Phép cộng số tự nhiên: a + b = b + a và (a + b) + c

Chiều thứ bảy, Minh ngồi xổm bên thềm nhà, đổ cả túi bi ra nền gạch rồi chia thành từng đống nhỏ để đếm. Đống bên trái có mười bảy viên bi xanh, đống bên phải có hai mươi lăm viên bi đỏ. Minh đếm từ trái sang phải, được bốn mươi hai viên. Rồi cậu đổi chiều, đếm từ phải sang trái, vẫn được bốn mươi hai viên. Minh cười toe toét: "Đếm xuôi hay đếm ngược thì số bi vẫn thế, chỉ cần mình đừng đếm sót viên nào là được!"

Sáng hôm sau, mẹ đưa Minh năm mươi nghìn đồng đi chợ mua rau. Minh mua bó rau muống mười hai nghìn, mớ rau thơm tám nghìn, rồi ghé hàng trái cây mua thêm một nải chuối hai mươi nghìn. Trên đường về, cậu nhẩm tính: mười hai cộng tám bằng hai mươi, hai mươi cộng hai mươi bằng bốn mươi, vậy là còn thừa mười nghìn. Đến nhà, mẹ hỏi: "Con tính thế nào mà nhanh vậy?" Minh đáp: "Con gộp mười hai với tám trước cho tròn hai mươi, rồi mới cộng hai mươi, dễ hơn là cộng lần lượt từng số ạ!" Câu chuyện nhỏ ấy chính là bài học hôm nay: phép cộng số tự nhiên có những tính chất rất hiền lành, mà một khi đã hiểu rõ, bạn sẽ tính nhẩm nhanh hơn hẳn, ít sai hơn hẳn, và thấy Toán gần gũi như chuyện đếm bi, chuyện đi chợ mỗi ngày.

Cộng hai số tự nhiên là gì?

Trước khi học tính chất, chúng ta cùng nhắc lại thật chắc phép cộng là gì, vì nhiều bạn tính nhanh nhưng lại lúng túng khi phải giải thích. Số tự nhiên là các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... đếm mãi không hết. Khi ta gộp hai nhóm đồ vật lại với nhau và đếm xem tất cả có bao nhiêu, ta đang thực hiện phép cộng. Ví dụ, bạn có 3 quả táo, bạn của bạn cho thêm 5 quả táo nữa, bạn gộp lại và đếm được 8 quả táo. Ta viết 3 + 5 = 8. Trong phép tính này, 3 và 5 được gọi là các số hạng, dấu + được gọi là dấu cộng, còn 8 được gọi là tổng. Nói cách khác, tổng chính là kết quả của việc gộp các số hạng lại với nhau.

Phép cộng số tự nhiên có một điểm rất dễ chịu: cộng hai số tự nhiên bao giờ cũng được một số tự nhiên. Cộng 4 với 9 được 13, cộng 100 với 250 được 350, cộng 0 với 7 được 7, tất cả đều là số tự nhiên, không bao giờ "rơi" ra ngoài tập hợp số tự nhiên. Điều này nghe có vẻ hiển nhiên, nhưng nó là nền tảng để chúng ta yên tâm cộng nhiều số với nhau, cộng số lớn với số lớn, mà không sợ kết quả biến thành một thứ gì lạ lẫm. Khi cộng nhiều số, ví dụ 4 + 5 + 6, ta thường cộng từ trái sang phải: 4 + 5 = 9, rồi 9 + 6 = 15. Cách cộng lần lượt này luôn đúng, nhưng chưa phải là cách nhanh nhất. Bài học hôm nay sẽ cho bạn thêm những "đường tắt" hợp lệ, những cách đổi chỗ và gộp nhóm giúp phép tính trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều, mà kết quả vẫn đúng y như cũ.

Ba tính chất cần nhớ

Phép cộng số tự nhiên có ba tính chất quan trọng. Ba tính chất này không phải là quy định do ai đó đặt ra cho vui, mà là những sự thật luôn đúng với mọi số tự nhiên. Bạn có thể thử với bất cứ cặp số nào, bất cứ bộ ba số nào, kết quả cũng đều khớp. Bảng dưới đây tóm tắt cả ba tính chất trong một cái nhìn, sau đó chúng ta sẽ đi sâu vào từng tính chất một, kèm ví dụ nhỏ và cách nhớ lâu.

Trong bảng trên, các chữ a, b, c là những chữ cái thay cho bất cứ số tự nhiên nào. Khi bạn thấy a + b = b + a, hãy hiểu rằng a có thể là 3, là 17, là 125 hay là 1.000, b cũng vậy, đẳng thức vẫn luôn đúng. Cách viết bằng chữ cái giúp chúng ta nói gọn một sự thật áp dụng cho vô số trường hợp, thay vì phải liệt kê 3 + 5 = 5 + 3, 4 + 9 = 9 + 4, 12 + 30 = 30 + 12, ... dài mãi không hết. Đây cũng là bước đầu tiên để bạn làm quen với cách viết công thức tổng quát trong Toán học, một kỹ năng sẽ theo bạn suốt những năm trung học cơ sở.

Tính chất giao hoán: a + b = b + a.
Tính chất giao hoán nói rằng khi cộng hai số, bạn đổi chỗ hai số hạng cho nhau thì tổng vẫn không thay đổi. Ví dụ 3 + 5 = 8 và 5 + 3 = 8, hai phép tính cho cùng một kết quả. Hãy tưởng tượng bạn có 3 quả táo đỏ và 5 quả táo xanh trên bàn. Bạn đếm táo đỏ trước rồi đếm táo xanh sau, hay đếm táo xanh trước rồi đếm táo đỏ sau, thì trên bàn vẫn có đúng 8 quả táo, vì bạn có đếm thêm hay bớt quả nào đâu, chỉ là thứ tự đếm thay đổi mà thôi. Tính chất này cực kỳ hữu ích khi tính nhẩm: nếu một phép cộng có một số hạng nhỏ và một số hạng lớn, bạn có thể đổi chỗ để bắt đầu từ số lớn cho dễ nhớ. Ví dụ 2 + 47, nhiều bạn thấy dễ hơn khi nghĩ thành 47 + 2, vì bắt đầu từ 47 rồi đếm thêm 2 thì rất nhẹ nhàng. Một ví dụ khác: 9 + 136, đổi thành 136 + 9 cũng giúp bạn cộng nhanh hơn, vì bạn chỉ cần đếm thêm 9 từ 136. Tuy nhiên, hãy cẩn thận: tính chất giao hoán chỉ đúng với phép cộng và phép nhân, không đúng với phép trừ và phép chia. Bạn sẽ thấy rõ điều này ở phần lỗi sai thường gặp cuối bài, với ví dụ 100 − 30 khác hẳn 30 − 100 trong tập hợp số tự nhiên.

Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c).
Tính chất kết hợp nói rằng khi cộng ba số, bạn gộp hai số nào trước cũng được, tổng cuối cùng vẫn như nhau. Dấu ngoặc trong công thức chỉ cho biết cặp số nào được cộng trước. Ví dụ (2 + 4) + 6: ta cộng 2 + 4 = 6 trước, rồi 6 + 6 = 12. Còn 2 + (4 + 6): ta cộng 4 + 6 = 10 trước, rồi 2 + 10 = 12. Hai cách đi khác nhau nhưng cùng đến một đích là 12. Hãy tưởng tượng bạn có ba túi bi: túi thứ nhất 2 viên, túi thứ hai 4 viên, túi thứ ba 6 viên. Bạn đổ túi thứ nhất và túi thứ hai vào hộp trước, rồi đổ túi thứ ba vào sau, hộp có 12 viên. Bạn đổi cách khác, đổ túi thứ hai và túi thứ ba vào hộp trước, rồi đổ túi thứ nhất vào sau, hộp vẫn có 12 viên. Tính chất kết hợp là "vũ khí" mạnh nhất để tính nhẩm nhanh, vì nó cho phép bạn chọn cặp số nào gộp lại thành số tròn chục, tròn trăm trước. Ví dụ 17 + 25 + 75, nếu cộng lần lượt thì 17 + 25 = 42, rồi 42 + 75 = 117, bạn phải làm một phép cộng hai chữ số khá nặng. Nhưng nếu dùng tính chất kết hợp để gộp 25 + 75 = 100 trước, phép tính trở thành 17 + 100 = 117, nhẹ nhàng hơn hẳn. Đây chính là ví dụ gốc mà bài học yêu cầu bạn phải nhớ, chúng ta sẽ gặp lại nó ở Ví dụ 2.

Tính chất cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a.
Tính chất này nói rằng cộng bất cứ số tự nhiên nào với 0 thì kết quả vẫn là chính số đó. Ví dụ 7 + 0 = 7, 0 + 7 = 7, 125 + 0 = 125, 0 + 0 = 0. Số 0 trong phép cộng giống như một chiếc túi rỗng: đổ thêm một túi rỗng vào hộp bi thì số bi trong hộp không tăng thêm viên nào. Tính chất này tuy đơn giản nhưng lại là nơi nhiều bạn mắc lỗi nhất, vì các bạn hay nhầm với phép nhân, trong đó nhân với 0 thì kết quả bằng 0. Hãy ghi nhớ thật kỹ sự khác biệt này: cộng với 0 thì số giữ nguyên, nhân với 0 thì kết quả bằng 0. Hai quy tắc này hoàn toàn khác nhau, đừng để chúng "đánh lộn" trong đầu bạn. Tính chất cộng với số 0 còn giúp bạn kiểm tra nhanh một phép tính: nếu bạn thấy một số hạng bằng 0 trong một tổng dài, bạn có thể bỏ qua nó mà không làm thay đổi kết quả, ví dụ 45 + 0 + 32 = 45 + 32 = 77. Khi học lên các lớp trên, bạn sẽ thấy số 0 còn được gọi là "phần tử trung hòa" của phép cộng, một cái tên nghe rất oai nhưng ý nghĩa thì đúng như hình ảnh chiếc túi rỗng vừa rồi.

Ba tính chất này thường đi cùng nhau trong một bài toán. Khi bạn gặp một tổng có nhiều số hạng, bạn có thể vừa đổi chỗ các số hạng nhờ tính chất giao hoán, vừa gộp nhóm lại nhờ tính chất kết hợp, để tạo ra những cặp số tròn chục, tròn trăm thật đẹp, rồi cộng thêm số 0 nếu có mà không cần bận tâm. Ví dụ 48 + 36 + 52, bạn đổi chỗ 36 và 52 để được 48 + 52 + 36, rồi gộp 48 + 52 = 100, cuối cùng 100 + 36 = 136. Chỉ trong ba bước ngắn, một phép cộng ba số hai chữ số đã trở thành một phép cộng với số tròn trăm mà ai cũng làm được trong đầu. Đó chính là sức mạnh của việc hiểu tính chất, thay vì chỉ cộng máy móc từ trái sang phải. Và để dùng được thành thạo, bạn cần hiểu vì sao các tính chất này luôn đúng, chứ không chỉ học thuộc lòng công thức.

Vì sao các tính chất này luôn đúng?

Toán học không bắt bạn tin một điều gì đó chỉ vì sách viết như vậy. Mỗi tính chất đều có lý do rất cụ thể, và bạn có thể tự mình kiểm chứng bằng những đồ vật ngay trên bàn học: chấm tròn, viên bi, que tính, hay những quả táo trong bức ảnh minh họa đầu bài. Phần này sẽ giải thích vì sao ba tính chất trên luôn đúng, bằng cách đếm chấm tròn và gộp nhóm đồ vật, để bạn không chỉ nhớ công thức mà còn hiểu tận gốc rễ của nó.

Hãy bắt đầu với tính chất giao hoán. Vẽ 3 chấm tròn màu đỏ thành một hàng, rồi vẽ 5 chấm tròn màu xanh thành một hàng ngay bên dưới, bạn có tất cả 8 chấm tròn. Bây giờ, hãy đổi vị trí hai hàng cho nhau: hàng 5 chấm xanh lên trên, hàng 3 chấm đỏ xuống dưới. Bạn có thêm hay bớt chấm tròn nào không? Không, bạn chỉ di chuyển các hàng, tổng số chấm tròn trên giấy vẫn là 8. Đó chính là ý nghĩa của 3 + 5 = 5 + 3. Phép cộng chỉ quan tâm có tất cả bao nhiêu đồ vật sau khi gộp lại, chứ không quan tâm bạn gộp nhóm nào trước, nhóm nào sau. Cũng giống như khi bạn đếm số học sinh trong lớp: đếm từ bàn đầu xuống bàn cuối hay đếm từ bàn cuối lên bàn đầu, sĩ số lớp vẫn là một con số duy nhất. Thứ tự đếm không tạo ra thêm học sinh, cũng không làm mất đi học sinh nào.

Tính chất kết hợp cũng có thể hiểu bằng cách gộp nhóm đồ vật. Giả sử bạn có ba nhóm que tính: nhóm thứ nhất 2 que, nhóm thứ hai 4 que, nhóm thứ ba 6 que. Cách thứ nhất, bạn buộc nhóm thứ nhất và nhóm thứ hai lại với nhau thành một bó 6 que, rồi gộp thêm nhóm thứ ba 6 que, được 12 que. Cách thứ hai, bạn buộc nhóm thứ hai và nhóm thứ ba lại với nhau thành một bó 10 que, rồi gộp thêm nhóm thứ nhất 2 que, cũng được 12 que. Dù bạn buộc bó nào trước, thì cuối cùng tất cả các que tính đều nằm chung trong một bó lớn, và số que tính trong bó lớn ấy không thể thay đổi chỉ vì bạn buộc theo thứ tự khác nhau. Dấu ngoặc trong công thức (a + b) + c = a + (b + c) chính là "sợi dây buộc" ấy: nó chỉ cho biết bạn buộc hai nhóm nào lại trước, còn tổng số đồ vật sau khi gộp hết thì vẫn vậy.

Còn tính chất cộng với số 0 thì còn dễ hình dung hơn nữa. Số 0 nghĩa là không có gì cả, một nhóm rỗng, một chiếc hộp trống. Gộp một nhóm có 7 viên bi với một nhóm không có viên bi nào, bạn vẫn có 7 viên bi. Gộp một nhóm rỗng với một nhóm có 7 viên bi, bạn cũng vẫn có 7 viên bi. Không có gì được thêm vào, nên tổng không thể thay đổi. Đây là lý do vì sao a + 0 = a luôn đúng, với mọi số tự nhiên a. Bạn có thể thử với bất cứ số nào: 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 1, 99 + 0 = 99, 1.000 + 0 = 1.000, tất cả đều đúng, vì "không có gì" cộng vào thì chẳng làm thay đổi điều gì cả.

Một điểm quan trọng cần nhấn mạnh: ba tính chất này đúng với mọi số tự nhiên, không có ngoại lệ. Bạn có thể thử với số nhỏ như 1, 2, 3, hay số lớn như 999, 1.234, 56.789, kết quả vẫn khớp. Chính vì tính đúng đắn tuyệt đối ấy mà người ta mới gọi chúng là "tính chất", chứ không phải là "mẹo" hay "thủ thuật" chỉ đúng trong vài trường hợp. Mẹo có thể đúng lúc này mà sai lúc khác, còn tính chất thì luôn đúng. Khi bạn đã hiểu vì sao chúng luôn đúng bằng cách đếm chấm tròn và gộp nhóm đồ vật, bạn sẽ tự tin dùng chúng trong mọi bài toán, từ bài tập trên lớp đến những phép tính nhẩm nhanh trong đời sống hằng ngày, như tính tiền đi chợ cùng mẹ hay chia bi với bạn bè. Nếu bạn muốn luyện thêm tính chất tương tự nhưng cho phép nhân, hãy đọc bài về tính chất phép nhân số tự nhiên, nơi tính giao hoán và kết hợp cũng xuất hiện với một diện mạo rất quen thuộc.

Ví dụ 1

Đề bài: Tính 48 + 36 + 52 = ?
Phân tích: Đây là một tổng có ba số hạng, trong đó 48 và 52 là một cặp rất đẹp: 48 + 52 = 100, một số tròn trăm. Nếu cộng lần lượt từ trái sang phải, ta phải tính 48 + 36 = 84, rồi 84 + 52 = 136, hai phép cộng đều phải nhớ, dễ sai. Nhưng nếu ta đổi chỗ 36 và 52 cho nhau rồi gộp 48 với 52 trước, phép tính trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều. Đây là cách dùng kết hợp cả tính chất giao hoán và tính chất kết hợp trong cùng một bài toán, một kỹ năng bạn sẽ dùng đi dùng lại rất nhiều lần.

Lời giải từng bước:
Bước 1: Quan sát ba số hạng 48, 36, 52 và tìm cặp số gộp lại thành số tròn chục hoặc tròn trăm. Ta thấy 48 + 52 = 100, vì 48 + 50 = 98, cộng thêm 2 nữa được 100.
Bước 2: Dùng tính chất giao hoán để đổi chỗ 36 và 52, viết lại tổng thành 48 + 52 + 36. Việc đổi chỗ này không làm thay đổi tổng, vì a + b = b + a.
Bước 3: Dùng tính chất kết hợp để gộp 48 và 52 trước: (48 + 52) + 36 = 100 + 36.
Bước 4: Cộng 100 + 36 = 136, một phép cộng với số tròn trăm rất dễ làm trong đầu.
Kết quả: 48 + 36 + 52 = 136.
Kiểm tra lại: Cộng lần lượt để đối chiếu: 48 + 36 = 84, 84 + 52 = 136. Hai cách cho cùng một kết quả, chứng tỏ đáp án 136 là đúng. Bạn hãy tập thói quen kiểm tra lại bằng cách cộng lần lượt như thế này mỗi khi làm bài, ít nhất là trong thời gian đầu, cho đến khi bạn đã thật sự tự tin với cách gộp nhóm.

Ví dụ 2

Đề bài: Tính 17 + 25 + 75 = ?
Phân tích: Đây là ví dụ gốc mà bài học yêu cầu bạn phải nhớ, vì nó thể hiện rõ nhất sức mạnh của tính chất kết hợp. Trong ba số hạng 17, 25, 75, cặp 25 và 75 gộp lại thành 100, một số tròn trăm. Nếu cộng lần lượt, 17 + 25 = 42, rồi 42 + 75 = 117, bạn phải cộng 42 với 75, một phép tính hai chữ số cần phải nhớ và cộng có nhớ ở hàng chục. Nhưng nếu gộp 25 với 75 trước, phép tính chỉ còn 17 + 100, ai cũng tính được ngay trong một giây.

Lời giải từng bước:
Bước 1: Quan sát ba số hạng và nhận ra 25 + 75 = 100, vì 25 + 70 = 95, cộng thêm 5 nữa được 100. Đây là cặp số tròn trăm mà ta cần gộp trước.
Bước 2: Dùng tính chất kết hợp để viết lại: 17 + 25 + 75 = 17 + (25 + 75). Dấu ngoặc cho biết ta cộng 25 với 75 trước.
Bước 3: Tính trong ngoặc trước: 25 + 75 = 100, nên phép tính trở thành 17 + 100.
Bước 4: Cộng 17 + 100 = 117, vì 100 cộng thêm 17 thì được 117.
Kết quả: 17 + 25 + 75 = 17 + (25 + 75) = 17 + 100 = 117.
Kiểm tra lại: Cộng lần lượt: 17 + 25 = 42, 42 + 75 = 117. Kết quả trùng khớp, đáp án 117 là đúng. Bạn hãy ghi nhớ "bộ ba" 17, 25, 75 này như một ví dụ mẫu mực: cứ thấy hai số có tổng tròn trăm là gộp ngay, đừng chần chừ cộng lần lượt. Sau này khi gặp những tổng dài hơn, ví dụ 17 + 25 + 75 + 33, bạn cũng làm tương tự: gộp 25 + 75 = 100 trước, rồi cộng 17 + 33 = 50, cuối cùng 100 + 50 = 150.

Ví dụ 3

Đề bài: Tìm số chưa biết x trong hai trường hợp sau: (a) x + 47 = 100; (b) 25 + x + 75 = 150.
Phân tích: Tìm số chưa biết là một dạng bài rất hay gặp trong sách giáo khoa lớp 6, và tính chất của phép cộng giúp chúng ta giải nó nhanh hơn. Trong trường hợp (a), ta biết một số hạng là 47, tổng là 100, cần tìm số hạng còn lại. Trong trường hợp (b), tổng có ba số hạng, trong đó hai số đã biết là 25 và 75, chúng gộp lại thành 100, nên việc tìm x trở nên rất đơn giản nếu ta gộp nhóm trước.

Lời giải từng bước:
Trường hợp (a): x + 47 = 100.
Bước 1: Muốn tìm số hạng chưa biết, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết: x = 100 − 47.
Bước 2: Tính 100 − 47 = 53, vì 100 − 40 = 60, 60 − 7 = 53.
Bước 3: Thử lại bằng cách thay x = 53 vào phép tính ban đầu: 53 + 47 = 100, đúng với đề bài.
Vậy x = 53.
Trường hợp (b): 25 + x + 75 = 150.
Bước 1: Dùng tính chất giao hoán và kết hợp để gộp 25 và 75 trước: 25 + 75 = 100, nên phép tính trở thành 100 + x = 150, hay viết lại là x + 100 = 150.
Bước 2: Muốn tìm số hạng chưa biết, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết: x = 150 − 100 = 50.
Bước 3: Thử lại bằng cách thay x = 50 vào phép tính ban đầu: 25 + 50 + 75 = 150, vì 25 + 50 = 75, 75 + 75 = 150, đúng với đề bài.
Vậy x = 50.
Kết quả: (a) x = 53; (b) x = 50.
Bài học rút ra: Khi tìm số chưa biết trong một tổng, đừng vội làm phép trừ ngay với những con số cồng kềnh. Hãy nhìn xem có cặp số nào gộp lại thành số tròn chục, tròn trăm hay không, gộp chúng trước rồi mới tìm x, phép trừ cuối cùng sẽ nhẹ nhàng hơn rất nhiều. Và luôn luôn thử lại bằng cách thay đáp án vào đề bài, vì một lần thử lại chỉ mất vài giây mà có thể cứu bạn khỏi một lỗi sai đáng tiếc.

Ví dụ 4

Đề bài: An có 125 viên bi, được cho thêm 38 viên, rồi mua thêm 62 viên. Hỏi An có tất cả bao nhiêu viên bi?
Phân tích: Đây là một bài toán thực tế, đúng kiểu chuyện đếm bi mở đầu bài học. An có sẵn 125 viên bi, sau đó số bi tăng thêm hai lần: lần thứ nhất được cho thêm 38 viên, lần thứ hai mua thêm 62 viên. Muốn biết tổng số bi, ta cộng cả ba số lại: 125 + 38 + 62. Nếu cộng lần lượt, 125 + 38 = 163, rồi 163 + 62 = 225, bạn phải cộng hai số ba chữ số với hai chữ số, khá nặng. Nhưng nếu để ý rằng 38 và 62 gộp lại thành 100, hoặc 125 và 62 gộp lại thành 187, bạn sẽ tìm được cách tính nhanh hơn. Trong lời giải dưới đây, chúng ta đổi chỗ 38 và 62 để gộp 125 với 62 trước, một cách làm cũng rất hay và cho cùng một kết quả.

Lời giải từng bước:
Bước 1: Tóm tắt bài toán bằng phép tính: tổng số bi = 125 + 38 + 62.
Bước 2: Dùng tính chất giao hoán để đổi chỗ 38 và 62, viết lại thành 125 + 62 + 38. Việc đổi chỗ này không làm thay đổi tổng số bi, vì An vẫn có đúng từng ấy viên bi dù đếm theo thứ tự nào.
Bước 3: Dùng tính chất kết hợp để gộp 125 và 62 trước: (125 + 62) + 38 = 187 + 38, vì 125 + 60 = 185, cộng thêm 2 nữa được 187.
Bước 4: Tính 187 + 38 = 225, vì 187 + 30 = 217, 217 + 8 = 225.
Kết quả: 125 + 38 + 62 = 125 + 62 + 38 = 187 + 38 = 225 viên bi.
Đáp số: An có tất cả 225 viên bi.
Kiểm tra lại: Thử gộp theo cách khác: 38 + 62 = 100, rồi 125 + 100 = 225. Hai cách khác nhau cho cùng một kết quả 225, chứng tỏ đáp án là đúng. Bạn thấy không, cùng một bài toán mà có tới hai cách gộp nhóm đều cho ra số tròn đẹp: gộp 38 với 62 thành 100, hoặc gộp 125 với 62 thành 187 rồi cộng 38. Cách nào cũng đúng, bạn hãy chọn cách nào mình thấy dễ nhất. Khi làm bài toán có lời văn, nhớ viết đầy đủ đáp số kèm đơn vị "viên bi", vì một đáp số thiếu đơn vị sẽ bị trừ điểm dù phép tính của bạn hoàn toàn đúng. Nếu bạn muốn kiểm tra kết quả nhanh bằng máy tính, hãy thử với máy tính Casio online trên Classon, nhưng hãy tự tính bằng tay trước, máy tính chỉ dùng để đối chiếu, không thay thế việc bạn hiểu bài.

Mẹo tính nhẩm với số tròn chục, tròn trăm

Sau bốn ví dụ trên, bạn đã thấy một nguyên tắc vàng: cứ gặp cặp số gộp lại thành số tròn chục hoặc tròn trăm thì gộp ngay. Phần này sẽ hệ thống lại các mẹo tính nhẩm ấy thành những quy tắc cụ thể, để bạn có thể áp dụng ngay trong bài kiểm tra mà không cần suy nghĩ lâu. Mẹo ở đây không phải là trò ảo thuật, mà là cách áp dụng trực tiếp tính chất giao hoán và tính chất kết hợp, nên nó luôn đúng, không có trường hợp ngoại lệ.

Mẹo 1: Nhớ các cặp số "bạn thân" tạo thành 10, 100, 1.000.
Các cặp số cộng lại bằng 10 là: 1 + 9, 2 + 8, 3 + 7, 4 + 6, 5 + 5. Các cặp số cộng lại bằng 100 là: 25 + 75, 35 + 65, 40 + 60, 15 + 85, 30 + 70, 45 + 55, 20 + 80, 10 + 90. Các cặp số cộng lại bằng 1.000 là: 250 + 750, 400 + 600, 125 + 875, 300 + 700. Bạn không cần học thuộc tất cả, chỉ cần nhớ nguyên tắc: hai số có tổng tròn là hai số mà chữ số hàng đơn vị cộng lại bằng 10, chữ số hàng chục cộng lại bằng 9, cứ thế tiếp tục. Ví dụ 25 + 75: 5 + 5 = 10, viết 0 nhớ 1, 2 + 7 = 9, cộng thêm 1 nhớ được 10, vậy tổng là 100. Khi đã quen, bạn sẽ nhận ra các cặp số này chỉ trong một cái liếc mắt, giống như nhận ra bạn thân trong đám đông vậy.

Mẹo 2: Gộp số tròn chục, tròn trăm trước, số lẻ cộng sau.
Khi gặp một tổng dài, hãy quét mắt tìm các số tròn chục, tròn trăm trước, cộng chúng lại với nhau, rồi mới cộng các số lẻ còn lại. Ví dụ 250 + 135 + 150 + 65: bạn thấy ngay 250 + 150 = 400, 135 + 65 = 200, rồi 400 + 200 = 600. Cả bài toán bốn số hạng chỉ còn là hai phép cộng tròn trăm và một phép cộng cuối cùng, nhanh hơn rất nhiều so với cộng lần lượt 250 + 135 = 385, rồi 385 + 150 = 535, rồi 535 + 65 = 600. Một ví dụ khác: 36 + 59 + 41, bạn gộp 59 + 41 = 100 trước, rồi 100 + 36 = 136. Mẹo này cũng chính là đáp án của Bài tập 1 ở cuối bài, bạn sẽ gặp lại nó ngay thôi.

Mẹo 3: Tách một số để tạo ra số tròn.
Đôi khi không có sẵn cặp số tròn đẹp, bạn có thể tách một số hạng ra để "vá" cho số hạng kia thành số tròn. Ví dụ 47 + 38: bạn tách 38 thành 33 + 5, rồi tính 47 + 3 = 50, nhưng ở đây ta tách 38 thành 3 + 35, vì 47 + 3 = 50, rồi 50 + 35 = 85. Cách làm này nghe có vẻ vòng vo, nhưng thực ra nó rất tự nhiên: bạn chỉ cần lấy từ số hạng thứ hai đúng phần còn thiếu để số hạng thứ nhất trở thành số tròn chục. Ví dụ khác: 68 + 27, bạn tách 27 thành 2 + 25, vì 68 + 2 = 70, rồi 70 + 25 = 95. Hãy luyện mẹo này với những phép cộng hai số hai chữ số trước, khi đã quen, bạn sẽ thấy mình tính nhẩm nhanh hơn cả lúc bấm máy tính.

Lỗi sai thường gặp

Biết tính chất là một chuyện, tránh được những lỗi sai mà rất nhiều bạn đã từng mắc phải lại là một chuyện khác. Phần này liệt kê bốn lỗi sai phổ biến nhất khi dùng tính chất của phép cộng, kèm theo giải thích cặn kẽ vì sao sai và cách sửa. Bạn hãy đọc thật kỹ, vì rất có thể bạn cũng từng mắc một trong bốn lỗi này mà không hay biết.

Lỗi 1: Tưởng rằng a + 0 = 0.
Đây là lỗi sai phổ biến nhất, và cũng là lỗi dễ hiểu nhất, vì nhiều bạn nhầm lẫn giữa phép cộng và phép nhân. Trong phép nhân, nhân bất cứ số nào với 0 cũng bằng 0, ví dụ 7 × 0 = 0, 125 × 0 = 0. Nhưng trong phép cộng, cộng với 0 thì số giữ nguyên: 7 + 0 = 7, 125 + 0 = 125, chứ không phải bằng 0. Vì sao lại khác nhau? Vì phép nhân với 0 nghĩa là "không có lần nào", ví dụ 7 × 0 nghĩa là không lấy lần nào số 7, nên kết quả là 0. Còn phép cộng với 0 nghĩa là "gộp thêm một nhóm rỗng", ví dụ 7 + 0 nghĩa là bạn có 7 viên bi, rồi gộp thêm một nhóm không có viên bi nào, bạn vẫn có 7 viên bi. Hai phép tính này mô tả hai tình huống hoàn toàn khác nhau, nên kết quả khác nhau là điều đương nhiên. Cách sửa: mỗi khi thấy số 0 trong một phép tính, hãy dừng lại một giây và tự hỏi: "Đây là phép cộng hay phép nhân?" Nếu là phép cộng, số giữ nguyên. Nếu là phép nhân, kết quả bằng 0. Chỉ một giây dừng lại ấy thôi cũng đủ để bạn tránh được lỗi sai này.

