Giới thiệu
Đạo hàm là công cụ trung tâm của chương trình Giải tích lớp 11, mở đầu cho việc khảo sát hàm số, tìm cực trị và giải các bài toán tối ưu ở lớp 12. Hiểu bản chất đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời của một đại lượng sẽ giúp học sinh không chỉ thuộc công thức mà còn biết khi nào dùng chúng.
Bài viết tổng hợp đầy đủ công thức đạo hàm lớp 11 theo chương trình Kết nối tri thức: định nghĩa, đạo hàm các hàm số cơ bản, quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm hàm hợp, đạo hàm cấp hai và ý nghĩa hình học, kèm ví dụ minh họa, lỗi thường gặp và bài tập tự luyện. Học sinh muốn ôn lượng giác có thể xem bài công thức lượng giác lớp 11 đầy đủ, còn khi cần tính toán nhanh có thể dùng máy tính Casio online trên ClassOn.
Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên một khoảng chứa điểm \(x_0\). Đạo hàm của \(f\) tại \(x_0\), kí hiệu \(f'(x_0)\), là giới hạn \(f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\) nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn. Khi đó hàm số được gọi là có đạo hàm tại \(x_0\).
Về mặt hình học, \(f'(x_0)\) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x_0\). Phương trình tiếp tuyến khi đó là \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\). Về mặt vật lí, nếu \(s(t)\) là quãng đường đi được theo thời gian thì \(s'(t)\) là vận tốc tức thời tại thời điểm \(t\). Hai ý nghĩa này lý giải vì sao đạo hàm xuất hiện trong cả hình học và vật lí.
Đạo hàm của các hàm số cơ bản
Bảng đạo hàm cơ bản dưới đây là nền tảng cho mọi bài tính đạo hàm. Học sinh cần thuộc lòng bảng này trước khi học các quy tắc tính.
Cụ thể: đạo hàm của hằng số \((C)' = 0\); đạo hàm của \(x\) là \((x)' = 1\); đạo hàm lũy thừa \((x^n)' = n x^{n-1}\) với \(n\) là số thực; đạo hàm căn bậc hai \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) với \(x > 0\); đạo hàm của \(\frac{1}{x}\) là \(\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}\) với \(x \ne 0\); đạo hàm lượng giác \((\sin x)' = \cos x\), \((\cos x)' = -\sin x\), \((\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\) với \(\cos x \ne 0\), \((\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}\) với \(\sin x \ne 0\); đạo hàm mũ và logarit \((e^x)' = e^x\), \((\ln x)' = \frac{1}{x}\) với \(x > 0\), \((a^x)' = a^x \ln a\).
Quy tắc tính đạo hàm
Với \(u, v\) là các hàm số có đạo hàm, ta có các quy tắc sau. Quy tắc tổng và hiệu: \((u \pm v)' = u' \pm v'\). Quy tắc tích: \((u \cdot v)' = u'v + uv'\). Quy tắc thương: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\) với \(v \ne 0\). Quy tắc nhân với hằng số: \((k \cdot u)' = k \cdot u'\).
Quy tắc quan trọng nhất và cũng hay sai nhất là quy tắc hàm hợp: nếu \(y = f(u)\) và \(u = u(x)\) thì \(y' = f'(u) \cdot u'\). Ví dụ với \(y = \sin(2x + 1)\), đặt \(u = 2x + 1\) thì \(y' = \cos u \cdot u' = 2\cos(2x + 1)\). Học sinh quên nhân thêm \(u'\) là lỗi phổ biến nhất khi tính đạo hàm hàm hợp, đặc biệt với hàm hợp nhiều lớp như \(\sqrt{\sin x}\) hay \(e^{x^2}\).
Đạo hàm cấp hai và ý nghĩa
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(f\), kí hiệu \(f''(x)\), là đạo hàm của đạo hàm cấp một \(f'(x)\). Về mặt vật lí, nếu \(s(t)\) là quãng đường thì \(s''(t)\) là gia tốc tức thời. Về mặt hình học, dấu của đạo hàm cấp hai cho biết tính lồi, lõm của đồ thị: \(f''(x) > 0\) thì đồ thị lồi xuống, \(f''(x) < 0\) thì đồ thị lồi lên, điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai đổi dấu được gọi là điểm uốn.
Đạo hàm cấp hai còn dùng để xét cực trị: tại điểm \(x_0\) mà \(f'(x_0) = 0\), nếu \(f''(x_0) > 0\) thì hàm số đạt cực tiểu tại \(x_0\), nếu \(f''(x_0) < 0\) thì hàm số đạt cực đại tại \(x_0\). Tuy nhiên dấu hiệu này chỉ là điều kiện đủ, không phải điều kiện cần: có những điểm cực trị mà đạo hàm cấp hai bằng 0, khi đó phải xét dấu của đạo hàm cấp một xung quanh điểm đó.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của \(y = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7\). Lời giải: \(y' = 9x^2 - 4x + 5\).
Ví dụ 2. Tính đạo hàm của \(y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\). Lời giải: dùng quy tắc thương, \(y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}\).
Ví dụ 3. Tính đạo hàm của \(y = \sin^2 x\). Lời giải: đặt \(u = \sin x\), \(y = u^2\), nên \(y' = 2u \cdot u' = 2\sin x \cos x = \sin 2x\).
Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^2 - 3x + 2\) tại điểm có hoành độ \(x_0 = 1\). Lời giải: \(y' = 2x - 3\), nên \(y'(1) = -1\), \(y(1) = 0\). Phương trình tiếp tuyến là \(y = -1 \cdot (x - 1) + 0\), tức là \(y = -x + 1\).
Lỗi thường gặp khi tính đạo hàm
Lỗi thứ nhất là quên nhân đạo hàm của hàm trong khi dùng quy tắc hàm hợp, ví dụ viết \((\sin 2x)' = \cos 2x\) mà thiếu hệ số 2. Lỗi thứ hai là nhầm dấu trong đạo hàm của cos và cot: \((\cos x)' = -\sin x\) và \((\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}\). Lỗi thứ ba là áp dụng sai quy tắc thương, viết tử số là \(u'v + uv'\) thay vì \(u'v - uv'\). Lỗi thứ tư là đạo hàm từng hạng tử nhưng quên đạo hàm của hằng số bằng 0, hoặc ngược lại, coi hằng số nhân với \(x\) là hằng số. Lỗi thứ năm là khi tính đạo hàm cấp hai, học sinh đạo hàm lại biểu thức gốc thay vì đạo hàm biểu thức đạo hàm cấp một.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính đạo hàm của \(y = 2x^4 - 3x^2 + x + 5\). Đáp án: \(y' = 8x^3 - 6x + 1\).
Bài 2. Tính đạo hàm của \(y = \sqrt{2x + 3}\). Đáp án: \(y' = \frac{1}{\sqrt{2x + 3}}\).
Bài 3. Tính đạo hàm của \(y = x \cdot \sin x\). Đáp án: \(y' = \sin x + x\cos x\).
Bài 4. Tính đạo hàm cấp hai của \(y = x^3 - 3x^2 + 2\). Đáp án: \(y'' = 6x - 6\).
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^3\) tại điểm có hoành độ \(x_0 = 2\). Đáp án: \(y = 12x - 16\).
FAQ
Đạo hàm khác gì với giới hạn? Đạo hàm được định nghĩa bằng một giới hạn, nhưng nó là một hàm số mới cho biết tốc độ thay đổi tức thời, còn giới hạn là công cụ để tính ra nó. Nói cách khác, giới hạn là phương pháp, đạo hàm là kết quả mang ý nghĩa hình học và vật lí.
Khi nào hàm số không có đạo hàm? Khi giới hạn định nghĩa không tồn tại hữu hạn, ví dụ hàm số \(y = |x|\) tại \(x = 0\) có đồ thị gãy khúc nên không có đạo hàm tại đó, hoặc hàm số gián đoạn tại một điểm thì cũng không có đạo hàm tại điểm đó.
Tại sao phải nhân thêm đạo hàm của hàm trong? Vì tốc độ thay đổi của hàm hợp bằng tốc độ thay đổi của hàm ngoài nhân với tốc độ thay đổi của hàm trong, theo quy tắc dây chuyền. Bỏ qua thừa số này là bỏ qua một khâu thay đổi, kết quả sẽ sai.
Đạo hàm cấp hai dùng để làm gì? Đạo hàm cấp hai cho biết gia tốc trong vật lí, tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị trong hình học, và là một dấu hiệu xét cực trị khi kết hợp với đạo hàm cấp một bằng 0.
Học sinh nên ôn đạo hàm theo thứ tự nào? Trước hết thuộc bảng đạo hàm cơ bản, sau đó luyện quy tắc tổng, tích, thương, rồi mới luyện hàm hợp từ đơn giản tới nhiều lớp, cuối cùng mới học phương trình tiếp tuyến và đạo hàm cấp hai. Bỏ qua bước nào cũng khiến các bước sau trở nên khó khăn.
Để luyện thêm đề thi, học sinh có thể vào kho đề thi công khai trên ClassOn, xem hướng dẫn sử dụng và đăng ký tài khoản miễn phí. Giáo viên và học sinh cũng có thể trở lại trang chủ ClassOn để khám phá thêm tài liệu các môn khác.