Hãy tưởng tượng một con đường thẳng chạy về phía một cái hồ hình tròn. Từ xa, đường và hồ chưa chạm nhau. Đường tiến lại gần, chạm mép hồ tại đúng một điểm rồi đi tiếp, cắt qua hồ thành một đoạn dây. Chỉ với một phép so sánh duy nhất — khoảng cách từ tâm đến đường thẳng lớn hơn, bằng hay nhỏ hơn bán kính — bạn biết ngay đường thẳng và đường tròn đang ở vị trí nào. Bài này trình bày ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, hệ thức giữa d và R cho từng vị trí, và tính chất đặc biệt của tiếp tuyến: tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
Đây là một trong những bài toán "đoán hình bằng số" đẹp nhất của hình học lớp 9: không cần vẽ hình chính xác, chỉ cần so sánh hai con số d và R là bạn kết luận được đường thẳng cắt đường tròn tại mấy điểm. Học xong bài này, bạn sẽ làm chủ được cả tiếp tuyến của đường tròn — khái niệm sẽ quay lại ở bài hai tiếp tuyến cắt nhau và trong rất nhiều bài toán chứng minh sau này.
1. Ba vị trí tương đối và hệ thức giữa d và R
Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R). Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a, tức là độ dài đoạn OH với H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống a. Đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có thể ở một trong ba vị trí sau đây, không có vị trí thứ tư.
Vị trí thứ nhất: đường thẳng và đường tròn cắt nhau. Khi đó đường thẳng a có đúng hai điểm chung với đường tròn, gọi là A và B. Đoạn AB nằm trong đường tròn chính là một dây của đường tròn, và đường thẳng a còn được gọi là cát tuyến của đường tròn. Điều kiện để xảy ra vị trí này là d nhỏ hơn R. Bạn hãy hình dung: vì khoảng cách từ tâm đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính nên đường thẳng "lọt" vào trong đường tròn, cắt đường tròn tại hai điểm.
Vị trí thứ hai: đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau. Khi đó đường thẳng a có duy nhất một điểm chung với đường tròn, gọi là tiếp điểm H. Đường thẳng a được gọi là tiếp tuyến của đường tròn tại H. Điều kiện để xảy ra vị trí này là d bằng R. Vì khoảng cách từ tâm đến đường thẳng đúng bằng bán kính nên chân đường vuông góc H nằm trên đường tròn, và H là điểm chung duy nhất. Tính chất quan trọng nhất của tiếp tuyến: nếu đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại H thì OH vuông góc với a. Nói cách khác, bán kính đi qua tiếp điểm luôn vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm đó.
Vị trí thứ ba: đường thẳng và đường tròn không giao nhau. Khi đó đường thẳng a không có điểm chung nào với đường tròn. Điều kiện để xảy ra vị trí này là d lớn hơn R. Vì khoảng cách từ tâm đến đường thẳng lớn hơn bán kính nên đường thẳng đi ngoài đường tròn, không chạm vào đường tròn ở bất kì điểm nào.
Bạn hãy ghi nhớ bảng hệ thức sau đây, vì nó xuất hiện trong gần như mọi bài tập trắc nghiệm của chương đường tròn:
| Vị trí tương đối | Số điểm chung | Hệ thức giữa d và R |
|---|---|---|
| Đường thẳng và đường tròn cắt nhau | 2 | d nhỏ hơn R |
| Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau | 1 | d bằng R |
| Đường thẳng và đường tròn không giao nhau | 0 | d lớn hơn R |
Một điểm cần lưu ý: khi đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm A và B, độ dài dây AB có thể tính bằng công thức đã học ở bài trước. Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống đường thẳng, H là trung điểm của AB nên AH = HB. Tam giác OHB vuông tại H với OB = R và OH = d, suy ra HB = √(R² − d²) và AB = 2√(R² − d²). Công thức này nối bài này với bài liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: khoảng cách từ tâm đến đường thẳng chính là d, và phần đường thẳng nằm trong đường tròn chính là dây.
2. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; 5 cm), khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a là d = 3 cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O).
