Parabol: đỉnh, tiêu điểm, đường chuẩn lớp 10

Bạn đã bao giờ soi đèn pin vào tường trong đêm tối và thấy vệt sáng tạo thành một hình cong rất đẹp chưa? Hay nhìn chiếc chảo vệ tinh trên nóc nhà, mặt trong của nó cong theo một đường mà mọi tia sóng tới đều hội tụ về đúng một điểm? Đường cong đó có tên là parabol, và tính chất hội tụ của nó đã được ứng dụng trong đèn pha ô tô, ăng-ten vệ tinh, kính thiên văn phản xạ và cả bếp năng lượng mặt trời. Trong chương trình Toán 10, parabol là đường conic thứ ba mà bạn cần làm chủ, sau elip và hypebol.

Bài này sẽ giúp bạn nắm chắc parabol một cách có hệ thống: từ phương trình chính tắc y² = 2px, cách xác định đỉnh, tiêu điểm, tham số tiêu và đường chuẩn, cho tới 4 ví dụ tính từng bước và 5 bài tập trắc nghiệm có đáp án chi tiết. Chỉ cần nhớ mối liên hệ giữa p, tiêu điểm và đường chuẩn, bạn sẽ không bao giờ nhầm parabol với hai đường conic còn lại.

Parabol: phương trình chính tắc và các yếu tố cần nhớ

Parabol có phương trình chính tắc là y² = 2px với p > 0. Trong đó O(0, 0) là đỉnh của parabol, F(p/2, 0) là tiêu điểm, còn đường thẳng x = −p/2 là đường chuẩn. Tham số tiêu p là một số dương cho biết "độ mở" của parabol: p càng lớn thì parabol càng mở rộng, p càng nhỏ thì parabol càng hẹp. Bạn hãy hình dung parabol như một cái chảo úp ngang: đỉnh là đáy chảo, tiêu điểm là nơi mọi tia sóng hội tụ, còn đường chuẩn là một bức tường thẳng đứng đặt đối xứng với tiêu điểm qua đỉnh.

Định nghĩa hình học của parabol cũng rất đẹp: parabol là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M tới tiêu điểm F bằng khoảng cách từ M tới đường chuẩn. Bạn hãy kiểm tra với điểm (2, 4) trên parabol y² = 8x: khoảng cách tới F(2, 0) bằng 4, khoảng cách tới đường chuẩn x = −2 cũng bằng 2 − (−2) = 4 — hai khoảng cách bằng nhau đúng như định nghĩa. Tính chất này giải thích vì sao mọi tia sáng song song với trục Ox khi phản xạ trên mặt parabol đều đi qua tiêu điểm: đó là nguyên lí hoạt động của đèn pha và chảo vệ tinh.

Một điểm bạn cần lưu ý là parabol có thể mở theo bốn hướng khác nhau, tùy thuộc vào phương trình. Phương trình y² = 2px (p > 0) mở sang phải, y² = −2px mở sang trái với tiêu điểm F(−p/2, 0) và đường chuẩn x = p/2. Phương trình x² = 2py (p > 0) mở lên trên với tiêu điểm F(0, p/2) và đường chuẩn y = −p/2, còn x² = −2py mở xuống dưới. Cách nhận biết rất đơn giản: biến nào bình phương thì parabol mở theo trục của biến còn lại, còn dấu của hệ số cho biết mở theo chiều dương hay chiều âm. Nhiều bạn chỉ học thuộc dạng y² = 2px nên khi gặp x² = 8y thì lúng túng — bạn hãy tập nhận biết cả bốn hướng ngay từ đầu.

Bốn bài toán mẫu tính từng bước

Ví dụ 1 (dùng đúng số liệu mẫu): Cho parabol y² = 8x. Xác định tham số tiêu, tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn.
Bạn so sánh với dạng chính tắc y² = 2px: 2p = 8 nên p = 4. Tiêu điểm là F(p/2, 0) = F(2, 0). Đường chuẩn là x = −p/2 = −2. Đỉnh của parabol là O(0, 0). Bạn hãy kiểm tra lại bằng định nghĩa: lấy điểm (2, 4) trên parabol, khoảng cách tới tiêu điểm bằng √((2 − 2)² + (4 − 0)²) = 4, khoảng cách tới đường chuẩn bằng 2 − (−2) = 4 — bằng nhau đúng như định nghĩa. Khi cần kiểm tra lại phép tính, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 2 (p lớn hơn): Cho parabol y² = 12x. Xác định tiêu điểm và đường chuẩn.
Bạn so sánh với dạng chính tắc: 2p = 12 nên p = 6. Tiêu điểm là F(3, 0), đường chuẩn là x = −3. Bạn hãy để ý: p = 6 lớn hơn p = 4 của ví dụ 1 nên parabol này mở rộng hơn — tại cùng hoành độ x = 3, parabol y² = 12x đi qua điểm (3, 6) trong khi parabol y² = 8x chỉ đi qua điểm (3, 2√6 ≈ 4,9).

Ví dụ 3 (mở sang trái): Cho parabol y² = −4x. Xác định tiêu điểm và đường chuẩn.
Bạn viết lại thành y² = −2px với 2p = 4 nên p = 2. Vì hệ số âm nên parabol mở sang trái, tiêu điểm là F(−p/2, 0) = F(−1, 0), đường chuẩn là x = p/2 = 1. Bạn hãy chú ý dấu: nhiều bạn lấy tiêu điểm (1, 0) và đường chuẩn x = −1 là sai, vì dấu âm đổi cả hai vị trí cho nhau. Parabol này đối xứng với parabol y² = 4x qua trục Oy.

Ví dụ 4 (mở lên trên): Cho parabol x² = 8y. Xác định tiêu điểm và đường chuẩn.
Bạn so sánh với dạng x² = 2py: 2p = 8 nên p = 4. Vì biến bình phương là x nên parabol mở theo trục Oy, tiêu điểm là F(0, p/2) = F(0, 2), đường chuẩn là y = −p/2 = −2. Bạn hãy hình dung: parabol này giống như một cái bát đặt trên mặt bàn, đỉnh ở gốc tọa độ, miệng bát hướng lên trên, tiêu điểm nằm ngay phía trên đỉnh 2 đơn vị.

Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Nhầm p với 2p.
Nhiều bạn thấy y² = 8x thì lấy luôn p = 8, rồi kết luận tiêu điểm (4, 0) và đường chuẩn x = −4. Cách tránh: bạn hãy nhớ phương trình chính tắc là y² = 2px, nên p bằng hệ số của x chia cho 2; với hệ số 8 thì p = 4, tiêu điểm (2, 0), đường chuẩn x = −2.

Lỗi 2: Nhầm vị trí tiêu điểm với đường chuẩn.
Nhiều bạn lấy tiêu điểm là (−2, 0) và đường chuẩn là x = 2 cho parabol y² = 8x. Cách tránh: bạn hãy nhớ tiêu điểm và đường chuẩn nằm đối xứng nhau qua đỉnh, tiêu điểm nằm cùng phía với chiều mở của parabol, còn đường chuẩn nằm phía đối diện.

Lỗi 3: Quên đổi dấu khi parabol mở sang trái hoặc xuống dưới.
Nhiều bạn thấy y² = −4x thì vẫn lấy tiêu điểm (1, 0) như parabol mở sang phải. Cách tránh: bạn hãy xác định chiều mở trước — hệ số âm nghĩa là mở theo chiều âm, tiêu điểm có tọa độ âm, đường chuẩn có phương trình dương.

Lỗi 4: Nhầm parabol x² = 2py với y² = 2px.
Nhiều bạn thấy x² = 8y thì lấy tiêu điểm (2, 0) và đường chuẩn x = −2. Cách tránh: bạn hãy xem biến nào bình phương — x bình phương thì parabol mở theo trục Oy, tiêu điểm nằm trên trục Oy là (0, 2), đường chuẩn là đường nằm ngang y = −2.

Lỗi 5: Cho rằng parabol có hai tiêu điểm như elip và hypebol.
Nhiều bạn học cả ba đường conic cùng lúc nên hay gán cho parabol hai tiêu điểm. Cách tránh: bạn hãy nhớ parabol chỉ có một tiêu điểm duy nhất và một đường chuẩn, đó chính là điểm khác biệt lớn nhất của parabol so với elip và hypebol. Nếu muốn ôn lại hypebol để so sánh, bạn hãy xem bài hypebol: đỉnh, tiêu điểm, trục thực, trục ảo và tiêu cự.

Năm bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ chia hệ số cho 2 để tìm p trước khi xác định tiêu điểm.

Câu 1: Parabol y² = 16x có tiêu điểm là
A. F(4, 0)
B. F(2, 0)
C. F(8, 0)
D. F(0, 4)

Câu 2: Parabol y² = 4x có đường chuẩn là
A. x = 1
B. x = −1
C. x = 2
D. y = −1

Câu 3: Parabol y² = −12x có tiêu điểm là
A. F(3, 0)
B. F(−6, 0)
C. F(−3, 0)
D. F(0, −3)

Câu 4: Parabol x² = 12y có tiêu điểm là
A. F(3, 0)
B. F(0, 6)
C. F(0, −3)
D. F(0, 3)

Câu 5: Parabol có tiêu điểm F(1, 0) và đỉnh O(0, 0) có phương trình là
A. y² = 2x
B. y² = 4x
C. y² = 8x
D. y² = x

Giải thích Câu 1 — Đáp án A đúng: 2p = 16 nên p = 8, tiêu điểm F(p/2, 0) = F(4, 0). Đáp án B sai vì 2 là p/4, bạn đã chia nhầm. Đáp án C sai vì 8 là p chứ không phải p/2. Đáp án D sai vì tiêu điểm của parabol y² = 16x nằm trên trục Ox chứ không phải trục Oy.

Giải thích Câu 2 — Đáp án B đúng: 2p = 4 nên p = 2, đường chuẩn là x = −p/2 = −1. Đáp án A sai vì x = 1 là đường thẳng đối xứng với đường chuẩn qua gốc tọa độ, không phải đường chuẩn. Đáp án C sai vì 2 là p chứ không phải p/2. Đáp án D sai vì đường chuẩn của parabol này là đường thẳng đứng, không phải đường nằm ngang.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C đúng: 2p = 12 nên p = 6, parabol mở sang trái nên tiêu điểm là F(−3, 0). Đáp án A sai vì (3, 0) là tiêu điểm của parabol y² = 12x mở sang phải. Đáp án B sai vì −6 là −p chứ không phải −p/2. Đáp án D sai vì tiêu điểm nằm trên trục Ox chứ không phải trục Oy.

Giải thích Câu 4 — Đáp án D đúng: 2p = 12 nên p = 6, parabol mở lên trên nên tiêu điểm là F(0, p/2) = F(0, 3). Đáp án A sai vì (3, 0) là tiêu điểm của parabol y² = 12x. Đáp án B sai vì 6 là p chứ không phải p/2. Đáp án C sai vì (0, −3) là điểm đối xứng với tiêu điểm qua gốc tọa độ.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B đúng: Tiêu điểm F(1, 0) cho p/2 = 1 nên p = 2, phương trình là y² = 2px = 4x. Đáp án A sai vì y² = 2x có tiêu điểm (0,5, 0). Đáp án C sai vì y² = 8x có tiêu điểm (2, 0). Đáp án D sai vì y² = x có tiêu điểm (0,25, 0).

Câu hỏi thường gặp về parabol

Hỏi: Vì sao đèn pha ô tô lại dùng gương parabol?
Đáp: Vì mọi tia sáng phát ra từ tiêu điểm của parabol, sau khi phản xạ trên mặt gương, đều đi ra song song với trục của parabol. Nhờ vậy, đèn pha tạo ra một chùm sáng song song chiếu xa và tập trung, thay vì tỏa ra mọi hướng như một bóng đèn thường. Ngược lại, chảo vệ tinh dùng tính chất này theo chiều ngược: các sóng song song tới đều hội tụ về tiêu điểm, nơi đặt đầu thu.

Hỏi: Parabol trong chương trình lớp 10 khác gì parabol của hàm số bậc hai?
Đáp: Parabol của hàm số bậc hai y = ax² + bx + c có trục đối xứng là đường thẳng đứng x = −b/(2a), còn parabol y² = 2px có trục đối xứng là trục Ox nằm ngang. Về bản chất, hai đường này là cùng một loại đường cong, chỉ khác nhau ở hướng mở và vị trí đỉnh — parabol hàm số bậc hai mở lên trên hoặc xuống dưới, còn parabol chính tắc mở sang phải hoặc sang trái.

Hỏi: Tham số tiêu p có ý nghĩa hình học gì?
Đáp: Tham số tiêu p bằng khoảng cách từ tiêu điểm tới đường chuẩn. Vì tiêu điểm ở p/2 và đường chuẩn ở −p/2 nên khoảng cách giữa chúng đúng bằng p. Ngoài ra, dây cung đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục của parabol có độ dài bằng 2p, người ta gọi là dây cung tiêu.

Hỏi: Làm thế nào để phân biệt ba đường conic qua phương trình?
Đáp: Bạn hãy nhìn vào dạng phương trình: elip có dạng x²/a² + y²/b² = 1 với dấu cộng và hai mẫu số khác nhau, hypebol có dạng x²/a² − y²/b² = 1 với dấu trừ, còn parabol chỉ có một biến bình phương, dạng y² = 2px hoặc x² = 2py. Chỉ cần nhìn dấu và số biến bình phương là bạn phân biệt được ngay.

Hỏi: Học parabol để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Parabol là đường conic cuối cùng trong chương trình lớp 10, và sau khi nắm chắc cả ba đường conic, bạn sẽ có một bức tranh toàn cảnh về hình học giải tích trong mặt phẳng. Kiến thức này còn là nền tảng để học về mặt cầu, mặt nón trong hình học không gian lớp 12. Nếu muốn ôn lại elip, bạn hãy xem bài elip: đỉnh, tiêu điểm, trục lớn, trục nhỏ và tiêu cự.

Kết luận

Parabol chỉ gói gọn trong một phương trình y² = 2px và một tham số p: đỉnh O(0, 0), tiêu điểm F(p/2, 0), đường chuẩn x = −p/2. Bạn hãy nhớ ba điều: p bằng hệ số của x chia cho 2, tiêu điểm nằm cùng phía với chiều mở của parabol còn đường chuẩn nằm phía đối diện, và biến nào bình phương thì parabol mở theo trục của biến còn lại. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xác định mọi yếu tố của một parabol bất kì — từ đèn pha ô tô cho tới chảo vệ tinh trên nóc nhà.