Lấy một tờ giấy và gấp đôi nó lại. Gấp lần một, bạn có 2 lớp giấy. Gấp lần hai, 4 lớp. Gấp lần ba, 8 lớp. Gấp lần bốn, 16 lớp. Số lớp giấy tăng theo dãy 2, 4, 8, 16, 32, 64... — mỗi lần gấp, số lớp lại nhân đôi. Viết dãy này ra thì dài dòng, nhưng toán học có một cách viết gọn hơn nhiều: 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, 2⁴ = 16. Chỉ một con số nhỏ viết ở góc trên bên phải — gọi là số mũ — đã gói gọn cả một phép nhân lặp lại nhiều lần. Đó chính là lũy thừa, và trong chương trình Toán 7, bạn sẽ học lũy thừa của một số hữu tỉ với số mũ tự nhiên.
Trong sách giáo khoa Toán 7 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", Bài 3 của Chương I dạy về lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ, cùng bốn quy tắc biến đổi lũy thừa: nhân hai lũy thừa cùng cơ số, chia hai lũy thừa cùng cơ số, lũy thừa của lũy thừa, và lũy thừa của một tích, một thương. Bốn quy tắc này là "bộ đồ nghề" để bạn viết gọn và tính nhanh mọi biểu thức có lũy thừa — không chỉ trong bài kiểm tra lớp 7 mà cả trong những bài toán về lãi kép, vi khuẩn sinh sôi hay dân số tăng trưởng sau này. Khác với lũy thừa với số mũ tự nhiên của số tự nhiên mà bạn học ở lớp 6, giờ đây cơ số có thể là phân số, số thập phân, thậm chí là số âm — và chính dấu âm mới là nơi nhiều bạn mất điểm nhất.
1. Lũy thừa là gì? Cơ số, số mũ và hai quy ước không được quên
Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu là x^n, là tích của n thừa số x, với n là số tự nhiên lớn hơn 1: x^n = x · x · ... · x (n thừa số). Trong đó x gọi là cơ số, n gọi là số mũ. Ví dụ (1/2)³ = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8; (−2/3)² = (−2/3) · (−2/3) = 4/9. Bạn thấy ngay hai điều: thứ nhất, lũy thừa chỉ là phép nhân lặp lại viết gọn; thứ hai, khi cơ số là số âm thì dấu của kết quả phụ thuộc vào số mũ — mũ chẵn cho kết quả dương, mũ lẻ cho kết quả âm. (−2/3)² = 4/9 nhưng (−2/3)³ = −8/27. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với lũy thừa của số tự nhiên, và cũng là "cái bẫy" phổ biến nhất trong bài kiểm tra.
Có hai quy ước bạn phải thuộc lòng. Thứ nhất: x¹ = x — lũy thừa bậc 1 của một số chính là số đó. Thứ hai: x⁰ = 1 với x khác 0 — bất kì số nào khác 0 mũ 0 cũng bằng 1. Vì sao lại thế? Hãy nhìn dãy 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2: mỗi lần giảm số mũ đi 1 thì kết quả chia cho 2. Giảm tiếp một nấc nữa, 2⁰ phải bằng 2 : 2 = 1. Quy ước này giúp các quy tắc lũy thừa luôn đúng ngay cả khi số mũ bằng 0. Nhưng nhớ: 0⁰ không xác định — đừng bao giờ viết 0⁰ trong bài làm. Và khi cơ số là phân số âm, bạn bắt buộc phải viết nó trong dấu ngoặc: (−2/3)² = 4/9, còn −2/3² (không có ngoặc) lại được hiểu là −(2/3)² = −4/9. Hai cách viết chỉ khác một cặp ngoặc mà kết quả trái dấu nhau — cẩn thận với ngoặc là đã tránh được một nửa số lỗi của bài này.
2. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: giữ nguyên cơ số, cộng hai số mũ
Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, bạn giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ lại: x^m · x^n = x^(m+n). Vì sao? Hãy viết ra: (1/2)³ · (1/2)² = (1/2 · 1/2 · 1/2) · (1/2 · 1/2) — đếm lại có tất cả 5 thừa số 1/2, tức là (1/2)⁵ = 1/32. Ngắn gọn: 3 + 2 = 5. Quy tắc này đúng với mọi cơ số hữu tỉ x và mọi số mũ tự nhiên m, n. Ví dụ trong brief: (1/2)³ · (1/2)² = (1/2)⁵ = 1/32. Một ví dụ nữa với cơ số âm: (−3/4)² · (−3/4)³ = (−3/4)⁵ = −243/1024. Bạn không cần tính 243/1024 bằng tay trong bài kiểm tra — chỉ cần viết gọn thành (−3/4)⁵ là đã xong phần "viết dưới dạng một lũy thừa".
Quy tắc này còn giúp bạn tính nhanh những biểu thức trông rất "đáng sợ". Ví dụ 2⁵ · 2³ · 2²: ba lũy thừa cùng cơ số 2, cộng số mũ: 5 + 3 + 2 = 10, kết quả là 2¹⁰ = 1024. Nếu nhân thẳng từng số — 32 × 8 × 4 — bạn cũng ra 1024, nhưng chậm hơn và dễ nhầm hơn. Mẹo nhận diện: chỉ cộng số mũ khi HAI LŨY THỪA CÓ CÙNG CƠ SỐ. (2/3)² · (3/4)² không cộng được số mũ vì cơ số khác nhau — trường hợp này phải dùng quy tắc lũy thừa của một tích ở mục 5. Và tuyệt đối không được nhân hai số mũ với nhau khi nhân lũy thừa cùng cơ số: x² · x³ = x⁵ chứ không phải x⁶. Lỗi này xuất hiện trong gần như mọi bài kiểm tra, vì học sinh nhầm với quy tắc lũy thừa của lũy thừa ở mục 4.
3. Chia hai lũy thừa cùng cơ số: giữ nguyên cơ số, trừ hai số mũ
Chia hai lũy thừa cùng cơ số thì ngược lại: giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ đi số mũ của lũy thừa chia: x^m : x^n = x^(m−n), với x khác 0 và m ≥ n. Ví dụ (2/3)⁴ : (2/3)² = (2/3)² = 4/9. Kiểm tra bằng cách viết ra: (2/3)⁴ = 16/81, (2/3)² = 4/9, lấy 16/81 : 4/9 = 16/81 · 9/4 = 144/324 = 4/9 — khớp. Quy tắc này cũng giải thích vì sao x⁰ = 1: lấy x³ : x³ = x⁰, mà một số chia cho chính nó (khác 0) thì bằng 1, nên x⁰ = 1.
Điều kiện kèm theo rất quan trọng: cơ số x phải khác 0 (vì không chia cho 0 được), và số mũ m phải lớn hơn hoặc bằng n. Nếu m nhỏ hơn n thì sao? Trong chương trình lớp 7, bạn chỉ làm việc với số mũ tự nhiên nên trường hợp m nhỏ hơn n sẽ cho số mũ âm — ví dụ 2² : 2⁵ = 2^(−3) — và số mũ âm chưa được học ở lớp 7, nên đề bài sẽ không ra dạng đó. Khi gặp phép chia mà hai lũy thừa cùng cơ số, bạn chỉ việc trừ số mũ — nhưng nhớ kiểm tra điều kiện m ≥ n trước. Một ứng dụng hay của quy tắc này là rút gọn phân số có lũy thừa: (3/5)⁶ : (3/5)⁴ = (3/5)² = 9/25, gọn hơn nhiều so với việc tính 729/15625 : 81/625.
4. Lũy thừa của lũy thừa, của tích và của thương: nhân số mũ, tách cơ số
Ba quy tắc còn lại đều có chung một "tinh thần": khi lũy thừa gặp lũy thừa thì nhân hai số mũ; khi lũy thừa gặp tích hay thương thì tách ra từng thừa số. Thứ nhất, lũy thừa của lũy thừa: (x^m)^n = x^(m·n) — giữ nguyên cơ số, nhân hai số mũ. Ví dụ [(1/2)²]³ = (1/2)⁶ = 1/64. Phân biệt thật kĩ với mục 2: nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì CỘNG số mũ, còn lũy thừa của một lũy thừa thì NHÂN số mũ. Mẹo nhớ: "nhân lũy thừa thì cộng, lũy thừa của lũy thừa thì nhân". Thứ hai, lũy thừa của một tích: (x · y)^n = x^n · y^n — lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa. Ví dụ (2/3 · 3/4)² = (2/3)² · (3/4)² = 4/9 · 9/16 = 36/144 = 1/4. Tính trực tiếp cũng vậy: 2/3 · 3/4 = 1/2, (1/2)² = 1/4 — hai cách cùng đáp số, bạn chọn cách nào tiện hơn.
