Điều kiện để hai phân số bằng nhau: quy tắc nhân chéo, ví dụ và bài tập

Cuối tuần vừa rồi, nhà bạn Lan đặt hai chiếc bánh pizza giống hệt nhau để cả nhà cùng ăn. Chiếc thứ nhất, mẹ cắt thành 4 miếng bằng nhau và Lan ăn 3 miếng. Chiếc thứ hai, bố cắt thành 12 miếng nhỏ bằng nhau và Minh ăn 9 miếng. Lan ăn 3/4 cái bánh, Minh ăn 9/12 cái bánh. Ai ăn nhiều hơn? Nhìn con số thì 9 miếng nghe có vẻ nhiều hơn 3 miếng rất nhiều, nhưng nếu bạn đặt phần bánh của hai bạn cạnh nhau, bạn sẽ thấy hai phần bánh ấy to bằng nhau y hệt. 3/4 và 9/12 là hai phân số bằng nhau — chúng chỉ là hai cách viết khác nhau của cùng một lượng bánh. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu thế nào là hai phân số bằng nhau, nắm chắc quy tắc nhân chéo để kiểm tra bất kì cặp phân số nào trong vài giây, và tránh những lỗi sai mà rất nhiều bạn lớp 6 hay mắc phải.

Trong sách giáo khoa Toán 6 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống" (Bài 23: Mở rộng phân số, phân số bằng nhau), hai phân số bằng nhau được dạy ngay sau khái niệm phân số, vì đây là chìa khóa để học tiếp mọi thứ về phân số: rút gọn, quy đồng, so sánh, cộng trừ nhân chia. Nếu bạn đã học bài về tìm ước chung lớn nhất thì bài này sẽ càng dễ tiếp thu, vì rút gọn phân số và kiểm tra phân số bằng nhau là hai mặt của cùng một ý tưởng. Học xong bài này, bạn sẽ không bao giờ còn lúng túng trước câu hỏi "hai phân số này có bằng nhau không?" nữa.

1. Hai phân số bằng nhau là gì?

Hai phân số được gọi là bằng nhau khi chúng chỉ cùng một giá trị, cùng một phần của một cái bánh, một thanh sô-cô-la hay một đoạn dây. 3/4 cái bánh và 9/12 cái bánh là cùng một lượng bánh, chỉ khác ở cách cắt: cắt thành 4 miếng thì lấy 3 miếng, cắt thành 12 miếng thì lấy 9 miếng. Tương tự, 1/2 và 2/4 bằng nhau, 2/3 và 4/6 bằng nhau, 5/10 và 1/2 bằng nhau. Tử số và mẫu số có thể khác nhau, nhưng giá trị mà phân số biểu diễn thì giống hệt nhau.

Bạn hãy tưởng tượng một thanh sô-cô-la dài. Bạn chia nó thành 4 phần bằng nhau và lấy 3 phần — bạn được 3/4 thanh. Bạn của bạn chia một thanh giống hệt thành 12 phần bằng nhau và lấy 9 phần — bạn ấy được 9/12 thanh. Đặt hai phần sô-cô-la cạnh nhau, chúng dài bằng nhau. Đó chính là ý nghĩa của "bằng nhau": không phải tử bằng tử hay mẫu bằng mẫu, mà là lượng thực tế bằng nhau. Đây là điểm khác biệt quan trọng nhất so với số tự nhiên: với số tự nhiên, hai số bằng nhau thì phải viết giống hệt nhau, còn với phân số, cùng một giá trị có thể viết bằng vô số cách khác nhau.

Một cách hiểu khác cũng rất hay: hai phân số bằng nhau chính là hai cách viết khác nhau của cùng một số. Số 0,75 có thể viết là 3/4, cũng có thể viết là 9/12, 6/8, 12/16 hay 15/20. Tất cả những phân số này đều bằng nhau, và chúng đều bằng 0,75. Khi bạn chia 3 cho 4, bạn được 0,75; khi bạn chia 9 cho 12, bạn cũng được 0,75. Vì thế, muốn kiểm tra hai phân số có bằng nhau không, bạn có thể chia tử cho mẫu rồi so sánh kết quả — nhưng cách này chậm và dễ gặp số thập phân dài. Quy tắc nhân chéo ở phần sau sẽ giúp bạn kiểm tra nhanh hơn nhiều, chỉ bằng hai phép nhân.

