Elip: đỉnh, tiêu điểm, trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự lớp 10

Có một căn phòng kì lạ ở nhiều bảo tàng khoa học: hai người đứng ở hai đầu phòng thì thầm với nhau, cả phòng không ai nghe thấy gì, nhưng người ở đầu bên kia lại nghe rõ từng chữ. Bí mật nằm ở hình dạng của căn phòng — trần nhà cong theo hình elip, và hai người đang đứng đúng tại hai tiêu điểm của elip đó. Âm thanh phát ra từ một tiêu điểm, sau khi phản xạ trên tường, đều hội tụ về tiêu điểm còn lại. Elip không chỉ là một đường cong đẹp trên giấy, nó còn xuất hiện trong quỹ đạo của các hành tinh, trong thiết kế của gương hội tụ và trong rất nhiều bài toán hình học lớp 10.

Bài này sẽ giúp bạn làm chủ elip một cách có hệ thống: từ phương trình chính tắc x²/a² + y²/b² = 1, cách xác định hai trục, hai tiêu điểm và tiêu cự, cho tới các ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ mối liên hệ c² = a² − b², bạn sẽ không bao giờ nhầm elip với hypebol hay parabol nữa.

Elip: phương trình chính tắc và các yếu tố cần nhớ

Elip có phương trình chính tắc là x²/a² + y²/b² = 1 với a > b > 0. Trong đó a là nửa độ dài trục lớn, b là nửa độ dài trục nhỏ, trục lớn dài 2a nằm trên trục Ox, trục nhỏ dài 2b nằm trên trục Oy. Bốn đỉnh của elip là A₁(−a, 0), A₂(a, 0), B₁(0, −b), B₂(0, b). Bạn hãy hình dung elip như một đường tròn bị kéo dài theo chiều ngang: trục lớn là chiều dài nhất, trục nhỏ là chiều ngắn nhất, và tỉ số b/a càng gần 1 thì elip càng tròn.

Hai tiêu điểm của elip là F₁(−c, 0) và F₂(c, 0), trong đó c được tính bằng công thức c = √(a² − b²), còn tiêu cự là 2c. Bạn hãy nhớ kĩ công thức này: c² = a² − b², tức là c luôn nhỏ hơn a, và ba số a, b, c tạo thành một bộ ba Pitago thu nhỏ — với elip trong ví dụ mẫu, a = 5, b = 3, c = 4 chính là bộ ba 3–4–5 quen thuộc. Định nghĩa hình học của elip cũng rất đẹp: elip là tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, tức là tổng khoảng cách từ M tới hai tiêu điểm luôn bằng độ dài trục lớn. Tính chất này giải thích vì sao âm thanh từ một tiêu điểm lại hội tụ về tiêu điểm còn lại sau khi phản xạ.

Một điểm bạn cần lưu ý là elip có thể "đứng" thay vì "nằm": khi phương trình có dạng x²/b² + y²/a² = 1 với số lớn hơn nằm dưới y² thì trục lớn nằm trên trục Oy, hai tiêu điểm nằm trên trục Oy là F₁(0, −c) và F₂(0, c), còn bốn đỉnh là (±b, 0) và (0, ±a). Cách nhận biết rất đơn giản: mẫu số nào lớn hơn thì trục tương ứng là trục lớn. Ví dụ elip x²/9 + y²/25 = 1 có trục lớn dài 10 nằm dọc theo trục Oy, tiêu điểm ở (0, ±4). Nhiều bạn chỉ học thuộc trường hợp trục lớn nằm ngang nên khi gặp elip đứng thì lúng túng — bạn hãy tập nhận biết cả hai trường hợp ngay từ đầu.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho elip x²/25 + y²/9 = 1. Xác định độ dài trục lớn, trục nhỏ, tọa độ tiêu điểm và các đỉnh.
Bạn đọc a² = 25 nên a = 5, b² = 9 nên b = 3. Trục lớn dài 2a = 10, trục nhỏ dài 2b = 6. Tiêu cự tính bằng c = √(a² − b²) = √(25 − 9) = √16 = 4, vậy hai tiêu điểm là F₁(−4, 0) và F₂(4, 0). Bốn đỉnh là A₁(−5, 0), A₂(5, 0), B₁(0, −3), B₂(0, 3). Bạn hãy kiểm tra lại bằng định nghĩa: lấy đỉnh A₂(5, 0), khoảng cách tới F₁ là 9, tới F₂ là 1, tổng bằng 10 đúng bằng 2a. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 2 (elip gần tròn): Cho elip x²/16 + y²/4 = 1. Xác định các yếu tố của elip.
Bạn đọc a = 4, b = 2, trục lớn dài 8, trục nhỏ dài 4. Tiêu cự tính bằng c = √(16 − 4) = √12 = 2√3, vậy hai tiêu điểm là F₁(−2√3, 0) và F₂(2√3, 0). Bốn đỉnh là (±4, 0) và (0, ±2). Bạn hãy để ý: c = 2√3 không phải là số nguyên, bạn không được làm tròn thành 3 hay 4 mà phải giữ nguyên dạng căn thức, vì đề kiểm tra thường yêu cầu đáp án chính xác.

Ví dụ 3 (bộ ba Pitago khác): Cho elip x²/36 + y²/20 = 1. Xác định trục lớn, trục nhỏ và tiêu điểm.
Bạn đọc a = 6, b = √20 = 2√5, trục lớn dài 12, trục nhỏ dài 4√5. Tiêu cự tính bằng c = √(36 − 20) = √16 = 4, vậy hai tiêu điểm là F₁(−4, 0) và F₂(4, 0). Bạn thấy bộ ba a = 6, b = 2√5, c = 4 thỏa mãn 36 = 20 + 16, đúng công thức a² = b² + c². Elip này có trục nhỏ khá dài so với trục lớn nên hình dáng của nó gần với đường tròn hơn ví dụ 1.

Ví dụ 4 (elip đứng): Cho elip x²/9 + y²/25 = 1. Xác định các yếu tố của elip.
Bạn đọc mẫu số lớn hơn là 25 nằm dưới y², nên trục lớn nằm trên trục Oy với a = 5, còn b = 3. Trục lớn dài 10, trục nhỏ dài 6. Tiêu cự tính bằng c = √(25 − 9) = 4, hai tiêu điểm nằm trên trục Oy là F₁(0, −4) và F₂(0, 4). Bốn đỉnh là (±3, 0) và (0, ±5). Bạn hãy so sánh với ví dụ 1: cùng a = 5, b = 3, c = 4 nhưng elip này xoay dọc 90 độ, tiêu điểm chuyển từ trục Ox sang trục Oy — chỉ cần đổi vai trò của x và y là xong.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Lấy a là số lớn hơn trong hai mẫu số mà không để ý vị trí.
Nhiều bạn thấy elip x²/9 + y²/25 = 1 thì lấy a = 5 nhưng lại đặt tiêu điểm trên trục Ox. Cách tránh: bạn hãy xác định trục lớn trước — mẫu số lớn hơn nằm dưới biến nào thì trục lớn nằm trên trục đó, rồi mới đặt tiêu điểm lên trục lớn.

Lỗi 2: Nhầm công thức c² = a² − b² với c² = a² + b² của hypebol.
Nhiều bạn học cả elip và hypebol cùng lúc nên hay lẫn lộn hai công thức. Cách tránh: bạn hãy nhớ elip "trừ" vì c nhỏ hơn a, còn hypebol "cộng" vì c lớn hơn a; viết rõ dòng c² = a² − b² ra nháp trước khi tính.

Lỗi 3: Nhầm trục lớn với trục nhỏ.
Nhiều bạn trả lời trục lớn của elip x²/16 + y²/4 = 1 là 4 vì lấy 2b thay vì 2a. Cách tránh: bạn hãy nhớ trục lớn luôn dài hơn trục nhỏ và luôn bằng 2a, trong đó a là căn bậc hai của mẫu số lớn hơn.

Lỗi 4: Quên nhân 2 khi tính độ dài trục và tiêu cự.
Nhiều bạn tính đúng a = 5, c = 4 rồi trả lời trục lớn bằng 5 và tiêu cự bằng 4. Cách tránh: bạn hãy nhớ trục lớn là 2a, trục nhỏ là 2b, tiêu cự là 2c — ba đại lượng này đều là độ dài đầy đủ, không phải nửa độ dài.

Lỗi 5: Làm tròn c khi c là số vô tỉ.
Nhiều bạn thấy c = √12 thì viết c = 3,46 rồi lấy tiêu điểm (±3,46, 0), vừa sai vừa mất điểm. Cách tránh: bạn hãy giữ nguyên dạng căn thức, ví dụ c = 2√3 và tiêu điểm (±2√3, 0). Nếu muốn ôn lại công thức tính độ dài vectơ, bạn hãy xem bài tính độ dài của vectơ thông qua tọa độ.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định trục lớn trước rồi mới tính tiêu điểm.

Câu 1: Elip x²/49 + y²/36 = 1 có hai tiêu điểm là
A. F₁(−√13, 0), F₂(√13, 0)
B. F₁(−5, 0), F₂(5, 0)
C. F₁(−7, 0), F₂(7, 0)
D. F₁(0, −√13), F₂(0, √13)

Câu 2: Elip x²/16 + y²/9 = 1 có độ dài trục lớn bằng
A. 6
B. 4
C. 8
D. 10

Câu 3: Elip x²/25 + y²/16 = 1 có tiêu cự bằng
A. 8
B. 6
C. 10
D. 3

Câu 4: Elip có a = 10, b = 6 thì hai tiêu điểm là
A. F₁(−6, 0), F₂(6, 0)
B. F₁(−10, 0), F₂(10, 0)
C. F₁(0, −8), F₂(0, 8)
D. F₁(−8, 0), F₂(8, 0)

Câu 5: Elip x²/4 + y²/1 = 1 có bốn đỉnh là
A. (±1, 0), (0, ±2)
B. (±2, 0), (0, ±1)
C. (±4, 0), (0, ±1)
D. (±2, 0), (0, ±2)

Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: a = 7, b = 6, c = √(49 − 36) = √13, hai tiêu điểm nằm trên trục Ox là (±√13, 0). Đáp án B sai vì 5 không phải là c — 5 là √(25), không liên quan. Đáp án C sai vì 7 là a chứ không phải c. Đáp án D sai vì tiêu điểm của elip này nằm trên trục Ox chứ không phải trục Oy.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (8) đúng: a = 4 nên trục lớn dài 2a = 8. Đáp án A sai vì 6 là độ dài trục nhỏ (2b = 6). Đáp án B sai vì 4 là a chứ không phải độ dài trục lớn. Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 10.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B (6) đúng: a = 5, b = 4, c = √(25 − 16) = 3, tiêu cự bằng 2c = 6. Đáp án A sai vì 8 là 2a. Đáp án C sai vì 10 là độ dài trục lớn. Đáp án D sai vì 3 là c chứ không phải tiêu cự.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: c = √(100 − 36) = √64 = 8, hai tiêu điểm là (±8, 0). Đáp án A sai vì 6 là b. Đáp án B sai vì 10 là a. Đáp án C sai vì tiêu điểm nằm trên trục Ox, trục lớn nằm ngang, không phải trên trục Oy.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: a = 2, b = 1, bốn đỉnh là (±2, 0) và (0, ±1). Đáp án A sai vì đổi vai trò của a và b. Đáp án C sai vì 4 là a² chứ không phải a. Đáp án D sai vì (0, ±2) không phải là đỉnh — tung độ đỉnh trên trục Oy chỉ là ±1.

Câu hỏi thường gặp về elip

Hỏi: Vì sao quỹ đạo của các hành tinh lại là elip mà không phải đường tròn?
Đáp: Vì Mặt Trời nằm tại một tiêu điểm của elip quỹ đạo chứ không phải tại tâm, theo định luật Kepler thứ nhất. Đường tròn chỉ là trường hợp đặc biệt của elip khi hai tiêu điểm trùng nhau tại tâm, tức là khi c = 0 và a = b. Quỹ đạo Trái Đất quanh Mặt Trời gần như tròn nhưng thực ra vẫn là elip với độ lệch tâm rất nhỏ.

Hỏi: Độ lệch tâm của elip là gì?
Đáp: Độ lệch tâm e = c/a, là một số nằm trong khoảng từ 0 đến 1, cho biết elip "dẹt" tới mức nào. Khi e gần 0, elip gần như đường tròn; khi e gần 1, elip rất dẹt. Ví dụ elip x²/25 + y²/9 = 1 có e = 4/5 = 0,8, khá dẹt so với đường tròn.

Hỏi: Làm thế nào để vẽ elip bằng compa và dây?
Đáp: Bạn cố định hai đầu một sợi dây tại hai tiêu điểm F₁ và F₂, căng dây bằng đầu bút chì rồi di chuyển bút sao cho dây luôn căng. Vì tổng khoảng cách từ bút tới hai tiêu điểm luôn bằng độ dài sợi dây (bằng 2a) nên đầu bút sẽ vẽ ra đúng một elip. Đây chính là cách người thợ làm vườn vẽ các luống hoa hình elip.

Hỏi: Elip và đường tròn có quan hệ gì với nhau?
Đáp: Đường tròn là trường hợp đặc biệt của elip khi a = b, lúc đó c = 0 và hai tiêu điểm trùng nhau tại tâm. Ngược lại, bạn có thể xem elip như hình ảnh của một đường tròn bị co lại theo một phương: nếu co đường tròn x² + y² = a² theo phương Oy với tỉ số b/a thì bạn được elip x²/a² + y²/b² = 1.

Hỏi: Học elip để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Elip là một trong ba đường conic cùng với hypebol và parabol, và cả ba đều xuất hiện trong chương trình hình học lớp 10. Nắm chắc elip, bạn sẽ học hypebol và parabol nhanh hơn rất nhiều vì ba đường này có nhiều công thức tương tự nhau. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài hypebol: đỉnh, tiêu điểm, trục thực, trục ảo và tiêu cự.

Kết luận

Elip chỉ gói gọn trong một phương trình x²/a² + y²/b² = 1 và một công thức c = √(a² − b²): trục lớn dài 2a, trục nhỏ dài 2b, hai tiêu điểm (±c, 0), bốn đỉnh (±a, 0) và (0, ±b), tiêu cự 2c. Bạn hãy nhớ ba điều: mẫu số lớn hơn quyết định trục lớn, c luôn nhỏ hơn a nên công thức là trừ chứ không phải cộng, và mọi độ dài trục hay tiêu cự đều phải nhân 2. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xác định mọi yếu tố của một elip bất kì — từ quỹ đạo hành tinh cho tới căn phòng thì thầm trong bảo tàng.