Lỗi 2: Áp dụng tính chất kết hợp cho phép trừ.
Nhiều bạn thấy tính chất kết hợp đúng với phép cộng thì nghĩ rằng nó cũng đúng với phép trừ, nhưng sự thật là không. Hãy xem ví dụ sau: 100 − 30 − 20. Tính lần lượt từ trái sang phải: 100 − 30 = 70, 70 − 20 = 50. Nhưng nếu bạn "gộp nhóm" sai cách thành 100 − (30 − 20), thì trong ngoặc 30 − 20 = 10, rồi 100 − 10 = 90. Kết quả 90 khác hẳn kết quả đúng là 50, sai tới 40 đơn vị. Vì sao lại sai? Vì phép trừ không có tính chất kết hợp: khi bạn đặt dấu ngoặc vào 30 − 20, bạn đã vô tình đổi dấu của số 20 từ trừ thành cộng, làm cho kết quả tăng lên. Trong phép cộng, gộp nhóm nào trước cũng được vì tất cả các số hạng đều được cộng vào. Trong phép trừ, thứ tự trừ rất quan trọng, trừ trước hay trừ sau cho ra kết quả khác nhau. Cách sửa: chỉ dùng tính chất giao hoán và kết hợp cho phép cộng và phép nhân, tuyệt đối không dùng cho phép trừ và phép chia. Khi gặp một biểu thức có cả cộng và trừ, hãy tính lần lượt từ trái sang phải, hoặc học kỹ quy tắc dấu ngoặc và thứ tự thực hiện phép tính ở bài về phép chia hết và phép chia có dư cùng các bài về thứ tự thực hiện phép tính trong chương trình lớp 6.

Lỗi 3: Cộng nhẩm sai hàng, ví dụ 47 + 38 = 85 chứ không phải 75.
Lỗi này xảy ra khi bạn cộng hàng đơn vị có nhớ mà quên cộng phần nhớ sang hàng chục. Tính 47 + 38: hàng đơn vị 7 + 8 = 15, viết 5 nhớ 1. Hàng chục 4 + 3 = 7, cộng thêm 1 nhớ được 8. Vậy kết quả đúng là 85. Nhưng nhiều bạn quên mất số 1 nhớ, chỉ cộng 4 + 3 = 7 ở hàng chục, nên ra kết quả sai là 75, thiếu đúng 10 đơn vị. Lỗi này rất phổ biến khi tính nhẩm nhanh, vì não của chúng ta dễ "đánh rơi" số nhớ khi phải làm nhiều việc cùng lúc. Cách sửa: khi cộng nhẩm, hãy nói thầm phần nhớ trong đầu, ví dụ "7 cộng 8 bằng 15, viết 5 nhớ 1", rồi khi cộng hàng chục thì nhắc lại "4 cộng 3 bằng 7, thêm 1 nhớ là 8". Hoặc dùng mẹo tách số ở phần trên: 47 + 38 = 47 + 3 + 35 = 50 + 35 = 85, cách này không cần nhớ số 1 lơ lửng trong đầu, vì bạn đã "vá" 47 thành 50 ngay từ đầu. Một cách kiểm tra nhanh: 47 gần 50, 38 gần 40, tổng phải gần 90, nên kết quả 75 là quá nhỏ, chắc chắn đã sai, còn 85 thì hợp lý. Thói quen ước lượng trước khi tính chính xác sẽ giúp bạn phát hiện lỗi sai ngay lập tức.

Lỗi 4: Gộp nhóm nhưng tính sai tổng tròn, ví dụ 25 + 75 = 100 chứ không phải 90.
Lỗi này xảy ra khi bạn đã biết phải gộp nhóm, nhưng lại tính sai tổng của cặp số tròn. Ví dụ 25 + 75, nhiều bạn nhẩm vội thành 90, vì các bạn cộng 2 + 7 = 9 ở hàng chục mà quên mất 5 + 5 = 10 ở hàng đơn vị, tức là còn 1 chục nhớ sang hàng trăm. Tính đúng phải là: 5 + 5 = 10, viết 0 nhớ 1, 2 + 7 = 9, cộng thêm 1 nhớ được 10, vậy tổng là 100. Một ví dụ tương tự: 35 + 65 = 100 chứ không phải 90, 45 + 55 = 100 chứ không phải 90, 15 + 85 = 100 chứ không phải 90. Tất cả các cặp số này đều có chữ số hàng đơn vị cộng lại bằng 10, nên luôn có 1 chục nhớ, và chính số nhớ ấy biến 90 thành 100. Cách sửa: khi gộp hai số thành số tròn, hãy tính thật chậm hàng đơn vị trước, kiểm tra xem có nhớ hay không, rồi mới cộng hàng chục. Hoặc nhớ thuộc lòng các cặp số "bạn thân" tạo thành 100 đã liệt kê ở phần mẹo tính nhẩm: 25 + 75, 35 + 65, 45 + 55, 15 + 85, 30 + 70, 40 + 60. Khi đã thuộc lòng, bạn sẽ không cần tính lại nữa, chỉ cần nhận ra cặp số là biết ngay tổng bằng 100. Và sau khi gộp nhóm xong, hãy kiểm tra lại bằng cách cộng lần lượt một lần nữa, như chúng ta đã làm ở các ví dụ trên.

Bài tập tự luyện

Năm bài tập dưới đây sẽ giúp bạn kiểm tra xem mình đã nắm vững ba tính chất của phép cộng hay chưa. Bạn hãy làm từng câu một, che đáp án lại, tính thật cẩn thận rồi mới đối chiếu với bảng đáp án và phần giải thích chi tiết phía dưới. Đừng chỉ xem mình đúng hay sai, hãy đọc kỹ phần giải thích vì sao từng lựa chọn sai lại sai, vì đó mới là nơi bạn học được nhiều nhất.