2. Quy tắc nhân chéo: a/b = c/d khi và chỉ khi a × d = b × c

Đây là công thức quan trọng nhất của cả bài, bạn hãy ghi nhớ nó thật kĩ: hai phân số a/b và c/d bằng nhau khi và chỉ khi a × d = b × c. Nói bằng lời: tử số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai bằng mẫu số của phân số thứ nhất nhân với tử số của phân số thứ hai. Hai phép nhân này được gọi là hai "tích chéo", vì khi viết hai phân số cạnh nhau, bạn nhân chéo từ góc này sang góc kia như hình chữ X.

Vì sao quy tắc này đúng? Bạn hãy bắt đầu từ đẳng thức a/b = c/d và nhân cả hai vế với b × d (tích của hai mẫu số). Vế trái: (a/b) × (b × d) = a × d, vì b ở tử và mẫu triệt tiêu nhau. Vế phải: (c/d) × (b × d) = c × b, vì d ở tử và mẫu triệt tiêu nhau. Vậy từ a/b = c/d ta suy ra a × d = b × c. Ngược lại cũng đúng: nếu a × d = b × c thì chia cả hai vế cho b × d, bạn lại được a/b = c/d. Chính vì thế quy tắc này dùng được cả hai chiều: vừa để kiểm tra hai phân số có bằng nhau không, vừa để tìm số chưa biết trong một đẳng thức phân số.

Để nhớ quy tắc này, bạn hãy vẽ hai mũi tên chéo. Viết hai phân số a/b và c/d cạnh nhau, rồi vẽ một mũi tên từ a (tử của phân số thứ nhất) xuống d (mẫu của phân số thứ hai), và một mũi tên từ b (mẫu của phân số thứ nhất) lên c (tử của phân số thứ hai). Hai mũi tên tạo thành hình chữ X, và hai tích dọc theo hai mũi tên phải bằng nhau thì hai phân số mới bằng nhau. Nhiều bạn còn nhớ bằng câu nói: "Tử này nhân mẫu kia, mẫu này nhân tử kia, hai tích bằng nhau thì hai phân số bằng nhau." Bạn hãy tự vẽ hình chữ X này ra giấy vài lần, quy tắc sẽ in sâu vào trí nhớ của bạn.

Một điều kiện nhỏ nhưng rất quan trọng: mẫu số của phân số không bao giờ được bằng 0. Trong công thức a/b = c/d, cả b và d đều phải khác 0, vì không có phép chia cho 0 trong toán học. Khi làm bài tập, bạn không cần kiểm tra điều này nhiều, vì đề bài luôn cho mẫu số khác 0, nhưng bạn cần nhớ nó để hiểu vì sao quy tắc nhân chéo lại nhân với b × d: nếu b hoặc d bằng 0 thì phép nhân đó không còn ý nghĩa nữa.

3. Ba bước kiểm tra hai phân số có bằng nhau không

Bước 1: Nhân chéo.
Tính hai tích chéo: tích thứ nhất là tử của phân số thứ nhất nhân với mẫu của phân số thứ hai (a × d), tích thứ hai là mẫu của phân số thứ nhất nhân với tử của phân số thứ hai (b × c). Bạn nên viết hai tích này ra giấy, mỗi tích một dòng, để không bị nhầm.

Bước 2: So sánh hai tích.
Nếu hai tích bằng nhau thì hai phân số bằng nhau. Nếu hai tích khác nhau thì hai phân số không bằng nhau. Bạn chỉ cần so sánh hai số nguyên này với nhau, không cần làm gì thêm.

Bước 3: Kết luận và thử lại (nếu cần).
Viết kết luận đầy đủ, ví dụ "Vì 3 × 12 = 4 × 9 = 36 nên 3/4 = 9/12." Nếu hai tích đều là số lớn, bạn có thể rút gọn hai phân số về phân số tối giản để kiểm tra lại cho chắc chắn.

Cũng với quy tắc nhân chéo, bạn còn giải được dạng bài "tìm số chưa biết". Ví dụ, tìm x biết x/6 = 10/12. Nhân chéo: x × 12 = 6 × 10 = 60, suy ra x = 60 ÷ 12 = 5. Thử lại: 5/6 = 10/12 vì 5 × 12 = 60 và 6 × 10 = 60 — đúng. Dạng bài này sẽ xuất hiện rất nhiều trong các bài kiểm tra, và quy tắc nhân chéo biến nó thành một bài toán tìm x đơn giản mà bạn đã quen thuộc từ chương số tự nhiên. Bạn có thể kiểm tra nhanh kết quả bằng máy tính Casio online trên ClassOn, nhưng hãy tự tính bằng tay trước để rèn kĩ năng.

4. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Kiểm tra xem 3/4 có bằng 9/12 không.
Nhân chéo: tích thứ nhất 3 × 12 = 36; tích thứ hai 4 × 9 = 36.
So sánh: 36 = 36, hai tích bằng nhau.
Kết luận: 3/4 = 9/12. Đây chính là ví dụ về hai chiếc bánh pizza ở đầu bài: Lan ăn 3/4 cái bánh, Minh ăn 9/12 cái bánh, hai bạn ăn bằng nhau. Bạn thấy đấy, chỉ hai phép nhân đơn giản là bạn đã trả lời được câu hỏi mà nhìn bằng mắt thường rất khó chắc chắn.

Ví dụ 2 (số lớn hơn): Kiểm tra xem 5/7 có bằng 15/21 không.
Nhân chéo: tích thứ nhất 5 × 21 = 105; tích thứ hai 7 × 15 = 105.
So sánh: 105 = 105, hai tích bằng nhau.
Kết luận: 5/7 = 15/21. Bạn có thể kiểm tra lại bằng cách rút gọn: 15/21 chia cả tử và mẫu cho 3 được 5/7. Hai cách kiểm tra cho cùng một kết quả, và bạn dùng cách nào cũng được. Với những cặp phân số mà tử và mẫu đều lớn, quy tắc nhân chéo thường nhanh hơn rút gọn, vì bạn chỉ cần nhân hai lần rồi so sánh.

Ví dụ 3 (không bằng nhau, có phân số âm): Kiểm tra xem 2/3 có bằng 5/8 không? Và -9/12 có bằng -3/4 không?
Với 2/3 và 5/8: tích thứ nhất 2 × 8 = 16; tích thứ hai 3 × 5 = 15. Vì 16 khác 15 nên 2/3 không bằng 5/8. Bạn để ý nhé: 16 lớn hơn 15, nên 2/3 lớn hơn 5/8 — quy tắc nhân chéo còn cho bạn biết phân số nào lớn hơn, nhưng trong bài này chúng ta chỉ cần kết luận chúng không bằng nhau.
Với -9/12 và -3/4: tích thứ nhất (-9) × 4 = -36; tích thứ hai 12 × (-3) = -36. Vì -36 = -36 nên -9/12 = -3/4. Phân số âm cũng dùng quy tắc nhân chéo y hệt phân số dương, bạn chỉ cần cẩn thận với dấu trừ khi nhân: âm nhân dương ra âm, và hai tích âm bằng nhau thì hai phân số vẫn bằng nhau. Nhiều bạn quên dấu trừ ở đây nên kết luận sai, bạn nhớ nhân cả dấu nhé.

Ví dụ 4 (tìm số chưa biết): Tìm x biết x/6 = 10/12.
Nhân chéo: x × 12 = 6 × 10.
Tính vế phải: 6 × 10 = 60, nên x × 12 = 60.
Suy ra x = 60 ÷ 12 = 5.
Thử lại: thay x = 5 vào phân số thứ nhất được 5/6. Kiểm tra 5/6 = 10/12: 5 × 12 = 60, 6 × 10 = 60 — đúng. Vậy x = 5. Dạng bài này còn có biến thể là tìm mẫu số chưa biết, ví dụ 4/9 = 12/x thì nhân chéo được 4 × x = 9 × 12 = 108, suy ra x = 108 ÷ 4 = 27. Dù ẩn ở tử hay ở mẫu, cách làm vẫn giống nhau: nhân chéo, rồi chia để tìm ẩn.

5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Chỉ so sánh tử với tử, mẫu với mẫu.
Nhiều bạn thấy 3/4 và 9/12 có 3 nhỏ hơn 9 và 4 nhỏ hơn 12 nên kết luận hai phân số không bằng nhau. Cách tránh: phân số bằng nhau không có nghĩa là tử bằng tử hay mẫu bằng mẫu, mà là giá trị bằng nhau. Bạn hãy luôn nhân chéo thay vì so sánh từng phần riêng lẻ.

Lỗi 2: Nhân nhầm cặp — lấy tử nhân tử, mẫu nhân mẫu.
Với 3/4 và 9/12, một số bạn tính 3 × 9 = 27 và 4 × 12 = 48 rồi so sánh 27 với 48 và kết luận sai. Cách tránh: nhớ hình chữ X — tử của phân số này nhân với mẫu của phân số kia. Bạn hãy vẽ hai mũi tên chéo ra giấy trong những lần đầu làm bài, đến khi quen thì mới tính nhẩm.

Lỗi 3: Quên dấu trừ khi nhân chéo phân số âm.
Với -9/12 và -3/4, nhiều bạn tính 9 × 4 = 36 và 12 × 3 = 36 rồi kết luận đúng mà không để ý dấu — lần này thì kết quả vẫn đúng vì cả hai tích đều âm, nhưng với cặp -5/8 và 5/8 thì bỏ dấu sẽ cho kết luận sai hoàn toàn: (-5) × 8 = -40 còn 8 × 5 = 40, hai tích khác nhau nên hai phân số không bằng nhau. Cách tránh: khi nhân chéo, bạn hãy viết cả dấu trừ vào phép nhân và tính dấu cẩn thận.

Lỗi 4: Tính nhẩm sai một trong hai tích chéo.
Ví dụ với 5/7 và 15/21, nhiều bạn tính nhẩm 5 × 21 = 115 hoặc 7 × 15 = 95 rồi kết luận hai phân số không bằng nhau. Cách tránh: với các tích lớn hơn 100, bạn hãy đặt tính ra giấy thay vì nhẩm, hoặc tách số ra để nhân từng phần: 5 × 21 = 5 × 20 + 5 × 1 = 100 + 5 = 105.

Lỗi 5: Tìm x xong không thử lại.
Nhiều bạn tìm được x = 5 rồi viết đáp số ngay mà không thử lại, trong khi chỉ cần một phép chia sai là cả bài sai theo. Cách tránh: sau khi tìm được x, bạn hãy thay ngược vào đẳng thức ban đầu và nhân chéo một lần nữa để kiểm tra. Chỉ mất thêm mười giây nhưng giúp bạn chắc chắn 100%.

6. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Với mỗi bài, bạn hãy nhân chéo ra giấy rồi mới chọn đáp án.

Câu 1: Cặp phân số nào sau đây bằng nhau?
A. 1/2 và 2/4
B. 1/2 và 3/5
C. 2/3 và 4/5
D. 3/4 và 6/7

Câu 2: Tìm x biết 4/9 = 12/x.
A. 24
B. 27
C. 30
D. 36

Câu 3: Phân số nào sau đây KHÔNG bằng 3/5?
A. 6/10
B. 9/15
C. 12/20
D. 7/12

Câu 4: Tìm x biết -5/8 = x/24.
A. -15
B. 15
C. -10
D. 10

Câu 5: Cặp phân số nào sau đây bằng nhau?
A. 7/9 và 14/18
B. 7/9 và 21/26
C. 7/9 và 15/18
D. 7/9 và 28/34

Giải thích Câu 1 — Đáp án A (1/2 và 2/4) đúng: Nhân chéo: 1 × 4 = 4 và 2 × 2 = 4 — hai tích bằng nhau nên 1/2 = 2/4. Đáp án B sai: 1 × 5 = 5 còn 2 × 3 = 6, 5 khác 6 nên 1/2 không bằng 3/5. Đáp án C sai: 2 × 5 = 10 còn 3 × 4 = 12, 10 khác 12 nên 2/3 không bằng 4/5. Đáp án D sai: 3 × 7 = 21 còn 4 × 6 = 24, 21 khác 24 nên 3/4 không bằng 6/7.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B (27) đúng: Nhân chéo: 4 × x = 9 × 12 = 108, suy ra x = 108 ÷ 4 = 27. Thử lại: 12/27 rút gọn chia cả tử và mẫu cho 3 được 4/9 — đúng. Đáp án A (24) sai: 4 × 24 = 96 khác 108. Đáp án C (30) sai: 4 × 30 = 120 khác 108. Đáp án D (36) sai: 4 × 36 = 144 khác 108.

Giải thích Câu 3 — Đáp án D (7/12) đúng: 7/12 không bằng 3/5 vì 3 × 12 = 36 còn 5 × 7 = 35, hai tích khác nhau. Đáp án A (6/10) sai vì 6/10 bằng 3/5: 3 × 10 = 30 và 5 × 6 = 30. Đáp án B (9/15) sai vì 9/15 bằng 3/5: 3 × 15 = 45 và 5 × 9 = 45. Đáp án C (12/20) sai vì 12/20 bằng 3/5: 3 × 20 = 60 và 5 × 12 = 60. Mẹo nhỏ: cả ba phân số 6/10, 9/15, 12/20 đều là 3/5 nhân cả tử và mẫu với 2, 3, 4.

Giải thích Câu 4 — Đáp án A (-15) đúng: Nhân chéo: (-5) × 24 = 8 × x, tức là -120 = 8x, suy ra x = -120 ÷ 8 = -15. Thử lại: (-15)/24 rút gọn chia cả tử và mẫu cho 3 được -5/8 — đúng. Đáp án B (15) sai vì quên dấu trừ: 8 × 15 = 120 khác -120. Đáp án C (-10) sai: 8 × (-10) = -80 khác -120. Đáp án D (10) sai: 8 × 10 = 80 khác -120.

Giải thích Câu 5 — Đáp án A (7/9 và 14/18) đúng: Nhân chéo: 7 × 18 = 126 và 9 × 14 = 126 — hai tích bằng nhau nên 7/9 = 14/18. Đáp án B sai: 7 × 26 = 182 còn 9 × 21 = 189, hai tích khác nhau. Đáp án C sai: 7 × 18 = 126 còn 9 × 15 = 135, hai tích khác nhau. Đáp án D sai: 7 × 34 = 238 còn 9 × 28 = 252, hai tích khác nhau.

7. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Vì sao lại gọi là "nhân chéo"?
Đáp: Vì khi viết hai phân số a/b và c/d cạnh nhau, bạn nhân tử của phân số này với mẫu của phân số kia theo hai đường chéo tạo thành hình chữ X: a nhân với d, b nhân với c. Cách gọi này giúp bạn nhớ đúng cặp số cần nhân, tránh nhầm thành tử nhân tử hay mẫu nhân mẫu.

Hỏi: Hai phân số bằng nhau có rút gọn về cùng một phân số tối giản không?
Đáp: Có, và đây là một cách kiểm tra khác rất hay. Mọi phân số bằng nhau đều rút gọn về cùng một phân số tối giản duy nhất. Ví dụ 3/4, 9/12, 6/8, 15/20 đều rút gọn về 3/4. Nếu bạn rút gọn hai phân số mà được hai phân số tối giản khác nhau thì hai phân số đó không bằng nhau. Muốn rút gọn nhanh, bạn cần biết cách tìm ước chung lớn nhất của tử và mẫu.

Hỏi: Quy tắc nhân chéo có dùng được với phân số âm không?
Đáp: Có, dùng y hệt như với phân số dương. Bạn chỉ cần giữ nguyên dấu trừ khi nhân: âm nhân dương ra âm, âm nhân âm ra dương. Ví dụ -9/12 = -3/4 vì (-9) × 4 = -36 và 12 × (-3) = -36. Quy tắc này đúng với mọi phân số có mẫu khác 0, dù tử và mẫu là số âm hay số dương.

Hỏi: Nếu a × d = b × c thì có suy ra a/b = c/d không?
Đáp: Có, quy tắc nhân chéo đúng cả hai chiều. Từ a × d = b × c, bạn chia cả hai vế cho b × d (b và d đều khác 0) thì được a/b = c/d. Nhờ tính hai chiều này mà bạn vừa kiểm tra được hai phân số có bằng nhau không, vừa tìm được số chưa biết trong đẳng thức phân số.

Hỏi: Làm sao kiểm tra nhanh kết quả bằng máy tính?
Đáp: Bạn bấm phân số thứ nhất rồi trừ đi phân số thứ hai trên máy tính Casio online: nếu kết quả bằng 0 thì hai phân số bằng nhau. Ví dụ 3/4 - 9/12 = 0, còn 2/3 - 5/8 = 1/24 khác 0. Nhưng trong bài kiểm tra, bạn vẫn phải trình bày bằng quy tắc nhân chéo, vì máy tính chỉ giúp bạn kiểm tra chứ không thay cho lời giải.

8. Kết luận

Hai phân số bằng nhau là hai cách viết khác nhau của cùng một giá trị, và quy tắc nhân chéo a/b = c/d khi và chỉ khi a × d = b × c chính là công cụ nhanh nhất để kiểm tra điều đó. Chỉ cần nhớ hình chữ X với hai mũi tên chéo, nhân hai tích rồi so sánh, bạn sẽ trả lời được mọi câu hỏi về phân số bằng nhau trong vài giây — kể cả với phân số âm hay với số chưa biết cần tìm. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm chắc bài học quan trọng này của chương phân số. Bài tiếp theo trong loạt công thức Toán 6 — tính chất cơ bản của phân số — sẽ cho bạn thấy vì sao nhân hay chia cả tử và mẫu với cùng một số lại không làm thay đổi giá trị của phân số, và đó chính là lí do sâu xa khiến quy tắc nhân chéo luôn đúng. Và khi cần kiểm tra nhanh bất kì phép tính phân số nào, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn.