Tính chất cơ bản của phân số: nhân, chia tử và mẫu, rút gọn và bài tập

Bạn đã bao giờ dùng điện thoại chụp một bức ảnh rồi phóng to nó lên chưa? Bức ảnh to ra gấp hai, gấp ba lần, nhưng người trong ảnh vẫn là người ấy, nụ cười vẫn là nụ cười ấy — chỉ có kích thước thay đổi, còn nội dung thì không. Phân số cũng có một "phép màu" giống hệt như vậy. Lấy phân số 2/5, nhân cả tử số và mẫu số với 3, bạn được 6/15 — phân số trông khác hẳn, to hơn hẳn, nhưng giá trị của nó vẫn là 2/5, không đổi một chút nào. Ngược lại, bạn có thể "thu nhỏ" một phân số bằng cách chia cả tử và mẫu cho cùng một số, và giá trị của nó vẫn giữ nguyên. Phép màu phóng to và thu nhỏ này chính là tính chất cơ bản của phân số — một trong những tính chất quan trọng nhất của chương phân số lớp 6, và là chìa khóa để rút gọn, quy đồng và so sánh mọi phân số.

Trong sách giáo khoa Toán 6 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", tính chất cơ bản của phân số được dạy ngay sau bài về hai phân số bằng nhau. Hai bài này gắn bó chặt chẽ với nhau: tính chất cơ bản giải thích vì sao hai phân số bằng nhau lại tồn tại, còn điều kiện để hai phân số bằng nhau cho bạn cách kiểm tra điều đó bằng quy tắc nhân chéo. Nếu bạn đã học bài về tìm ước chung lớn nhất và tìm bội chung nhỏ nhất thì bài này sẽ rất dễ tiếp thu, vì rút gọn phân số cần đến ước chung lớn nhất, còn quy đồng mẫu số cần đến bội chung nhỏ nhất. Học xong bài này, bạn sẽ hiểu vì sao 2/5, 4/10, 6/15 và 10/25 đều là một, và bạn sẽ rút gọn bất kì phân số nào chỉ trong vài giây.

1. Tính chất thứ nhất: nhân cả tử và mẫu với cùng một số khác 0

Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. Viết bằng công thức: a/b = (a × m)/(b × m), với m khác 0. Nói bằng lời: bạn nhân tử với bao nhiêu thì cũng nhân mẫu với đúng bấy nhiêu, phân số mới vẫn bằng phân số cũ. Ví dụ: 2/5 = (2 × 3)/(5 × 3) = 6/15, và 2/5 = (2 × 5)/(5 × 5) = 10/25. Cả ba phân số 2/5, 6/15 và 10/25 đều chỉ cùng một giá trị, chỉ khác nhau ở "độ phóng to".

Vì sao tính chất này đúng? Bạn hãy tưởng tượng một chiếc bánh được cắt thành 5 miếng bằng nhau và bạn lấy 2 miếng — bạn được 2/5 cái bánh. Bây giờ bạn cắt mỗi miếng bánh ấy thành 3 miếng nhỏ hơn: cả cái bánh thành 15 miếng nhỏ, và phần bánh của bạn thành 6 miếng nhỏ. Bạn vẫn cầm đúng lượng bánh như cũ, chỉ là đếm bằng đơn vị nhỏ hơn mà thôi. Nhân cả tử và mẫu với 3 chính là việc "cắt nhỏ" mỗi phần thành 3 phần bằng nhau — tổng lượng bánh không đổi, chỉ có cách đếm thay đổi. Đó là lí do vì sao tính chất này luôn đúng, dù bạn nhân với số nào đi nữa, miễn là số đó khác 0.

Có một trường hợp đặc biệt rất hay gặp: nhân cả tử và mẫu với -1. Khi đó bạn được một phân số mới có tử và mẫu lần lượt là số đối của tử và mẫu cũ, và phân số mới vẫn bằng phân số đã cho. Nói cách khác, nếu bạn đổi dấu cả tử số và mẫu số của một phân số thì được một phân số bằng phân số đó. Ví dụ: 3/7 = (-3)/(-7), và -5/8 = 5/(-8). Tính chất đổi dấu này rất hữu ích khi bạn muốn viết một phân số với mẫu số dương: phân số nào có mẫu âm thì chỉ cần đổi dấu cả tử và mẫu là mẫu trở thành dương ngay.

2. Tính chất thứ hai: chia cả tử và mẫu cho cùng một ước chung

Nếu chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. Viết bằng công thức: a/b = (a ÷ n)/(b ÷ n), với n là ước chung của a và b. Đây chính là phép "thu nhỏ" ngược lại với tính chất thứ nhất: thay vì cắt nhỏ mỗi phần, bạn gộp nhiều phần nhỏ thành một phần lớn hơn, và tổng lượng vẫn không đổi. Ví dụ: 6/15 chia cả tử và mẫu cho 3 được 2/5, và 10/25 chia cả tử và mẫu cho 5 cũng được 2/5.

Tính chất thứ hai là cơ sở của phép rút gọn phân số — một kĩ năng mà bạn sẽ dùng trong mọi bài toán phân số từ nay về sau. Muốn rút gọn một phân số, bạn chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng, và kết quả là một phân số tối giản: phân số mà tử và mẫu không còn ước chung nào lớn hơn 1. Ví dụ: rút gọn 18/24, ước chung lớn nhất của 18 và 24 là 6, nên 18/24 = (18 ÷ 6)/(24 ÷ 6) = 3/4. Phân số 3/4 là tối giản vì 3 và 4 không còn ước chung nào ngoài 1. Bạn có thể rút gọn từng bước nhỏ cũng được — chia cho 2 được 9/12 rồi chia tiếp cho 3 được 3/4 — nhưng chia một lần cho ước chung lớn nhất sẽ nhanh hơn nhiều.

Bạn cần nhớ một điểm quan trọng: khi chia cả tử và mẫu, số chia phải là ước chung của cả hai, tức là phải chia hết cả tử lẫn mẫu. Bạn không thể chia tử cho 3 mà chia mẫu cho 2, vì như thế hai phân số sẽ không còn bằng nhau nữa. Ví dụ: 6/15 chia tử cho 3 được 2 nhưng chia mẫu cho 2 được 7,5 — không còn là phân số nguyên nữa, và 2/7,5 hoàn toàn khác 6/15. Quy tắc vàng là: nhân hay chia thì cũng phải dùng cùng một số cho cả tử và mẫu, không có ngoại lệ.

3. Ba hệ quả quan trọng bạn cần nhớ

Hệ quả 1: Mọi phân số đều viết được dưới dạng phân số với mẫu dương.
Nếu một phân số có mẫu âm, bạn chỉ cần đổi dấu cả tử và mẫu (nhân cả hai với -1) là mẫu trở thành dương ngay mà giá trị không đổi. Ví dụ: 5/(-8) = -5/8, và (-3)/(-7) = 3/7. Trong sách giáo khoa và trong bài kiểm tra, người ta thường viết phân số với mẫu dương, nên bạn hãy tập thói quen đổi mẫu âm thành mẫu dương ngay khi gặp.

Hệ quả 2: Mọi phân số đều có vô số phân số bằng nó.
Bạn có thể nhân cả tử và mẫu với 2, 3, 4, 5 hay bất kì số nào khác 0 để tạo ra vô số phân số mới bằng phân số đã cho. Ví dụ: các phân số bằng 2/5 là 4/10, 6/15, 8/20, 10/25, 12/30 và còn nhiều nữa. Trong các bài toán, bạn sẽ dùng hệ quả này để tìm một phân số bằng phân số đã cho nhưng có tử hoặc mẫu theo yêu cầu của đề bài — ví dụ viết phân số bằng 7/9 mà có mẫu là 36.

Hệ quả 3: Mọi phân số đều rút gọn được về một phân số tối giản duy nhất.
Dù bạn rút gọn theo con đường nào — chia dần từng ước chung nhỏ hay chia một lần cho ước chung lớn nhất — cuối cùng bạn cũng đến cùng một phân số tối giản. Ví dụ: 36/60 chia cho 6 được 6/10 rồi chia cho 2 được 3/5; chia thẳng cho 12 cũng được 3/5. Phân số tối giản là "dạng gọn nhất" của một phân số, và trong đáp số của bài tập, bạn luôn nên trình bày phân số ở dạng tối giản.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (nhân cả tử và mẫu): Viết hai phân số bằng 2/5 bằng cách nhân cả tử và mẫu với 3 và với 5.
Nhân với 3: 2/5 = (2 × 3)/(5 × 3) = 6/15.
Nhân với 5: 2/5 = (2 × 5)/(5 × 5) = 10/25.
Kiểm tra bằng quy tắc nhân chéo: 2 × 15 = 30 và 5 × 6 = 30 nên 2/5 = 6/15; 2 × 25 = 50 và 5 × 10 = 50 nên 2/5 = 10/25. Cả hai phân số mới đều bằng 2/5. Bạn thấy đấy, chỉ cần chọn một số khác 0 để nhân, bạn đã tạo ra một phân số mới bằng phân số cũ — và bạn có thể làm điều này với bất kì số nào.

Ví dụ 2 (rút gọn): Rút gọn phân số 18/24 về phân số tối giản.
Bước 1: Tìm ước chung lớn nhất của 18 và 24. Các ước của 18 là 1, 2, 3, 6, 9, 18; các ước của 24 là 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Ước chung lớn nhất là 6.
Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho 6: 18 ÷ 6 = 3, 24 ÷ 6 = 4, vậy 18/24 = 3/4.
Bước 3: Kiểm tra: 3 và 4 không còn ước chung nào lớn hơn 1 nên 3/4 là phân số tối giản. Thử lại bằng nhân chéo: 18 × 4 = 72 và 24 × 3 = 72 — đúng. Nếu bạn không tìm ra ước chung lớn nhất ngay, bạn có thể chia dần: 18/24 chia cho 2 được 9/12, rồi chia cho 3 được 3/4 — kết quả vẫn như nhau.

Ví dụ 3 (tìm phân số có mẫu cho trước): Viết phân số bằng 7/9 và có mẫu số là 36.
Bước 1: Tìm số cần nhân: mẫu mới 36 chia cho mẫu cũ 9 được 36 ÷ 9 = 4.
Bước 2: Nhân cả tử và mẫu của 7/9 với 4: (7 × 4)/(9 × 4) = 28/36.
Bước 3: Kiểm tra: 7 × 36 = 252 và 9 × 28 = 252 — đúng. Vậy phân số cần tìm là 28/36. Dạng bài này rất hay gặp khi quy đồng mẫu số: bạn cần viết các phân số về cùng một mẫu chung, và mỗi phân số đều phải nhân cả tử và mẫu với một "thừa số phụ" riêng. Bạn sẽ gặp lại kĩ năng này trong bài về phép cộng và phép trừ phân số.

Ví dụ 4 (đổi dấu và rút gọn nhiều bước): Viết phân số 5/(-8) dưới dạng phân số có mẫu dương, rồi rút gọn 36/60 về phân số tối giản.
Đổi dấu 5/(-8): nhân cả tử và mẫu với -1 được (-5)/8, tức là -5/8. Mẫu đã dương, giá trị không đổi.
Rút gọn 36/60: chia cả tử và mẫu cho 6 được 6/10, rồi chia tiếp cho 2 được 3/5. Hoặc chia thẳng cho ước chung lớn nhất 12: 36 ÷ 12 = 3, 60 ÷ 12 = 5, được 3/5. Kiểm tra: 36 × 5 = 180 và 60 × 3 = 180 — đúng. Bạn nhớ nhé: rút gọn nhiều bước hay một bước đều được, miễn là mỗi lần chia bạn đều chia cả tử và mẫu cho cùng một số.

5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Nhân tử với một số, mẫu với một số khác.
Nhiều bạn viết 2/5 = 6/15 đúng, nhưng lại viết 2/5 = 6/10 vì nhân tử với 3 mà nhân mẫu với 2. Cách tránh: mỗi lần nhân hay chia, bạn hãy viết số nhân (hoặc số chia) ra giấy một lần rồi dùng đúng số đó cho cả tử và mẫu. Kiểm tra nhanh bằng nhân chéo: 2 × 10 = 20 khác 5 × 6 = 30 nên 2/5 không bằng 6/10.

Lỗi 2: Nhân cả tử và mẫu với 0.
Một số bạn nghĩ nhân với 0 cũng được vì "nhân với số nào cũng được". Cách tránh: nhớ rằng tính chất chỉ đúng với số khác 0. Nhân cả tử và mẫu với 0 sẽ cho 0/0, mà 0/0 không phải là một phân số vì mẫu số không được bằng 0.

Lỗi 3: Chia tử và mẫu cho một số không phải ước chung.
Ví dụ rút gọn 18/24, có bạn chia tử cho 9 được 2 nhưng chia mẫu cho 8 được 3, rồi kết luận 18/24 = 2/3. Cách tránh: số chia phải chia hết cả tử lẫn mẫu. Kiểm tra lại: 18 × 3 = 54 còn 24 × 2 = 48, hai tích khác nhau nên 18/24 không bằng 2/3. Phân số tối giản đúng của 18/24 là 3/4.

Lỗi 4: Rút gọn chưa tới phân số tối giản.
Nhiều bạn rút gọn 18/24 thành 9/12 rồi dừng lại, trong khi 9/12 vẫn rút gọn tiếp được thành 3/4. Cách tránh: sau khi rút gọn, bạn hãy kiểm tra xem tử và mẫu còn ước chung nào lớn hơn 1 không. Cách chắc chắn nhất là chia một lần cho ước chung lớn nhất. Nếu chưa biết ước chung lớn nhất, bạn có thể dùng máy tính Casio online để kiểm tra, nhưng hãy tự tìm bằng tay trước để rèn kĩ năng.

Lỗi 5: Quên đổi dấu khi viết phân số có mẫu âm.
Nhiều bạn để nguyên phân số 5/(-8) trong đáp số, hoặc đổi dấu mẫu mà quên đổi dấu tử thành -5/8. Cách tránh: khi thấy mẫu âm, bạn hãy đổi dấu cả tử và mẫu ngay: 5/(-8) = -5/8. Nhớ rằng chỉ đổi dấu một chỗ thì giá trị của phân số sẽ đổi theo: 5/8 khác -5/8.

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Với mỗi bài, bạn hãy áp dụng đúng tính chất cơ bản của phân số.

Câu 1: Phân số nào sau đây bằng 3/4?
A. 6/8
B. 9/14
C. 12/20
D. 5/6

Câu 2: Rút gọn phân số 15/25 về phân số tối giản.
A. 3/5
B. 5/3
C. 3/4
D. 5/9

Câu 3: Chia cả tử và mẫu của phân số 8/12 cho cùng một số để được ngay phân số 2/3. Số đó là:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6

Câu 4: Viết phân số bằng 5/7 và có tử số là 20. Phân số đó là:
A. 20/28
B. 20/24
C. 20/35
D. 20/21

Câu 5: Phân số nào sau đây KHÔNG bằng -2/3?
A. 2/(-3)
B. -4/6
C. -6/9
D. -2/5

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (6/8) đúng: 6/8 = (3 × 2)/(4 × 2), tức là nhân cả tử và mẫu của 3/4 với 2 nên bằng 3/4. Kiểm tra bằng nhân chéo: 3 × 8 = 24 và 4 × 6 = 24. Đáp án B (9/14) sai: 3 × 14 = 42 khác 4 × 9 = 36. Đáp án C (12/20) sai: 3 × 20 = 60 khác 4 × 12 = 48. Đáp án D (5/6) sai: 3 × 6 = 18 khác 4 × 5 = 20.

Giải thích Câu 2 — Đáp án A (3/5) đúng: Ước chung lớn nhất của 15 và 25 là 5. Chia cả tử và mẫu cho 5: 15 ÷ 5 = 3, 25 ÷ 5 = 5, được 3/5. 3 và 5 không còn ước chung nào lớn hơn 1 nên 3/5 là tối giản. Đáp án B (5/3) sai vì đảo ngược tử và mẫu. Đáp án C (3/4) sai: 15 × 4 = 60 khác 25 × 3 = 75. Đáp án D (5/9) sai: 15 × 9 = 135 khác 25 × 5 = 125.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C (4) đúng: 8 ÷ 4 = 2 và 12 ÷ 4 = 3, nên chia cả tử và mẫu của 8/12 cho 4 được ngay 2/3. Đáp án A (2) sai vì chia cho 2 chỉ được 4/6, chưa phải 2/3. Đáp án B (3) sai vì 8 không chia hết cho 3. Đáp án D (6) sai vì 8 không chia hết cho 6.

Giải thích Câu 4 — Đáp án A (20/28) đúng: Tử mới 20 chia cho tử cũ 5 được 20 ÷ 5 = 4, nên nhân cả tử và mẫu của 5/7 với 4: (5 × 4)/(7 × 4) = 20/28. Kiểm tra: 5 × 28 = 140 và 7 × 20 = 140. Đáp án B (20/24) sai: 5 × 24 = 120 khác 7 × 20 = 140. Đáp án C (20/35) sai: 5 × 35 = 175 khác 140. Đáp án D (20/21) sai: 5 × 21 = 105 khác 140.

Giải thích Câu 5 — Đáp án D (-2/5) đúng: -2/5 không bằng -2/3 vì (-2) × 3 = -6 còn 5 × (-2) = -10, hai tích khác nhau. Đáp án A (2/(-3)) sai vì 2/(-3) bằng -2/3: đổi dấu cả tử và mẫu của 2/(-3) được -2/3. Đáp án B (-4/6) sai vì -4/6 rút gọn chia cả tử và mẫu cho 2 được -2/3. Đáp án C (-6/9) sai vì -6/9 rút gọn chia cả tử và mẫu cho 3 được -2/3.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Vì sao nhân cả tử và mẫu với cùng một số thì phân số không đổi giá trị?
Đáp: Vì bạn chỉ thay đổi cách chia nhỏ cái bánh, chứ không thay đổi lượng bánh. Nhân cả tử và mẫu với 3 nghĩa là cắt mỗi miếng bánh thành 3 miếng nhỏ hơn: tổng số miếng tăng gấp 3 lần, số miếng bạn lấy cũng tăng gấp 3 lần, nên phần bánh bạn có vẫn như cũ. Đó cũng là lí do tính chất này đúng với mọi số khác 0.

Hỏi: Rút gọn phân số có làm thay đổi giá trị của nó không?
Đáp: Không. Rút gọn chỉ là chia cả tử và mẫu cho cùng một ước chung, tức là áp dụng tính chất cơ bản theo chiều ngược lại. Phân số sau khi rút gọn vẫn bằng phân số ban đầu, chỉ gọn hơn và dễ dùng hơn. Ví dụ 18/24 = 3/4, cả hai đều chỉ cùng một giá trị.

Hỏi: Làm sao biết một phân số đã tối giản chưa?
Đáp: Bạn kiểm tra xem tử và mẫu còn ước chung nào lớn hơn 1 không. Nếu không còn thì phân số đã tối giản. Cách chắc chắn nhất là tìm ước chung lớn nhất của tử và mẫu: nếu ước chung lớn nhất bằng 1 thì phân số đã tối giản. Ví dụ 3/4 có ước chung lớn nhất là 1 nên đã tối giản, còn 9/12 có ước chung lớn nhất là 3 nên chưa tối giản.

Hỏi: Có thể nhân cả tử và mẫu với một phân số không?
Đáp: Trong chương trình lớp 6, bạn chỉ nhân cả tử và mẫu với số nguyên khác 0. Việc nhân với phân số hay số thập phân sẽ được học ở các lớp trên, nhưng nguyên tắc vẫn giống nhau: nhân hay chia cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 thì giá trị phân số không đổi.

Hỏi: Tính chất cơ bản của phân số dùng để làm gì trong thực tế?
Đáp: Nó dùng để rút gọn phân số cho gọn, quy đồng mẫu số để cộng trừ hay so sánh phân số, và viết phân số dưới dạng có tử hoặc mẫu theo yêu cầu. Không có tính chất này, bạn không thể cộng 1/2 với 1/3, vì hai phân số khác mẫu không cộng trực tiếp được — bạn phải dùng tính chất cơ bản để viết chúng về cùng mẫu 6 rồi mới cộng. Bạn có thể kiểm tra các phép biến đổi của mình bằng máy tính Casio online trên ClassOn.

8. Kết luận

Tính chất cơ bản của phân số nói một điều rất đơn giản mà vô cùng mạnh mẽ: nhân hay chia cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 thì giá trị của phân số không đổi. Nhờ tính chất này, bạn có thể phóng to một phân số thành vô số phân số bằng nó, thu nhỏ nó về dạng tối giản gọn nhất, đổi dấu để mẫu luôn dương, và viết nó với bất kì tử hay mẫu nào mà đề bài yêu cầu. Đây cũng là nền tảng của hai kĩ năng quan trọng nhất trong chương phân số: rút gọn và quy đồng. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm chắc tính chất này. Bài tiếp theo — phép cộng và phép trừ phân số — sẽ cho bạn thấy tính chất cơ bản phát huy tác dụng như thế nào khi cộng hai phân số khác mẫu, và vì sao quy đồng mẫu số lại là bước không thể thiếu. Và khi cần kiểm tra nhanh bất kì phép biến đổi phân số nào, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn.