhân tử và mẫu với cùng hệ số trước khi cộng. Từ a/b = c/d = e/f, ta suy ra a/b = c/d = e/f = (ma + nc + pe)/(mb + nd + pf), với m, n, p là các số bất kỳ (miễn là mẫu mới khác 0). Ví dụ: 1/2 = 2/4, lấy m = 2, n = 3: (2 × 1 + 3 × 2)/(2 × 2 + 3 × 4) = (2 + 6)/(4 + 12) = 8/16 = 1/2 — vẫn đúng. Mở rộng này cho phép bạn "chế biến" dãy tỉ số sao cho tử hoặc mẫu xuất hiện đúng tổng (hoặc hiệu) mà đề bài đã cho, chẳng hạn khi đề cho 2x + 3y = 35 và x/3 = y/5.
5. Dạng bài "ruột": tìm hai số khi biết tổng và tỉ lệ
Đây là dạng bài xuất hiện nhiều nhất trong các đề kiểm tra, và cũng là dạng mà tính chất dãy tỉ số bằng nhau phát huy hết sức mạnh. Dạng bài có khuôn mẫu như sau: tìm hai số x và y, biết x/3 = y/5 và x + y = 16.
Cách giải gồm ba bước. Bước 1: áp dụng tính chất cộng, viết x/3 = y/5 = (x + y)/(3 + 5) = 16/8 = 2. Bước 2: từ x/3 = 2 suy ra x = 6; từ y/5 = 2 suy ra y = 10. Bước 3: kiểm tra lại: 6 + 10 = 16 đúng, 6/3 = 2 và 10/5 = 2 đúng. Chỉ ba bước, không cần đặt ẩn phụ, không cần giải phương trình dài dòng.
Cùng một khuôn mẫu đó, bạn giải được cả bài toán chia một số thành các phần tỉ lệ. Ví dụ: chia 360.000 đồng cho ba bạn theo tỉ lệ 2 : 3 : 4. Gọi số tiền ba bạn nhận lần lượt là a, b, c, ta có a/2 = b/3 = c/4 và a + b + c = 360.000. Áp dụng tính chất: a/2 = b/3 = c/4 = 360.000/(2 + 3 + 4) = 360.000/9 = 40.000. Vậy a = 80.000, b = 120.000, c = 160.000 đồng. Kiểm tra: 80.000 + 120.000 + 160.000 = 360.000 đúng.
Một biến thể khác: đề bài cho hiệu thay vì tổng, bạn dùng tính chất trừ. Ví dụ: tìm x, y biết x/4 = y/7 và x − y = −9. Ta có x/4 = y/7 = (x − y)/(4 − 7) = (−9)/(−3) = 3, suy ra x = 12, y = 21. Chú ý dấu âm: x − y = −9 có nghĩa là x nhỏ hơn y, và đáp số 12 nhỏ hơn 21 là hợp lý. Nếu bạn ra đáp số mà x lại lớn hơn y thì chắc chắn đã tính sai dấu ở đâu đó — đó là cách tự kiểm tra rất nhanh.
6. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm hai số x và y, biết x/3 = y/5 và x + y = 16.
Lời giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có x/3 = y/5 = (x + y)/(3 + 5) = 16/8 = 2. Từ x/3 = 2 suy ra x = 6; từ y/5 = 2 suy ra y = 10. Vậy x = 6, y = 10. Kiểm tra: 6 + 10 = 16 và 6/3 = 10/5 = 2, đúng.
Ví dụ 2. Tìm ba số a, b, c biết a/2 = b/3 = c/5 và a + b + c = 40.
Lời giải: Áp dụng tính chất mở rộng cho ba tỉ số: a/2 = b/3 = c/5 = (a + b + c)/(2 + 3 + 5) = 40/10 = 4. Từ a/2 = 4 suy ra a = 8; từ b/3 = 4 suy ra b = 12; từ c/5 = 4 suy ra c = 20. Vậy a = 8, b = 12, c = 20. Kiểm tra: 8 + 12 + 20 = 40 và 8/2 = 12/3 = 20/5 = 4, đúng.
Ví dụ 3. Tìm x và y, biết x/4 = y/7 và x − y = −9.
Lời giải: Vì đề bài cho hiệu nên ta dùng tính chất trừ: x/4 = y/7 = (x − y)/(4 − 7) = (−9)/(−3) = 3. Từ x/4 = 3 suy ra x = 12; từ y/7 = 3 suy ra y = 21. Vậy x = 12, y = 21. Kiểm tra: 12 − 21 = −9 và 12/4 = 21/7 = 3, đúng.
Ví dụ 4. Chia 360.000 đồng cho ba bạn An, Bình, Chi theo tỉ lệ 2 : 3 : 4. Hỏi mỗi bạn nhận được bao nhiêu tiền?
Lời giải: Gọi số tiền ba bạn nhận lần lượt là a, b, c (đồng). Theo đề bài, a/2 = b/3 = c/4 và a + b + c = 360.000. Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: a/2 = b/3 = c/4 = 360.000/(2 + 3 + 4) = 360.000/9 = 40.000. Suy ra a = 80.000, b = 120.000, c = 160.000. Vậy An nhận 80.000 đồng, Bình nhận 120.000 đồng, Chi nhận 160.000 đồng.
7. Lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất: cộng tử với tử nhưng quên cộng mẫu với mẫu. Có bạn viết a/b = c/d = (a + c)/b, giữ nguyên mẫu b — sai hoàn toàn. Tính chất yêu cầu cộng cả tử và mẫu: (a + c)/(b + d). Bạn nhớ câu thần chú: "trên cộng thì dưới cũng cộng".
Lỗi thứ hai: dùng tính chất trừ khi hai mẫu bằng nhau, khiến mẫu mới bằng 0. Ví dụ x/5 = y/5 mà viết (x − y)/(5 − 5) là sai, vì mẫu 5 − 5 = 0 không có nghĩa. Trước khi trừ, hãy nhìn nhanh: hai mẫu có bằng nhau không? Nếu bằng nhau thì chỉ dùng được tính chất cộng.
Lỗi thứ ba: trộn dấu cộng và trừ lộn xộn — tử trừ mà mẫu cộng. Ví dụ viết (a − c)/(b + d) là sai. Quy tắc: tử cộng thì mẫu cộng, tử trừ thì mẫu trừ, từng cặp phải "đi cùng nhau". Bạn có thể kiểm tra bằng số: 10/6 = 5/3, (10 − 5)/(6 + 3) = 5/9 khác 5/3 — sai ngay.
Lỗi thứ tư: quên điều kiện các tỉ số phải có nghĩa, tức là mẫu số khác 0. Có bạn áp dụng tính chất cho dãy có mẫu bằng 0, hoặc cho dãy mà b + d = 0 (chẳng hạn b = 2, d = −2) rồi ra tỉ số (a + c)/0. Bất cứ khi nào mẫu bằng 0, tỉ số đó không tồn tại và tính chất không dùng được.
Lỗi thứ năm: chưa kiểm tra các tỉ số có bằng nhau không đã vội áp dụng tính chất. Ví dụ dãy 1/2 = 2/5: hai tỉ số này không bằng nhau (1/2 = 0,5 còn 2/5 = 0,4), nên không được viết 1/2 = 2/5 = (1 + 2)/(2 + 5) = 3/7. Tính chất chỉ đúng khi xuất phát từ một dãy tỉ số bằng nhau thật sự. Hãy kiểm tra nhanh bằng phép nhân chéo trước khi làm bài.
8. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tìm x và y, biết x/2 = y/3 và x + y = 25.
A. x = 15, y = 10
B. x = 10, y = 15
C. x = 5, y = 20
D. x = 12, y = 13
Câu 2. Tìm a, b, c biết a/4 = b/7 = c/9 và a + b + c = 60.
A. a = 10, b = 20, c = 30
B. a = 12, b = 20, c = 28
C. a = 12, b = 21, c = 27
D. a = 9, b = 21, c = 30
Câu 3. Tìm x và y, biết x/5 = y/8 và x − y = −12.
A. x = 20, y = 32
B. x = 32, y = 20
C. x = 16, y = 28
D. x = 15, y = 27
Câu 4. Dãy tỉ số nào sau đây là dãy tỉ số bằng nhau?
A. 1/2 = 3/5 = 2/4
B. 2/3 = 4/6 = 6/9
C. 1/4 = 2/7 = 3/10
D. 5/6 = 10/11 = 15/16
Câu 5. Tìm x, y, z biết x/3 = y/4 = z/5 và x + y + z = 48.
A. x = 10, y = 15, z = 23
B. x = 12, y = 16, z = 20
C. x = 14, y = 16, z = 18
D. x = 11, y = 17, z = 20
9. Bảng đáp án và lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | A | B | B |
Câu 1 — Đáp án B. Áp dụng tính chất cộng: x/2 = y/3 = (x + y)/(2 + 3) = 25/5 = 5. Từ x/2 = 5 suy ra x = 10; từ y/3 = 5 suy ra y = 15. Đáp án A sai vì đổi chỗ x và y: 15/2 = 7,5 khác 10/3, không thỏa mãn x/2 = y/3. Đáp án C sai vì 5 + 20 = 25 đúng tổng nhưng 5/2 khác 20/3. Đáp án D sai vì 12 + 13 = 25 đúng tổng nhưng 12/2 = 6 khác 13/3.
Câu 2 — Đáp án C. Áp dụng tính chất mở rộng: a/4 = b/7 = c/9 = (a + b + c)/(4 + 7 + 9) = 60/20 = 3. Suy ra a = 12, b = 21, c = 27. Đáp án A sai vì 10/4 = 2,5 khác 20/7. Đáp án B sai vì 12 + 20 + 28 = 60 đúng tổng nhưng 20/7 khác 12/4. Đáp án D sai vì 9/4 khác 21/7 = 3.
