Bạn hãy tưởng tượng hai chiếc bánh xe đạp đặt cạnh nhau: nếu chúng chạm nhau đúng một điểm thì hai bánh xe "tiếp xúc ngoài"; nếu một bánh xe nhỏ nằm gọn trong một bánh xe lớn và chạm vào vành trong của nó thì đó là "tiếp xúc trong"; còn nếu hai bánh xe cắt nhau tại hai điểm thì chúng đang "cắt nhau". Tất cả những vị trí này — ngoài nhau, tiếp xúc ngoài, cắt nhau, tiếp xúc trong, đựng nhau — đều được quyết định bởi một con số duy nhất: khoảng cách giữa hai tâm, so với tổng và hiệu của hai bán kính. Bài viết này sẽ chỉ cho bạn cách đọc vị trí tương đối của hai đường tròn chỉ từ ba con số R, r và OO'.
Trong chương trình Toán 9 bộ "Kết nối tri thức với cuộc sống", liên hệ giữa đường nối tâm của hai đường tròn nằm trong Chương V: Đường tròn, ở Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn. Đây là bài học khép lại chương đường tròn: sau khi học vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn ở Bài 16, bạn sẽ học vị trí tương đối của hai đường tròn với nhau — và chìa khóa của cả hai bài đều là so sánh một khoảng cách với bán kính. Học xong bài này, bạn đã nắm được toàn bộ chương V và đủ sức giải mọi bài toán về hai đường tròn trong đề thi.
1. Năm vị trí tương đối của hai đường tròn và điều kiện của OO'
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) với R lớn hơn hoặc bằng r, đặt d bằng OO' là khoảng cách giữa hai tâm. Có đúng năm vị trí tương đối, xếp theo thứ tự d giảm dần từ lớn tới nhỏ. Thứ nhất, hai đường tròn ngoài nhau khi d lớn hơn R cộng r — hai đường tròn tách rời hoàn toàn, không có điểm chung nào. Thứ hai, hai đường tròn tiếp xúc ngoài khi d bằng R cộng r — hai đường tròn chạm nhau đúng một điểm, điểm đó nằm trên đoạn thẳng nối hai tâm. Thứ ba, hai đường tròn cắt nhau khi hiệu R trừ r nhỏ hơn d và d nhỏ hơn R cộng r — hai đường tròn có đúng hai điểm chung. Thứ tư, hai đường tròn tiếp xúc trong khi d bằng hiệu R trừ r — đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn và chạm vào vành trong của nó đúng một điểm. Thứ năm, hai đường tròn đựng nhau khi d nhỏ hơn hiệu R trừ r — đường tròn nhỏ nằm gọn trong đường tròn lớn mà không chạm vào đâu cả.
Bạn hãy nhớ năm vị trí này theo một "thang đo" duy nhất: d so với R cộng r và R trừ r. Khi d còn lớn hơn R cộng r thì hai đường tròn ở ngoài nhau; d giảm xuống đúng bằng R cộng r thì chạm nhau ngoài; d giảm tiếp vào khoảng giữa R trừ r và R cộng r thì cắt nhau; d giảm xuống đúng bằng R trừ r thì chạm nhau trong; d nhỏ hơn R trừ r thì đường tròn nhỏ chui hẳn vào trong đường tròn lớn. Mốc R cộng r và mốc R trừ r là hai "cột mốc" chia thang đo thành ba vùng: ngoài nhau, cắt nhau, đựng nhau — và hai mốc đó chính là hai trường hợp tiếp xúc. Bạn chỉ cần nhớ hai mốc này là suy ra được cả năm vị trí.
Có hai trường hợp đặc biệt của vị trí đựng nhau bạn nên biết. Thứ nhất, khi d bằng 0, tức là O trùng với O', hai đường tròn đồng tâm — chúng có cùng tâm nhưng bán kính khác nhau, giống như hình ảnh cái đích bắn cung với nhiều vòng tròn đồng tâm. Thứ hai, khi d bằng 0 và R bằng r, hai đường tròn trùng nhau hoàn toàn — mọi điểm của đường tròn này đều là điểm của đường tròn kia. Hai trường hợp này rất ít xuất hiện trong bài tập trắc nghiệm, nhưng bạn nên biết để không bỡ ngỡ khi gặp trong bài toán chứng minh.
