Bạn đã bao giờ thắc mắc vì sao 2 + 3 bằng 3 + 2, nhưng 5 − 3 lại không bằng 3 − 5? Vì sao tính 1/2 × (3/4 + 1/4) lại có thể tính nhanh bằng cách cộng trong ngoặc trước, mà cũng có thể "mở ngoặc" ra nhân từng số rồi cộng lại, đáp số vẫn như nhau? Những câu hỏi đó đều có chung một đáp án: các phép tính với phân số tuân theo ba tính chất cơ bản — giao hoán, kết hợp và phân phối. Nắm được ba tính chất này, bạn không chỉ tính đúng mà còn tính nhanh gấp nhiều lần, nhất là trong những bài toán dài mà chỉ cần nhìn thoáng qua đã biết nên gom số nào với số nào.
Trong sách giáo khoa Toán 6 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", các tính chất này được dạy ngay sau phép nhân và chia phân số, vì chúng là "công cụ tính nhanh" cho mọi phép tính bạn đã học: cộng, trừ, nhân, chia phân số. Ba tính chất này cũng giống hệt tính chất của phép tính với số tự nhiên và số nguyên mà bạn đã gặp ở các bài về tính chất phép cộng số tự nhiên — chỉ khác là giờ đây các con số mang thêm "cái đuôi" là mẫu số. Học xong bài này, bạn sẽ biết cách biến một phép tính dài ngoằng thành hai ba bước ngắn gọn.
1. Tính chất giao hoán: đổi chỗ, kết quả không đổi
Tính chất giao hoán nói rằng: đổi chỗ hai số hạng (hoặc hai thừa số) cho nhau thì tổng (hoặc tích) không thay đổi. Với phân số, công thức là: a/b + c/d = c/d + a/b và a/b × c/d = c/d × a/b.
Ví dụ: 2/3 + 5/6 = 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2. Đổi chỗ: 5/6 + 2/3 = 5/6 + 4/6 = 9/6 = 3/2. Cùng một đáp số. Với phép nhân: 4/5 × 3/2 = 12/10 = 6/5, đổi chỗ thành 3/2 × 4/5 = 12/10 = 6/5 — cũng vậy.
Tính chất này có ích khi nào? Khi một trong hai số "đẹp" hơn nếu đứng trước. Ví dụ tính 7/8 × 2/7: để nguyên thì nhân thẳng ra 14/56 rồi rút gọn thành 1/4; nhưng đổi chỗ thành 2/7 × 7/8 thì 7 ở tử và 7 ở mẫu triệt tiêu nhau ngay, còn 2/8 = 1/4 — nhanh hơn hẳn. Người tính nhanh không phải là người tính giỏi hơn, mà là người biết sắp xếp lại phép tính cho có lợi trước khi tính.
Chú ý quan trọng: tính chất giao hoán chỉ đúng với phép cộng và phép nhân. Phép trừ và phép chia KHÔNG có tính chất giao hoán. Ví dụ 5/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3, nhưng 1/6 − 5/6 = −4/6 = −2/3 — khác nhau hoàn toàn. Tương tự 3/4 : 1/2 = 3/2, còn 1/2 : 3/4 = 2/3. Bạn tuyệt đối không được đổi chỗ trong phép trừ và phép chia.
2. Tính chất kết hợp: gom nhóm nào trước cũng được
Tính chất kết hợp nói rằng: khi cộng (hoặc nhân) ba số trở lên, bạn gom nhóm hai số nào trước cũng được, tổng (hoặc tích) không đổi. Công thức: (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f) và (a/b × c/d) × e/f = a/b × (c/d × e/f).
Ví dụ với phép nhân: (1/2 × 2/3) × 3/4 = 1/3 × 3/4 = 3/12 = 1/4. Gom nhóm khác: 1/2 × (2/3 × 3/4) = 1/2 × 6/12 = 1/2 × 1/2 = 1/4. Hai cách, một đáp số. Ví dụ với phép cộng: (1/4 + 1/2) + 1/4 = 3/4 + 1/4 = 1; gom khác: 1/4 + (1/2 + 1/4) = 1/4 + 3/4 = 1 — cũng bằng 1.
Ứng dụng lớn nhất của tính chất kết hợp là "gom số đẹp": khi thấy hai phân số cộng lại bằng 1 hoặc nhân lại bằng 1, bạn gom chúng trước. Ví dụ tính 9/10 × 4/7 × 5/9: nhìn thấy 9/10 và 5/9 có 9 ở tử và mẫu triệt tiêu nhau, gom chúng trước: (9/10 × 5/9) × 4/7 = 45/90 × 4/7 = 1/2 × 4/7 = 2/7. Nếu nhân thẳng từ trái sang phải, bạn phải tính 36/70 × 5/9 = 180/630 rồi rút gọn — dài và dễ sai hơn nhiều.
Cũng như giao hoán, tính chất kết hợp chỉ đúng với phép cộng và phép nhân, không đúng với phép trừ và phép chia. Ví dụ (5/6 − 1/6) − 1/6 = 4/6 − 1/6 = 3/6 = 1/2, nhưng 5/6 − (1/6 − 1/6) = 5/6 − 0 = 5/6 — khác nhau. Nhớ kỹ: trừ và chia không được đổi nhóm tùy tiện.
3. Tính chất phân phối: một nhân với cả nhóm
Tính chất phân phối là tính chất "quyền lực" nhất trong ba tính chất: phép nhân phân phối đối với phép cộng và phép trừ. Công thức: a/b × (c/d + e/f) = a/b × c/d + a/b × e/f và a/b × (c/d − e/f) = a/b × c/d − a/b × e/f. Nói bằng lời: nhân một số với một tổng thì bằng nhân số đó với từng số hạng rồi cộng các kết quả lại.
Ví dụ: 1/2 × (3/4 + 1/4) = 1/2 × 1 = 1/2. Tính theo cách phân phối: 1/2 × 3/4 + 1/2 × 1/4 = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2. Hai cách đều ra 1/2. Trong ví dụ này, tính trong ngoặc trước nhanh hơn. Nhưng có những bài mà phân phối lại nhanh hơn hẳn: ví dụ (2/3 + 1/6) × 6 — tính trong ngoặc trước thì 2/3 + 1/6 = 5/6, rồi 5/6 × 6 = 5; phân phối thì 2/3 × 6 + 1/6 × 6 = 4 + 1 = 5. Cả hai đều ra 5, nhưng cách phân phối biến phép nhân phân số thành phép nhân với số tự nhiên — dễ tính nhẩm hơn.
Chiều ngược lại của phân phối cũng quan trọng không kém: đặt thừa số chung ra ngoài. Ví dụ 3/7 × 5/8 + 3/7 × 3/8: hai tích đều có thừa số chung 3/7, đặt ra ngoài thành 3/7 × (5/8 + 3/8) = 3/7 × 1 = 3/7. Bài toán dài ngoằng bỗng chỉ còn một phép nhân. Đây chính là "chiêu" tính nhanh mà các bạn giỏi toán hay dùng: nhìn thấy thừa số chung là đặt ra ngoài ngay.
Bạn cần nhớ: phép nhân phân phối đối với phép cộng và phép trừ, nhưng phép cộng KHÔNG phân phối đối với phép nhân. Nghĩa là a/b + (c/d × e/f) không bằng (a/b + c/d) × (a/b + e/f). Đừng "mở ngoặc" bừa bãi — chỉ có phép nhân mới được phân phối vào trong ngoặc cộng, trừ.
4. Ba tính chất phối hợp: bài toán tính nhanh mẫu mực
Trong bài toán tính nhanh, cả ba tính chất thường phối hợp với nhau. Hãy xem một bài mẫu: tính 7/9 × 3/5 + 7/9 × 2/5. Bước 1: nhận ra hai tích có thừa số chung 7/9, dùng phân phối ngược để đặt ra ngoài: 7/9 × (3/5 + 2/5). Bước 2: trong ngoặc, 3/5 + 2/5 = 1. Bước 3: 7/9 × 1 = 7/9. Ba bước, xong. Nếu tính thẳng từng tích: 7/9 × 3/5 = 21/45 = 7/15; 7/9 × 2/5 = 14/45; cộng lại 7/15 + 14/45 = 21/45 + 14/45 = 35/45 = 7/9 — dài gấp ba lần.
Một bài mẫu nữa: tính 5/6 × 7/8 × 6/5. Nhìn qua, bạn thấy 5/6 và 6/5 là hai phân số nghịch đảo nhau — tích của chúng bằng 1. Dùng giao hoán để đưa 6/5 lại gần 5/6, rồi dùng kết hợp để gom: (5/6 × 6/5) × 7/8 = 1 × 7/8 = 7/8. Chỉ một dòng là xong. Mẹo ở đây là: tìm cặp nghịch đảo trước, gom chúng lại, phần còn lại tự nhiên hiện ra.
Quy trình tính nhanh gợi ý cho mọi bài toán: bước 1, nhìn xem có thừa số chung để đặt ra ngoài không; bước 2, tìm cặp số cộng lại bằng 1 hoặc nhân lại bằng 1 để gom trước; bước 3, dùng giao hoán để đưa các số "đẹp" về gần nhau; bước 4, tính phần còn lại. Làm quen với quy trình này, bạn sẽ thấy các bài tính nhanh trong đề kiểm tra không còn đáng sợ nữa.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính bằng hai cách: 1/2 × (3/4 + 1/4).
Lời giải: Cách 1 — tính trong ngoặc trước: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1, rồi 1/2 × 1 = 1/2. Cách 2 — phân phối: 1/2 × 3/4 + 1/2 × 1/4 = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2. Hai cách cùng ra 1/2, chứng tỏ tính chất phân phối đúng.
Ví dụ 2. Tính 2/3 + 5/6 rồi đổi chỗ hai số hạng và tính lại.
Lời giải: 2/3 + 5/6 = 4/6 + 5/6 = 9/6 = 3/2. Đổi chỗ: 5/6 + 2/3 = 5/6 + 4/6 = 9/6 = 3/2. Kết quả không đổi — đó là tính chất giao hoán của phép cộng.
Ví dụ 3. Tính nhanh (1/2 × 2/3) × 3/4 bằng cách gom nhóm khác.
Lời giải: Gom nhóm cũ: (1/2 × 2/3) × 3/4 = 1/3 × 3/4 = 3/12 = 1/4. Gom nhóm mới: 1/2 × (2/3 × 3/4) = 1/2 × 6/12 = 1/2 × 1/2 = 1/4. Hai cách cùng ra 1/4 — đó là tính chất kết hợp của phép nhân.
Ví dụ 4. Tính nhanh 7/9 × 3/5 + 7/9 × 2/5.
Lời giải: Hai tích có thừa số chung 7/9. Đặt 7/9 ra ngoài: 7/9 × (3/5 + 2/5) = 7/9 × 5/5 = 7/9 × 1 = 7/9. Vậy kết quả là 7/9.
6. Lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất: áp dụng giao hoán cho phép trừ và phép chia. Ví dụ 5/6 − 1/6 đổi thành 1/6 − 5/6 = −2/3 là sai; đáp án đúng là 2/3. Bạn nhớ: chỉ cộng và nhân mới được đổi chỗ.
Lỗi thứ hai: áp dụng kết hợp cho phép trừ và phép chia. Ví dụ (5/6 − 1/6) − 1/6 = 1/2 nhưng 5/6 − (1/6 − 1/6) = 5/6 — hai kết quả khác nhau. Dấu ngoặc trong phép trừ không được dời tùy tiện.
Lỗi thứ ba: phân phối nhầm — cộng phân phối đối với nhân. Ví dụ 1/2 + (1/3 × 1/4) mà "mở" thành (1/2 + 1/3) × (1/2 + 1/4) là sai hoàn toàn. Chỉ có phép nhân mới phân phối vào ngoặc cộng, trừ; phép cộng không phân phối vào ngoặc nhân.
Lỗi thứ tư: phân phối mà quên nhân một số hạng trong ngoặc. Ví dụ 2/3 × (3/4 + 1/2) mà chỉ tính 2/3 × 3/4 = 1/2 rồi quên mất 2/3 × 1/2 = 1/3. Đáp án đúng là 1/2 + 1/3 = 5/6. Khi mở ngoặc, bạn phải nhân với TỪNG số hạng, không bỏ sót số nào.
Lỗi thứ năm: đặt thừa số chung ra ngoài nhưng quên chia các số hạng còn lại. Ví dụ 3/7 × 5/8 + 3/7 × 3/8 = 3/7 × (5/8 + 3/8) là đúng; nhưng có bạn viết 3/7 × (5 + 3) rồi quên mẫu 8, ra 24/7 là sai. Khi đặt thừa số chung ra ngoài, phần còn lại trong ngoặc vẫn là các phân số nguyên vẹn.
7. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính nhanh 3/7 × 5/8 + 3/7 × 3/8.
A. 3/7
B. 5/8
C. 1
D. 8/7
Câu 2. Tính 4/5 × 3/2 (gợi ý: đổi chỗ hai thừa số để rút gọn trước).
A. 6/5
B. 5/6
C. 12/7
D. 2/3
Câu 3. Tính (2/3 + 1/6) × 6.
A. 5
B. 4
C. 6
D. 5/6
Câu 4. Đẳng thức nào sau đây SAI?
A. 1/2 + 1/3 = 1/3 + 1/2
B. (1/2 × 2/3) × 3/4 = 1/2 × (2/3 × 3/4)
C. 2/5 × (3/4 − 1/4) = 2/5 × 3/4 − 2/5 × 1/4
D. 1/2 × 3/4 = 1/2 + 3/4
Câu 5. Tính nhanh 9/10 × 4/7 × 5/9.
A. 2/7
B. 4/7
C. 1/2
D. 5/7
8. Bảng đáp án và lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | A | A | D | A |
Câu 1 — Đáp án A. Hai tích có thừa số chung 3/7, đặt ra ngoài: 3/7 × (5/8 + 3/8) = 3/7 × 8/8 = 3/7 × 1 = 3/7. Đáp án B sai vì lấy luôn một trong hai phân số trong ngoặc làm đáp số. Đáp án C sai vì tưởng 5/8 + 3/8 = 1 thì cả bài bằng 1 — quên mất thừa số 3/7 đứng ngoài. Đáp án D sai vì lấy nghịch đảo của 7/8.
Câu 2 — Đáp án A. Đổi chỗ: 3/2 × 4/5, rút gọn chéo 4 với 2 được 2 và 1, còn 3/1 × 2/5 = 6/5. Tính thẳng cũng vậy: 4/5 × 3/2 = 12/10 = 6/5. Đáp án B là nghịch đảo của đáp án đúng — bạn nào lật ngược kết quả sẽ chọn nhầm. Đáp án C sai vì không xuất hiện trong phép tính đúng nào: nhân tử với tử được 12, nhân mẫu với mẫu được 10, không có cách nào ra 12/7. Đáp án D sai vì lấy nhầm 2/3 — đó là một thừa số trong bài, không phải kết quả.
Câu 3 — Đáp án A. Phân phối: 2/3 × 6 + 1/6 × 6 = 4 + 1 = 5. Tính trong ngoặc trước cũng vậy: 2/3 + 1/6 = 5/6, 5/6 × 6 = 5. Đáp án B sai vì chỉ tính 2/3 × 6 = 4 rồi quên mất 1/6 × 6 = 1. Đáp án C sai vì lấy luôn số 6 đứng ngoài ngoặc làm đáp số. Đáp án D sai vì tính trong ngoặc ra 5/6 rồi quên nhân với 6.
Câu 4 — Đáp án D. 1/2 × 3/4 = 3/8, còn 1/2 + 3/4 = 5/4 — hai vế khác nhau nên đẳng thức D sai. Đáp án A đúng vì phép cộng có tính giao hoán. Đáp án B đúng vì phép nhân có tính kết hợp: vế trái (1/2 × 2/3) × 3/4 = 1/3 × 3/4 = 1/4; vế phải 1/2 × (2/3 × 3/4) = 1/2 × 1/2 = 1/4. Đáp án C đúng vì phép nhân phân phối đối với phép trừ: vế phải 2/5 × 3/4 − 2/5 × 1/4 = 6/20 − 2/20 = 4/20 = 1/5; vế trái 2/5 × (3/4 − 1/4) = 2/5 × 1/2 = 1/5.
