Giải phương trình chứa căn: công thức, ví dụ và bài tập lớp 9

Bạn Hùng giải phương trình √x = −2 như sau: bình phương hai vế được x = 4. Bạn khoanh đáp án x = 4 rồi nộp bài, tự tin lắm. Nhưng khi cô giáo chấm, bạn bị gạch sai toàn bộ. Vì sao? Vì √4 = 2, không phải −2 — số 4 không thỏa mãn phương trình ban đầu. Bạn Hùng đã quên một điều: bình phương hai vế là con dao hai lưỡi. Nó giúp bạn bỏ được dấu căn, nhưng nó cũng "đẻ" thêm nghiệm giả — những số thỏa mãn phương trình sau khi bình phương nhưng không thỏa mãn phương trình ban đầu. Bài viết này dạy bạn cách dùng con dao đó mà không bị đứt tay.

Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", phương trình chứa căn nằm trong Chương III: Căn bậc hai và căn bậc ba, ở Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, và là dạng toán quan trọng trong các đề kiểm tra cuối kì. Đây là bài học "tổng hợp" của chương: bạn phải dùng cả điều kiện xác định của căn thức, cả phép bình phương hai vế, cả kĩ năng giải phương trình bậc hai — rồi cuối cùng phải thử lại nghiệm. Học xong bài này, bạn sẽ giải đúng mọi phương trình chứa căn ở lớp 9 và không bao giờ nhận nghiệm giả nữa.

1. Công thức giải phương trình √f(x) = g(x)

Phương trình chứa căn dạng cơ bản nhất là √f(x) = g(x), trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức chứa x. Công thức giải nó gồm hai điều kiện đi liền với nhau, bạn phải nhớ cả hai — thiếu một là sai.

Công thức: √f(x) = g(x) ⇔ g(x) ≥ 0 và f(x) = [g(x)]².
Bạn đọc công thức này như sau: phương trình √f(x) = g(x) tương đương với hệ hai điều kiện — thứ nhất, g(x) ≥ 0; thứ hai, f(x) = [g(x)]². Điều kiện thứ nhất nói rằng vế phải không được âm, vì vế trái là một căn bậc hai số học nên luôn không âm. Điều kiện thứ hai nói rằng sau khi bình phương hai vế, hai vế phải bằng nhau. Bạn hãy nhớ: bình phương hai vế chỉ đúng khi hai vế cùng không âm — mà vế trái √f(x) thì luôn không âm rồi, nên bạn chỉ cần ép vế phải g(x) ≥ 0 là đủ.

Bạn hãy xem công thức hoạt động qua ví dụ gốc của bài: √(x + 1) = 3. Điều kiện thứ nhất: g(x) = 3 ≥ 0 — đúng, khỏi cần xét thêm. Điều kiện thứ hai: bình phương hai vế được x + 1 = 9, suy ra x = 8. Vậy nghiệm là x = 8. Bạn thử lại: √(8 + 1) = √9 = 3 — đúng bằng vế phải. Nghiệm x = 8 được nhận.

Bạn hãy để ý: điều kiện f(x) ≥ 0 (biểu thức trong căn không âm) không cần viết riêng, vì nó đã "nằm trong" điều kiện thứ hai: f(x) = [g(x)]² mà [g(x)]² luôn không âm nên f(x) tự động không âm. Đây là điểm tiện lợi của công thức: bạn chỉ cần hai điều kiện g(x) ≥ 0 và f(x) = [g(x)]² là đủ, không cần thêm điều kiện f(x) ≥ 0 nữa. Nhưng nếu bạn giải theo cách "đặt điều kiện f(x) ≥ 0 rồi bình phương" thì cũng đúng — chỉ dài hơn một bước mà thôi.

Quy trình giải chuẩn gồm 4 bước. Bước 1: viết điều kiện g(x) ≥ 0. Bước 2: bình phương hai vế để được phương trình f(x) = [g(x)]² (thường là phương trình bậc nhất hoặc bậc hai). Bước 3: giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: đối chiếu nghiệm với điều kiện g(x) ≥ 0 (và thử lại vào phương trình ban đầu), loại nghiệm không thỏa mãn, kết luận nghiệm. Bạn hãy làm đủ 4 bước, đừng bỏ bước 4 — bước 4 chính là chỗ phân biệt học sinh giỏi với học sinh khá trong dạng toán này.

