Cuối tuần, Mai rủ em trai làm bánh quy. Công thức ghi: mỗi mẻ bánh cần 2/3 chén bột. Hôm nay nhà Mai muốn làm gấp rưỡi công thức, tức là nhân 2/3 với 3/2. Còn hộp sữa 3/4 lít, mỗi ly cần 1/8 lít thì rót được mấy ly? Đó là phép chia 3/4 cho 1/8. Nhân và chia phân số xuất hiện trong bếp, trong tiệm bánh, trong bài toán chia kẹo, chia vải — khắp nơi trong đời sống. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm chắc hai phép tính ấy: nhân thì nhân tử với tử, mẫu với mẫu; chia thì "lật ngược phân số thứ hai rồi nhân". Nghe thì đơn giản, nhưng muốn làm nhanh và không sai, bạn cần hiểu vì sao quy tắc lại như vậy và nhớ vài mẹo rút gọn.
Trong sách giáo khoa Toán 6 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", phép nhân và phép chia phân số được dạy sau khi bạn đã học cộng, trừ phân số và điều kiện hai phân số bằng nhau. Nếu cộng phân số cần quy đồng mẫu số thì nhân phân số lại nhẹ nhàng hơn nhiều: không cần mẫu chung, chỉ việc nhân thẳng. Còn phép chia phân số có một "phép màu" nhỏ: biến phép chia thành phép nhân bằng cách lật ngược phân số thứ hai. Học xong bài này, bạn sẽ thấy nhân và chia phân số thật ra là hai anh em sinh đôi — biết nhân là biết chia.
1. Nhân hai phân số: tử nhân tử, mẫu nhân mẫu
Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu số với nhau. Công thức tổng quát là: a/b × c/d = (a × c)/(b × d), với b và d khác 0. Nói ngắn gọn: tử nhân tử, mẫu nhân mẫu.
Vì sao lại như vậy? Hãy tưởng tượng một hình chữ nhật được chia thành 3 phần bằng nhau theo chiều dọc, bạn tô màu 2 phần — đó là 2/3 hình. Rồi bạn lại chia hình đó thành 4 phần bằng nhau theo chiều ngang và lấy 3 phần — tức là lấy 3/4 của 2/3 hình. Cả hình bị chia thành 3 × 4 = 12 ô nhỏ bằng nhau, số ô được tô cả hai lần là 2 × 3 = 6 ô. Vậy kết quả là 6/12, rút gọn thành 1/2. Đúng như công thức: 2/3 × 3/4 = (2 × 3)/(3 × 4) = 6/12 = 1/2. Nhân phân số chính là "lấy một phần của một phần", và mẫu số mới là số ô nhỏ sau khi chia cả hai chiều.
Một điểm hay của phép nhân phân số là bạn không cần quy đồng mẫu số như phép cộng. Hai phân số có mẫu khác nhau vẫn nhân thẳng được. Nhưng có một việc bắt buộc phải làm ở cuối: rút gọn kết quả về phân số tối giản. Ví dụ 2/3 × 9/4 = 18/12, nếu dừng ở đây thì bài làm chưa hoàn chỉnh — phải rút gọn 18/12 thành 3/2 mới được điểm trọn vẹn. Mẹo hay: rút gọn TRƯỚC khi nhân sẽ nhẹ nhàng hơn nhiều, bạn sẽ thấy ở mục 4.
Nhân phân số với số tự nhiên cũng theo cùng một quy tắc: coi số tự nhiên n như phân số n/1. Ví dụ 3 × 2/5 = 3/1 × 2/5 = 6/5. Còn nhân phân số với 0 thì kết quả luôn là 0, nhân với 1 thì giữ nguyên phân số đó. Hai tính chất này giống hệt với số tự nhiên, nên bạn không cần học thuộc thêm gì cả.
2. Số nghịch đảo — chìa khóa của phép chia phân số
Trước khi học chia phân số, bạn cần làm quen với một khái niệm mới: số nghịch đảo. Hai số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1. Với phân số, số nghịch đảo rất dễ tìm: chỉ cần đổi chỗ tử số và mẫu số cho nhau. Số nghịch đảo của a/b là b/a, với a và b đều khác 0.