Câu 5 — Đáp án A. Gom 9/10 với 5/9 trước (kết hợp): (9/10 × 5/9) × 4/7 = 45/90 × 4/7 = 1/2 × 4/7 = 4/14 = 2/7. Đáp án B sai vì tính 1/2 × 4/7 = 2/7 rồi lại nhân thêm 2. Đáp án C sai vì chỉ tính 9/10 × 5/9 = 1/2 rồi quên nhân với 4/7. Đáp án D sai vì lấy 5/7 trong phép tính nhầm (4 + 1)/7.
9. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Tính chất giao hoán và kết hợp có dùng được cho phép trừ phân số không?
Đáp: Không. Phép trừ không có tính giao hoán (5/6 − 1/6 khác 1/6 − 5/6) và không có tính kết hợp (đổi nhóm trong phép trừ làm đổi kết quả). Chỉ phép cộng và phép nhân mới có hai tính chất này.
Hỏi: Khi nào nên tính trong ngoặc trước, khi nào nên phân phối ra ngoài?
Đáp: Nếu trong ngoặc cộng lại được số đẹp (bằng 1, bằng số nguyên) thì tính trong ngoặc trước. Nếu số ngoài ngoặc nhân với từng số hạng trong ngoặc cho kết quả đẹp (số nguyên, phân số đơn giản) thì phân phối ra ngoài. Làm nhiều bài tập, bạn sẽ nhìn ra ngay cách nào nhanh hơn.
Hỏi: Đặt thừa số chung ra ngoài khác gì với rút gọn phân số?
Đáp: Rút gọn phân số là chia cả tử và mẫu cho cùng một số. Đặt thừa số chung ra ngoài là dùng tính chất phân phối ngược: từ a × b + a × c thành a × (b + c). Hai việc khác nhau, nhưng đều giúp phép tính gọn lại.
Hỏi: Phép nhân có phân phối đối với phép chia không?
Đáp: Không có tính chất "nhân phân phối đối với chia" trong chương trình lớp 6. Bạn chỉ dùng phân phối với cộng và trừ. Gặp phép chia trong ngoặc, hãy đổi phép chia thành phép nhân với nghịch đảo trước rồi mới xét đến phân phối.
Hỏi: Làm sao kiểm tra mình đã dùng đúng tính chất chưa?
Đáp: Tính lại bài đó bằng cách tính thẳng từng bước (không dùng tính chất) rồi so sánh hai đáp số. Nếu khớp nhau thì bạn đã dùng đúng. Bạn cũng có thể bấm máy tính Casio online để đối chiếu kết quả cuối cùng.
10. Kết luận
Ba tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối là ba "chiêu" tính nhanh mà mọi học sinh giỏi toán đều thuộc nằm lòng. Giao hoán cho phép bạn đổi chỗ hai số để rút gọn dễ hơn; kết hợp cho phép bạn gom nhóm các số đẹp lại với nhau; phân phối cho phép bạn mở ngoặc hoặc đặt thừa số chung ra ngoài để biến phép tính dài thành phép tính ngắn. Ba tính chất chỉ áp dụng cho phép cộng và phép nhân — trừ và chia không được đổi chỗ hay đổi nhóm tùy tiện. Hãy luyện tập thêm với 5 bài tập ở trên, và mỗi khi gặp bài tính dài, đừng vội tính ngay: hãy dừng lại vài giây, nhìn xem có thừa số chung không, có cặp số nào cộng hay nhân lại bằng 1 không, rồi mới chọn cách tính. Vài giây suy nghĩ đó sẽ tiết kiệm cho bạn nhiều phút tính toán — và nhiều điểm số. Khi đã thành thạo, bạn sẽ thấy phép tính với số thập phân cũng dùng đúng ba tính chất này, vì chúng là quy luật chung của mọi phép tính. Và nếu muốn kiểm tra nhanh kết quả, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn — người bạn đồng hành đáng tin cậy trong mọi bài toán.