Bạn hãy nhìn một chiếc chong chóng giấy có sáu cánh đều nhau đang quay trong gió. Bạn quay nó đi một góc nhỏ — đúng một phần sáu vòng — rồi dừng lại và nhìn: chiếc chong chóng trông y hệt như lúc chưa quay, từng cánh đều nằm đúng vào vị trí của cánh kề trước đó. Quay thêm một phần sáu vòng nữa, nó lại y hệt như cũ. Có những góc quay "vô hình" như vậy, quay xong mà hình không thay đổi gì — và bài này sẽ cho bạn công thức tính mọi góc quay đó của bất kì đa giác đều nào, chỉ bằng một phép chia duy nhất: 360 độ chia cho số cạnh.
Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều là một trong những ý tưởng đẹp nhất của chương phép quay lớp 9, vì nó nối hình học với tính đối xứng mà bạn vẫn thấy hằng ngày: bông tuyết sáu cánh, bánh xe, logo hình sao, gạch lát sàn hình bát giác. Công thức góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia n — với n là số cạnh của đa giác đều — cho bạn biết chính xác phải quay bao nhiêu độ để hình "trở về như cũ". Bài này sẽ giải thích vì sao công thức đúng, luyện qua bốn ví dụ từ tam giác đều tới bát giác đều, rồi thử thách bạn với năm bài tập có đáp án giải thích cặn kẽ.
1. Công thức: góc quay nhỏ nhất giữ nguyên đa giác đều n cạnh là 360 độ chia n
Cho một đa giác đều có n cạnh, với tâm O là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đó. Nếu bạn quay đa giác quanh tâm O một góc bằng 360 độ chia n, mỗi đỉnh sẽ di chuyển đúng sang vị trí của đỉnh kề nó, và toàn bộ đa giác sẽ trùng khít hoàn toàn với vị trí ban đầu — như thể bạn chưa hề quay gì cả. Góc 360 độ chia n là góc quay nhỏ nhất có tính chất này, và mọi góc quay giữ nguyên đa giác đều đều là bội số của nó: 360 độ chia n, hai lần 360 độ chia n, ba lần, cho tới 360 độ.
Vì sao công thức này đúng? Bạn hãy nối tâm O với tất cả các đỉnh của đa giác đều. Các đoạn thẳng này chia đa giác thành n tam giác cân bằng nhau, và góc ở tâm của mỗi tam giác — tức là góc tạo bởi hai đoạn thẳng nối tâm tới hai đỉnh kề nhau — bằng 360 độ chia n, vì n góc ấy gộp lại thành một vòng tròn đầy 360 độ. Khi bạn quay đa giác đúng một góc ở tâm như vậy, mỗi đỉnh sẽ rơi đúng vào vị trí đỉnh kề, mỗi cạnh rơi đúng vào vị trí cạnh kề, và toàn bộ hình trùng khít với chính nó. Quay ít hơn góc đó thì các đỉnh lệch khỏi vị trí cũ, hình không còn trùng khít nữa.
Bạn hãy ghi nhớ vài trường hợp hay gặp nhất. Tam giác đều có 3 cạnh, góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia 3 bằng 120 độ. Hình vuông có 4 cạnh, góc quay nhỏ nhất bằng 90 độ. Ngũ giác đều có 5 cạnh, góc quay nhỏ nhất bằng 72 độ. Lục giác đều có 6 cạnh, góc quay nhỏ nhất bằng 60 độ. Bát giác đều có 8 cạnh, góc quay nhỏ nhất bằng 45 độ. Bạn càng thuộc lòng bảng này thì càng tính nhanh trong phòng thi, vì đề bài rất thích hỏi góc quay của đúng những đa giác đều quen thuộc này.
Một điểm bạn cần phân biệt rõ: góc quay nhỏ nhất và các góc quay giữ nguyên là hai khái niệm khác nhau. Góc quay nhỏ nhất là góc dương bé nhất mà quay xong hình trùng với chính nó — ví dụ 60 độ với lục giác đều. Các góc quay giữ nguyên là tất cả các bội số của góc nhỏ nhất: với lục giác đều, đó là 60 độ, 120 độ, 180 độ, 240 độ, 300 độ và 360 độ. Quay 360 độ thì hình trở về đúng vị trí ban đầu theo nghĩa đen, nên 360 độ luôn là một góc quay giữ nguyên của mọi đa giác đều. Khi đề hỏi "góc quay nào sau đây KHÔNG giữ nguyên hình", bạn hãy kiểm tra xem góc đó có phải bội số của 360 độ chia n hay không.
Phép quay này còn cho bạn một cách nhìn mới về tính đối xứng: một đa giác đều n cạnh có đúng n trục đối xứng và n phép quay giữ nguyên nó — kể cả phép quay 360 độ. Số phép quay giữ nguyên chính bằng số cạnh của đa giác. Nếu muốn ôn lại góc ở tâm — kiến thức nền để hiểu vì sao góc ở tâm bằng 360 độ chia n — bạn hãy xem lại bài góc ở tâm và số đo của một cung.
2. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (lục giác đều): Tính góc quay nhỏ nhất giữ nguyên lục giác đều và liệt kê các góc quay giữ nguyên.
Lục giác đều có n bằng 6, góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia 6 bằng 60 độ. Các góc quay giữ nguyên là các bội số của 60 độ không vượt quá 360 độ: 60 độ, 120 độ, 180 độ, 240 độ, 300 độ và 360 độ. Bạn hãy kiểm tra: quay 60 độ thì mỗi đỉnh sang vị trí đỉnh kề, quay 120 độ thì mỗi đỉnh nhảy hai vị trí, quay 180 độ thì mỗi đỉnh sang vị trí đối diện — tất cả đều làm hình trùng khít với chính nó. Khi cần kiểm tra lại phép chia, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 2 (ngũ giác đều): Tính góc quay nhỏ nhất giữ nguyên ngũ giác đều.
Ngũ giác đều có n bằng 5, góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia 5 bằng 72 độ. Các góc quay giữ nguyên là 72 độ, 144 độ, 216 độ, 288 độ và 360 độ. Bạn hãy chú ý: 72 độ không phải là một số tròn đẹp như 60 độ hay 90 độ, nên nhiều bạn hay tính nhầm thành 70 độ hoặc 75 độ. Cách tránh: bạn hãy làm phép chia cẩn thận — 360 chia 5 bằng 72 — rồi kiểm tra lại bằng phép nhân: 72 nhân 5 bằng 360, đúng.
Ví dụ 3 (hình vuông): Tính góc quay nhỏ nhất giữ nguyên hình vuông và cho biết quay 45 độ có giữ nguyên hình vuông không.
Hình vuông có n bằng 4, góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia 4 bằng 90 độ. Các góc quay giữ nguyên là 90 độ, 180 độ, 270 độ và 360 độ. Quay 45 độ KHÔNG giữ nguyên hình vuông, vì 45 độ không phải bội số của 90 độ — sau khi quay 45 độ, các đỉnh của hình vuông nằm ở vị trí các đường chéo, hình trông như một hình thoi xoay nghiêng chứ không trùng với hình ban đầu. Đây là một bẫy rất hay gặp: nhiều bạn nghĩ quay một nửa của 90 độ thì hình vẫn giữ nguyên — không phải vậy.
Ví dụ 4 (bát giác đều): Tính góc quay nhỏ nhất giữ nguyên bát giác đều và cho biết quay 135 độ có giữ nguyên nó không.
Bát giác đều có n bằng 8, góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia 8 bằng 45 độ. Các góc quay giữ nguyên là các bội số của 45 độ: 45 độ, 90 độ, 135 độ, 180 độ, 225 độ, 270 độ, 315 độ và 360 độ. Quay 135 độ CÓ giữ nguyên bát giác đều, vì 135 độ bằng 3 nhân 45 độ — mỗi đỉnh nhảy ba vị trí và hình trùng khít với chính nó. Bạn hãy rút ra quy tắc chung: một góc quay giữ nguyên đa giác đều khi và chỉ khi nó chia hết cho góc quay nhỏ nhất. Nếu muốn ôn lại cách tính diện tích các hình tròn liên quan tới đa giác đều, bạn hãy xem lại bài diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên.
3. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Lấy 180 độ chia n thay vì 360 độ chia n.
Nhiều bạn viết góc quay nhỏ nhất của lục giác đều bằng 180 độ chia 6 bằng 30 độ. Sai: tổng các góc ở tâm quanh một điểm là 360 độ, không phải 180 độ. Cách tránh: bạn hãy nhớ đa giác đều được chia thành n tam giác quanh tâm, n góc ở tâm gộp lại thành một vòng tròn đầy 360 độ, nên mỗi góc bằng 360 độ chia n. Bạn hãy kiểm tra lại bằng trường hợp hình vuông: 360 chia 4 bằng 90 độ là đáp án đúng mà bạn đã biết, còn 180 chia 4 bằng 45 độ thì sai rõ ràng.
Lỗi 2: Nhầm góc quay nhỏ nhất với góc trong của đa giác đều.
Nhiều bạn tính góc quay nhỏ nhất của ngũ giác đều bằng 108 độ — đó là góc trong của ngũ giác đều, không phải góc quay. Cách tránh: bạn hãy phân biệt hai góc này — góc trong là góc ở đỉnh của đa giác, còn góc quay nhỏ nhất là góc ở tâm. Với ngũ giác đều, góc trong bằng 108 độ còn góc quay nhỏ nhất bằng 72 độ, và hai số này cộng lại bằng 180 độ. Khi đề hỏi góc quay, bạn hãy nghĩ tới tâm O và phép chia 360 cho n.
Lỗi 3: Cho rằng quay một nửa góc nhỏ nhất vẫn giữ nguyên hình.
Nhiều bạn nghĩ quay hình vuông 45 độ thì hình vẫn giữ nguyên vì 45 độ là một nửa của 90 độ. Sai: quay 45 độ thì các đỉnh rơi vào vị trí giữa hai đỉnh cũ, hình không trùng khít với chính nó. Cách tránh: bạn hãy nhớ chỉ các bội số nguyên của góc quay nhỏ nhất mới giữ nguyên hình. Một góc quay giữ nguyên khi và chỉ khi nó chia hết cho 360 độ chia n.
Lỗi 4: Quên góc 360 độ cũng là một góc quay giữ nguyên.
Nhiều bạn liệt kê các góc quay giữ nguyên của lục giác đều là 60, 120, 180, 240, 300 độ rồi dừng lại, quên mất 360 độ. Nhưng quay đủ một vòng 360 độ thì hình trở về đúng vị trí ban đầu, nên 360 độ luôn giữ nguyên mọi hình. Cách tránh: khi liệt kê, bạn hãy đi từ góc nhỏ nhất nhân 1, nhân 2, nhân 3 cho tới khi đạt 360 độ thì dừng — đừng dừng sớm ở bội số cuối cùng trước 360 độ.
Lỗi 5: Tính sai phép chia 360 cho n.
Nhiều bạn tính 360 chia 5 bằng 70 hoặc 360 chia 8 bằng 40 vì chia nhẩm vội. Cách tránh: bạn hãy làm phép chia cẩn thận ra giấy nháp và kiểm tra lại bằng phép nhân ngược — ví dụ 72 nhân 5 phải bằng 360, 45 nhân 8 phải bằng 360. Với các số n hay gặp, bạn hãy thuộc lòng: n bằng 3 thì 120 độ, n bằng 4 thì 90 độ, n bằng 5 thì 72 độ, n bằng 6 thì 60 độ, n bằng 8 thì 45 độ.
4. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia số cạnh trước, rồi mới kiểm tra xem góc đã cho có phải bội số của nó hay không.
Câu 1: Góc quay nhỏ nhất giữ nguyên lục giác đều bằng bao nhiêu?
A. 30 độ
B. 60 độ
C. 90 độ
D. 120 độ
Câu 2: Góc quay nhỏ nhất giữ nguyên bát giác đều bằng bao nhiêu?
A. 45 độ
B. 60 độ
C. 36 độ
D. 90 độ
Câu 3: Góc quay nào sau đây KHÔNG giữ nguyên ngũ giác đều?
A. 72 độ
B. 144 độ
C. 108 độ
D. 288 độ
Câu 4: Góc quay nhỏ nhất giữ nguyên hình vuông bằng bao nhiêu?
A. 45 độ
B. 60 độ
C. 90 độ
D. 180 độ
Câu 5: Góc quay nhỏ nhất giữ nguyên tam giác đều bằng bao nhiêu?
A. 60 độ
B. 120 độ
C. 90 độ
D. 180 độ
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | C | C | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (60 độ) đúng: Lục giác đều có 6 cạnh nên góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia 6 bằng 60 độ. Đáp án A (30 độ) sai vì 30 độ bằng 180 độ chia 6 — bạn đã lấy 180 độ thay vì 360 độ. Đáp án C (90 độ) sai vì 90 độ là góc quay nhỏ nhất của hình vuông, không phải lục giác đều. Đáp án D (120 độ) sai vì 120 độ là góc quay nhỏ nhất của tam giác đều, và cũng là bội số thứ hai của 60 độ.
Giải thích Câu 2 — Đáp án A (45 độ) đúng: Bát giác đều có 8 cạnh nên góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia 8 bằng 45 độ. Đáp án B (60 độ) sai vì 60 độ là góc quay nhỏ nhất của lục giác đều. Đáp án C (36 độ) sai vì 36 độ bằng 360 độ chia 10, tức là góc quay của thập giác đều. Đáp án D (90 độ) sai vì 90 độ gấp đôi 45 độ — đó là bội số thứ hai, không phải góc nhỏ nhất.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (108 độ) đúng: Ngũ giác đều có góc quay nhỏ nhất bằng 72 độ, các góc quay giữ nguyên là 72, 144, 216, 288 và 360 độ. 108 độ không phải bội số của 72 độ nên không giữ nguyên ngũ giác đều — 108 độ thực ra là góc trong của ngũ giác đều. Đáp án A (72 độ) sai vì đó chính là góc quay nhỏ nhất. Đáp án B (144 độ) sai vì 144 độ bằng 2 nhân 72 độ nên giữ nguyên hình. Đáp án D (288 độ) sai vì 288 độ bằng 4 nhân 72 độ nên giữ nguyên hình.
Giải thích Câu 4 — Đáp án C (90 độ) đúng: Hình vuông có 4 cạnh nên góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia 4 bằng 90 độ. Đáp án A (45 độ) sai vì quay 45 độ thì các đỉnh rơi vào vị trí giữa hai đỉnh cũ, hình không trùng khít. Đáp án B (60 độ) sai vì 60 độ là góc quay nhỏ nhất của lục giác đều. Đáp án D (180 độ) sai vì 180 độ bằng 2 nhân 90 độ — đó là bội số thứ hai, không phải góc nhỏ nhất.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (120 độ) đúng: Tam giác đều có 3 cạnh nên góc quay nhỏ nhất bằng 360 độ chia 3 bằng 120 độ. Đáp án A (60 độ) sai vì 60 độ là góc quay nhỏ nhất của lục giác đều, và cũng là một nửa của 120 độ. Đáp án C (90 độ) sai vì 90 độ là góc quay nhỏ nhất của hình vuông. Đáp án D (180 độ) sai vì 180 độ không phải bội số của 120 độ nên còn không giữ nguyên tam giác đều.
5. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Quay đa giác đều 360 độ có tính là giữ nguyên hình không?
Đáp: Có. Quay đủ một vòng 360 độ thì mọi điểm trở về đúng vị trí ban đầu, nên hình trùng khít hoàn toàn với chính nó. Vì vậy 360 độ luôn là một góc quay giữ nguyên của mọi đa giác đều, và cũng là bội số lớn nhất không vượt quá 360 độ của góc quay nhỏ nhất. Khi liệt kê các góc quay giữ nguyên, bạn đừng quên 360 độ — nhiều bạn liệt kê tới 300 độ rồi dừng, mất điểm oan ở câu hỏi đếm số phép quay.
Hỏi: Đa giác đều có bao nhiêu phép quay giữ nguyên nó?
Đáp: Đúng bằng số cạnh của đa giác. Lục giác đều có 6 phép quay giữ nguyên: 60, 120, 180, 240, 300 và 360 độ. Ngũ giác đều có 5 phép quay: 72, 144, 216, 288 và 360 độ. Hình vuông có 4 phép quay: 90, 180, 270 và 360 độ. Quy tắc này giúp bạn kiểm tra nhanh: nếu bạn liệt kê được ít hơn n góc thì chắc chắn đã thiếu, nếu nhiều hơn n góc thì chắc chắn đã thừa.
Hỏi: Góc quay nhỏ nhất và góc ở tâm có phải là một không?
Đáp: Đúng, chúng là một. Góc ở tâm tạo bởi hai đỉnh kề nhau của đa giác đều bằng 360 độ chia n, và đó cũng chính là góc quay nhỏ nhất giữ nguyên đa giác. Hai tên gọi khác nhau nhưng cùng chỉ một góc: góc ở tâm là tên gọi theo vị trí hình học, góc quay nhỏ nhất là tên gọi theo tác dụng của phép quay. Hiểu được sự trùng nhau này, bạn sẽ thấy công thức 360 độ chia n không còn là công thức phải học thuộc lòng nữa mà là điều hiển nhiên.
Hỏi: Phép quay giữ nguyên đa giác đều có ứng dụng gì trong đời sống?
Đáp: Rất nhiều. Bông tuyết sáu cánh, bánh xe, logo hình sao, gạch lát sàn hình bát giác, cửa xoay, chong chóng — tất cả đều dùng tính đối xứng quay của đa giác đều. Trong thiết kế, người ta dùng góc quay 360 độ chia n để chia đều các chi tiết quanh một tâm: ví dụ chia một hình tròn thành 6 phần bằng nhau để vẽ lục giác đều, hay chia thành 8 phần để vẽ bát giác đều. Trong công nghiệp, các chi tiết máy có rãnh đều nhau cũng được chế tạo theo nguyên tắc này.
Hỏi: Học phép quay này để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Phép quay là một trong ba phép biến hình quan trọng của chương trình lớp 9, cùng với phép tịnh tiến và phép vị tự. Hiểu rõ góc quay giữ nguyên đa giác đều giúp bạn nắm được bản chất của phép quay nói chung: quay quanh tâm bao nhiêu độ thì điểm di chuyển tới đâu. Lên lớp 10 và 11, bạn sẽ gặp lại phép quay trong hình học tọa độ và trong lượng giác, nơi góc quay được đo bằng radian và gắn với đường tròn lượng giác. Nếu muốn ôn lại góc ở tâm — kiến thức nền của toàn bộ bài này — bạn hãy xem lại bài góc ở tâm và số đo của một cung.
6. Kết luận
Góc quay nhỏ nhất giữ nguyên hình đa giác đều n cạnh bằng 360 độ chia n — đó là toàn bộ công thức của bài này, nhưng là một công thức mở ra cả thế giới đối xứng quay quanh bạn. Bạn hiểu nó bằng cách nối tâm với các đỉnh: n góc ở tâm gộp lại thành 360 độ nên mỗi góc bằng 360 độ chia n, và quay đúng một góc như vậy thì mỗi đỉnh rơi vào vị trí đỉnh kề, hình trùng khít với chính nó. Mọi góc quay giữ nguyên đều là bội số của góc nhỏ nhất, và số phép quay giữ nguyên đúng bằng số cạnh của đa giác. Bạn hãy thuộc lòng bảng góc quay của các đa giác quen thuộc — tam giác đều 120 độ, hình vuông 90 độ, ngũ giác đều 72 độ, lục giác đều 60 độ, bát giác đều 45 độ — và luôn kiểm tra xem góc đã cho có chia hết cho góc nhỏ nhất hay không. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi bài toán về phép quay giữ nguyên đa giác đều trong chương trình lớp 9.