2. Ví dụ gốc: R bằng 5, r bằng 3, OO' bằng 8 thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài
Hãy bắt đầu với ví dụ gốc của bài này. Cho hai đường tròn (O; R) với R bằng 5 và (O'; r) với r bằng 3, khoảng cách giữa hai tâm OO' bằng 8. Hỏi hai đường tròn ở vị trí tương đối nào? Bạn tính tổng hai bán kính: R cộng r bằng 5 cộng 3 bằng 8. So sánh với OO': OO' bằng 8, đúng bằng R cộng r. Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài — chúng chạm nhau đúng một điểm, điểm đó nằm trên đoạn thẳng OO' và chia đoạn OO' thành hai phần 5 và 3. Chỉ hai phép tính cộng và so sánh — đó là toàn bộ "kĩ thuật" của bài này.
Từ ví dụ này, bạn có thể suy ra ngay các trường hợp lân cận: nếu OO' lớn hơn 8, chẳng hạn bằng 10, thì hai đường tròn ngoài nhau; nếu OO' nhỏ hơn 8 nhưng lớn hơn hiệu R trừ r bằng 2, chẳng hạn bằng 6, thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm; nếu OO' đúng bằng 2 thì hai đường tròn tiếp xúc trong; nếu OO' nhỏ hơn 2, chẳng hạn bằng 1, thì đường tròn nhỏ đựng trong đường tròn lớn. Bạn thấy không — chỉ với một cặp bán kính 5 và 3, bạn đã có thể trả lời mọi câu hỏi về vị trí tương đối chỉ bằng cách so sánh OO' với hai mốc 8 và 2. Đó là cách các bài toán trong sách giáo khoa thường được ra: cho một cặp bán kính cố định, thay đổi OO' rồi hỏi vị trí.
Ví dụ này cũng cho thấy vì sao tiếp xúc ngoài lại là trường hợp hay gặp nhất trong thực tế: hai bánh xe, hai đồng xu đặt cạnh nhau, hai quả bóng chạm nhau — tất cả đều là tiếp xúc ngoài, vì hai vật tròn đặt cạnh nhau thì khoảng cách giữa hai tâm luôn bằng tổng hai bán kính. Trong kĩ thuật, các bánh răng ăn khớp với nhau cũng hoạt động theo nguyên tắc tiếp xúc ngoài: khoảng cách giữa hai trục bánh răng bằng tổng hai bán kính vòng chia của chúng. Hiểu được điều này, bạn sẽ thấy công thức OO' bằng R cộng r không chỉ là một dòng trong sách giáo khoa mà là một quy luật của thế giới xung quanh.
3. Cách xác định vị trí tương đối trong ba bước — và bẫy hay gặp nhất
Muốn xác định vị trí tương đối của hai đường tròn, bạn chỉ cần làm đúng ba bước. Bước một: xác định R là bán kính lớn, r là bán kính nhỏ — nếu đề bài cho hai bán kính mà không nói rõ cái nào lớn hơn thì bạn hãy tự sắp xếp R lớn hơn hoặc bằng r, vì mọi công thức đều viết theo quy ước này. Bước hai: tính hai mốc R cộng r và hiệu R trừ r. Bước ba: so sánh d bằng OO' với hai mốc đó rồi kết luận theo bảng năm vị trí. Ba bước này đơn giản tới mức bạn có thể làm nhẩm trong đầu — và đó cũng chính là lí do đề thi hay ra dạng bài này: nó kiểm tra xem bạn có nhớ đúng hai mốc và so sánh đúng chiều hay không.
Bẫy hay gặp nhất trong dạng bài này là nhầm lẫn giữa tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong. Nhiều bạn thấy OO' bằng hiệu hai bán kính thì kết luận "tiếp xúc ngoài", hoặc thấy OO' bằng tổng hai bán kính thì kết luận "tiếp xúc trong". Cách tránh: bạn hãy nhớ theo hình ảnh — tiếp xúc ngoài là hai đường tròn chạm nhau từ bên ngoài (như hai quả bóng đặt cạnh nhau), khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính vì hai bán kính nằm nối tiếp nhau trên đoạn OO'; tiếp xúc trong là đường tròn nhỏ chạm vành trong của đường tròn lớn (như một đồng xu nằm trong một cái bát tròn), khoảng cách hai tâm bằng hiệu hai bán kính vì bán kính nhỏ "nằm trong" bán kính lớn. Vẽ hình minh họa trong đầu mỗi lần làm bài — chỉ mất vài giây mà tránh được lỗi mất điểm oan.
Một bẫy khác là quên sắp xếp R lớn hơn r trước khi tính hiệu. Nếu đề bài cho đường tròn (O) bán kính 3 và đường tròn (O') bán kính 5 mà bạn lấy R bằng 3, r bằng 5 thì hiệu R trừ r bằng âm 2 — một con số vô nghĩa, vì khoảng cách không thể so sánh với số âm. Cách tránh: bạn hãy luôn đặt R là bán kính lớn hơn, r là bán kính nhỏ hơn, và dùng hiệu R trừ r (luôn không âm) hoặc giá trị tuyệt đối của hiệu. Trong sách giáo khoa, công thức thường viết là OO' bằng trị tuyệt đối của R trừ r — dấu trị tuyệt đối chính là để nhắc bạn rằng hiệu này luôn lấy giá trị không âm.
4. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1: Hai đường tròn (O; R) với R bằng 7 và (O'; r) với r bằng 2, khoảng cách OO' bằng 4. Xác định vị trí tương đối.
Tính hai mốc: R cộng r bằng 9, hiệu R trừ r bằng 5. So sánh: OO' bằng 4 nhỏ hơn 5, tức là nhỏ hơn hiệu hai bán kính. Vậy đường tròn nhỏ đựng trong đường tròn lớn — hai đường tròn không có điểm chung nào, đường tròn (O'; 2) nằm gọn trong đường tròn (O; 7). Bạn hãy chú ý: OO' bằng 4 có nghĩa là tâm O' nằm trong đường tròn lớn (vì 4 nhỏ hơn 7), và vì bán kính nhỏ chỉ bằng 2 nên toàn bộ đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn với khoảng trống ít nhất 7 trừ (4 cộng 2) bằng 1.
Ví dụ 2: Hai đường tròn (O; R) với R bằng 6 và (O'; r) với r bằng 4, khoảng cách OO' bằng 10. Xác định vị trí tương đối.
Tính hai mốc: R cộng r bằng 10, hiệu R trừ r bằng 2. So sánh: OO' bằng 10, đúng bằng R cộng r. Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài — chúng chạm nhau đúng một điểm nằm trên đoạn thẳng OO'. Bạn hãy đối chiếu với ví dụ gốc: ở ví dụ gốc R bằng 5, r bằng 3, OO' bằng 8 cũng là tiếp xúc ngoài — hai ví dụ chỉ khác nhau ở con số, còn bản chất là một: cứ OO' bằng tổng hai bán kính thì tiếp xúc ngoài.
Ví dụ 3: Hai đường tròn (O; R) với R bằng 6 và (O'; r) với r bằng 4, khoảng cách OO' bằng 2. Xác định vị trí tương đối.
Tính hai mốc: R cộng r bằng 10, hiệu R trừ r bằng 2. So sánh: OO' bằng 2, đúng bằng hiệu R trừ r. Vậy hai đường tròn tiếp xúc trong — đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn và chạm vào vành trong của nó đúng một điểm. Bạn hãy so sánh ví dụ 2 và ví dụ 3: cùng một cặp bán kính 6 và 4, chỉ thay OO' từ 10 xuống 2 mà vị trí đổi từ tiếp xúc ngoài thành tiếp xúc trong — hai mốc 10 và 2 chính là hai "điểm chạm" ở hai đầu của thang đo.
Ví dụ 4: Hai đường tròn (O; R) với R bằng 6 và (O'; r) với r bằng 4, khoảng cách OO' bằng 6. Xác định vị trí tương đối.
Tính hai mốc: R cộng r bằng 10, hiệu R trừ r bằng 2. So sánh: OO' bằng 6 nằm giữa 2 và 10, tức là hiệu R trừ r nhỏ hơn OO' và OO' nhỏ hơn R cộng r. Vậy hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm. Ví dụ này minh họa vùng "cắt nhau" ở giữa thang đo: bất kì giá trị OO' nào nằm giữa hai mốc (không bằng hai mốc) đều cho vị trí cắt nhau. Bạn hãy nhớ: cắt nhau là vị trí "mặc định" khi OO' không bằng đúng một trong hai mốc và không nằm ngoài khoảng giữa hai mốc.
5. Những lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm tiếp xúc ngoài với tiếp xúc trong.
Nhiều bạn thấy OO' bằng hiệu hai bán kính thì kết luận "tiếp xúc ngoài", hoặc thấy OO' bằng tổng hai bán kính thì kết luận "tiếp xúc trong". Sai: tiếp xúc ngoài ứng với OO' bằng R cộng r, tiếp xúc trong ứng với OO' bằng hiệu R trừ r. Cách tránh: bạn hãy nhớ theo hình ảnh — "ngoài" là hai đường tròn chạm nhau từ bên ngoài nên khoảng cách hai tâm bằng tổng (hai bán kính cộng lại), "trong" là đường tròn nhỏ chạm vành trong của đường tròn lớn nên khoảng cách hai tâm bằng hiệu (bán kính lớn trừ bán kính nhỏ).
Lỗi 2: Quên sắp xếp R lớn hơn r trước khi tính hiệu.
Nhiều bạn lấy luôn bán kính của đường tròn (O) làm R và của đường tròn (O') làm r mà không kiểm tra cái nào lớn hơn, rồi tính hiệu ra số âm và kết luận sai. Cách tránh: bước đầu tiên của mọi bài toán về hai đường tròn là xác định R là bán kính lớn, r là bán kính nhỏ — bạn hãy viết rõ "R bằng ..., r bằng ..." ra giấy trước khi tính hai mốc. Nếu đề bài cho R nhỏ hơn r thì bạn chỉ cần đổi vai trò của hai đường tròn cho nhau.
Lỗi 3: Cho rằng hai đường tròn cắt nhau khi OO' nhỏ hơn R cộng r.
Nhiều bạn chỉ kiểm tra một bất đẳng thức OO' nhỏ hơn R cộng r rồi kết luận "cắt nhau". Sai: cắt nhau cần cả hai bất đẳng thức — OO' nhỏ hơn R cộng r và OO' lớn hơn hiệu R trừ r. Ví dụ R bằng 7, r bằng 2, OO' bằng 4: OO' nhỏ hơn R cộng r (4 nhỏ hơn 9) nhưng hai đường tròn lại đựng nhau, không cắt nhau. Cách tránh: bạn hãy luôn kiểm tra cả hai mốc — chỉ khi OO' nằm giữa hai mốc thì mới là cắt nhau.
Lỗi 4: Nhầm "đựng nhau" với "tiếp xúc trong".
Nhiều bạn thấy đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn thì kết luận ngay "tiếp xúc trong". Sai: tiếp xúc trong là trường hợp đường tròn nhỏ chạm vào vành trong (OO' đúng bằng hiệu hai bán kính), còn đựng nhau là khi đường tròn nhỏ nằm trong mà không chạm vào đâu (OO' nhỏ hơn hiệu hai bán kính). Cách tránh: bạn hãy hỏi "nó có chạm không" — chạm thì là tiếp xúc trong, không chạm thì là đựng nhau. Một từ "chạm" phân biệt hai vị trí này.
Lỗi 5: Cho rằng hai đường tròn ngoài nhau thì không có điểm chung, còn đựng nhau thì có điểm chung.
Nhiều bạn nghĩ "đựng nhau" nghĩa là hai đường tròn có điểm chung vì đường tròn nhỏ nằm trong đường tròn lớn. Sai: cả hai vị trí ngoài nhau và đựng nhau đều không có điểm chung nào — điểm chung chỉ xuất hiện khi hai đường tròn tiếp xúc (một điểm) hoặc cắt nhau (hai điểm). Cách tránh: bạn hãy nhớ số điểm chung theo vị trí — ngoài nhau: 0, tiếp xúc ngoài: 1, cắt nhau: 2, tiếp xúc trong: 1, đựng nhau: 0. Số điểm chung đi từ 0 lên 2 rồi về 0 khi d giảm dần — một quy luật đối xứng rất đẹp.
6. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ tính cả hai mốc R cộng r và hiệu R trừ r trước khi so sánh — tính đủ hai mốc thì bạn sẽ không bao giờ kết luận sai.