Câu 3 — Đáp án A. Đề cho hiệu nên dùng tính chất trừ: x/5 = y/8 = (x − y)/(5 − 8) = (−12)/(−3) = 4. Suy ra x = 20, y = 32. Đáp án B sai vì đổi chỗ x và y: 32 − 20 = 12 chứ không phải −12. Đáp án C sai vì 16/5 khác 28/8 = 3,5. Đáp án D sai vì 15/5 = 3 khác 27/8.
Câu 4 — Đáp án B. 2/3 = 4/6 = 6/9 vì cả ba đều bằng 2/3 (4/6 rút gọn thành 2/3, 6/9 rút gọn thành 2/3). Đáp án A sai vì 3/5 = 0,6 khác 1/2 = 0,5. Đáp án C sai vì 2/7 khác 1/4. Đáp án D sai vì 10/11 khác 5/6.
Câu 5 — Đáp án B. Áp dụng tính chất mở rộng: x/3 = y/4 = z/5 = (x + y + z)/(3 + 4 + 5) = 48/12 = 4. Suy ra x = 12, y = 16, z = 20. Đáp án A sai vì 10 + 15 + 23 = 48 đúng tổng nhưng 10/3 khác 15/4. Đáp án C sai vì 14/3 khác 16/4 = 4. Đáp án D sai vì 11/3 khác 17/4.
10. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Dãy tỉ số bằng nhau khác gì tỉ lệ thức?
Đáp: Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số (a/b = c/d), còn dãy tỉ số bằng nhau là đẳng thức của nhiều tỉ số nối tiếp nhau (a/b = c/d = e/f). Mọi dãy tỉ số bằng nhau đều chứa các tỉ lệ thức, và tính chất dãy tỉ số bằng nhau chính là mở rộng của tính chất tỉ lệ thức. Bạn có thể xem lại công thức tỉ số, tỉ số phần trăm để ôn lại nền tảng.
Hỏi: Có thể dùng tính chất này với số âm không?
Đáp: Có, hoàn toàn được, miễn là các tỉ số có nghĩa. Ví dụ (−6)/4 = (−3)/2, cộng tử: (−6) + (−3) = −9; cộng mẫu: 4 + 2 = 6; tỉ số mới (−9)/6 = −3/2 — vẫn đúng. Bạn chỉ cần cẩn thận với dấu khi cộng, trừ các số âm.
Hỏi: Khi nào dùng tính chất cộng, khi nào dùng tính chất trừ?
Đáp: Nhìn vào dữ kiện đề bài cho: nếu đề cho tổng (x + y = ...) thì dùng cộng; nếu đề cho hiệu (x − y = ...) thì dùng trừ. Nếu đề cho cả tổng lẫn hiệu thì bạn có thể dùng cả hai, nhưng thường chỉ cần một trong hai là đủ để tìm ra đáp số.
Hỏi: Dãy có ba tỉ số thì làm thế nào?
Đáp: Cộng (hoặc trừ) cả ba tử với nhau và cả ba mẫu với nhau: a/b = c/d = e/f = (a + c + e)/(b + d + f). Bạn cũng có thể trộn cộng và trừ, ví dụ (a − c + e)/(b − d + f), miễn là dấu ở tử và mẫu của từng cặp đi cùng nhau.
Hỏi: Làm sao kiểm tra nhanh đáp án mình tìm được?
Đáp: Thay x, y vừa tìm được vào cả hai điều kiện của đề bài: kiểm tra tỉ số có bằng nhau không (dùng phép nhân chéo) và kiểm tra tổng (hoặc hiệu) có đúng không. Bạn cũng có thể bấm máy tính Casio online để tính nhanh các phép chia và nhân chéo, tránh sai sót do tính nhẩm.
11. Kết luận
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau gói gọn trong hai câu thần chú: "tử cộng tử, mẫu cộng mẫu" và "tử trừ tử, mẫu trừ mẫu" — tỉ số mới vẫn bằng các tỉ số cũ. Nắm được hai câu này, bạn giải nhanh được cả họ bài toán: tìm hai số khi biết tổng và tỉ lệ, tìm hai số khi biết hiệu và tỉ lệ, chia một số thành các phần tỉ lệ, và cả những bài toán thực tế như chia tiền thưởng hay pha chế theo tỉ lệ. Điều kiện duy nhất cần nhớ là các tỉ số phải có nghĩa — mẫu số khác 0, và khi dùng tính chất trừ thì hiệu hai mẫu cũng phải khác 0. Hãy luyện tập thêm với 5 bài tập ở trên, và mỗi khi gặp bài toán chia tỉ lệ, đừng vội đặt ẩn rồi giải phương trình dài: hãy thử viết thành dãy tỉ số bằng nhau trước, biết đâu đáp số chỉ cách bạn có hai bước tính. Khi đã thành thạo, bạn sẽ thấy tính chất này còn là chìa khóa để học tiếp các bài về tính chất phép toán với phân số và đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ở các bài sau. Và nếu muốn đối chiếu kết quả thật nhanh, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn.