Chiều thứ bảy, bạn Hà pha nước cam cho cả nhà. Bạn rót 1/2 cốc nước cam vào bình, rồi rót thêm 1/3 cốc nữa. Trong bình lúc này có bao nhiêu cốc nước cam? Nếu bạn trả lời 2/5 cốc thì bạn đã mắc lỗi mà rất nhiều bạn lớp 6 mắc phải: cộng tử với tử, mẫu với mẫu. Đáp án đúng là 5/6 cốc — và để tìm ra nó, bạn phải quy đồng mẫu số trước rồi mới cộng. Câu chuyện pha nước cam này chính là bài toán cộng phân số khác mẫu, một trong những phép tính quan trọng nhất của chương phân số lớp 6. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm chắc quy tắc cộng và trừ phân số — cả trường hợp cùng mẫu lẫn khác mẫu — hiểu vì sao phải quy đồng mẫu số, và tránh những lỗi sai kinh điển khi làm bài.
Trong sách giáo khoa Toán 6 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", phép cộng và phép trừ phân số được dạy sau bài về tính chất cơ bản của phân số, và điều đó không phải ngẫu nhiên: muốn cộng hai phân số khác mẫu, bạn bắt buộc phải dùng tính chất cơ bản của phân số để viết chúng về cùng một mẫu số. Bạn cũng sẽ cần đến cách tìm bội chung nhỏ nhất để chọn mẫu chung nhỏ nhất, giúp phép tính gọn nhẹ hơn. Và khi kiểm tra hai phân số có bằng nhau không sau khi quy đồng, bạn có thể dùng quy tắc nhân chéo đã học ở bài trước. Học xong bài này, bạn sẽ cộng trừ được bất kì hai phân số nào, dù mẫu số của chúng có khác nhau đến đâu.
1. Cộng và trừ hai phân số cùng mẫu: cộng tử, giữ nguyên mẫu
Đây là trường hợp dễ nhất. Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng các tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số. Viết bằng công thức: a/m + b/m = (a + b)/m. Tương tự, muốn trừ hai phân số có cùng mẫu số, ta trừ tử số của phân số thứ nhất cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số: a/m - b/m = (a - b)/m. Nói bằng lời: khi hai phân số đã cùng "đơn vị đo" là mẫu số, bạn chỉ cần cộng hoặc trừ số lượng phần, còn đơn vị thì giữ nguyên.
Ví dụ: 3/8 + 2/8 = (3 + 2)/8 = 5/8. Bạn hãy tưởng tượng một cái bánh cắt thành 8 miếng bằng nhau: bạn ăn 3 miếng, em bạn ăn 2 miếng, cả hai bạn đã ăn 5 miếng trong tổng số 8 miếng — tức là 5/8 cái bánh. Phép trừ cũng vậy: 7/8 - 3/8 = (7 - 3)/8 = 4/8 = 1/2. Bạn có 7 miếng bánh trong 8 miếng, ăn hết 3 miếng thì còn 4 miếng, tức là 4/8 cái bánh, rút gọn thành 1/2 cái bánh. Bạn nhớ rút gọn kết quả về phân số tối giản nhé — đáp số 4/8 tuy đúng nhưng chưa gọn, và trong bài kiểm tra, đáp số tối giản luôn được đánh giá cao hơn.
Vì sao chỉ cộng tử mà giữ nguyên mẫu? Vì mẫu số cho biết cái bánh được cắt thành bao nhiêu phần — đó là "đơn vị đo". Khi cộng 3/8 với 2/8, bạn đang cộng 3 phần (mỗi phần là 1/8 cái bánh) với 2 phần (mỗi phần cũng là 1/8 cái bánh), nên tổng là 5 phần, mỗi phần vẫn là 1/8 cái bánh. Nếu bạn cộng cả mẫu số nữa thì "đơn vị đo" sẽ thay đổi, và kết quả sẽ sai hoàn toàn. Đây chính là lỗi sai phổ biến nhất của bài này, và phần lỗi sai ở cuối bài sẽ nhắc lại nó thật kĩ.
2. Cộng và trừ hai phân số khác mẫu: quy đồng rồi mới cộng
Khi hai phân số khác mẫu số, bạn không thể cộng trực tiếp tử với tử, vì hai phân số đang dùng hai "đơn vị đo" khác nhau — giống như cộng 3 quả táo với 2 quả cam rồi gọi là 5 quả táo. Bạn phải quy đồng mẫu số trước: viết hai phân số về cùng một mẫu số chung, rồi mới cộng hoặc trừ như trường hợp cùng mẫu. Công thức tổng quát: a/b + c/d = (a × d + b × c)/(b × d), và a/b - c/d = (a × d - b × c)/(b × d). Nhưng trong thực tế, bạn không nên dùng tích hai mẫu làm mẫu chung một cách máy móc, vì nó thường cho số rất lớn; thay vào đó, bạn hãy làm theo bốn bước dưới đây với mẫu chung nhỏ nhất.
Bước 1: Tìm mẫu chung.
Mẫu chung tốt nhất là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai mẫu số. Ví dụ với 1/2 và 1/3, BCNN của 2 và 3 là 6, nên mẫu chung là 6. Nếu một mẫu chia hết cho mẫu còn lại thì mẫu lớn hơn chính là mẫu chung — ví dụ với 1/4 và 3/8, mẫu chung là 8 vì 8 chia hết cho 4.
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi phân số.
Thừa số phụ là mẫu chung chia cho mẫu số của phân số đó. Với 1/2 và mẫu chung 6, thừa số phụ là 6 ÷ 2 = 3. Với 1/3 và mẫu chung 6, thừa số phụ là 6 ÷ 3 = 2.
Bước 3: Quy đồng mẫu số.
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ của nó: 1/2 = (1 × 3)/(2 × 3) = 3/6, và 1/3 = (1 × 2)/(3 × 2) = 2/6. Đây chính là lúc tính chất cơ bản của phân số phát huy tác dụng.
Bước 4: Cộng hoặc trừ các tử và giữ nguyên mẫu chung.
3/6 + 2/6 = (3 + 2)/6 = 5/6. Xong! Bạn Hà đã pha được 5/6 cốc nước cam. Nếu kết quả chưa tối giản, bạn rút gọn thêm một bước nữa rồi mới viết đáp số.
Bạn hãy tập làm đủ bốn bước ra giấy trong những lần đầu, dù phép tính có đơn giản đến đâu. Khi đã quen, bạn sẽ làm tắt được bước 2 và bước 3 trong đầu, nhưng bốn bước này vẫn là "xương sống" của mọi phép cộng trừ phân số khác mẫu, và trình bày đủ bốn bước trong bài kiểm tra sẽ giúp bạn được điểm trình bày đầy đủ.
3. Phép trừ là phép cộng với số đối, và ba tính chất của phép cộng phân số
Phép trừ phân số thực chất là phép cộng với số đối: a/b - c/d = a/b + (-c/d). Số đối của một phân số là phân số có cùng giá trị tuyệt đối nhưng dấu ngược lại: số đối của 1/4 là -1/4, số đối của -3/5 là 3/5. Hiểu phép trừ theo cách này rất có ích khi bạn gặp những phép tính dài có cả cộng lẫn trừ: bạn có thể đổi tất cả phép trừ thành phép cộng với số đối, rồi áp dụng các tính chất của phép cộng để tính nhanh. Ví dụ: 5/6 - 1/4 = 5/6 + (-1/4) = 10/12 + (-3/12) = 7/12.
Phép cộng phân số có ba tính chất quan trọng, giống hệt như phép cộng số tự nhiên mà bạn đã học. Tính chất giao hoán: a/b + c/d = c/d + a/b — đổi chỗ hai phân số thì tổng không đổi. Tính chất kết hợp: (a/b + c/d) + e/f = a/b + (c/d + e/f) — cộng theo nhóm nào trước cũng được. Tính chất cộng với số 0: a/b + 0 = a/b — cộng với 0 thì phân số giữ nguyên. Ba tính chất này là "bí kíp" tính nhanh: khi gặp một dãy phép cộng nhiều phân số, bạn hãy dùng tính chất giao hoán và kết hợp để gộp những phân số nào cộng lại thành số nguyên hoặc thành phân số đơn giản trước. Ví dụ: 1/2 + 3/4 + 1/2 = (1/2 + 1/2) + 3/4 = 1 + 3/4 = 7/4 — nhanh hơn nhiều so với việc quy đồng cả ba phân số cùng lúc.
Phép trừ phân số không có tính chất giao hoán hay kết hợp, bạn nhớ nhé: 5/6 - 1/4 khác 1/4 - 5/6, vì đổi chỗ số bị trừ và số trừ sẽ đổi dấu kết quả. Khi làm bài, bạn hãy đổi phép trừ thành phép cộng với số đối trước rồi mới áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp — đó là cách làm an toàn và luôn đúng.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (khác mẫu, cơ bản): Tính 1/2 + 1/3.
Bước 1: Mẫu chung là BCNN của 2 và 3, bằng 6.
Bước 2: Thừa số phụ của 1/2 là 6 ÷ 2 = 3; thừa số phụ của 1/3 là 6 ÷ 3 = 2.
Bước 3: Quy đồng: 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6.
Bước 4: Cộng tử: 3/6 + 2/6 = 5/6. Phân số 5/6 đã tối giản. Đây chính là bài toán pha nước cam ở đầu bài: 1/2 cốc cộng 1/3 cốc được 5/6 cốc. Bạn hãy so sánh với đáp án sai 2/5: 2/5 = 0,4 còn 5/6 ≈ 0,833 — sai rất xa, vì 1/2 cốc đã là 0,5 cốc rồi, tổng không thể nhỏ hơn 0,5 được. Cách kiểm tra nhanh này — tổng phải lớn hơn từng số hạng (với số dương) — giúp bạn phát hiện lỗi sai ngay lập tức.
Ví dụ 2 (khác mẫu, mẫu chung lớn): Tính 3/4 + 5/6.
Bước 1: BCNN của 4 và 6 là 12, nên mẫu chung là 12.
Bước 2: Thừa số phụ của 3/4 là 12 ÷ 4 = 3; thừa số phụ của 5/6 là 12 ÷ 6 = 2.
Bước 3: Quy đồng: 3/4 = 9/12, 5/6 = 10/12.
Bước 4: Cộng tử: 9/12 + 10/12 = 19/12. Phân số 19/12 đã tối giản và lớn hơn 1 — điều này là bình thường, vì 3/4 đã gần bằng 1 và cộng thêm 5/6 nữa thì tổng vượt quá 1. Bạn có thể viết 19/12 dưới dạng hỗn số 1 và 7/12 nếu đề bài yêu cầu, nhưng trong chương trình lớp 6, đáp số dạng phân số 19/12 là đủ.
Ví dụ 3 (cùng mẫu, có rút gọn): Tính 7/8 - 3/8.
Vì hai phân số đã cùng mẫu 8 nên trừ ngay tử: (7 - 3)/8 = 4/8.
Rút gọn: 4/8 chia cả tử và mẫu cho 4 được 1/2.
Vậy 7/8 - 3/8 = 1/2. Bạn nhớ đừng quên bước rút gọn nhé: đáp số 4/8 tuy đúng nhưng chưa phải dạng tối giản, và nhiều thầy cô sẽ trừ điểm trình bày nếu bạn để đáp số chưa rút gọn.
Ví dụ 4 (trừ khác mẫu, bài toán thực tế): Một cái bánh còn 5/6, bạn An ăn hết 1/4 cái bánh. Hỏi còn lại bao nhiêu cái bánh?
Bước 1: BCNN của 6 và 4 là 12, nên mẫu chung là 12.
Bước 2: Thừa số phụ của 5/6 là 12 ÷ 6 = 2; thừa số phụ của 1/4 là 12 ÷ 4 = 3.
Bước 3: Quy đồng: 5/6 = 10/12, 1/4 = 3/12.
Bước 4: Trừ tử: 10/12 - 3/12 = 7/12. Vậy còn lại 7/12 cái bánh. Kiểm tra nhanh: 7/12 ≈ 0,583, nhỏ hơn 5/6 ≈ 0,833 — hợp lí, vì ăn đi một phần thì còn lại ít hơn ban đầu. Nếu kết quả kiểm tra của bạn lớn hơn số bị trừ thì chắc chắn bạn đã tính sai ở đâu đó.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Cộng cả tử lẫn mẫu.
Đây là lỗi kinh điển nhất: 1/2 + 1/3 = (1 + 1)/(2 + 3) = 2/5. Cách tránh: nhớ rằng mẫu số là "đơn vị đo", chỉ có tử số mới được cộng. Mỗi lần làm bài, bạn hãy tự hỏi: "Mình đã quy đồng mẫu số chưa?" Nếu chưa quy đồng mà đã cộng thì chắc chắn sai. Bạn cũng có thể kiểm tra nhanh: 1/2 đã bằng 0,5, tổng của hai số dương không thể nhỏ hơn 0,5, mà 2/5 chỉ bằng 0,4 — vô lí ngay.
Lỗi 2: Quên quy đồng, cộng tử rồi giữ nguyên một mẫu bất kì.
Nhiều bạn tính 1/2 + 1/3 = (1 + 1)/2 = 2/2 = 1 hoặc (1 + 1)/3 = 2/3. Cách tránh: khi hai mẫu khác nhau, bạn bắt buộc phải quy đồng trước. Không có ngoại lệ nào cho quy tắc này, dù phép tính có đơn giản đến đâu.
Lỗi 3: Quy đồng sai thừa số phụ.
Với 3/4 + 5/6 và mẫu chung 12, một số bạn nhân 3/4 với 2 thay vì với 3, được 6/12 thay vì 9/12. Cách tránh: thừa số phụ bằng mẫu chung chia cho mẫu số của phân số đó — 12 ÷ 4 = 3 chứ không phải 2. Bạn hãy viết thừa số phụ ra giấy ngay sau khi tìm được mẫu chung, trước khi nhân.
Lỗi 4: Quên rút gọn kết quả.
Ví dụ 7/8 - 3/8 = 4/8 rồi dừng lại, trong khi 4/8 rút gọn được thành 1/2. Cách tránh: sau khi cộng hoặc trừ xong, bạn hãy kiểm tra xem tử và mẫu còn ước chung nào lớn hơn 1 không. Nếu còn thì chia tiếp cho đến khi được phân số tối giản.
Lỗi 5: Trừ ngược khi số bị trừ nhỏ hơn số trừ.
Ví dụ tính 1/4 - 5/6, một số bạn lấy 5/6 - 1/4 rồi đổi dấu lung tung. Cách tránh: quy đồng rồi trừ đúng thứ tự — tử của phân số thứ nhất trừ đi tử của phân số thứ hai: 1/4 - 5/6 = 3/12 - 10/12 = -7/12. Kết quả âm là bình thường khi số bị trừ nhỏ hơn số trừ. Bạn có thể kiểm tra bằng máy tính Casio online để đối chiếu dấu của đáp số.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Với mỗi bài, bạn hãy quy đồng mẫu số ra giấy rồi mới chọn đáp án.
Câu 1: Tính 1/4 + 1/4.
A. 1/8
B. 1/2
C. 2/8
D. 1/4
Câu 2: Tính 2/3 + 1/6.
A. 3/9
B. 5/6
C. 3/6
D. 1/2
Câu 3: Tính 5/8 - 1/4.
A. 4/4
B. 3/8
C. 1/2
D. 4/8
Câu 4: Tính 3/5 + 2/7.
A. 5/12
B. 31/35
C. 5/35
D. 1
Câu 5: Một vòi nước chảy được 1/3 bể trong một giờ, một vòi khác chảy được 1/4 bể trong một giờ. Cả hai vòi cùng chảy trong một giờ thì được bao nhiêu phần bể?
A. 7/12
B. 2/7
C. 1/2
D. 5/12
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | B | B | B | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (1/2) đúng: Hai phân số cùng mẫu 4 nên cộng tử: (1 + 1)/4 = 2/4, rút gọn chia cả tử và mẫu cho 2 được 1/2. Đáp án A (1/8) sai vì cộng cả mẫu: (1 + 1)/(4 + 4) = 2/8 = 1/4 chứ không phải 1/8 — và cách cộng mẫu này vốn đã sai. Đáp án C (2/8) sai vì 2/8 = 1/4, đó là kết quả của phép cộng mẫu sai. Đáp án D (1/4) sai vì đó là một số hạng, không phải tổng.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (5/6) đúng: Mẫu chung là BCNN của 3 và 6, bằng 6. Quy đồng: 2/3 = 4/6, 1/6 giữ nguyên. Cộng tử: (4 + 1)/6 = 5/6. Đáp án A (3/9) sai vì cộng cả tử lẫn mẫu: (2 + 1)/(3 + 6) = 3/9. Đáp án C (3/6) sai vì cộng tử mà quên quy đồng: (2 + 1)/6 = 3/6. Đáp án D (1/2) sai vì 1/2 = 3/6, không phải tổng của hai phân số đã cho.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (3/8) đúng: Quy đồng 1/4 = 2/8, rồi trừ tử: (5 - 2)/8 = 3/8. Đáp án A (4/4) sai vì trừ cả mẫu: (5 - 1)/(8 - 4) = 4/4. Đáp án C (1/2) sai vì 1/2 = 4/8, đó là kết quả khi trừ nhầm tử: (5 - 1)/8 = 4/8. Đáp án D (4/8) sai vì đó là kết quả chưa rút gọn của phép trừ nhầm tử — và 4/8 = 1/2 chứ không phải 3/8.
Giải thích Câu 4 — Đáp án B (31/35) đúng: Mẫu chung là BCNN của 5 và 7, bằng 35. Quy đồng: 3/5 = 21/35, 2/7 = 10/35. Cộng tử: (21 + 10)/35 = 31/35. Đáp án A (5/12) sai vì cộng cả tử lẫn mẫu: (3 + 2)/(5 + 7) = 5/12. Đáp án C (5/35) sai vì cộng tử rồi chia cho mẫu chung mà quên quy đồng tử: (3 + 2)/35 = 5/35. Đáp án D (1) sai vì tổng 31/35 nhỏ hơn 1, mà 3/5 đã bằng 0,6 và 2/7 bằng khoảng 0,286, tổng khoảng 0,886 — không thể bằng 1.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A (7/12) đúng: Cần tính 1/3 + 1/4. Mẫu chung là BCNN của 3 và 4, bằng 12. Quy đồng: 1/3 = 4/12, 1/4 = 3/12. Cộng tử: (4 + 3)/12 = 7/12 bể. Đáp án B (2/7) sai vì cộng cả tử lẫn mẫu: (1 + 1)/(3 + 4) = 2/7. Đáp án C (1/2) sai vì 1/2 = 6/12, nhỏ hơn tổng đúng 7/12. Đáp án D (5/12) sai vì đó là kết quả khi quy đồng sai: 1/3 = 2/12 và 1/4 = 3/12 rồi cộng được 5/12 — lỗi ở thừa số phụ của 1/3 phải là 4 chứ không phải 2.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Vì sao phải quy đồng mẫu số trước khi cộng hai phân số khác mẫu?
Đáp: Vì hai phân số khác mẫu đang dùng hai "đơn vị đo" khác nhau. 1/2 cái bánh là những miếng bánh to bằng 1/2 cái bánh, còn 1/3 cái bánh là những miếng nhỏ bằng 1/3 cái bánh — bạn không thể cộng số miếng với nhau khi miếng to miếng nhỏ khác nhau. Quy đồng mẫu số là cắt lại cả hai phần bánh thành những miếng nhỏ bằng nhau (cùng là 1/6 cái bánh), rồi mới cộng số miếng. Không quy đồng thì phép cộng không có nghĩa.
Hỏi: Mẫu chung có nhất thiết phải là bội chung nhỏ nhất không?
Đáp: Không nhất thiết, nhưng nên dùng bội chung nhỏ nhất để phép tính gọn nhất. Bạn có thể dùng tích hai mẫu số làm mẫu chung — ví dụ cộng 1/2 với 1/3 thì dùng mẫu chung 6 (là bội chung nhỏ nhất) hay 12 (là tích của 2 và 3) đều được, nhưng dùng 12 thì bạn phải nhân với số lớn hơn và rút gọn nhiều hơn ở cuối. Trong bài kiểm tra, dùng bội chung nhỏ nhất sẽ giúp bạn tính nhanh và ít sai hơn.
Hỏi: Cộng hai phân số có tử số bằng 1 thì có mẹo nào nhanh không?
Đáp: Có. Với hai phân số 1/a và 1/b, tổng của chúng là (a + b)/(a × b). Ví dụ 1/2 + 1/3 = (2 + 3)/(2 × 3) = 5/6, và 1/3 + 1/4 = (3 + 4)/(3 × 4) = 7/12. Mẹo này đúng vì mẫu chung của a và b khi a, b nguyên tố cùng nhau chính là a × b. Nhưng bạn chỉ nên dùng mẹo sau khi đã hiểu quy tắc quy đồng, vì trong bài kiểm tra, thầy cô vẫn yêu cầu bạn trình bày đủ các bước.
Hỏi: Kết quả cộng trừ phân số có thể lớn hơn 1 không?
Đáp: Có, hoàn toàn bình thường. Ví dụ 3/4 + 5/6 = 19/12, lớn hơn 1. Tổng của hai phân số dương luôn lớn hơn từng phân số thành phần, nên nếu một phân số đã gần bằng 1 thì tổng rất dễ vượt quá 1. Bạn đừng lo khi thấy đáp số lớn hơn 1 — chỉ cần kiểm tra lại bằng cách ước lượng: 3/4 ≈ 0,75 và 5/6 ≈ 0,83, tổng ≈ 1,58, mà 19/12 ≈ 1,58 — khớp nhau.
Hỏi: Làm sao kiểm tra nhanh kết quả cộng trừ phân số?
Đáp: Có hai cách. Cách thứ nhất là ước lượng bằng số thập phân: đổi mỗi phân số ra số thập phân gần đúng rồi cộng trừ nhẩm, so sánh với đáp số của bạn. Cách thứ hai là dùng máy tính Casio online để bấm lại phép tính và đối chiếu. Cả hai cách đều chỉ để kiểm tra, còn lời giải trong bài kiểm tra thì bạn vẫn phải trình bày đủ bốn bước quy đồng.
8. Kết luận
Phép cộng và phép trừ phân số có một quy tắc vàng duy nhất: cùng mẫu thì cộng hoặc trừ tử và giữ nguyên mẫu, khác mẫu thì quy đồng mẫu số rồi mới cộng hoặc trừ. Bốn bước quy đồng — tìm mẫu chung là bội chung nhỏ nhất, tìm thừa số phụ, nhân cả tử và mẫu với thừa số phụ, rồi cộng hoặc trừ tử — chính là "công thức" của mọi phép cộng trừ phân số khác mẫu, và bạn càng luyện nhiều thì bốn bước này càng trở thành phản xạ. Đừng quên rút gọn đáp số về phân số tối giản, đừng cộng cả mẫu số, và hãy ước lượng nhanh bằng số thập phân để tự kiểm tra mình. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm chắc phép tính quan trọng này của chương phân số. Bài tiếp theo trong loạt công thức Toán 6 sẽ đưa bạn sang phép nhân và phép chia phân số — nơi mà quy tắc lại đơn giản hơn nhiều vì không cần quy đồng mẫu số nữa. Và khi cần kiểm tra nhanh bất kì phép tính phân số nào, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn.