Bạn đã bao giờ phải đo đường kính của một cái ống tròn mà không thể luồn thước qua tâm của nó chưa? Trong thực tế, người thợ thường đo một dây bất kì của mặt cắt hình tròn rồi đo khoảng cách từ tâm đến dây đó, sau đó tính ra bán kính bằng một công thức rất gọn. Bí quyết nằm ở một định lý đẹp của hình học lớp 9: đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó. Chỉ cần nhớ định lý này, mọi bài toán tính độ dài dây, tìm bán kính hay tìm khoảng cách từ tâm đến dây đều trở thành bài toán tam giác vuông quen thuộc.
Bài này sẽ giúp bạn nắm chắc định lý đường kính và dây cung, công thức (l/2)² + d² = R², cách chứng minh định lý bằng tam giác cân, bốn ví dụ tính từng bước và năm lỗi sai mà rất nhiều bạn mắc phải khi làm bài. Học xong, bạn sẽ thấy mọi bài toán về dây cung trong đường tròn đều có chung một "khuôn" duy nhất: kẻ đường vuông góc từ tâm xuống dây, rồi áp dụng định lý Py-ta-go.
1. Định lý đường kính vuông góc với dây và công thức tính độ dài dây
Trong một đường tròn, đường kính là dây dài nhất, dài đúng bằng hai lần bán kính. Nhưng đường kính còn có một tính chất đặc biệt hơn khi nó gặp một dây khác: nếu đường kính vuông góc với một dây thì đường kính đó đi qua trung điểm của dây ấy. Nói cách khác, chỗ vuông góc chính là điểm giữa của dây. Đây là định lý mở đầu cho gần như mọi bài toán tính độ dài dây cung ở lớp 9.
Phát biểu đầy đủ của định lý gồm hai chiều. Chiều thuận: trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó. Chiều đảo: trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. Bạn hãy chú ý điều kiện "dây không đi qua tâm" ở chiều đảo: nếu dây đi qua tâm thì dây đó cũng là một đường kính, hai đường kính cắt nhau tại tâm O là trung điểm của nhau nhưng chưa chắc đã vuông góc với nhau. Bỏ điều kiện này đi là định lý đảo sai ngay.
Vì sao định lý này đúng? Bạn hãy lấy một dây AB không đi qua tâm O và gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống AB. Nối OA và OB. Vì OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O. Trong tam giác cân, đường cao hạ từ đỉnh cũng đồng thời là đường trung tuyến, nên H chính là trung điểm của AB. Đó là toàn bộ ý tưởng chứng minh: đường kính vuông góc với dây thì chia đôi dây, vì tam giác tạo bởi hai bán kính và dây là tam giác cân.
Từ định lý này, ta có công thức tính độ dài dây được dùng nhiều nhất trong chương đường tròn. Gọi R là bán kính, l là độ dài dây, d là khoảng cách từ tâm O đến dây, H là chân đường vuông góc từ O xuống dây. Khi đó H là trung điểm của dây nên nửa dây dài l/2. Tam giác OHB vuông tại H, với cạnh huyền OB = R, hai cạnh góc vuông OH = d và HB = l/2. Áp dụng định lý Py-ta-go, ta được (l/2)² + d² = R². Công thức này gắn ba đại lượng l, d, R với nhau: biết hai trong ba đại lượng là tính được đại lượng còn lại. Bạn hãy nhớ công thức này dưới dạng tam giác vuông: nửa dây, khoảng cách từ tâm và bán kính là ba cạnh của một tam giác vuông, trong đó bán kính luôn là cạnh huyền, dài nhất.
Công thức (l/2)² + d² = R² còn cho bạn một cách kiểm tra nhanh: vì (l/2)² = R² − d² nên nửa dây luôn nhỏ hơn bán kính, và dây luôn ngắn hơn đường kính. Dây càng dài thì càng gần tâm, tức là d càng nhỏ; dây ngắn nhất thì ở xa tâm nhất. Khi dây dài đúng bằng đường kính 2R thì d = 0, tức là dây đi qua tâm. Khi d tiến dần tới R thì dây ngắn dần về 0, tức là dây co lại thành một điểm trên đường tròn. Bạn hãy ghi nhớ bức tranh này: dây và khoảng cách từ tâm đến dây biến thiên ngược chiều nhau.
Một hệ quả quan trọng khác của định lý: đường kính vuông góc với dây không chỉ chia đôi dây mà còn đi qua điểm chính giữa của hai cung bị dây chắn. Tức là nếu đường kính CD vuông góc với dây AB tại H thì H là trung điểm của AB, đồng thời C và D là điểm chính giữa của cung nhỏ AB và cung lớn AB. Tính chất này thường được dùng trong các bài toán chứng minh cung bằng nhau hoặc chứng minh một điểm là điểm chính giữa của cung.
2. Bốn ví dụ tính từng bước
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; 5 cm), dây CD cách tâm một khoảng d = 3 cm. Tính độ dài dây CD.
Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống CD. Theo định lý đường kính vuông góc với dây, H là trung điểm của CD nên CH = HD = l/2. Tam giác OHD vuông tại H, cạnh huyền OD = R = 5 cm, cạnh góc vuông OH = d = 3 cm. Áp dụng định lý Py-ta-go: HD² = OD² − OH² = 25 − 9 = 16, suy ra HD = 4 cm. Vậy dây CD dài 2 × 4 = 8 cm. Bạn hãy chú ý: đáp án 4 cm chỉ là nửa dây, nhiều bạn quên nhân 2 ở bước cuối nên mất điểm oan. Muốn tính nhanh, bạn hãy nhớ bộ ba số Py-ta-go 3 – 4 – 5: khi R = 5 và d = 3 thì nửa dây bằng 4 ngay, không cần tính lại.
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; 13 cm), một dây cách tâm 5 cm. Tính độ dài dây đó.
Gọi dây là AB, H là chân đường vuông góc từ O xuống AB. Tam giác OHB vuông tại H với OB = 13 cm, OH = 5 cm. Theo định lý Py-ta-go: HB² = OB² − OH² = 169 − 25 = 144, suy ra HB = 12 cm. Vì H là trung điểm của AB nên AB = 2 × 12 = 24 cm. Đây cũng là một bộ ba số Py-ta-go quen thuộc: 5 – 12 – 13. Bạn hãy học thuộc các bộ ba 3 – 4 – 5, 5 – 12 – 13, 6 – 8 – 10, 9 – 12 – 15 và 8 – 15 – 17, vì đề thi rất hay dùng các số này để bạn tính nhẩm nhanh mà không cần máy tính. Nếu muốn kiểm tra lại phép tính căn bậc hai của mình, bạn có thể nhờ máy tính Casio online trên ClassOn hỗ trợ.
Ví dụ 3: Cho đường tròn (O; 10 cm), dây AB dài 16 cm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
Đây là bài toán ngược của hai ví dụ trên: biết dây và bán kính, tìm khoảng cách từ tâm đến dây. Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống AB. Theo định lý, H là trung điểm của AB nên AH = HB = 16 : 2 = 8 cm. Tam giác OHB vuông tại H với OB = 10 cm, HB = 8 cm. Theo định lý Py-ta-go: OH² = OB² − HB² = 100 − 64 = 36, suy ra OH = 6 cm. Vậy khoảng cách từ tâm đến dây là 6 cm. Bạn hãy đối chiếu với ví dụ 1: ở ví dụ 1, R = 5, d = 3, nửa dây = 4; ở đây R = 10, nửa dây = 8, d = 6 — các số gấp đôi nhau, đúng như tính chất đồng dạng của tam giác vuông. Bộ ba 6 – 8 – 10 chính là bộ ba 3 – 4 – 5 nhân đôi.
Ví dụ 4: Cho đường tròn (O), dây MN dài 24 cm và cách tâm 5 cm. Tính bán kính của đường tròn.
Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống MN. H là trung điểm của MN nên MH = 24 : 2 = 12 cm, OH = 5 cm. Tam giác OHM vuông tại H với hai cạnh góc vuông OH = 5 cm và MH = 12 cm. Theo định lý Py-ta-go: OM² = OH² + MH² = 25 + 144 = 169, suy ra OM = 13 cm. Vậy bán kính của đường tròn là 13 cm. Bài này cho thấy công thức (l/2)² + d² = R² dùng được theo cả ba chiều: biết dây và khoảng cách thì tìm bán kính, biết bán kính và khoảng cách thì tìm dây, biết bán kính và dây thì tìm khoảng cách. Bạn chỉ cần xác định đúng tam giác vuông OHM rồi áp dụng định lý Py-ta-go là xong.
3. Năm lỗi sai thường gặp — và cách tránh
Lỗi 1: Quên nhân 2 khi tính cả dây từ nửa dây.
Nhiều bạn tính đúng nửa dây bằng 4 rồi ghi đáp án dây dài 4 cm. Sai: 4 cm chỉ là một nửa của dây, dây đầy đủ dài 8 cm. Cách tránh: sau khi tính được nửa dây, bạn hãy tự hỏi "đây là nửa dây hay cả dây?" rồi nhân 2 trước khi ghi đáp án. Bạn cũng có thể viết rõ ngay từ đầu: đặt l là độ dài cả dây, nửa dây là l/2, rồi viết phương trình (l/2)² + d² = R² và giải ra l.
Lỗi 2: Nhầm khoảng cách từ tâm đến dây với bán kính.
Nhiều bạn thấy đề cho "dây cách tâm 3 cm" thì lấy luôn 3 cm làm bán kính, hoặc ngược lại lấy bán kính làm khoảng cách. Cách tránh: bạn hãy vẽ hình và ghi rõ từng đoạn: đoạn từ tâm O đến dây, vuông góc với dây, mới là d; đoạn từ tâm O đến một đầu dây mới là bán kính R. Hai đoạn này khác nhau hoàn toàn, chỉ bằng nhau khi dây đi qua tâm. Vẽ hình rồi ghi tên từng đoạn là cách tốt nhất để không nhầm.
Lỗi 3: Áp dụng định lý đảo mà quên điều kiện dây không đi qua tâm.
Nhiều bạn thấy đường kính đi qua trung điểm của một dây thì kết luận ngay đường kính vuông góc với dây đó, kể cả khi dây đi qua tâm. Sai: hai đường kính cắt nhau tại tâm O, O là trung điểm của cả hai, nhưng chúng có thể cắt nhau dưới một góc bất kì, không nhất thiết vuông góc. Cách tránh: mỗi lần dùng định lý đảo, bạn hãy kiểm tra dây có đi qua tâm không — nếu dây đi qua tâm thì định lý đảo không áp dụng được.
Lỗi 4: Dùng định lý Py-ta-go sai cạnh huyền.
Nhiều bạn viết d² = R² + (l/2)², tức là coi khoảng cách từ tâm đến dây là cạnh huyền. Sai: trong tam giác vuông tạo bởi tâm, chân đường vuông góc và một đầu dây, cạnh huyền luôn là bán kính R, vì R là đoạn dài nhất nối tâm với một điểm trên đường tròn. Cách tránh: trước khi viết công thức Py-ta-go, bạn hãy chỉ rõ cạnh huyền là đoạn nào — luôn là bán kính R — rồi mới viết (l/2)² + d² = R².
Lỗi 5: Tính căn bậc hai sai khi số không đẹp.
Nhiều bạn gặp R² − d² = 50 thì viết nửa dây bằng 5, hoặc gặp 200 thì viết bằng 20. Cách tránh: bạn hãy giữ nguyên dạng căn bậc hai khi số không phải số chính phương, ví dụ nửa dây = √50 = 5√2, rồi nhân 2 để được dây dài 10√2. Chỉ làm tròn số thập phân khi đề bài yêu cầu. Nếu muốn ôn lại cách rút gọn căn thức, bạn hãy xem lại bài đưa thừa số ra ngoài dấu căn.
4. Bài tập tự luyện
Hãy làm 5 bài tập sau đây rồi đối chiếu với bảng đáp án bên dưới. Nhớ kẻ đường vuông góc từ tâm xuống dây trước, xác định đúng tam giác vuông, rồi mới áp dụng định lý Py-ta-go — và đừng quên nhân 2 ở bước cuối khi đề hỏi độ dài cả dây.
Câu 1: Cho đường tròn (O; 5 cm), dây CD cách tâm 3 cm. Độ dài dây CD bằng bao nhiêu?
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 10 cm
D. 4 cm
Câu 2: Cho đường tròn (O; 13 cm), một dây cách tâm 5 cm. Độ dài dây đó bằng bao nhiêu?
A. 12 cm
B. 20 cm
C. 24 cm
D. 26 cm
Câu 3: Cho đường tròn (O; 13 cm), dây AB dài 10 cm. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng bao nhiêu?
A. 5 cm
B. 12 cm
C. 13 cm
D. 8 cm
Câu 4: Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
A. Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó
B. Đường kính đi qua trung điểm của mọi dây thì vuông góc với dây đó
C. Mọi đường kính đều vuông góc với mọi dây
D. Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì dây đó đi qua tâm
Câu 5: Cho đường tròn (O; 10 cm), dây AB dài 12 cm. Khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng bao nhiêu?
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 4 cm
D. 10 cm
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | C | B | A | B |
Giải thích Câu 1 — Đáp án B (8 cm) đúng: Gọi H là chân đường vuông góc từ O xuống CD, H là trung điểm của CD. Tam giác OHD vuông tại H: HD² = 5² − 3² = 16 nên HD = 4 cm, dây CD = 2 × 4 = 8 cm. Đáp án A (6 cm) sai vì 6 = 2 × 3, bạn đã nhân đôi khoảng cách thay vì nhân đôi nửa dây. Đáp án C (10 cm) sai vì 10 cm là đường kính, dây không thể dài bằng đường kính khi nó không đi qua tâm. Đáp án D (4 cm) sai vì 4 cm chỉ là nửa dây, bạn quên nhân 2.
Giải thích Câu 2 — Đáp án C (24 cm) đúng: Nửa dây = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm, dây dài 2 × 12 = 24 cm. Đáp án A (12 cm) sai vì 12 cm chỉ là nửa dây. Đáp án B (20 cm) sai vì không có cơ sở nào cho ra 20. Đáp án D (26 cm) sai vì 26 cm là đường kính, dây dài nhất cũng chỉ bằng đường kính khi đi qua tâm, còn dây này cách tâm 5 cm nên ngắn hơn.
Giải thích Câu 3 — Đáp án B (12 cm) đúng: Nửa dây = 10 : 2 = 5 cm. Khoảng cách d = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 cm. Đáp án A (5 cm) sai vì 5 cm là nửa dây, không phải khoảng cách từ tâm đến dây. Đáp án C (13 cm) sai vì 13 cm là bán kính. Đáp án D (8 cm) sai vì 8 không thỏa mãn 5² + 8² = 89, khác 169.
Giải thích Câu 4 — Đáp án A đúng: Đây chính là định lý đảo: đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. Đáp án B sai vì thiếu điều kiện "dây không đi qua tâm" — hai đường kính cắt nhau tại tâm là trung điểm của nhau nhưng chưa chắc vuông góc. Đáp án C sai vì đường kính chỉ vuông góc với dây khi nó đi qua trung điểm của dây, không phải với mọi dây. Đáp án D sai vì đường kính đi qua trung điểm của dây không có nghĩa dây đi qua tâm.
Giải thích Câu 5 — Đáp án B (8 cm) đúng: Nửa dây = 12 : 2 = 6 cm. Khoảng cách d = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 cm. Đáp án A (6 cm) sai vì 6 cm là nửa dây. Đáp án C (4 cm) sai vì 4 không thỏa mãn 6² + 4² = 52, khác 100. Đáp án D (10 cm) sai vì 10 cm là bán kính, khoảng cách từ tâm đến dây luôn nhỏ hơn bán kính.
5. Câu hỏi thường gặp
Hỏi: Đường kính có phải là dây dài nhất không?
Đáp: Đúng. Trong một đường tròn, mọi dây đều ngắn hơn hoặc bằng đường kính 2R, dấu bằng chỉ xảy ra khi dây đi qua tâm. Bạn có thể chứng minh nhanh: với dây dài l và khoảng cách từ tâm đến dây là d, ta có (l/2)² = R² − d² ≤ R² nên l/2 ≤ R, tức là l ≤ 2R.
Hỏi: Vì sao đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây?
Đáp: Vì tam giác tạo bởi hai bán kính và dây là tam giác cân tại tâm O. Đường cao hạ từ O xuống dây cũng là đường trung tuyến của tam giác cân đó, nên chân đường cao chính là trung điểm của dây. Nếu muốn ôn lại tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân, bạn hãy xem lại bài tính chất hai đường thẳng song song và các bài về tam giác đã học trước đó.
Hỏi: Chiều đảo của định lý có điều kiện gì đặc biệt?
Đáp: Có: dây không được đi qua tâm. Nếu dây đi qua tâm thì dây đó là một đường kính, và một đường kính khác đi qua trung điểm của nó (chính là tâm O) chưa chắc đã vuông góc với nó. Hai đường kính bất kì cắt nhau tại O nhưng góc giữa chúng có thể là góc nhọn, góc tù hoặc góc vuông tùy ý.
Hỏi: Công thức (l/2)² + d² = R² dùng để làm gì trong các bài sau?
Đáp: Rất nhiều. Công thức này là chìa khóa để tính độ dài dây khi biết bán kính và khoảng cách, tìm bán kính khi biết dây và khoảng cách, và là bước trung gian trong các bài toán về vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Nếu muốn học tiếp mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây, bạn hãy xem bài liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
Hỏi: Làm sao để nhớ nhanh bộ ba số Py-ta-go hay gặp?
Đáp: Bạn hãy học thuộc bốn bộ ba thường gặp nhất: 3 – 4 – 5, 5 – 12 – 13, 6 – 8 – 10 và 8 – 15 – 17, cùng các bộ ba gấp đôi, gấp ba của chúng (ví dụ 6 – 8 – 10 là 3 – 4 – 5 nhân đôi). Khi thấy R = 5 và d = 3, bạn nhận ra ngay nửa dây bằng 4 mà không cần tính căn bậc hai.
6. Kết luận
Định lý đường kính vuông góc với dây chỉ gói gọn trong một câu: đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây đó, và ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó. Từ định lý này, công thức (l/2)² + d² = R² cho phép bạn tính bất kì đại lượng nào trong ba đại lượng độ dài dây, khoảng cách từ tâm đến dây và bán kính khi biết hai đại lượng còn lại. Bạn hãy nhớ "khuôn" giải bài: kẻ đường vuông góc từ tâm xuống dây, xác định tam giác vuông có cạnh huyền là bán kính, áp dụng định lý Py-ta-go, và đừng quên nhân 2 khi đề hỏi độ dài cả dây. Làm xong 5 bài tập ở trên, bạn đã đủ tự tin để bước sang bài tiếp theo: liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây — nơi công thức này được khai thác sâu hơn với hai dây trong cùng một đường tròn.