Thứ ba, lũy thừa của một thương: (x/y)^n = x^n/y^n với y khác 0 — lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa. Ví dụ (3/5)² = 3²/5² = 9/25. Quy tắc này cho bạn một cách tính lũy thừa của phân số rất nhanh: bình phương tử số và mẫu số riêng. (2/7)³ = 8/343 — chỉ một dòng là xong. Cả ba quy tắc này đều có chiều ngược lại rất hữu ích: x^n · y^n = (x · y)^n giúp bạn gom hai lũy thừa cùng số mũ về một cơ số duy nhất. Ví dụ (2/5)³ · (5/2)³ = (2/5 · 5/2)³ = 1³ = 1. Bài toán trông dài ngoằng bỗng chỉ còn một dòng — đó chính là niềm vui của người nắm vững quy tắc lũy thừa.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính (−2/3)² và (−2/3)³, rồi nhận xét về dấu.
Lời giải: (−2/3)² = (−2/3) · (−2/3) = 4/9 — số mũ chẵn nên kết quả dương. (−2/3)³ = (−2/3) · (−2/3) · (−2/3) = −8/27 — số mũ lẻ nên kết quả âm. Nhận xét: lũy thừa bậc chẵn của một số âm là số dương, lũy thừa bậc lẻ của một số âm là số âm. Nếu cơ số dương thì lũy thừa luôn dương dù số mũ chẵn hay lẻ.
Ví dụ 2. Viết gọn (1/2)³ · (1/2)² rồi tính giá trị.
Lời giải: Hai lũy thừa cùng cơ số 1/2, nhân thì cộng số mũ: (1/2)³ · (1/2)² = (1/2)⁵. Tính giá trị: (1/2)⁵ = 1/32. Vậy kết quả là 1/32. Kiểm tra: (1/2)³ = 1/8, (1/2)² = 1/4, 1/8 · 1/4 = 1/32 — khớp.
Ví dụ 3. Tính (2/3)⁴ : (2/3)².
Lời giải: Hai lũy thừa cùng cơ số 2/3, chia thì trừ số mũ: (2/3)⁴ : (2/3)² = (2/3)² = 4/9. Điều kiện thỏa mãn: cơ số 2/3 khác 0 và 4 ≥ 2. Vậy kết quả là 4/9.
Ví dụ 4. Tính (2/3 · 3/4)² bằng hai cách.
Lời giải: Cách 1 — tính trong ngoặc trước: 2/3 · 3/4 = 6/12 = 1/2, rồi (1/2)² = 1/4. Cách 2 — lũy thừa của một tích: (2/3)² · (3/4)² = 4/9 · 9/16 = 36/144 = 1/4. Hai cách cùng ra 1/4, chứng tỏ quy tắc (x · y)^n = x^n · y^n đúng.
6. Lỗi sai thường gặp
Lỗi thứ nhất: quên ngoặc khi bình phương số âm. Viết −(2/3)² = −4/9 rồi tưởng đó là (−2/3)² là sai; đáp án đúng của (−2/3)² là 4/9. Không có ngoặc, dấu trừ đứng ngoài lũy thừa, nên −2/3² nghĩa là −(2/3)² = −4/9. Luôn viết cơ số âm trong ngoặc.
Lỗi thứ hai: nhân hai lũy thừa cùng cơ số mà nhân hai số mũ. Ví dụ (1/2)² · (1/2)³ = (1/2)⁶ là sai; đáp án đúng là (1/2)⁵ vì nhân thì cộng số mũ: 2 + 3 = 5. Chỉ khi tính lũy thừa của lũy thừa mới nhân số mũ.
Lỗi thứ ba: chia hai lũy thừa cùng cơ số mà chia hai số mũ. Ví dụ (2/3)⁵ : (2/3)² = (2/3)^(5:2) là sai hoàn toàn; đáp án đúng là (2/3)³ vì chia thì trừ số mũ: 5 − 2 = 3.
Lỗi thứ tư: lũy thừa của lũy thừa mà cộng số mũ. Ví dụ [(1/2)²]³ = (1/2)⁵ là sai; đáp án đúng là (1/2)⁶ vì lũy thừa của lũy thừa thì nhân số mũ: 2 × 3 = 6. Đây là "cặp lỗi song sinh" với lỗi thứ hai: nhân lũy thừa thì cộng, lũy thừa của lũy thừa thì nhân — đừng để hai quy tắc này đánh lộn nhau trong đầu.
Lỗi thứ năm: tưởng x⁰ = 0. Ví dụ (3/4)⁰ = 0 là sai; đáp án đúng là 1 với mọi cơ số khác 0. Và 0⁰ không xác định — nếu đề bài cho 0⁰ thì đó là một phép tính vô nghĩa, không có đáp số.
7. Bài tập tự luyện
Câu 1. Tính (−1/2)³.
A. 1/8
B. −1/8
C. −3/2
D. −1/6
Câu 2. Viết gọn (2/3)² · (2/3)³ dưới dạng một lũy thừa.
A. (2/3)⁶
B. (2/3)⁵
C. (4/9)⁵
D. (4/3)⁵
Câu 3. Tính (5/7)⁴ : (5/7)².
A. (5/7)⁶
B. 1
C. (5/7)⁸
D. (5/7)²
Câu 4. Tính [(1/2)²]³.
A. (1/2)⁶
B. (1/2)⁵
C. (1/2)⁸
D. 1/8
Câu 5. Tính (3/4 · 2/3)².
A. 1/2
B. 6/12
C. 1/4
D. 1/8
8. Bảng đáp án và lời giải chi tiết
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | B | D | A | C |
Câu 1 — Đáp án B. (−1/2)³ = (−1/2) · (−1/2) · (−1/2) = −1/8. Số mũ 3 là lẻ nên kết quả âm. Đáp án A sai vì quên dấu âm (đó là kết quả của (1/2)³). Đáp án C sai vì lấy −1/2 × 3 = −3/2 — nhầm lũy thừa với phép nhân. Đáp án D sai vì lấy (−1/2) · 3 rồi chia cho 9 một cách vô căn cứ.
Câu 2 — Đáp án B. Hai lũy thừa cùng cơ số 2/3, nhân thì cộng số mũ: 2 + 3 = 5, kết quả là (2/3)⁵. Đáp án A sai vì nhân hai số mũ 2 × 3 = 6 — đó là cách tính của lũy thừa của lũy thừa, không phải nhân hai lũy thừa. Đáp án C sai vì nhân cả cơ số: (2/3)² · (2/3)³ không bằng (4/9)⁵. Đáp án D sai vì cộng cả tử số với nhau: (2/3)² · (2/3)³ không bằng (4/3)⁵ — cơ số khi nhân lũy thừa cùng cơ số phải giữ nguyên.
Câu 3 — Đáp án D. Hai lũy thừa cùng cơ số 5/7, chia thì trừ số mũ: 4 − 2 = 2, kết quả là (5/7)². Đáp án A sai vì cộng số mũ khi chia. Đáp án B sai vì tưởng hai lũy thừa chia nhau thì bằng 1 — chỉ đúng khi hai lũy thừa bằng nhau, tức là số mũ bằng nhau. Đáp án C sai vì nhân hai số mũ 4 × 2 = 8.
Câu 4 — Đáp án A. Lũy thừa của lũy thừa thì nhân hai số mũ: 2 × 3 = 6, kết quả là (1/2)⁶ = 1/64. Đáp án B sai vì cộng số mũ 2 + 3 = 5 — đó là cách tính của nhân hai lũy thừa cùng cơ số. Đáp án C sai vì lấy 2³ = 8 làm số mũ. Đáp án D sai vì (1/2)³ = 1/8, nhưng ở đây số mũ phải là 6 chứ không phải 3.