2. Vì sao phải có điều kiện g(x) ≥ 0? Chuyện về nghiệm ngoại lai

Bạn hãy quay lại câu chuyện của bạn Hùng ở đầu bài: √x = −2. Nếu bạn bình phương hai vế mà không xét điều kiện, bạn được x = 4. Nhưng thử lại: √4 = 2 ≠ −2. Số 4 là nghiệm ngoại lai — nó thỏa mãn phương trình sau khi bình phương (vì 4 = (−2)²) nhưng không thỏa mãn phương trình ban đầu. Vì sao lại sinh ra nghiệm ngoại lai? Vì phép bình phương "xóa" dấu: cả 2 và −2 bình phương đều bằng 4. Phương trình x = 4 không phân biệt được "căn bằng 2" với "căn bằng −2", nên nó nhận cả hai. Điều kiện g(x) ≥ 0 chính là "bộ lọc" loại bỏ trường hợp vế phải âm — trường hợp mà phương trình ban đầu không bao giờ xảy ra.

Bạn hãy hình dung như sau: phương trình √f(x) = g(x) nói rằng "một số không âm bằng g(x)". Nếu g(x) âm thì đẳng thức này vô lí ngay từ đầu — một số không âm không thể bằng một số âm. Vì vậy, trước khi bình phương, bạn phải hỏi: "g(x) có âm không?" Nếu g(x) là một số cụ thể âm (như −2, −5) thì phương trình vô nghiệm ngay, khỏi cần giải tiếp. Nếu g(x) là biểu thức chứa x (như x − 3, 2x + 1) thì bạn giữ lại điều kiện g(x) ≥ 0 để đối chiếu nghiệm ở cuối bài.

Một ví dụ nữa cho thấy nghiệm ngoại lai nguy hiểm thế nào: giải phương trình √(x + 3) = x − 3. Bình phương hai vế: x + 3 = (x − 3)² = x² − 6x + 9, suy ra x² − 7x + 6 = 0, giải ra x = 1 hoặc x = 6. Nếu bạn dừng ở đây và kết luận "phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 6" thì bạn đã sai một nửa. Thử lại: với x = 1, vế trái √(1 + 3) = 2, vế phải 1 − 3 = −2 — không bằng nhau, x = 1 là nghiệm ngoại lai, phải loại. Với x = 6, vế trái √(6 + 3) = 3, vế phải 6 − 3 = 3 — bằng nhau, x = 6 được nhận. Đáp án đúng chỉ có x = 6. Bạn thấy không, nghiệm ngoại lai x = 1 trông rất "hợp lí" nếu bạn không thử lại — và đó chính là cái bẫy mà đề thi giăng ra.

Bạn hãy nhớ quy tắc vàng: mọi nghiệm tìm được sau khi bình phương đều phải thử lại. Thử lại có hai cách: đối chiếu với điều kiện g(x) ≥ 0 (nhanh), hoặc thay trực tiếp vào phương trình ban đầu (chắc chắn). Trong phòng thi, bạn nên làm cả hai nếu còn thời gian: đối chiếu điều kiện để loại nghiệm, rồi thay nghiệm còn lại vào phương trình gốc để kiểm tra lần cuối. Một phút thử lại có thể cứu cả một bài toán 1 điểm.

3. Bốn ví dụ tính từng bước

Ví dụ 1 (cơ bản): Giải phương trình √(x + 1) = 3.
Đây là ví dụ gốc của bài. Điều kiện: g(x) = 3 ≥ 0 — thỏa mãn ngay, không cần xét thêm.
Bình phương hai vế: x + 1 = 9, suy ra x = 8.
Thử lại: √(8 + 1) = √9 = 3 — đúng bằng vế phải.
Vậy phương trình có nghiệm x = 8.

Ví dụ 2 (vế phải chứa x): Giải phương trình √(2x + 1) = 3.
Điều kiện: g(x) = 3 ≥ 0 — thỏa mãn ngay.
Bình phương hai vế: 2x + 1 = 9, suy ra 2x = 8, x = 4.
Thử lại: √(2 · 4 + 1) = √9 = 3 — đúng bằng vế phải.
Vậy phương trình có nghiệm x = 4. Bạn hãy chú ý: ở ví dụ này, điều kiện g(x) ≥ 0 là hiển nhiên vì vế phải là số 3. Điều kiện chỉ thực sự "làm việc" khi vế phải chứa x, như ví dụ 4 dưới đây.

Ví dụ 3 (vô nghiệm): Giải phương trình √x = −2.
Điều kiện: g(x) = −2 ≥ 0 — sai ngay. Một số không âm (vế trái √x) không thể bằng −2.
Vậy phương trình vô nghiệm, khỏi cần bình phương hay giải tiếp.
Bạn hãy nhớ ví dụ này: nó là trường hợp "bẫy" kinh điển. Nếu bạn bình phương ngay mà quên điều kiện, bạn sẽ ra x = 4 — nghiệm ngoại lai. Khi cần kiểm tra lại các phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.

Ví dụ 4 (loại nghiệm ngoại lai): Giải phương trình √(x + 3) = x − 3.
Điều kiện: g(x) = x − 3 ≥ 0, tức là x ≥ 3. Bạn giữ điều kiện này để đối chiếu ở cuối bài.
Bình phương hai vế: x + 3 = (x − 3)² = x² − 6x + 9.
Chuyển vế: x² − 7x + 6 = 0. Giải phương trình bậc hai: x = 1 hoặc x = 6.
Đối chiếu điều kiện x ≥ 3: x = 1 bị loại (1 < 3), x = 6 được nhận (6 ≥ 3).
Thử lại x = 6: vế trái √(6 + 3) = 3, vế phải 6 − 3 = 3 — bằng nhau.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6.

4. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh

Lỗi 1: Bình phương hai vế mà quên điều kiện g(x) ≥ 0.
Nhiều bạn giải √x = −2 ra x = 4. Sai ở chỗ vế phải âm nên phương trình vô nghiệm ngay từ đầu. Cách tránh: trước khi bình phương, bạn hãy nhìn vế phải trước — nếu nó là số âm thì kết luận vô nghiệm luôn; nếu nó chứa x thì viết điều kiện g(x) ≥ 0 ra giấy rồi mới bình phương.

Lỗi 2: Quên thử lại nghiệm sau khi bình phương.
Nhiều bạn giải √(x + 3) = x − 3 ra hai nghiệm x = 1 và x = 6 rồi kết luận luôn. Sai ở chỗ x = 1 là nghiệm ngoại lai, phải loại. Cách tránh: bạn hãy coi bước thử lại là bước bắt buộc, không phải bước tùy chọn. Sau khi tìm được nghiệm, bạn thay từng nghiệm vào phương trình gốc — nghiệm nào không thỏa mãn thì gạch bỏ.

Lỗi 3: Bình phương sai vế phải.
Nhiều bạn bình phương (x − 3)² thành x² − 9 (quên hạng tử −6x). Sai ở chỗ (x − 3)² = x² − 6x + 9 — đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu. Cách tránh: mỗi lần bình phương một hiệu, bạn hãy viết đủ ba hạng tử: bình phương số thứ nhất, trừ hai lần tích hai số, cộng bình phương số thứ hai. Bạn hãy ôn lại hằng đẳng thức này trước khi làm bài.

Lỗi 4: Đặt điều kiện sai: chỉ đặt f(x) ≥ 0 mà quên g(x) ≥ 0.
Nhiều bạn giải √(x + 3) = x − 3 bằng cách đặt điều kiện x + 3 ≥ 0 rồi bình phương, ra hai nghiệm x = 1 và x = 6 rồi nhận cả hai. Sai ở chỗ điều kiện x + 3 ≥ 0 không loại được nghiệm ngoại lai x = 1 (vì 1 + 3 = 4 ≥ 0). Cách tránh: điều kiện quan trọng nhất là g(x) ≥ 0 — điều kiện f(x) ≥ 0 là hệ quả của phương trình f(x) = [g(x)]², không cần đặt riêng. Bạn hãy nhớ công thức chuẩn: g(x) ≥ 0 và f(x) = [g(x)]².

