Bạn có một khối lập phương bằng gỗ, thể tích của nó là 27 cm³. Hỏi cạnh của khối gỗ dài bao nhiêu? Bạn nhẩm ngay: 3 × 3 × 3 = 27, vậy cạnh dài 3 cm. Nhưng nếu thể tích là 64 cm³ thì sao? Là 4 cm, vì 4 × 4 × 4 = 64. Còn thể tích là 10 cm³ thì cạnh dài bao nhiêu? Không còn là số nguyên nữa — và chính lúc này bạn cần tới căn bậc ba. Căn bậc ba của một số a, kí hiệu ³√a, là số mà khi lập phương lên thì được đúng a. Bài viết này nói về ba hằng đẳng thức gắn liền với căn bậc ba — ba công thức ngắn gọn nhưng dùng trong gần như mọi bài toán có căn bậc ba ở lớp 9.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", căn bậc ba nằm trong Chương III: Căn bậc hai và căn thức bậc hai, ở Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba. Đây là bài học nối tiếp Bài 7 (Căn bậc hai và căn thức bậc hai), Bài 8 (Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia) và Bài 9 (Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai). Học xong bài này, bạn sẽ tính được ³√27, ³√(−8), ³√125 mà không cần máy tính, rút gọn được những biểu thức như ³√(x³) hay (³√5)³ chỉ trong một dòng, và không bao giờ nhầm căn bậc ba với căn bậc hai nữa.
1. Căn bậc ba là gì? Nhắc lại nhanh trước khi vào hằng đẳng thức
Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x³ = a, kí hiệu x = ³√a. Bạn hãy đọc kĩ định nghĩa này: căn bậc ba "hỏi ngược" phép lập phương. Phép lập phương hỏi: 2³ bằng bao nhiêu? Đáp án là 8. Căn bậc ba hỏi ngược lại: số nào lập phương lên thì được 8? Đáp án là 2, tức là ³√8 = 2. Hai phép tính này là nghịch đảo của nhau, giống như phép cộng và phép trừ, phép nhân và phép chia. Chính vì là nghịch đảo của nhau nên chúng sinh ra các hằng đẳng thức của bài này.
Một điểm khác biệt rất quan trọng giữa căn bậc ba và căn bậc hai là điều kiện xác định. Căn bậc hai √a chỉ xác định khi a ≥ 0, vì không có số thực nào bình phương lên lại ra số âm. Nhưng căn bậc ba ³√a xác định với MỌI số thực a, kể cả số âm. Vì sao? Vì một số âm lập phương lên vẫn là số âm: (−2)³ = −8, nên ³√(−8) = −2 hoàn toàn hợp lệ. Bạn hãy ghi nhớ điều này thật kĩ: căn bậc ba không "sợ" số âm, trong khi căn bậc hai thì có. Đây là một trong những điểm mà đề thi hay hỏi nhất.
Bạn cũng cần nhớ một vài giá trị căn bậc ba quen thuộc, giống như bảng cửu chương của phép lập phương: ³√1 = 1, ³√8 = 2, ³√27 = 3, ³√64 = 4, ³√125 = 5, ³√216 = 6, ³√343 = 7, ³√512 = 8, ³√729 = 9, ³√1000 = 10. Và với số âm: ³√(−1) = −1, ³√(−8) = −2, ³√(−27) = −3, ³√(−64) = −4. Nếu bạn thuộc lòng bảng này thì mọi bài tập tính nhanh đều trở nên dễ dàng. Khi gặp ³√125, bạn không cần bấm máy tính — bạn biết ngay đáp án là 5, vì 5³ = 125.
2. Hằng đẳng thức thứ nhất: ³√(a³) = a — căn bậc ba "gỡ" phép lập phương
Hằng đẳng thức đầu tiên của bài này là ³√(a³) = a với mọi số thực a. Bạn hãy đọc công thức này theo chiều từ trái sang phải: lấy một số a, lập phương nó lên được a³, rồi lấy căn bậc ba của kết quả — bạn trở về đúng số a ban đầu. Căn bậc ba đã "gỡ" phép lập phương, giống như phép trừ gỡ phép cộng, phép chia gỡ phép nhân. Ví dụ: ³√(2³) = ³√8 = 2. Hay ³√((−3)³) = ³√(−27) = −3 — chú ý dấu âm được giữ nguyên, không biến mất.