Ví dụ: số nghịch đảo của 2/3 là 3/2, vì 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1.
Số nghịch đảo của 5/7 là 7/5, vì 5/7 × 7/5 = 35/35 = 1.
Số nghịch đảo của 4 là 1/4, vì 4 × 1/4 = 1.
Số nghịch đảo của 1/8 là 8, vì 1/8 × 8 = 1.
Chú ý: số 0 không có số nghịch đảo, vì không có số nào nhân với 0 mà ra 1 cả. Đây chính là lý do ta không bao giờ chia cho 0 — phép chia cho 0 là không xác định. Bạn cũng nhớ giúp: nghịch đảo của một phân số lớn hơn 1 sẽ nhỏ hơn 1, và ngược lại. Ví dụ 7/3 lớn hơn 1 thì nghịch đảo 3/7 nhỏ hơn 1. Mối quan hệ "lật ngược" này giống như hai đầu của một chiếc bập bênh: một bên lên thì bên kia xuống.
Bạn có thể kiểm tra nhanh mình đã tìm đúng nghịch đảo hay chưa bằng cách nhân thử: nếu tích bằng 1 thì đúng. Đây là một thói quen tốt, chỉ mất vài giây mà giúp bạn tránh được lỗi sai ngay từ bước đầu của phép chia. Và nếu muốn đối chiếu kết quả, bạn luôn có thể bấm vào máy tính Casio online để kiểm tra.
3. Chia hai phân số: giữ nguyên, lật ngược, rồi nhân
Muốn chia một phân số cho một phân số khác 0, ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia. Công thức: a/b : c/d = a/b × d/c = (a × d)/(b × c), với b, c, d đều khác 0. Ba bước nhớ bằng câu vè: "Giữ nguyên phân số đầu, lật ngược phân số sau, đổi dấu chia thành dấu nhân".
Vì sao chia lại thành nhân với nghịch đảo? Hãy nghĩ về phép chia số tự nhiên mà bạn đã quen: 12 : 3 = 4, vì 4 × 3 = 12. Phép chia là phép toán ngược của phép nhân. Với phân số cũng vậy: muốn tìm x sao cho x × c/d = a/b thì x phải là a/b × d/c. Thử kiểm tra: (a/b × d/c) × c/d = a/b × (d/c × c/d) = a/b × 1 = a/b. Đúng! Vì d/c × c/d = 1 nên mọi thứ khớp nhau hoàn hảo. Quy tắc "lật ngược rồi nhân" không phải là mẹo bịa ra, mà là hệ quả tất yếu của định nghĩa phép chia.
Khi chia phân số cho số tự nhiên, bạn làm tương tự: coi số tự nhiên n là phân số n/1, nghịch đảo của nó là 1/n. Ví dụ 3/4 : 2 = 3/4 × 1/2 = 3/8. Nghĩa là chia một cái bánh 3/4 cho 2 người thì mỗi người được 3/8 cái bánh — hợp lý, vì mỗi người được một nửa của 3/4. Ngược lại, chia số tự nhiên cho phân số: 2 : 1/4 = 2 × 4/1 = 8. Nghĩa là 2 cái bánh, mỗi phần 1/4 cái thì được 8 phần — cũng hợp lý.
Một lỗi rất hay gặp: học sinh lật ngược cả hai phân số, hoặc lật nhầm phân số bị chia thay vì phân số chia. Bạn nhớ kỹ: chỉ lật phân số THỨ HAI (số chia), phân số đầu tiên giữ nguyên. Ví dụ 5/6 : 3/4, ta giữ nguyên 5/6 và lật 3/4 thành 4/3, được 5/6 × 4/3 = 20/18 = 10/9. Nếu bạn lật nhầm thành 6/5 × 3/4 thì ra 9/10 — sai hoàn toàn.
4. Mẹo rút gọn trước khi nhân — tính nhanh gấp đôi
Bạn có thể rút gọn kết quả sau khi nhân, nhưng người giỏi tính nhẩm thường rút gọn TRƯỚC khi nhân. Cách làm: nhìn tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia, nếu có ước chung thì chia cả hai cho ước chung đó trước. Việc này làm các số nhỏ lại, phép nhân trở nên nhẹ nhàng và ít sai hơn.
Ví dụ: 3/5 × 10/9. Nếu nhân thẳng, bạn được 30/45 rồi mới rút gọn thành 2/3. Nhưng rút gọn trước thì nhanh hơn nhiều: tử 3 với mẫu 9 có ước chung 3, chia cả hai cho 3 được 1 và 3; tử 10 với mẫu 5 có ước chung 5, chia cả hai cho 5 được 2 và 1. Phép tính trở thành 1/1 × 2/3 = 2/3. Các số chỉ còn 1, 2, 3 — nhân nhẩm trong một nốt nhạc.
Quy tắc rút gọn chéo này áp dụng được cả cho phép chia, vì sau khi lật ngược thì phép chia cũng thành phép nhân. Ví dụ 8/9 : 4/15 = 8/9 × 15/4. Rút gọn chéo: 8 với 4 chia cho 4 được 2 và 1; 15 với 9 chia cho 3 được 5 và 3. Kết quả: 2/3 × 5/1 = 10/3. Bạn thử nhân thẳng mà xem: 8 × 15 = 120, 9 × 4 = 36, rồi rút gọn 120/36 thành 10/3 — dài hơn và dễ nhầm hơn hẳn.
Một mẹo nữa: nếu tử số của phân số này bằng mẫu số của phân số kia thì chúng triệt tiêu nhau thành 1. Ví dụ 5/6 × 6/7 = 5/7, vì 6 ở tử và 6 ở mẫu triệt tiêu nhau. Nhìn thấy cặp số giống nhau "đối diện" nhau qua dấu nhân là bạn gạch ngay, không cần tính gì thêm.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính 2/3 × 9/4.
Lời giải: Nhân tử với tử, mẫu với mẫu: 2/3 × 9/4 = (2 × 9)/(3 × 4) = 18/12. Rút gọn 18/12 bằng cách chia cả tử và mẫu cho 6, được 3/2. Vậy 2/3 × 9/4 = 3/2.
Cách rút gọn trước: 2 với 4 chia cho 2 được 1 và 2; 9 với 3 chia cho 3 được 3 và 1. Phép tính thành 1/1 × 3/2 = 3/2. Cùng một đáp số, nhưng cách này nhanh hơn.
Ví dụ 2. Tính 3/5 × 10/9.
Lời giải: Rút gọn chéo trước: 3 với 9 chia cho 3 được 1 và 3; 10 với 5 chia cho 5 được 2 và 1. Vậy 3/5 × 10/9 = 1/1 × 2/3 = 2/3.
Kiểm tra lại bằng cách nhân thẳng: (3 × 10)/(5 × 9) = 30/45, chia cả tử và mẫu cho 15 được 2/3. Khớp nhau.
Ví dụ 3. Tính 5/6 : 3/4.
Lời giải: Giữ nguyên 5/6, lật ngược 3/4 thành 4/3, đổi dấu chia thành dấu nhân: 5/6 : 3/4 = 5/6 × 4/3 = 20/18. Rút gọn 20/18 bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2, được 10/9. Vậy 5/6 : 3/4 = 10/9.
Bạn có thể rút gọn chéo trước: 4 với 6 chia cho 2 được 2 và 3, phép tính thành 5/3 × 2/3 = 10/9.
Ví dụ 4. Một chai nước ngọt chứa 3/4 lít. Mỗi ly rót 1/8 lít. Hỏi rót được bao nhiêu ly? Tính thêm: nếu mỗi ly bán 2/5 nghìn đồng thì 6 ly bán được bao nhiêu tiền? (Bài toán gộp cả chia và nhân.)
Lời giải: Số ly rót được là 3/4 : 1/8 = 3/4 × 8/1 = 24/4 = 6 ly. Số tiền bán 6 ly là 6 × 2/5 = 12/5 nghìn đồng, tức là 2,4 nghìn đồng. Đáp số: 6 ly, bán được 12/5 nghìn đồng.
6. Lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất: nhân phân số mà lại đi quy đồng mẫu số như phép cộng. Ví dụ 1/2 × 2/3, có bạn quy đồng thành 3/6 × 4/6 = 12/36 = 1/3. Đáp số tình cờ đúng, nhưng cách làm sai bản chất và tốn công. Nhân phân số không cần mẫu chung — cứ nhân thẳng tử với tử, mẫu với mẫu.
Lỗi thứ hai: chia phân số mà quên lật ngược, cứ chia tử cho tử, mẫu cho mẫu. Ví dụ 4/5 : 2/3, có bạn tính (4 : 2)/(5 : 3) = 2/(5/3) rồi bí luôn. Cách đúng: 4/5 : 2/3 = 4/5 × 3/2 = 12/10 = 6/5.
Lỗi thứ ba: lật ngược nhầm phân số — lật phân số bị chia thay vì phân số chia. Ví dụ 3/4 : 1/2, lật nhầm thành 4/3 × 1/2 = 2/3 là sai; đúng phải là 3/4 × 2/1 = 3/2. Bạn nhớ câu vè: "giữ nguyên số đầu, lật ngược số sau".
Lỗi thứ tư: quên rút gọn kết quả cuối cùng. Ví dụ 2/3 × 9/4 = 18/12 mà dừng lại thì bài làm chưa hoàn chỉnh. Trong bài kiểm tra, đáp án 18/12 thường chỉ được một nửa số điểm vì chưa tối giản. Hãy tạo thói quen: tính xong là rút gọn ngay.
Lỗi thứ năm: chia cho phân số có tử số bằng 0, tức là chia cho 0. Ví dụ 1/2 : 0/3 là phép tính không xác định, vì 0/3 = 0 mà ta không thể chia cho 0. Gặp dạng này, bạn trả lời "không xác định" chứ đừng cố tính.
7. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính 1/2 × 2/3.
A. 1/3
B. 2/5
C. 3/5
D. 1/6
Câu 2. Tính 4/7 : 2/7.
A. 1/2
B. 2
C. 8/49
D. 2/7
Câu 3. Tính 3/8 × 16/9.
A. 2/3
B. 3/2
C. 1/2
D. 8/27
Câu 4. Tính 5/12 : 5/6.
A. 1
B. 1/2
C. 2
D. 5/72
Câu 5. Một tấm vải dài 3/4 m. May mỗi cái túi cần 1/8 m vải. Hỏi may được bao nhiêu cái túi?
A. 4 cái
B. 6 cái
C. 8 cái
D. 3 cái
8. Bảng đáp án và lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | A | B | B |
Câu 1 — Đáp án A. 1/2 × 2/3 = (1 × 2)/(2 × 3) = 2/6 = 1/3. Mẹo: tử 2 và mẫu 2 triệt tiêu nhau ngay, còn 1/3. Đáp án B sai vì lấy tử cộng tử, mẫu cộng mẫu (2/5 là cách tính của phép cộng, không phải phép nhân). Đáp án C sai vì cộng chéo 1 + 2 = 3 và 2 + 3 = 5. Đáp án D sai vì nhân nhầm thành (1 × 2)/(2 × 6).
Câu 2 — Đáp án B. 4/7 : 2/7 = 4/7 × 7/2 = 28/14 = 2. Mẹo: hai phân số cùng mẫu 7, số 7 triệt tiêu nhau, còn 4/2 = 2. Đáp án A sai vì lật ngược nhầm phép chia: 2/7 : 4/7 = 2/7 × 7/4 = 1/2. Đáp án C sai vì nhân thẳng hai phân số mà không lật ngược: 4/7 × 2/7 = 8/49. Đáp án D sai vì lấy luôn phân số chia làm đáp số.
Câu 3 — Đáp án A. 3/8 × 16/9: rút gọn chéo, 3 với 9 chia cho 3 được 1 và 3; 16 với 8 chia cho 8 được 2 và 1. Kết quả 1/1 × 2/3 = 2/3. Đáp án B là nghịch đảo của đáp án đúng — bạn nào lật ngược kết quả sẽ chọn nhầm. Đáp án C sai vì nhân thẳng rồi rút gọn nhầm: 48/72 rút gọn đúng là 2/3, không phải 1/2. Đáp án D sai vì nhân chéo tử với mẫu: (3 × 9)/(8 × 16) không phải cách nhân phân số.
Câu 4 — Đáp án B. 5/12 : 5/6 = 5/12 × 6/5 = 30/60 = 1/2. Mẹo: tử 5 với mẫu 5 triệt tiêu, còn 6/12 = 1/2. Đáp án A sai vì thấy hai phân số có cùng tử 5 nên tưởng thương bằng 1 — nhưng mẫu khác nhau thì thương không bằng 1. Đáp án C là nghịch đảo của đáp án đúng. Đáp án D sai vì nhân thẳng mà không lật ngược: 5/12 × 5/6 = 25/72, cũng không phải 5/72.
Câu 5 — Đáp án B. Số túi may được là 3/4 : 1/8 = 3/4 × 8/1 = 24/4 = 6 cái. Đáp án A sai vì lấy 3/4 : 1/8 = 3/4 × 1/8 = 3/32 rồi làm tròn — quên lật ngược phân số chia. Đáp án C sai vì tính 3/4 × 8 = 6 rồi lại cộng thêm 2. Đáp án D sai vì lấy tử số 3 làm đáp số.
9. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Vì sao nhân phân số không cần quy đồng mẫu số như phép cộng?
Đáp: Vì phép cộng là gộp các phần cùng đơn vị nên cần mẫu chung, còn phép nhân là "lấy một phần của một phần" — chia hình theo hai chiều khác nhau nên mẫu mới là tích hai mẫu. Quy tắc nhân thẳng tử với tử, mẫu với mẫu đã bao hàm việc đó, không cần quy đồng trước.
Hỏi: Có được rút gọn chéo tử của phân số này với mẫu của phân số kia không?
Đáp: Được, và nên làm như vậy để tính nhanh. Vì phép nhân là một tích duy nhất nên mọi tử số và mẫu số đều có thể rút gọn chéo cho nhau, miễn là cùng chia hết cho một số. Với phép chia, bạn lật ngược trước rồi rút gọn chéo như phép nhân.
Hỏi: Chia phân số cho số 0 được không?
Đáp: Không. Số 0 không có số nghịch đảo nên phép chia cho 0 không xác định. Nếu đề bài cho chia cho phân số 0/5 thì đáp án là "không xác định", bạn đừng cố tính ra một con số.
Hỏi: Phân số âm nhân với phân số âm thì dấu ra sao?
Đáp: Giống như số nguyên: âm nhân âm ra dương, âm nhân dương (hoặc ngược lại) ra âm. Ví dụ (−2/3) × (−3/4) = 6/12 = 1/2. Quy tắc dấu áp dụng y hệt, chỉ khác là bạn nhân thêm tử và mẫu.
Hỏi: Làm sao kiểm tra đáp án nhân, chia phân số của mình có đúng không?
Đáp: Có hai cách. Cách thứ nhất: nhân ngược lại — ví dụ tính 5/6 : 3/4 = 10/9 thì kiểm tra 10/9 × 3/4 = 30/36 = 5/6, khớp với số bị chia thì đúng. Cách thứ hai: bấm vào máy tính Casio online để đối chiếu kết quả.
10. Kết luận
Nhân phân số chỉ có một quy tắc duy nhất: tử nhân tử, mẫu nhân mẫu. Chia phân số cũng chỉ có một quy tắc: giữ nguyên phân số đầu, lật ngược phân số sau rồi nhân. Hai quy tắc ngắn gọn này đủ để bạn giải mọi bài toán nhân, chia phân số trong chương trình Toán 6 — từ bài tính thẳng đến bài toán thực tế chia bánh, chia vải, chia tiền. Bí quyết để làm nhanh và ít sai là rút gọn chéo trước khi nhân, và luôn rút gọn kết quả cuối cùng về phân số tối giản. Hãy luyện tập thêm với 5 bài tập ở trên, và mỗi khi làm bài, đừng quên tự kiểm tra bằng cách nhân ngược lại. Khi đã thành thạo, bạn sẽ thấy các tính chất của phép toán với phân số — giao hoán, kết hợp, phân phối — cũng trở nên dễ dàng hơn, vì chúng đều xây dựng trên chính hai phép tính mà bạn vừa học. Và nếu muốn kiểm tra nhanh kết quả, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn — người bạn đồng hành đáng tin cậy trong mọi bài toán.