Ta có d = 3 cm, R = 5 cm. Vì d = 3 nhỏ hơn R = 5 nên đường thẳng a cắt đường tròn (O) tại hai điểm. Đây chính là ví dụ gốc của bài: chỉ cần so sánh hai số 3 và 5 là bạn kết luận được ngay, không cần vẽ hình. Nếu muốn tính thêm độ dài dây AB mà đường thẳng cắt ra, bạn dùng công thức AB = 2√(R² − d²) = 2√(25 − 9) = 2 × 4 = 8 cm. Bạn có thể kiểm tra phép tính căn bậc hai bằng máy tính Casio online trên ClassOn.
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; 7 cm), khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng b là d = 7 cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng b và đường tròn (O).
Ta có d = 7 cm, R = 7 cm. Vì d bằng R nên đường thẳng b tiếp xúc với đường tròn (O) tại một điểm duy nhất. Điểm tiếp xúc H chính là chân đường vuông góc hạ từ O xuống b, và OH vuông góc với b. Đây là trường hợp ranh giới: chỉ cần d tăng thêm một chút là đường thẳng rời khỏi đường tròn, chỉ cần d giảm một chút là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm. Bạn hãy nhớ: tiếp xúc là trường hợp "vừa chạm tới", d bằng R đúng bằng số, không hơn không kém.
Ví dụ 3: Cho đường tròn (O; 4 cm), khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng c là d = 9 cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng c và đường tròn (O).
Ta có d = 9 cm, R = 4 cm. Vì d = 9 lớn hơn R = 4 nên đường thẳng c và đường tròn (O) không giao nhau. Đường thẳng c đi ngoài đường tròn, không có điểm chung nào. Bạn hãy chú ý: ở đây d lớn hơn R khá nhiều (9 so với 4), nhưng kết luận chỉ phụ thuộc vào việc so sánh lớn hơn hay nhỏ hơn, không phụ thuộc vào chênh lệch là bao nhiêu. Dù d chỉ lớn hơn R một chút, ví dụ d = 4,1 cm và R = 4 cm, kết luận vẫn là không giao nhau.
Ví dụ 4: Cho đường tròn (O; 5 cm) và đường thẳng a cắt đường tròn tại A và B sao cho AB = 6 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a.
Vì đường thẳng a cắt đường tròn tại hai điểm nên d nhỏ hơn R. Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống a. H là trung điểm của AB nên AH = HB = 6 : 2 = 3 cm. Tam giác OHB vuông tại H với OB = 5 cm, HB = 3 cm. Theo định lý Py-ta-go: OH² = OB² − HB² = 25 − 9 = 16, suy ra OH = 4 cm. Vậy khoảng cách từ tâm đến đường thẳng là 4 cm. Bài này cho thấy bạn có thể đi ngược lại: từ độ dài dây suy ra khoảng cách d, rồi từ d so sánh với R để khẳng định vị trí tương đối. Muốn ôn lại cách tính độ dài dây, bạn hãy xem bài liên hệ đường kính và dây cung.
3. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Nhầm chiều của dấu so sánh giữa d và R.
Nhiều bạn nhớ ngược thành d lớn hơn R thì cắt nhau, d nhỏ hơn R thì không giao nhau. Cách tránh: bạn hãy nhớ trường hợp cực đoan d = 0, tức là đường thẳng đi qua tâm. Khi đó đường thẳng chắc chắn cắt đường tròn tại hai điểm (hai đầu của đường kính), và 0 nhỏ hơn R. Vậy d nhỏ thì cắt nhau, d lớn thì không giao nhau. Từ trường hợp d = 0, bạn suy ra chiều đúng của cả ba hệ thức.
Lỗi 2: Nhầm khoảng cách từ tâm đến đường thẳng với khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường tròn đến đường thẳng.
Nhiều bạn lấy khoảng cách từ một điểm A trên đường tròn đến đường thẳng a rồi so sánh với R. Sai: d được định nghĩa là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a, tức là độ dài đoạn vuông góc hạ từ O xuống a. Cách tránh: bạn hãy luôn hạ đường vuông góc từ tâm O, không phải từ điểm nào khác, rồi mới đo và so sánh.
Lỗi 3: Cho rằng tiếp tuyến song song với bán kính.
Nhiều bạn vẽ tiếp tuyến rồi cho rằng nó song song với bán kính OA. Sai hoàn toàn: tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. Cách tránh: bạn hãy nhớ câu "bán kính đi qua tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến" như một khẩu quyết. Mỗi lần gặp tiếp tuyến, bạn hãy vẽ ngay bán kính đến tiếp điểm và đánh dấu góc vuông.
Lỗi 4: Nhầm số điểm chung của trường hợp tiếp xúc.
Nhiều bạn cho rằng đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại hai điểm rất gần nhau. Sai: tiếp xúc nghĩa là có duy nhất một điểm chung. Hai điểm "rất gần nhau" vẫn là hai điểm, đó là trường hợp cắt nhau với dây rất ngắn. Cách tránh: bạn hãy phân biệt rõ: cắt nhau là 2 điểm, tiếp xúc là 1 điểm, không giao nhau là 0 điểm — không có trường hợp "gần như tiếp xúc".
Lỗi 5: Quên đơn vị khi so sánh d và R.
Nhiều bạn so sánh d = 3 cm với R = 0,05 m mà không đổi đơn vị, rồi kết luận 3 nhỏ hơn 0,05 là sai. Cách tránh: trước khi so sánh, bạn hãy đổi d và R về cùng một đơn vị. Trong ví dụ này, R = 0,05 m = 5 cm, d = 3 cm nhỏ hơn R = 5 cm nên đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm.
4. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Với mỗi câu, bạn chỉ cần so sánh d với R rồi đối chiếu với bảng hệ thức: d nhỏ hơn R thì cắt nhau, d bằng R thì tiếp xúc, d lớn hơn R thì không giao nhau.
Câu 1: Cho đường tròn (O; 5 cm), khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a là d = 3 cm. Vị trí tương đối của đường thẳng a và đường tròn (O) là gì?
A. Cắt nhau
B. Tiếp xúc nhau
C. Không giao nhau
D. Trùng nhau
Câu 2: Cho đường tròn (O; 7 cm), khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng b là d = 7 cm. Vị trí tương đối của đường thẳng b và đường tròn (O) là gì?
A. Cắt nhau
B. Tiếp xúc nhau
C. Không giao nhau
D. Cắt nhau tại ba điểm
Câu 3: Cho đường tròn (O; 4 cm), khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng c là d = 6 cm. Vị trí tương đối của đường thẳng c và đường tròn (O) là gì?
A. Cắt nhau
B. Tiếp xúc nhau
C. Không giao nhau
D. Trùng nhau
Câu 4: Cho đường tròn (O; 5 cm), đường thẳng a cắt đường tròn tại A và B sao cho AB = 8 cm. Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng bao nhiêu?
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 5 cm
D. 6 cm
Câu 5: Nếu đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại H thì OH có tính chất gì?
A. Vuông góc với đường thẳng a
B. Song song với đường thẳng a
C. Cắt đường thẳng a tại hai điểm
D. Trùng với đường thẳng a
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | B | C | A | A |
Giải thích Câu 1 — Đáp án A (Cắt nhau) đúng: d = 3 cm nhỏ hơn R = 5 cm nên đường thẳng a cắt đường tròn tại hai điểm. Đáp án B sai vì tiếp xúc xảy ra khi d bằng R, ở đây d khác R. Đáp án C sai vì không giao nhau xảy ra khi d lớn hơn R, ở đây d nhỏ hơn R. Đáp án D sai vì đường thẳng và đường tròn không thể trùng nhau.
Giải thích Câu 2 — Đáp án B (Tiếp xúc nhau) đúng: d = 7 cm bằng R = 7 cm nên đường thẳng b tiếp xúc với đường tròn tại một điểm duy nhất. Đáp án A sai vì cắt nhau cần d nhỏ hơn R. Đáp án C sai vì không giao nhau cần d lớn hơn R. Đáp án D sai vì đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung, không bao giờ có ba điểm chung.
Giải thích Câu 3 — Đáp án C (Không giao nhau) đúng: d = 6 cm lớn hơn R = 4 cm nên đường thẳng c và đường tròn không có điểm chung nào. Đáp án A sai vì cắt nhau cần d nhỏ hơn R. Đáp án B sai vì tiếp xúc cần d bằng R. Đáp án D sai vì đường thẳng và đường tròn không thể trùng nhau.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A (3 cm) đúng: H là chân đường vuông góc từ O xuống a, H là trung điểm của AB nên HB = 8 : 2 = 4 cm. Tam giác OHB vuông tại H: OH = √(5² − 4²) = √(25 − 16) = √9 = 3 cm. Đáp án B (4 cm) sai vì 4 cm là nửa dây AB, không phải khoảng cách từ tâm đến đường thẳng. Đáp án C (5 cm) sai vì 5 cm là bán kính. Đáp án D (6 cm) sai vì 6 cm lớn hơn bán kính, khoảng cách từ tâm đến đường thẳng cắt đường tròn không thể lớn hơn bán kính.