Câu 1: Hai đường tròn (O; 5) và (O'; 3) có khoảng cách OO' bằng 8. Hai đường tròn ở vị trí tương đối nào?
A. Ngoài nhau
B. Tiếp xúc ngoài
C. Cắt nhau
D. Đựng nhau
Câu 2: Hai đường tròn (O; 6) và (O'; 4) có khoảng cách OO' bằng 12. Hai đường tròn ở vị trí tương đối nào?
A. Tiếp xúc ngoài
B. Cắt nhau
C. Ngoài nhau
D. Tiếp xúc trong
Câu 3: Hai đường tròn (O; 9) và (O'; 3) có khoảng cách OO' bằng 4. Hai đường tròn ở vị trí tương đối nào?
A. Tiếp xúc ngoài
B. Tiếp xúc trong
C. Cắt nhau
D. Đựng nhau
Câu 4: Hai đường tròn (O; 8) và (O'; 5) có khoảng cách OO' bằng 15. Hai đường tròn ở vị trí tương đối nào?
A. Ngoài nhau
B. Tiếp xúc ngoài
C. Cắt nhau
D. Tiếp xúc trong
Câu 5: Hai đường tròn (O; 7) và (O'; 7) có khoảng cách OO' bằng 0. Hai đường tròn ở vị trí tương đối nào?
A. Cắt nhau
B. Đồng tâm
C. Tiếp xúc trong
D. Ngoài nhau
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | D | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (Tiếp xúc ngoài) đúng: R cộng r bằng 5 cộng 3 bằng 8, OO' bằng 8 đúng bằng R cộng r nên hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Đây chính là ví dụ gốc của bài. Đáp án A (Ngoài nhau) sai vì ngoài nhau cần OO' lớn hơn R cộng r, mà ở đây OO' bằng đúng 8. Đáp án C (Cắt nhau) sai vì cắt nhau cần OO' nhỏ hơn R cộng r. Đáp án D (Đựng nhau) sai vì đựng nhau cần OO' nhỏ hơn hiệu R trừ r bằng 2.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (Ngoài nhau) đúng: R cộng r bằng 6 cộng 4 bằng 10, OO' bằng 12 lớn hơn 10 nên hai đường tròn ngoài nhau. Đáp án A (Tiếp xúc ngoài) sai vì tiếp xúc ngoài cần OO' đúng bằng 10, mà ở đây OO' bằng 12. Đáp án B (Cắt nhau) sai vì cắt nhau cần OO' nhỏ hơn 10 và lớn hơn hiệu R trừ r bằng 2. Đáp án D (Tiếp xúc trong) sai vì tiếp xúc trong cần OO' đúng bằng 2.
Giải thích Câu 3 — Đáp án D (Đựng nhau) đúng: Hiệu R trừ r bằng 9 trừ 3 bằng 6, OO' bằng 4 nhỏ hơn 6 nên đường tròn nhỏ đựng trong đường tròn lớn. Đáp án A (Tiếp xúc ngoài) sai vì tiếp xúc ngoài cần OO' bằng R cộng r bằng 12. Đáp án B (Tiếp xúc trong) sai vì tiếp xúc trong cần OO' đúng bằng 6, mà ở đây OO' bằng 4. Đáp án C (Cắt nhau) sai vì cắt nhau cần OO' lớn hơn 6 và nhỏ hơn 12.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (Ngoài nhau) đúng: R cộng r bằng 8 cộng 5 bằng 13, OO' bằng 15 lớn hơn 13 nên hai đường tròn ngoài nhau. Đáp án B (Tiếp xúc ngoài) sai vì tiếp xúc ngoài cần OO' đúng bằng 13. Đáp án C (Cắt nhau) sai vì cắt nhau cần OO' nhỏ hơn 13 và lớn hơn hiệu R trừ r bằng 3. Đáp án D (Tiếp xúc trong) sai vì tiếp xúc trong cần OO' đúng bằng 3.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (Đồng tâm) đúng: OO' bằng 0 nghĩa là hai tâm trùng nhau, hai đường tròn đồng tâm (cùng bán kính 7 nên thực chất chúng trùng nhau hoàn toàn). Đáp án A (Cắt nhau) sai vì hai đường tròn đồng tâm không cắt nhau tại hai điểm. Đáp án C (Tiếp xúc trong) sai vì tiếp xúc trong cần OO' bằng hiệu hai bán kính bằng 0 — tuy OO' bằng 0 đúng bằng hiệu, nhưng khi R bằng r thì hai đường tròn trùng nhau chứ không còn là tiếp xúc trong theo nghĩa thông thường. Đáp án D (Ngoài nhau) sai vì hai đường tròn đồng tâm không thể ngoài nhau.
7. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Vì sao phải sắp xếp R lớn hơn hoặc bằng r trước khi làm bài?
Đáp: Vì công thức hiệu hai bán kính chỉ có ý nghĩa khi lấy bán kính lớn trừ bán kính nhỏ — hiệu này luôn không âm và được so sánh với khoảng cách OO' (cũng không âm). Nếu bạn lấy bán kính nhỏ trừ bán kính lớn thì hiệu ra số âm, không so sánh được với OO'. Trong sách giáo khoa, công thức thường viết OO' bằng trị tuyệt đối của R trừ r — dấu trị tuyệt đối chính là để bạn không cần lo thứ tự, nhưng khi làm bài bạn vẫn nên sắp xếp R lớn hơn r cho gọn.
Hỏi: Hai đường tròn cắt nhau thì có mấy điểm chung? Hai điểm chung đó nằm ở đâu?
Đáp: Đúng hai điểm chung, và chúng nằm đối xứng nhau qua đường thẳng nối hai tâm OO'. Đường thẳng nối hai điểm chung đó vuông góc với OO' tại trung điểm của nó. Tính chất này rất hay dùng trong bài toán chứng minh: khi hai đường tròn cắt nhau tại A và B thì OO' là đường trung trực của dây chung AB.
Hỏi: Tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong khác nhau như thế nào về điểm tiếp xúc?
Đáp: Ở cả hai trường hợp, điểm tiếp xúc đều nằm trên đường thẳng nối hai tâm OO'. Khác nhau ở chỗ: khi tiếp xúc ngoài, điểm tiếp xúc nằm giữa hai tâm O và O' (chia đoạn OO' thành hai phần R và r); khi tiếp xúc trong, điểm tiếp xúc nằm ngoài đoạn OO' (nằm trên tia đối của tia OO' nếu tính từ tâm của đường tròn lớn). Bạn hãy vẽ hình minh họa hai trường hợp này một lần là nhớ mãi.
Hỏi: Có thể có hai đường tròn vừa tiếp xúc ngoài vừa tiếp xúc trong không?
Đáp: Không, trừ trường hợp đặc biệt hai đường tròn trùng nhau. Một cặp đường tròn chỉ có thể ở đúng một trong năm vị trí tại một thời điểm — vì OO' chỉ có thể bằng đúng một giá trị, và giá trị đó chỉ rơi vào đúng một trường hợp trong bảng năm vị trí. Nếu bạn tính ra hai vị trí cùng lúc thì chắc chắn đã tính sai một trong hai mốc.
Hỏi: Học vị trí tương đối của hai đường tròn để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Để học tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác — xem bài tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau — và để giải các bài toán thực tế về bánh răng, bánh xe, ống nước đồng tâm. Nếu muốn ôn lại vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, bạn hãy xem bài vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Khi cần kiểm tra lại phép tính số, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
8. Kết luận
Liên hệ giữa đường nối tâm của hai đường tròn chỉ gói gọn trong hai mốc: R cộng r và hiệu R trừ r. So sánh OO' với hai mốc này, bạn đọc được ngay một trong năm vị trí — ngoài nhau, tiếp xúc ngoài, cắt nhau, tiếp xúc trong, đựng nhau — và số điểm chung tương ứng là 0, 1, 2, 1, 0. Nhớ hai mốc theo hình ảnh (tổng là chạm ngoài, hiệu là chạm trong) thì bạn sẽ không bao giờ nhầm tiếp xúc ngoài với tiếp xúc trong, và nhớ kiểm tra cả hai mốc thì bạn sẽ không bao giờ kết luận "cắt nhau" một cách vội vàng. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để xác định vị trí của bất kì cặp đường tròn nào — dù là hai bánh xe, hai đồng xu, hay hai đường tròn trong đề thi học kì.