Công thức này đúng với mọi số thực a, kể cả số âm, số 0 và số thập phân. Đó là điểm khác biệt lớn so với căn bậc hai: với căn bậc hai, √(a²) = |a| — có dấu giá trị tuyệt đối, vì bình phương đã "nuốt" mất dấu âm rồi. Nhưng với căn bậc ba, lập phương KHÔNG nuốt dấu âm: (−3)³ = −27 vẫn mang dấu âm, nên căn bậc ba lấy lại được đúng −3, không cần giá trị tuyệt đối. Nếu bạn đã học bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm thì đây chính là điểm bạn cần phân biệt rõ nhất giữa hai loại căn.
Trong thực hành, hằng đẳng thức này giúp bạn rút gọn biểu thức rất nhanh. Gặp ³√(5³), bạn viết ngay đáp án là 5, không cần tính 5³ = 125 rồi mới tìm căn bậc ba của 125. Gặp ³√((x − 1)³), đáp án là x − 1. Gặp ³√((−7)³), đáp án là −7. Bạn hãy tập thói quen nhìn thấy dạng ³√(…³) là "gỡ" ngay — đó là phản xạ mà mọi học sinh giỏi đều có. Nhưng cẩn thận: công thức chỉ đúng khi số mũ bên trong đúng bằng 3. ³√(2²) không bằng 2, vì 2² = 4 không phải là lập phương của 2.
3. Hằng đẳng thức thứ hai: (³√a)³ = a — lập phương "gỡ" căn bậc ba
Hằng đẳng thức thứ hai là (³√a)³ = a với mọi số thực a. Đây là chiều ngược lại của hằng đẳng thức thứ nhất: lấy căn bậc ba của a trước, rồi lập phương kết quả lên — bạn lại trở về đúng a. Ví dụ: (³√5)³ = 5. Hay (³√(−4))³ = −4. Hai hằng đẳng thức này là một cặp song sinh: hằng đẳng thức thứ nhất "căn sau, lập phương trước", hằng đẳng thức thứ hai "lập phương sau, căn trước" — cả hai đều đưa bạn trở về số ban đầu.
Bạn hãy để ý: hằng đẳng thức thứ hai đúng với mọi số thực a, kể cả khi a là số âm. (³√(−8))³ = (−2)³ = −8 — mọi thứ đều khớp. Nhưng điều này lại KHÔNG đúng với căn bậc hai: (√a)² = a chỉ đúng khi a ≥ 0, vì √a đã không xác định khi a âm. Một lần nữa, căn bậc ba tỏ ra "dễ tính" hơn căn bậc hai: không có điều kiện nào đi kèm cả. Khi làm bài tập, bạn cứ mạnh dạn áp dụng (³√a)³ = a mà không cần kiểm tra dấu của a.
Hằng đẳng thức này đặc biệt hữu ích khi bạn cần "khử" căn bậc ba trong một phương trình hoặc một biểu thức. Ví dụ, phương trình ³√x = 2: bạn lập phương cả hai vế, vế trái trở thành (³√x)³ = x, vế phải là 2³ = 8, vậy x = 8. Hay biểu thức (³√7)³ + (³√2)³: bạn viết ngay thành 7 + 2 = 9. Không cần máy tính, không cần tính gần đúng — chỉ một dòng là xong. Nếu muốn ôn lại cách tính lũy thừa, bạn hãy xem lại bài lũy thừa với số mũ tự nhiên của số hữu tỉ.
4. Hằng đẳng thức thứ ba: ³√(−a) = −³√a — dấu âm "đi xuyên qua" căn bậc ba
Hằng đẳng thức thứ ba là ³√(−a) = −³√a với mọi số thực a. Công thức này nói rằng dấu trừ có thể "đi xuyên qua" dấu căn bậc ba: căn bậc ba của một số âm bằng số đối của căn bậc ba của số dương tương ứng. Ví dụ: ³√(−27) = −³√27 = −3. Hay ³√(−125) = −³√125 = −5. Bạn hãy hình dung dấu trừ như một vị khách được phép đi qua cánh cửa căn bậc ba mà không bị chặn lại — ra ngoài hay vào trong đều được, vị trí không quan trọng.
Vì sao dấu trừ đi xuyên qua được? Vì phép lập phương giữ nguyên dấu: (−x)³ = −x³. Đặt x = ³√a thì x³ = a, suy ra (−x)³ = −a, tức là −x chính là căn bậc ba của −a. Vậy ³√(−a) = −x = −³√a. Chứng minh này chỉ dùng định nghĩa căn bậc ba, rất ngắn gọn — và bạn hoàn toàn có thể tự chứng minh lại được. Đây cũng là lí do vì sao hằng đẳng thức này KHÔNG có ở căn bậc hai: √(−a) không xác định khi a > 0, nên dấu trừ không thể "đi xuyên qua" dấu căn bậc hai được. Nếu bạn viết √(−9) = −√9 thì đó là sai hoàn toàn, vì vế trái không tồn tại còn vế phải bằng −3.
Trong thực hành, hằng đẳng thức này giúp bạn tính căn bậc ba của số âm bằng cách tính căn bậc ba của số dương tương ứng rồi thêm dấu trừ. Gặp ³√(−64), bạn nghĩ ngay: ³√64 = 4, vậy đáp án là −4. Gặp ³√(−1000), đáp án là −10. Gặp ³√(−0,125), bạn tính ³√0,125 = 0,5 rồi thêm dấu trừ: −0,5. Bạn hãy tập phản xạ này: thấy số âm trong căn bậc ba thì "đẩy" dấu trừ ra ngoài ngay, làm việc với số dương cho dễ, rồi trả dấu trừ lại vào cuối.
5. Ba hằng đẳng thức nhìn chung một bức tranh
Ba hằng đẳng thức của bài này có thể tóm tắt trong một bảng duy nhất. Bạn hãy học thuộc bảng này như học bảng cửu chương, vì nó sẽ theo bạn suốt chương trình lớp 9 và cả khi ôn thi vào lớp 10.
| Hằng đẳng thức | Công thức | Điều kiện | Ví dụ |
|---|---|---|---|
| Căn của lập phương | ³√(a³) = a | Mọi số thực a | ³√((−2)³) = −2 |
| Lập phương của căn | (³√a)³ = a | Mọi số thực a | (³√5)³ = 5 |
| Dấu âm qua căn | ³√(−a) = −³√a | Mọi số thực a | ³√(−27) = −3 |
Bạn hãy chú ý cột "Điều kiện": cả ba hằng đẳng thức đều đúng với MỌI số thực a, không có ngoại lệ nào. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với các hằng đẳng thức của căn bậc hai, vốn luôn đi kèm điều kiện a ≥ 0 hoặc dấu giá trị tuyệt đối. Khi làm bài kiểm tra, nếu đề hỏi "hằng đẳng thức nào sau đây đúng với mọi a?" thì đáp án thường là một trong ba công thức này. Và nếu đề hỏi "khẳng định nào sau đây sai?" thì bạn hãy cảnh giác với những khẳng định "mượn" quy tắc của căn bậc hai sang căn bậc ba — ví dụ ³√(a³) = |a| là sai, vì căn bậc ba giữ nguyên dấu, không cần giá trị tuyệt đối.
Một cách nhớ ba hằng đẳng thức này rất dễ: bạn hãy tưởng tượng căn bậc ba và phép lập phương là một cặp "đi và về" — đi rồi về thì trở lại chỗ cũ. ³√(a³) là đi (lập phương) rồi về (căn bậc ba). (³√a)³ là về (căn bậc ba) rồi đi (lập phương). Cả hai đều về đúng a. Còn dấu trừ thì "đi ké" qua cửa căn bậc ba một cách tự do. Ba ý đó là toàn bộ bài học. Phần còn lại của bài viết này là luyện tập để ba ý đó trở thành phản xạ của bạn.
6. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1 (cơ bản): Tính ³√((-2)³) và (³√5)³.
Đây là ví dụ gốc của bài. Với ³√((−2)³), bạn áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất: căn bậc ba "gỡ" phép lập phương, kết quả là −2.
Với (³√5)³, bạn áp dụng hằng đẳng thức thứ hai: lập phương "gỡ" căn bậc ba, kết quả là 5.
Vậy ³√((−2)³) = −2 và (³√5)³ = 5. Bạn thấy không, cả hai phép tính đều chỉ cần một dòng, không cần tính (−2)³ = −8 rồi mới tìm căn.
Ví dụ 2 (số âm): Tính ³√(−64) và ³√(−0,001).
Với ³√(−64), bạn dùng hằng đẳng thức thứ ba: đẩy dấu trừ ra ngoài, ³√(−64) = −³√64.
Vì 4³ = 64 nên ³√64 = 4, vậy ³√(−64) = −4.
Với ³√(−0,001), bạn làm tương tự: ³√(−0,001) = −³√0,001. Vì 0,1³ = 0,001 nên ³√0,001 = 0,1, vậy ³√(−0,001) = −0,1.
Bạn hãy kiểm tra lại: (−0,1)³ = −0,001 — đúng.
Ví dụ 3 (rút gọn biểu thức): Rút gọn ³√(27x³) + (³√(8))³.
Với ³√(27x³), bạn tách 27x³ = 3³ × x³ = (3x)³, rồi áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất: ³√((3x)³) = 3x.
Với (³√8)³, bạn áp dụng hằng đẳng thức thứ hai: kết quả là 8.
Vậy biểu thức bằng 3x + 8. Bạn hãy chú ý bước tách 27x³ thành (3x)³ — đó là kĩ năng quan trọng nhất khi rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba: đưa về dạng lập phương của một biểu thức rồi "gỡ" căn.
Ví dụ 4 (giải phương trình): Giải phương trình ³√(x + 1) = 3.
Bạn lập phương cả hai vế để khử căn bậc ba. Vế trái: (³√(x + 1))³ = x + 1 theo hằng đẳng thức thứ hai.
Vế phải: 3³ = 27. Vậy x + 1 = 27, suy ra x = 26.
Thử lại: ³√(26 + 1) = ³√27 = 3 — đúng. Bạn hãy chú ý: với phương trình chứa căn bậc ba, bạn KHÔNG cần đặt điều kiện gì thêm, vì căn bậc ba xác định với mọi số thực. Điều này khác hẳn phương trình chứa căn bậc hai, nơi bạn phải đặt điều kiện biểu thức trong căn không âm. Khi cần kiểm tra lại phép lập phương, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
7. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Viết ³√(a³) = |a| như căn bậc hai.
Nhiều bạn học thuộc √(a²) = |a| rồi áp dụng máy móc sang căn bậc ba, viết ³√((−5)³) = |−5| = 5. Nhưng đáp án đúng là −5, vì lập phương giữ nguyên dấu âm. Cách tránh: bạn hãy nhớ câu thần chú "căn bậc ba giữ dấu, căn bậc hai mất dấu" — mỗi lần thấy ³√(…³), bạn viết ngay số bên trong ra, giữ nguyên dấu của nó.
Lỗi 2: Cho rằng căn bậc ba của số âm không tồn tại.
Nhiều bạn quen với điều kiện a ≥ 0 của căn bậc hai nên kết luận ³√(−8) không tồn tại. Nhưng căn bậc ba xác định với mọi số thực, ³√(−8) = −2 hoàn toàn hợp lệ. Cách tránh: khi thấy căn bậc ba của số âm, bạn đừng vội kết luận vô nghiệm — hãy đẩy dấu trừ ra ngoài và tính với số dương.
Lỗi 3: Nhầm ³√(a³) với (³√a)³ khi a là biểu thức.
Hai hằng đẳng thức này khác nhau về thứ tự phép tính, nhưng nhiều bạn dùng lẫn lộn khi a là biểu thức phức tạp, ví dụ viết (³√(x + 1))³ = ³√((x + 1)³) rồi rút gọn sai. Cách tránh: bạn hãy viết rõ từng bước — (³√(x + 1))³ nghĩa là lấy căn trước rồi lập phương sau, kết quả là x + 1; còn ³√((x + 1)³) nghĩa là lập phương trước rồi lấy căn sau, kết quả cũng là x + 1. Hai kết quả bằng nhau, nhưng bạn phải đi đúng thứ tự của từng biểu thức, đừng đổi chỗ các bước một cách tùy tiện.
Lỗi 4: Tính ³√(a + b) = ³√a + ³√b.
Nhiều bạn "phân phối" căn bậc ba qua phép cộng, viết ³√(8 + 19) = ³√8 + ³√19 = 2 + ³√19. Nhưng ³√27 = 3, trong khi 2 + ³√19 ≈ 4,67 — hoàn toàn khác nhau. Căn bậc ba không phân phối qua phép cộng hay phép trừ. Cách tránh: bạn hãy tính tổng bên trong căn trước, rồi mới lấy căn bậc ba của kết quả. Chỉ có phép nhân và phép chia mới có quy tắc tương tự (³√(ab) = ³√a × ³√b), còn phép cộng thì không.
Lỗi 5: Quên kiểm tra lại bằng phép lập phương.
Nhiều bạn tính ³√64 = 8 rồi ghi đáp án mà không kiểm tra. Nhưng 8³ = 512, không phải 64 — đáp án đúng là 4. Cách tránh: sau khi tính xong một căn bậc ba, bạn hãy lập phương kết quả lên để kiểm tra: kết quả đúng phải cho ra đúng số ban đầu. Phép kiểm tra này chỉ mất vài giây nhưng cứu được rất nhiều điểm.
8. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ xác định trước mỗi bài dùng hằng đẳng thức nào trong ba hằng đẳng thức của bài — xác định đúng công thức là một nửa của bài làm.
Câu 1: Giá trị của ³√((−5)³) bằng bao nhiêu?
A. 5
B. −5
C. 25
D. −25
Câu 2: Giá trị của (³√7)³ bằng bao nhiêu?
A. 7
B. 49
C. ³√49
D. 21
Câu 3: Giá trị của ³√(−64) bằng bao nhiêu?
A. 4
B. −4
C. 8
D. −8
Câu 4: Giá trị của ³√27 + ³√(−8) bằng bao nhiêu?
A. 1
B. 5
C. −1
D. 2
Câu 5: Khẳng định nào sau đây SAI?
A. ³√(a³) = a với mọi số thực a
B. (³√a)³ = a với mọi số thực a
C. ³√(−a) = −³√a với mọi số thực a
D. ³√(a³) = |a| với mọi số thực a
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | A | B | A | D |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (−5) đúng: Áp dụng hằng đẳng thức thứ nhất ³√(a³) = a với a = −5, kết quả là −5. Đáp án A (5) sai vì đã bỏ mất dấu âm — căn bậc ba giữ nguyên dấu, không dùng giá trị tuyệt đối như căn bậc hai. Đáp án C (25) sai vì 25 = (−5)², không liên quan gì tới phép lập phương. Đáp án D (−25) sai vì đó là −5², cũng không phải kết quả của ³√((−5)³).
Giải thích Câu 2 — Đáp án A (7) đúng: Áp dụng hằng đẳng thức thứ hai (³√a)³ = a với a = 7, kết quả là 7. Đáp án B (49) sai vì 49 = 7² — bạn đã bình phương thay vì giữ nguyên. Đáp án C (³√49) sai vì đó là căn bậc ba của 49, không phải kết quả của (³√7)³. Đáp án D (21) sai vì 21 = 7 × 3, không có cơ sở nào.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (−4) đúng: Áp dụng hằng đẳng thức thứ ba: ³√(−64) = −³√64. Vì 4³ = 64 nên ³√64 = 4, vậy kết quả là −4. Đáp án A (4) sai vì đã bỏ mất dấu âm. Đáp án C (8) sai vì 8³ = 512, không phải 64. Đáp án D (−8) sai vì (−8)³ = −512, không phải −64.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (1) đúng: ³√27 = 3 vì 3³ = 27; ³√(−8) = −2 vì (−2)³ = −8. Vậy 3 + (−2) = 1. Đáp án B (5) sai vì đã cộng 3 + 2 mà quên dấu âm của ³√(−8). Đáp án C (−1) sai vì đã tính ³√27 = −3. Đáp án D (2) sai vì đã tính ³√(−8) = −1.
Giải thích Câu 5 — Đáp án D sai: ³√(a³) = |a| là khẳng định sai — công thức đúng là ³√(a³) = a, giữ nguyên dấu của a. Ví dụ a = −5 thì ³√((−5)³) = −5, còn |−5| = 5. Đáp án A đúng vì đó là hằng đẳng thức thứ nhất. Đáp án B đúng vì đó là hằng đẳng thức thứ hai. Đáp án C đúng vì đó là hằng đẳng thức thứ ba. Ba khẳng định A, B, C đều đúng với mọi số thực a, chỉ có D là "mượn" quy tắc của căn bậc hai sang.
9. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Căn bậc ba khác căn bậc hai ở những điểm nào quan trọng nhất?
Đáp: Ba điểm. Thứ nhất, căn bậc ba xác định với mọi số thực, còn căn bậc hai chỉ xác định khi số trong căn không âm. Thứ hai, ³√(a³) = a giữ nguyên dấu, còn √(a²) = |a| phải dùng giá trị tuyệt đối. Thứ ba, dấu trừ đi xuyên qua được căn bậc ba (³√(−a) = −³√a) nhưng không đi qua được căn bậc hai. Nếu bạn nắm được ba điểm này thì bạn đã phân biệt được hai loại căn.
Hỏi: Vì sao ³√(a³) = a mà √(a²) lại bằng |a|?
Đáp: Vì phép lập phương giữ nguyên dấu còn phép bình phương thì không. (−5)³ = −125 vẫn mang dấu âm, nên căn bậc ba lấy lại được −5. Nhưng (−5)² = 25 đã mất dấu âm, nên căn bậc hai không biết số ban đầu là 5 hay −5 — nó trả về giá trị không âm |a| = 5. Mọi sự khác biệt giữa hai loại căn đều bắt nguồn từ điểm này.
Hỏi: Có cần đặt điều kiện khi giải phương trình chứa căn bậc ba không?
Đáp: Không. Căn bậc ba xác định với mọi số thực nên bạn không cần đặt điều kiện cho biểu thức trong căn. Bạn chỉ cần lập phương hai vế để khử căn rồi giải phương trình thu được. Nhưng bạn vẫn nên thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu, vì phép lập phương hai vế có thể làm xuất hiện nghiệm ngoại lai trong một số dạng phương trình phức tạp hơn.
Hỏi: ³√(a³) và (³√a)³ có khác nhau không, khi nào dùng cái nào?
Đáp: Hai biểu thức bằng nhau (cùng bằng a) nhưng thứ tự phép tính khác nhau. Bạn dùng ³√(a³) khi trong căn đã có sẵn một lập phương — ví dụ ³√(8x³). Bạn dùng (³√a)³ khi cần khử căn bậc ba bằng cách lập phương cả biểu thức — ví dụ khi giải phương trình ³√x = 2. Trong bài tập, bạn hãy nhìn vào dạng của biểu thức rồi chọn hằng đẳng thức phù hợp.
Hỏi: Học ba hằng đẳng thức này để làm gì ở các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Bạn sẽ dùng chúng để rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba, giải phương trình chứa căn bậc ba, và tính giá trị của biểu thức trong các bài toán thực tế về thể tích khối lập phương. Ở lớp 10, bạn còn gặp lại chúng khi học về hàm số và phương trình mũ. Nếu muốn ôn lại cách tính căn bậc hai — "người anh em" của căn bậc ba — bạn hãy xem lại bài tìm căn bậc hai số học của một số không âm.
10. Kết luận
Ba hằng đẳng thức căn bậc ba — ³√(a³) = a, (³√a)³ = a và ³√(−a) = −³√a — đều đúng với mọi số thực a, không có điều kiện nào đi kèm. Đó là điểm làm cho căn bậc ba "dễ tính" hơn căn bậc hai rất nhiều: không sợ số âm, không cần giá trị tuyệt đối, không cần đặt điều kiện. Bạn hãy nhớ câu thần chú "căn bậc ba giữ dấu, căn bậc hai mất dấu" và tập phản xạ "gỡ" căn mỗi khi thấy dạng ³√(…³) hoặc (³√…)³. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xử lí mọi biểu thức chứa căn bậc ba trong chương trình lớp 9 — và bạn cũng đã có trong tay một công cụ để hiểu vì sao cạnh của khối lập phương thể tích 27 cm³ lại dài đúng 3 cm, không hơn không kém.