Câu 1: 36 + 59 + 41 = ?
A. 126
B. 136
C. 146
D. 116

Câu 2: 15 + 28 = 28 + 15 là tính chất nào?
A. Giao hoán
B. Kết hợp
C. Cộng với 0
D. Phân phối

Câu 3: x + 63 = 120, x = ?
A. 57
B. 67
C. 53
D. 183

Câu 4: 250 + 135 + 150 + 65 = ?
A. 600
B. 590
C. 610
D. 500

Câu 5: Cửa hàng bán 128 kg gạo buổi sáng, 72 kg buổi chiều, 100 kg buổi tối. Cả ngày bán bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
A. 290
B. 300
C. 310
D. 280

Câu 1 — Đáp án B.
Giải thích cặn kẽ: Ta gộp 59 + 41 = 100 trước, vì 59 + 40 = 99, cộng thêm 1 nữa được 100. Sau đó cộng 100 + 36 = 136, nên đáp án đúng là B. Lựa chọn A là 126 sai vì thiếu 10 đơn vị, có thể do bạn cộng 59 + 41 thành 90 mà quên số nhớ ở hàng đơn vị, rồi 90 + 36 = 126. Lựa chọn C là 146 sai vì thừa 10 đơn vị, có thể do bạn cộng nhầm 59 + 41 thành 110, rồi 110 + 36 = 146. Lựa chọn D là 116 sai vì thiếu tới 20 đơn vị, có thể do bạn cộng lần lượt mà quên nhớ ở cả hai phép cộng. Bài này kiểm tra đúng kỹ năng gộp cặp số tròn trăm, giống hệt Ví dụ 1 và Ví dụ 2 trong bài.

Câu 2 — Đáp án A.
Giải thích cặn kẽ: Phép tính 15 + 28 = 28 + 15 chỉ đổi chỗ hai số hạng 15 và 28 cho nhau, tổng vẫn bằng 43, đó chính là tính chất giao hoán, nên đáp án đúng là A. Lựa chọn B là tính chất kết hợp sai vì tính chất kết hợp cần tới ba số hạng và dấu ngoặc, ví dụ (15 + 28) + 10 = 15 + (28 + 10), còn ở đây chỉ có hai số hạng và không có dấu ngoặc nào. Lựa chọn C là tính chất cộng với số 0 sai vì trong phép tính này không có số 0 nào xuất hiện. Lựa chọn D là tính chất phân phối sai vì tính chất phân phối liên quan đến phép nhân với phép cộng, ví dụ a × (b + c) = a × b + a × c, còn ở đây chỉ có phép cộng, không có phép nhân nào. Bạn hãy nhớ: cứ thấy đổi chỗ hai số hạng là giao hoán, cứ thấy dấu ngoặc đổi vị trí với ba số hạng là kết hợp.

Câu 3 — Đáp án A.
Giải thích cặn kẽ: Muốn tìm số hạng chưa biết x, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết: x = 120 − 63 = 57, vì 120 − 60 = 60, 60 − 3 = 57. Thử lại: 57 + 63 = 120, đúng với đề bài, nên đáp án đúng là A. Lựa chọn B là 67 sai vì thừa 10 đơn vị, có thể do bạn tính 120 − 63 thành 120 − 53, tức là trừ thiếu 10. Lựa chọn C là 53 sai vì thiếu 4 đơn vị, có thể do bạn nhầm với đáp án của Ví dụ 3 trong bài, nơi x + 47 = 100 cho x = 53, nhưng ở đây số hạng đã biết là 63 chứ không phải 47. Lựa chọn D là 183 sai vì bạn đã cộng 120 + 63 thay vì trừ, mà tìm số hạng chưa biết thì phải trừ, không phải cộng. Đây là lỗi rất hay gặp: thấy hai số là cộng ngay, mà quên mất quy tắc "tổng trừ số hạng đã biết bằng số hạng chưa biết".

Câu 4 — Đáp án A.
Giải thích cặn kẽ: Ta gộp 250 + 150 = 400, vì hai số tròn chục này cộng lại thành số tròn trăm. Ta gộp 135 + 65 = 200, vì 135 + 60 = 195, cộng thêm 5 nữa được 200. Cuối cùng 400 + 200 = 600, nên đáp án đúng là A. Lựa chọn B là 590 sai vì thiếu 10 đơn vị, có thể do bạn tính 135 + 65 thành 190 mà quên số nhớ ở hàng đơn vị. Lựa chọn C là 610 sai vì thừa 10 đơn vị, có thể do bạn tính 250 + 150 thành 410. Lựa chọn D là 500 sai vì thiếu tới 100 đơn vị, có thể do bạn chỉ cộng 250 + 150 + 65 mà quên mất số hạng 135, hoặc cộng nhầm 135 + 65 thành 100. Bài này có bốn số hạng, nhưng nhờ gộp nhóm mà chỉ còn hai phép cộng tròn trăm, bạn hãy luyện cho quen mắt với những tổng dài như thế này, vì càng lên lớp trên, các tổng sẽ càng dài hơn.

Câu 5 — Đáp án B.
Giải thích cặn kẽ: Cả ngày cửa hàng bán được 128 + 72 + 100 ki-lô-gam gạo. Ta gộp 128 + 72 = 200 trước, vì 128 + 70 = 198, cộng thêm 2 nữa được 200. Sau đó cộng 200 + 100 = 300, nên đáp án đúng là B, tức là cả ngày bán được 300 kg gạo. Lựa chọn A là 290 sai vì thiếu 10 đơn vị, có thể do bạn tính 128 + 72 thành 190 mà quên số nhớ. Lựa chọn C là 310 sai vì thừa 10 đơn vị, có thể do bạn tính 128 + 72 thành 210. Lựa chọn D là 280 sai vì thiếu 20 đơn vị, có thể do bạn cộng lần lượt mà quên nhớ ở phép cộng đầu tiên. Khi làm bài toán có lời văn, bạn hãy viết phép tính ra giấy trước, rồi mới tính, đừng tính nhẩm toàn bộ trong đầu, vì chỉ cần viết ra là bạn đã giảm được một nửa nguy cơ sai sót. Và đừng quên đáp số phải kèm đơn vị ki-lô-gam, tức là 300 kg gạo.

Hỏi đáp nhanh

Câu hỏi 1: Tính chất giao hoán có dùng được cho phép trừ không?
Trả lời: Không. Tính chất giao hoán chỉ đúng với phép cộng và phép nhân, không đúng với phép trừ và phép chia. Ví dụ 15 − 8 = 7, nhưng 8 − 15 thì trong tập hợp số tự nhiên không thực hiện được, vì 8 nhỏ hơn 15, không trừ được. Ngay cả khi bạn đã học số nguyên ở lớp 6 học kỳ sau, 8 − 15 = −7, vẫn khác hẳn 15 − 8 = 7. Vì vậy, đừng bao giờ đổi chỗ hai số trong một phép trừ, vì thứ tự trừ quyết định kết quả. Muốn hiểu sâu hơn về phép trừ và phép chia, bạn có thể đọc bài về phép chia hết và phép chia có dư, nơi thứ tự thực hiện phép tính được giải thích rất rõ.

Câu hỏi 2: Khi nào nên dùng tính chất kết hợp?
Trả lời: Bạn nên dùng tính chất kết hợp bất cứ khi nào bạn thấy trong một tổng có hai số hạng gộp lại thành số tròn chục, tròn trăm hoặc tròn nghìn. Ví dụ 17 + 25 + 75 thì gộp 25 + 75 = 100, ví dụ 48 + 36 + 52 thì gộp 48 + 52 = 100, ví dụ 250 + 135 + 150 + 65 thì gộp 250 + 150 = 400 và 135 + 65 = 200.

Câu hỏi 3: Cộng với số 0 thì sao, có làm thay đổi kết quả không?
Trả lời: Không, cộng với số 0 thì số đó giữ nguyên: a + 0 = 0 + a = a. Ví dụ 7 + 0 = 7, 0 + 7 = 7, 125 + 0 = 125, 0 + 0 = 0. Số 0 trong phép cộng giống như một chiếc túi rỗng, gộp thêm túi rỗng vào thì số đồ vật không tăng thêm. Bạn cần phân biệt rõ với phép nhân: nhân với 0 thì kết quả bằng 0, ví dụ 7 × 0 = 0. Nhiều bạn nhầm hai quy tắc này với nhau nên mới mắc lỗi a + 0 = 0. Hãy ghi nhớ bằng một câu vần điệu: "Cộng không thì giữ nguyên, nhân không thì bằng không", đọc vài lần là nhớ ngay. Trong một tổng dài, nếu có số hạng bằng 0, bạn có thể bỏ qua nó mà không làm thay đổi kết quả, ví dụ 45 + 0 + 32 = 45 + 32 = 77.

Câu hỏi 4: Gộp nhóm nhiều số hạng như thế nào cho đúng?
Trả lời: Khi một tổng có nhiều số hạng, bạn hãy làm theo ba bước sau. Bước thứ nhất, quét mắt tìm các cặp số có tổng tròn chục, tròn trăm hoặc tròn nghìn, ví dụ 25 với 75, 48 với 52, 135 với 65. Bước thứ hai, dùng tính chất giao hoán để đưa các cặp số ấy lại gần nhau, rồi dùng tính chất kết hợp để gộp chúng trước, viết rõ dấu ngoặc để không bị nhầm. Bước thứ ba, cộng các kết quả tròn đẹp ấy lại với nhau, rồi cộng thêm các số lẻ còn lại nếu có. Ví dụ 36 + 59 + 41 + 24: bạn gộp 59 + 41 = 100, gộp 36 + 24 = 60, rồi 100 + 60 = 160. Lưu ý quan trọng: mỗi số hạng chỉ được dùng một lần, đừng gộp trùng một số vào hai nhóm khác nhau, và sau khi gộp xong hãy kiểm tra lại bằng cách cộng lần lượt để chắc chắn không bỏ sót hay cộng thừa số hạng nào. Với những tổng rất dài, bạn có thể gạch chân từng cặp số đã gộp để không bị rối mắt.

Câu hỏi 5: Các tính chất này có đúng với phân số và số thập phân không?
Trả lời: Có, hoàn toàn đúng. Tính chất giao hoán, kết hợp và cộng với số 0 không chỉ đúng với số tự nhiên mà còn đúng với phân số, số thập phân và nhiều loại số khác mà bạn sẽ học ở các lớp trên. Ví dụ với phân số: 1/2 + 1/3 = 1/3 + 1/2 = 5/6, đổi chỗ hai phân số thì tổng vẫn vậy. Ví dụ với số thập phân: 2,5 + 3,4 = 3,4 + 2,5 = 5,9, đổi chỗ hai số thập phân thì tổng vẫn vậy. Ví dụ với tính chất kết hợp: (0,5 + 0,5) + 1,2 = 0,5 + (0,5 + 1,2) = 2,2. Lý do cũng giống như với số tự nhiên: phép cộng chỉ quan tâm tổng số lượng sau khi gộp lại, chứ không quan tâm thứ tự gộp hay cách gộp nhóm. Đây là một tin rất vui, vì những gì bạn học hôm nay không chỉ dùng cho lớp 6 mà sẽ theo bạn suốt những năm học tiếp theo, từ phân số lớp 6 học kỳ hai, số thập phân, số hữu tỉ, cho đến số thực ở trung học phổ thông. Bạn càng hiểu sâu ba tính chất này bây giờ, sau này học các loại số mới sẽ càng nhẹ nhàng. Nếu bạn muốn xem tính chất tương tự áp dụng cho phép nhân như thế nào, hãy đọc bài về tính chất phép nhân số tự nhiên, và khi học tới lũy thừa, bài về lũy thừa với số mũ tự nhiên sẽ cho bạn thấy một thế giới tính toán mới, nơi phép cộng và phép nhân gặp nhau theo những cách rất thú vị.

Ba tính chất của phép cộng số tự nhiên — giao hoán a + b = b + a, kết hợp (a + b) + c = a + (b + c), và cộng với số 0 a + 0 = 0 + a = a — thoạt nhìn thì đơn giản, nhưng chúng là nền tảng của mọi phép tính nhanh mà bạn sẽ dùng suốt đời. Từ chuyện đếm bi của Minh, chuyện đi chợ cùng mẹ, đến những bài toán tìm x và những bài toán có lời văn về gạo, về bi, tất cả đều trở nên nhẹ nhàng hơn khi bạn biết đổi chỗ và gộp nhóm đúng cách. Bạn hãy luyện tập mỗi ngày một ít: khi tính tiền mua đồ, khi chia kẹo cho bạn bè, khi làm bài tập về nhà, hãy thử tìm cặp số tròn trước khi cộng lần lượt. Chỉ sau vài tuần, bạn sẽ thấy mình tính nhẩm nhanh hơn hẳn, ít sai hơn hẳn, và quan trọng nhất là bạn hiểu vì sao mình tính đúng, chứ không chỉ nhớ máy móc một công thức nào đó. Chúc bạn học tốt, và hẹn gặp lại ở bài học tiếp theo về tính chất của phép nhân, nơi những tính chất quen thuộc này sẽ xuất hiện với một diện mạo mới, cũng thú vị không kém.