Giải thích Câu 5 — Đáp án A đúng: Bán kính đi qua tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến, tức là OH vuông góc với đường thẳng a. Đáp án B sai vì OH không thể song song với a khi H nằm trên a. Đáp án C sai vì OH chỉ cắt a tại một điểm H. Đáp án D sai vì OH là đoạn thẳng từ tâm đến tiếp điểm, không trùng với đường thẳng a.
5. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Một đường thẳng có thể cắt đường tròn tại ba điểm không?
Đáp: Không. Một đường thẳng và một đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung. Bạn có thể chứng minh nhanh: nếu đường thẳng cắt đường tròn tại ba điểm phân biệt thì ba điểm đó cùng cách tâm một khoảng bằng R, mà trên một đường thẳng chỉ có tối đa hai điểm cách một điểm cho trước một khoảng cho trước. Vì vậy đáp án "cắt nhau tại ba điểm" trong bài trắc nghiệm luôn sai.
Hỏi: Cát tuyến là gì?
Đáp: Cát tuyến là đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm. Phần cát tuyến nằm trong đường tròn là một dây của đường tròn. Từ "cát" có nghĩa là cắt. Khi cát tuyến đi qua tâm thì dây đó là đường kính. Bạn sẽ gặp lại khái niệm cát tuyến trong các bài toán về góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.
Hỏi: Làm sao để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn?
Đáp: Có hai cách thường dùng. Cách thứ nhất: chỉ ra đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó. Cách thứ hai: chỉ ra khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng bán kính. Cả hai cách đều dựa trên bảng hệ thức d và R. Nếu muốn xem tiếp hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ngoài đường tròn có tính chất gì, bạn hãy đọc bài tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
Hỏi: Vì sao tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm?
Đáp: Vì tiếp điểm H là điểm trên đường tròn gần tâm O nhất trong các điểm của đường thẳng a. Khoảng cách từ O đến a được đo bằng đoạn vuông góc OH, và vì d = R nên H nằm trên đường tròn. Nếu có một điểm khác trên a gần O hơn thì khoảng cách từ O đến a sẽ nhỏ hơn R, đường thẳng sẽ cắt đường tròn tại hai điểm chứ không tiếp xúc nữa. Vậy OH phải là đoạn vuông góc, tức là OH vuông góc với a.
Hỏi: Vị trí tương đối của hai đường tròn có giống vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn không?
Đáp: Có nét giống nhau về ý tưởng: đều so sánh một khoảng cách với bán kính. Nhưng hai đường tròn có tới năm vị trí, phức tạp hơn ba vị trí của đường thẳng và đường tròn, vì phải so sánh khoảng cách giữa hai tâm OO′ với cả tổng R + r và hiệu |R − r|. Bạn hãy xem bài vị trí tương đối của hai đường tròn để học bảng hệ thức đầy đủ.
6. Kết luận
Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn gói gọn trong một bảng duy nhất: d nhỏ hơn R thì cắt nhau tại hai điểm, d bằng R thì tiếp xúc tại một điểm, d lớn hơn R thì không giao nhau. Bạn chỉ cần tính đúng d — khoảng cách từ tâm đến đường thẳng, đo bằng đoạn vuông góc — rồi so sánh với R là kết luận được ngay. Đừng quên tính chất quan trọng nhất của tiếp tuyến: bán kính đi qua tiếp điểm vuông góc với tiếp tuyến, vì đó là chìa khóa để chứng minh tiếp tuyến và để tính độ dài đoạn tiếp tuyến trong bài tiếp theo về hai tiếp tuyến cắt nhau. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã nắm vững nền tảng để bước sang vị trí tương đối của hai đường tròn, nơi phép so sánh d với R được mở rộng thành phép so sánh OO′ với R + r và |R − r|.