Câu 5 — Đáp án C. Tính trong ngoặc trước: 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2, rồi (1/2)² = 1/4. Cách khác: lũy thừa của một tích: (3/4)² · (2/3)² = 9/16 · 4/9 = 36/144 = 1/4. Đáp án A sai vì lấy 1/2 — đó mới là kết quả trong ngoặc, chưa bình phương. Đáp án B sai vì 6/12 cũng chỉ là tích trong ngoặc chưa rút gọn, chưa bình phương. Đáp án D sai vì lấy (1/2)³ = 1/8 — nhầm số mũ 2 thành 3.
9. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: (−2)² và −2² có khác nhau không?
Đáp: Khác nhau hoàn toàn. (−2)² = 4 vì cơ số là −2, bình phương lên ra dương. Còn −2² = −(2²) = −4 vì không có ngoặc, dấu trừ đứng ngoài lũy thừa. Trong bài kiểm tra, chỉ một cặp ngoặc cũng đổi đáp số — hãy viết ngoặc thật cẩn thận.
Hỏi: Nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì cộng số mũ, còn nhân hai lũy thừa khác cơ số thì sao?
Đáp: Không có quy tắc gọn cho trường hợp khác cơ số — bạn phải tính giá trị từng lũy thừa rồi nhân lại. Trừ khi hai lũy thừa có cùng SỐ MŨ thì dùng quy tắc lũy thừa của một tích ngược: x^n · y^n = (x · y)^n. Ví dụ (2/5)³ · (5/2)³ = (2/5 · 5/2)³ = 1³ = 1.
Hỏi: x⁰ bằng 1 có đúng khi x = 0 không?
Đáp: Không. Quy ước x⁰ = 1 chỉ đúng khi x khác 0. Còn 0⁰ không xác định — toán học không định nghĩa nó, và bạn sẽ không bao giờ gặp 0⁰ trong đề bài lớp 7.
Hỏi: Làm sao nhớ được khi nào cộng số mũ, khi nào nhân số mũ?
Đáp: Nhớ bằng câu: "nhân lũy thừa thì cộng, lũy thừa của lũy thừa thì nhân". Nhân hai lũy thừa x^m · x^n là phép NHÂN giữa hai lũy thừa nên cộng số mũ. Còn (x^m)^n là một lũy thừa "lồng" trong một lũy thừa khác nên nhân số mũ. Viết thử ra dạng tích dài một lần, bạn sẽ thấy ngay vì sao lại thế.
Hỏi: Lũy thừa có dùng được với số thập phân không?
Đáp: Được, vì số thập phân cũng là số hữu tỉ. Ví dụ 0,5² = (1/2)² = 1/4 = 0,25; (−0,2)³ = −0,008. Mẹo: đổi số thập phân về phân số rồi tính lũy thừa sẽ chính xác hơn là nhân số thập phân trực tiếp.
10. Kết luận
Lũy thừa là cách viết gọn của phép nhân lặp lại, và bốn quy tắc biến đổi lũy thừa là chìa khóa để bạn xử lý mọi biểu thức có lũy thừa: nhân cùng cơ số thì cộng số mũ, chia cùng cơ số thì trừ số mũ, lũy thừa của lũy thừa thì nhân số mũ, lũy thừa của tích hay thương thì tách ra từng thừa số. Hai cái bẫy lớn nhất của bài này là dấu của cơ số âm — mũ chẵn ra dương, mũ lẻ ra âm — và cặp ngoặc quanh cơ số âm. Hãy làm lại 5 bài tập ở trên, đặc biệt chú ý câu 2 và câu 4 vì chúng kiểm tra đúng chỗ dễ nhầm nhất: cộng số mũ hay nhân số mũ. Khi đã thành thạo, bạn sẽ thấy lũy thừa xuất hiện khắp nơi: từ nhân chia hai lũy thừa cùng cơ số ở lớp 6 đến bài toán lãi kép và cấp số nhân sau này. Và nếu muốn kiểm tra nhanh một lũy thừa dài, bạn luôn có thể nhờ đến máy tính Casio online trên ClassOn. Bài tiếp theo, chúng ta sẽ đi tìm "ngược lại" của phép bình phương: căn bậc hai số học.