Hypebol: đỉnh, tiêu điểm, trục thực, trục ảo lớp 10

Trong Thế chiến thứ hai, các tàu chiến và máy bay đã định vị được mình trên biển nhờ một hệ thống có tên LORAN: hai trạm phát sóng trên bờ phát tín hiệu cùng lúc, và hiệu thời gian tín hiệu tới tàu là không đổi — tập hợp các điểm có hiệu khoảng cách tới hai trạm bằng một hằng số chính là một hypebol. Chỉ cần đo hiệu thời gian từ hai cặp trạm, người ta xác định được vị trí của tàu là giao điểm của hai hypebol. Đường cong kì lạ này, hai nhánh tách rời nhau và càng đi xa càng tiệm cận với hai đường thẳng, chính là nhân vật chính của bài hôm nay.

Bài này sẽ giúp bạn làm chủ hypebol một cách có hệ thống: phương trình chính tắc x²/a² − y²/b² = 1, trục thực, trục ảo, tiêu điểm và tiêu cự, kèm theo 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ công thức c² = a² + b², bạn sẽ phân biệt được hypebol với elip ngay từ cái nhìn đầu tiên.

Hypebol: phương trình chính tắc và các yếu tố cần nhớ

Hypebol có phương trình chính tắc là x²/a² − y²/b² = 1. Khác với elip dùng dấu cộng, hypebol dùng dấu trừ — và chỉ riêng dấu trừ này đã làm cho hình dạng của nó hoàn toàn khác: hypebol gồm hai nhánh tách rời nhau, nằm hai bên trục Oy, mỗi nhánh đi qua một đỉnh A₁(−a, 0) và A₂(a, 0). Đoạn nối hai đỉnh dài 2a được gọi là trục thực, còn đoạn dài 2b trên trục Oy được gọi là trục ảo — "ảo" vì hypebol không hề đi qua hai điểm (0, ±b), hai điểm này chỉ dùng để vẽ hình chữ nhật cơ sở mà thôi.

Hai tiêu điểm của hypebol là F₁(−c, 0) và F₂(c, 0), trong đó c được tính bằng công thức c = √(a² + b²), còn tiêu cự là 2c. Bạn hãy nhớ kĩ: hypebol dùng dấu cộng, c² = a² + b², nên c luôn lớn hơn cả a và b — ngược hoàn toàn với elip, nơi c² = a² − b² và c nhỏ hơn a. Với hypebol trong ví dụ mẫu, a = 4, b = 3, c = 5 lại là bộ ba Pitago 3–4–5 quen thuộc, chỉ khác elip ở chỗ 5 là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là 3 và 4. Định nghĩa hình học của hypebol cũng rất đẹp: hypebol là tập hợp các điểm M sao cho |MF₁ − MF₂| = 2a, tức là trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách từ M tới hai tiêu điểm luôn bằng độ dài trục thực.

Một điểm bạn cần lưu ý là hypebol cũng có dạng "đứng": khi phương trình có dạng y²/a² − x²/b² = 1 thì trục thực nằm trên trục Oy, hai đỉnh là (0, ±a), hai tiêu điểm là F₁(0, −c) và F₂(0, c). Cách nhận biết rất đơn giản: biến nào mang dấu cộng thì trục thực nằm trên trục của biến đó. Ví dụ hypebol y²/9 − x²/16 = 1 có trục thực dài 6 nằm dọc theo trục Oy, đỉnh ở (0, ±3), tiêu điểm ở (0, ±5). Ngoài ra, hypebol còn có hai đường tiệm cận là y = ±(b/a)x trong trường hợp trục thực nằm ngang — càng đi xa, hai nhánh hypebol càng bám sát hai đường thẳng này mà không bao giờ chạm tới.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho hypebol x²/16 − y²/9 = 1. Xác định độ dài trục thực, trục ảo, tọa độ tiêu điểm và các đỉnh.
Bạn đọc a² = 16 nên a = 4, b² = 9 nên b = 3. Trục thực dài 2a = 8, trục ảo dài 2b = 6. Tiêu cự tính bằng c = √(a² + b²) = √(16 + 9) = √25 = 5, vậy hai tiêu điểm là F₁(−5, 0) và F₂(5, 0). Hai đỉnh là A₁(−4, 0) và A₂(4, 0). Bạn hãy kiểm tra lại bằng định nghĩa: lấy đỉnh A₂(4, 0), khoảng cách tới F₁ là 9, tới F₂ là 1, hiệu bằng 8 đúng bằng 2a. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 2 (cùng tiêu điểm, khác trục): Cho hypebol x²/9 − y²/16 = 1. Xác định các yếu tố của hypebol.
Bạn đọc a = 3, b = 4, trục thực dài 6, trục ảo dài 8. Tiêu cự tính bằng c = √(9 + 16) = 5, hai tiêu điểm là F₁(−5, 0) và F₂(5, 0) — trùng với tiêu điểm của ví dụ 1, dù a và b đã đổi chỗ cho nhau. Hai đỉnh là (±3, 0). Bạn hãy để ý: hai hypebol này có cùng tiêu điểm nhưng hình dáng khác nhau, vì trục thực của hypebol này chỉ dài 6 trong khi hypebol kia dài 8, còn trục ảo thì ngược lại.

Ví dụ 3 (bộ ba 5–12–13): Cho hypebol x²/25 − y²/144 = 1. Xác định các yếu tố của hypebol.
Bạn đọc a = 5, b = 12, trục thực dài 10, trục ảo dài 24. Tiêu cự tính bằng c = √(25 + 144) = √169 = 13, hai tiêu điểm là F₁(−13, 0) và F₂(13, 0). Hai đỉnh là (±5, 0). Bạn thấy bộ ba a = 5, b = 12, c = 13 thỏa mãn 25 + 144 = 169, đúng công thức c² = a² + b². Hypebol này có trục ảo rất dài so với trục thực nên hai nhánh của nó mở rộng nhanh, gần như song song với trục Oy khi đi xa.

Ví dụ 4 (hypebol đứng): Cho hypebol y²/9 − x²/16 = 1. Xác định các yếu tố của hypebol.
Bạn đọc biến mang dấu cộng là y nên trục thực nằm trên trục Oy với a = 3, còn b = 4. Trục thực dài 6, trục ảo dài 8. Tiêu cự tính bằng c = √(9 + 16) = 5, hai tiêu điểm nằm trên trục Oy là F₁(0, −5) và F₂(0, 5). Hai đỉnh là (0, ±3). Bạn hãy so sánh với ví dụ 2: cùng a = 3, b = 4, c = 5 nhưng hypebol này xoay dọc 90 độ, hai nhánh nằm trên và dưới trục Ox thay vì nằm hai bên trục Oy.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Nhầm công thức c² = a² + b² với c² = a² − b² của elip.
Nhiều bạn học elip trước rồi mang công thức trừ sang hypebol, tính ra c = √(16 − 9) = √7 thay vì 5. Cách tránh: bạn hãy nhớ hypebol "cộng" vì c lớn hơn a, elip "trừ" vì c nhỏ hơn a; viết rõ dòng c² = a² + b² ra nháp trước khi tính.

Lỗi 2: Nhầm trục thực với trục ảo.
Nhiều bạn trả lời trục thực của hypebol x²/9 − y²/16 = 1 là 8 vì lấy 2b thay vì 2a. Cách tránh: bạn hãy nhớ trục thực luôn bằng 2a và nối hai đỉnh mà hypebol thực sự đi qua, còn trục ảo bằng 2b và hypebol không hề đi qua hai đầu của nó.

Lỗi 3: Cho rằng hypebol đi qua điểm (0, ±b).
Nhiều bạn thấy trục ảo dài 2b thì kết luận hypebol đi qua (0, ±b), giống như elip đi qua (0, ±b). Cách tránh: bạn hãy thử thay x = 0 vào phương trình x²/a² − y²/b² = 1, bạn được −y²/b² = 1 là phương trình vô nghiệm — hypebol không có điểm nào có hoành độ bằng 0 cả.

Lỗi 4: Đặt tiêu điểm sai trục khi gặp hypebol đứng.
Nhiều bạn thấy hypebol y²/9 − x²/16 = 1 thì lấy a = 3 rồi đặt tiêu điểm (±5, 0) trên trục Ox. Cách tránh: bạn hãy xác định trục thực trước — biến nào mang dấu cộng thì trục thực nằm trên trục của biến đó, tiêu điểm cũng nằm trên trục đó.

Lỗi 5: Quên nhân 2 khi tính độ dài trục và tiêu cự.
Nhiều bạn tính đúng a = 4, c = 5 rồi trả lời trục thực bằng 4 và tiêu cự bằng 5. Cách tránh: bạn hãy nhớ trục thực là 2a, trục ảo là 2b, tiêu cự là 2c. Nếu muốn ôn lại elip để so sánh, bạn hãy xem bài elip: đỉnh, tiêu điểm, trục lớn, trục nhỏ và tiêu cự.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ công thức cộng c² = a² + b² và xác định trục thực trước.

Câu 1: Hypebol x²/36 − y²/64 = 1 có hai tiêu điểm là
A. F₁(−10, 0), F₂(10, 0)
B. F₁(−8, 0), F₂(8, 0)
C. F₁(−6, 0), F₂(6, 0)
D. F₁(−14, 0), F₂(14, 0)

Câu 2: Hypebol x²/4 − y²/12 = 1 có độ dài trục thực bằng
A. 2
B. 8
C. 4
D. 12

Câu 3: Hypebol x²/9 − y²/7 = 1 có tiêu cự bằng
A. 6
B. 8
C. 4
D. 10

Câu 4: Hypebol có a = 5, b = 12 thì c bằng
A. 12
B. 17
C. 13
D. 7

Câu 5: Hypebol y²/25 − x²/4 = 1 có hai đỉnh là
A. (±5, 0)
B. (±2, 0)
C. (0, ±2)
D. (0, ±5)

Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: a = 6, b = 8, c = √(36 + 64) = √100 = 10, hai tiêu điểm là (±10, 0). Đáp án B sai vì 8 là b. Đáp án C sai vì 6 là a. Đáp án D sai vì 14 là a + b, không phải c.

Giải thích Câu 2 — Đáp án C (4) đúng: a = 2 nên trục thực dài 2a = 4. Đáp án A sai vì 2 là a chứ không phải độ dài trục thực. Đáp án B sai vì 8 là 2 × 4, bạn đã lấy 2b làm trục thực. Đáp án D sai vì 12 là b² chứ không phải độ dài.

Giải thích Câu 3 — Đáp án B (8) đúng: a = 3, b = √7, c = √(9 + 7) = 4, tiêu cự bằng 2c = 8. Đáp án A sai vì 6 là 2a. Đáp án C sai vì 4 là c chứ không phải tiêu cự. Đáp án D sai vì không có cơ sở nào cho ra 10.

Giải thích Câu 4 — Đáp án C (13) đúng: c = √(25 + 144) = √169 = 13. Đáp án A sai vì 12 là b. Đáp án B sai vì 17 là a + b. Đáp án D sai vì 7 là √(49), bạn đã tính c² = a² − b² = 25 − 144 là số âm rồi lấy nhầm.

Giải thích Câu 5 — Đáp án D đúng: Trục thực nằm trên trục Oy với a = 5 nên hai đỉnh là (0, ±5). Đáp án A sai vì (±5, 0) là đỉnh của hypebol nằm ngang, không phải hypebol đứng. Đáp án B sai vì 2 là b. Đáp án C sai vì (0, ±2) là hai đầu trục ảo, hypebol không đi qua hai điểm này.

Câu hỏi thường gặp về hypebol

Hỏi: Vì sao hypebol lại có hai nhánh tách rời nhau?
Đáp: Vì phương trình x²/a² − y²/b² = 1 chỉ có nghiệm khi x²/a² ≥ 1, tức là |x| ≥ a, nên không có điểm nào của hypebol nằm trong dải −a < x < a. Hai nhánh nằm hai bên dải này, mỗi nhánh đi qua một đỉnh và càng đi xa càng tiệm cận với hai đường thẳng y = ±(b/a)x.

Hỏi: Đường tiệm cận của hypebol là gì?
Đáp: Với hypebol x²/a² − y²/b² = 1, hai đường tiệm cận là y = (b/a)x và y = −(b/a)x. Khi điểm M trên hypebol đi xa vô hạn, khoảng cách từ M tới đường tiệm cận dần về 0, nhưng M không bao giờ chạm tới đường tiệm cận. Hai đường tiệm cận là hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sở có các cạnh 2a và 2b.

Hỏi: Hypebol có ứng dụng gì trong đời sống?
Đáp: Ngoài hệ thống định vị LORAN, hypebol còn xuất hiện trong thiết kế gương phản xạ của kính thiên văn, trong quỹ đạo của các sao chổi đi qua hệ Mặt Trời mà không quay lại, và trong tháp giải nhiệt của nhà máy điện hạt nhân — hình dáng tháp hyperboloid giúp hơi nước thoát lên nhanh và kết cấu rất vững chắc.

Hỏi: Elip và hypebol khác nhau ở điểm cốt lõi nào?
Đáp: Elip dùng tổng khoảng cách không đổi (MF₁ + MF₂ = 2a) nên là đường cong kín, còn hypebol dùng hiệu khoảng cách không đổi (|MF₁ − MF₂| = 2a) nên là đường cong hở với hai nhánh. Về công thức, elip có c² = a² − b² còn hypebol có c² = a² + b², và elip có dạng x²/a² + y²/b² = 1 còn hypebol có dạng x²/a² − y²/b² = 1.

Hỏi: Học hypebol để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Hypebol là đường conic thứ hai trong ba đường conic của chương trình lớp 10, sau elip và trước parabol. Nắm chắc cả ba đường, bạn sẽ giải được mọi bài tập về đường conic trong đề thi tốt nghiệp. Nếu muốn đi tiếp, bạn hãy xem bài parabol: đỉnh, tiêu điểm, tham số tiêu và đường chuẩn.

Kết luận

Hypebol chỉ gói gọn trong một phương trình x²/a² − y²/b² = 1 và một công thức c = √(a² + b²): trục thực dài 2a, trục ảo dài 2b, hai tiêu điểm (±c, 0), hai đỉnh (±a, 0), tiêu cự 2c. Bạn hãy nhớ ba điều: dấu trừ trong phương trình tạo ra hai nhánh tách rời, c luôn lớn hơn a nên công thức là cộng chứ không phải trừ, và biến mang dấu cộng quyết định trục thực nằm trên trục nào. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xác định mọi yếu tố của một hypebol bất kì — từ hệ thống định vị LORAN cho tới tháp giải nhiệt của nhà máy điện.