Lỗi 5: Kết luận nghiệm mà không kiểm tra nghiệm có thỏa mãn điều kiện xác định của căn thức không.
Nhiều bạn giải √(x − 1) = 2 ra x = 5 rồi kết luận ngay mà không thử lại. Trong ví dụ này x = 5 đúng, nhưng thói quen không thử lại sẽ hại bạn ở những bài có nghiệm ngoại lai. Cách tránh: bạn hãy tập thành phản xạ — tìm được nghiệm là thử lại ngay, dù bài dễ hay khó. Một dòng thử lại chỉ tốn 10 giây nhưng cứu được cả bài toán.

5. Bài tập tự luyện

Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ làm đủ 4 bước: điều kiện, bình phương, giải, thử lại.

Câu 1: Giải phương trình √(x − 1) = 2. Nghiệm của phương trình là bao nhiêu?
A. 3
B. 5
C. 4
D. 1

Câu 2: Giải phương trình √(2x + 1) = 3. Nghiệm của phương trình là bao nhiêu?
A. 4
B. 5
C. 3
D. 8

Câu 3: Phương trình √x = −2 có nghiệm hay không?
A. x = 4
B. x = −4
C. Vô nghiệm
D. x = 0

Câu 4: Giải phương trình √(x² − 1) = 1. Nghiệm của phương trình là bao nhiêu?
A. x = √2
B. x = −√2
C. x = ±√2
D. Vô nghiệm

Câu 5: Giải phương trình √(x + 3) = x − 3. Nghiệm của phương trình là bao nhiêu?
A. x = 1
B. x = 6
C. x = 1 và x = 6
D. Vô nghiệm

Giải thích Câu 1 — Đáp án B (x = 5) đúng: Bình phương hai vế: x − 1 = 4, suy ra x = 5. Thử lại: √(5 − 1) = √4 = 2 — đúng. Đáp án A (3) sai vì √(3 − 1) = √2 ≠ 2. Đáp án C (4) sai vì √(4 − 1) = √3 ≠ 2. Đáp án D (1) sai vì √(1 − 1) = 0 ≠ 2.

Giải thích Câu 2 — Đáp án A (x = 4) đúng: Bình phương hai vế: 2x + 1 = 9, suy ra 2x = 8, x = 4. Thử lại: √(2 · 4 + 1) = √9 = 3 — đúng. Đáp án B (5) sai vì √(2 · 5 + 1) = √11 ≠ 3. Đáp án C (3) sai vì √(2 · 3 + 1) = √7 ≠ 3. Đáp án D (8) sai vì √(2 · 8 + 1) = √17 ≠ 3.

Giải thích Câu 3 — Đáp án C (vô nghiệm) đúng: Vế trái √x luôn không âm, vế phải −2 âm nên phương trình vô nghiệm ngay, khỏi cần giải. Đáp án A (x = 4) sai vì đó là nghiệm ngoại lai: bình phương hai vế được x = 4 nhưng thử lại √4 = 2 ≠ −2. Đáp án B (x = −4) sai vì x = −4 không thỏa mãn điều kiện xác định của căn thức (x ≥ 0). Đáp án D (x = 0) sai vì √0 = 0 ≠ −2.

Giải thích Câu 4 — Đáp án C (x = ±√2) đúng: Bình phương hai vế: x² − 1 = 1, suy ra x² = 2, x = √2 hoặc x = −√2. Điều kiện g(x) = 1 ≥ 0 thỏa mãn với cả hai nghiệm. Thử lại: với x = √2, √((√2)² − 1) = √1 = 1 — đúng; với x = −√2, √((−√2)² − 1) = √1 = 1 — đúng. Đáp án A và B sai vì mỗi đáp án chỉ lấy một nghiệm, bỏ mất nghiệm còn lại. Đáp án D (vô nghiệm) sai vì phương trình có hai nghiệm.

Giải thích Câu 5 — Đáp án B (x = 6) đúng: Điều kiện x − 3 ≥ 0, tức là x ≥ 3. Bình phương hai vế: x + 3 = (x − 3)² = x² − 6x + 9, suy ra x² − 7x + 6 = 0, giải ra x = 1 hoặc x = 6. Đối chiếu điều kiện x ≥ 3: x = 1 bị loại, x = 6 được nhận. Đáp án A (x = 1) sai vì x = 1 là nghiệm ngoại lai: thử lại √(1 + 3) = 2 ≠ 1 − 3 = −2. Đáp án C (x = 1 và x = 6) sai vì đã nhận cả nghiệm ngoại lai. Đáp án D (vô nghiệm) sai vì x = 6 là nghiệm đúng.

6. Câu hỏi thường gặp

Hỏi: Vì sao phải thử lại nghiệm sau khi bình phương hai vế?
Đáp: Vì phép bình phương xóa dấu: cả 2 và −2 bình phương đều bằng 4. Phương trình sau khi bình phương không phân biệt được hai trường hợp này, nên nó có thể nhận thêm nghiệm mà phương trình gốc không có — gọi là nghiệm ngoại lai. Thử lại (hoặc đối chiếu điều kiện g(x) ≥ 0) là cách duy nhất để loại nghiệm ngoại lai. Nếu muốn ôn lại căn bậc hai số học — khái niệm giải thích vì sao vế trái luôn không âm — bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm.

Hỏi: Điều kiện f(x) ≥ 0 có cần đặt riêng không?
Đáp: Không cần, vì nó là hệ quả của f(x) = [g(x)]² — vế phải là một bình phương nên luôn không âm, do đó f(x) tự động không âm. Bạn chỉ cần hai điều kiện: g(x) ≥ 0 và f(x) = [g(x)]². Tuy nhiên, nếu bạn quen đặt thêm điều kiện f(x) ≥ 0 thì cũng không sai — chỉ dài hơn một bước.

Hỏi: Phương trình √f(x) = √g(x) giải như thế nào?
Đáp: Bạn đặt điều kiện f(x) ≥ 0 và g(x) ≥ 0, rồi bình phương hai vế được f(x) = g(x). Vì hai vế đều là căn bậc hai số học (cùng không âm) nên bình phương không sinh nghiệm ngoại lai về dấu — nhưng bạn vẫn phải đối chiếu nghiệm với điều kiện xác định. Ví dụ √(x + 2) = √(2x − 1): điều kiện x ≥ −2 và x ≥ 1/2, bình phương được x + 2 = 2x − 1, suy ra x = 3 (thỏa mãn điều kiện).

Hỏi: Nghiệm ngoại lai là gì? Làm sao để nhận ra nó?
Đáp: Nghiệm ngoại lai là số thỏa mãn phương trình sau khi bình phương nhưng không thỏa mãn phương trình ban đầu. Bạn nhận ra nó bằng cách thử lại: thay số đó vào phương trình gốc, nếu hai vế không bằng nhau thì đó là nghiệm ngoại lai, phải loại. Dấu hiệu cảnh báo: vế phải của phương trình gốc chứa x (như x − 3) — khi đó nghiệm tìm được có thể làm vế phải âm, và đó chính là nghiệm ngoại lai.

Hỏi: Phương trình chứa căn có mấy dạng thường gặp?
Đáp: Ba dạng. Dạng 1: √f(x) = số (vế phải là số không âm) — giải trực tiếp bằng cách bình phương. Dạng 2: √f(x) = g(x) (vế phải chứa x) — cần điều kiện g(x) ≥ 0 và thử lại nghiệm. Dạng 3: √f(x) = √g(x) — cần điều kiện xác định của cả hai căn thức rồi bình phương. Nếu muốn ôn lại giá trị tuyệt đối — khái niệm hay xuất hiện khi rút gọn √(x²) trong quá trình giải — bạn hãy xem lại bài giá trị tuyệt đối của một số thực.

7. Kết luận

Giải phương trình chứa căn gói gọn trong một công thức và một quy tắc vàng. Công thức: √f(x) = g(x) ⇔ g(x) ≥ 0 và f(x) = [g(x)]². Quy tắc vàng: mọi nghiệm tìm được sau khi bình phương đều phải thử lại — vì bình phương xóa dấu nên nó có thể sinh ra nghiệm ngoại lai. Bạn hãy làm đủ 4 bước (điều kiện, bình phương, giải, thử lại), bình phương đúng hằng đẳng thức, và đừng bao giờ kết luận nghiệm khi chưa đối chiếu điều kiện. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm chắc dạng toán chứa căn quan trọng nhất của lớp 9 — và bạn cũng đã có trong tay một kĩ năng sẽ theo bạn lên lớp 10: giải phương trình bằng cách biến đổi tương đương và kiểm tra nghiệm, thay vì biến đổi rồi nhận bừa kết quả.